文档内容
专题十 《数列》讲义
10.2 等比数列
知识梳理 . 等比数列
1．等比数列的有关概念
(1)定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这
个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示，定义的表达
式为＝q(q≠0，n∈N*)．
(2)等比中项
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中
项⇔G2＝ab．
“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：a＝aqn－1．
n 1
(2)前n项和公式：S＝
n
3．等比数列的性质
已知数列{a}是等比数列，S 是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)
n n
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则a ·a＝a·a＝a．
m n p q
(2)数列a ，a ，a ，a ，…仍是等比数列．
m m＋k m＋2k m＋3k
(3)数列S ，S －S ，S －S ，…仍是等比数列(此时{a}的公比q≠－1)．
m 2m m 3m 2m n
常用结论
4．记住等比数列的几个常用结论
(1)若{a}，{b}(项数相同)是等比数列，则{λa}(λ≠0)，，{a}，{a·b}，仍是等比数列．
n n n n n
(2)在等比数列{a}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a ，a ，a ，a
n n n＋k n＋2k n
，…为等比数列，公比为qk.
＋3k
(3)S，S －S，S －S ，…也成等比数列。
n 2n n 3n 2n
题型一 . 等比数列的基本量
1．（2013•北京）若等比数列{a }满足a +a ＝20，a +a ＝40，则公比q＝ 2 ；前
n 2 4 3 5
n项和S ＝ 2 n + 1 ﹣ 2 ．
n
【解答】解：设等比数列{a }的公比为q，
n
∵a +a ＝a （1+q2）＝20①
2 4 2a +a ＝a （1+q2）＝40②
3 5 3
∴①②两个式子相除，可得到a 40 2
3= =
a 20
2
即等比数列的公比q＝2，
将q＝2带入①中可求出a ＝4
2
a 4
则a = 2= =2
1
q 2
∴数列{a }时首项为2，公比为2的等比数列．
n
∴数列{a }的前n项和为：S a (qn−1) 2×(2n−1) 2n+1﹣2．
n n= 1 = =
q−1 2−1
故答案为：2，2n+1﹣2．
2．（2010•辽宁）设S 为等比数列{a }的前n项和，已知3S ＝a ﹣2，3S ＝a ﹣2，则公比
n n 3 4 2 3
q＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵S 为等比数列{a }的前n项和，3S ＝a ﹣2，3S ＝a ﹣2，
n n 3 4 2 3
两式相减得
3a ＝a ﹣a ，
3 4 3
a ＝4a ，
4 3
∴公比q＝4．
故选：B．
7 63
3．（2017•江苏）等比数列{a }的各项均为实数，其前n项和为S ，已知S = ，S = ，
n n 3 6
4 4
则a ＝ 3 2 ．
8
【解答】解：设等比数列{a }的公比为q≠1，
n
∵S 7，S 63，∴a (1−q3 ) 7，a (1−q6 ) 63，
3= 6= 1 = 1 =
4 4 1−q 4 1−q 4
1
解得a = ，q＝2．
1
4
1
则a = ×27=32．
8
4
故答案为：32．题型二 . 等比数列的性质
1．已知正项等比数列{a }中，a a ，若a +a +a ＝7，则a ＝（ ）
n 3= 4 1 2 3 8
a
2
A．32 B．48 C．64 D．128
【解答】解：由 a ，得 ，所以a ＝1，
a = 4 a q2=q2 1
3 a 1
2
又因为a +a +a ＝7，得1+q+q2＝7，所以q＝2，
1 2 3
故 ，
a =27=128
8
故选：D．
2．已知各项均为正数的等比数列{a }的前n项和为S ，a ＜a ，n N*，a •a ＝9，a +a
n n n n+1 4 14 8 10
＝10，则数列{a }的公比为（ ） ∈
n
1 1
A． B． C．2 D．3
2 3
【解答】解：各项均为正数的等比数列{a }的前n项和为S ，a ＜a ，n N*，
n n n n+1
a 4 •a 14 ＝9，a 8 +a 10 ＝10， ∈
{a q3 ⋅a q13=9
1 1
∴ a q7+a q9=10 ，
1 1
q＞1
解得数列{a }的公比为q＝3．
n
故选：D．
3．（2014•广东）若等比数列{a }的各项均为正数，且a a +a a ＝2e5，则lna +lna +…
n 10 11 9 12 1 2
+lna ＝ 5 0 ．
20
【解答】解：∵数列{a }为等比数列，且a a +a a ＝2e5，
n 10 11 9 12
∴a a +a a ＝2a a ＝2e5，
10 11 9 12 10 11
∴a a ＝e5，
10 11
∴lna +lna +…lna ＝ln（a a …a ）＝ln（a a ）10＝ln（e5）10＝lne50＝50．
1 2 20 1 2 20 10 11
故答案为：50．
题型三 . 等比数列的前 n 项经典结论
1．各项均为正数的等比数列{a }的前n项和为S ，若S ＝2，S ＝14，则S 等于（
n n 10 30 40
）A．80 B．30 C．26 D．16
【解答】解：由题意知等比数列{a }的公比q＞0，且q≠1，
n
{ a (1−q10 )
1 =2 ①
1−q
则有
a (1−q30 )
1 =14 ②
1−q
②
，得1+q10+q20＝7，即q20+q10﹣6＝0，解得q10＝2，
①
a
则q40＝16，且代入①得 1 =−2，
1−q
所以 a (1−q40 ) 2×（1﹣16）＝30．
S = 1 =−
40 1−q
故选：B．
2．设等比数列{a }的前n项和为S ，若S 1，则S （ ）
n n 6= 9=
S 2 S
3 3
1 2 3 1
A． B． C． D．
2 3 4 3
【解答】解：由题意，设S ＝2m，那么S ＝m，（m≠0），
3 6
那么：S ，S ﹣S ，S ﹣S ，成等比数列
3 6 3 9 6
3
即2m×（S ﹣m）＝（m﹣2m）2，解得：S = m，
9 9
2
则S 3 1 3，
9= m× =
S 2 2m 4
3
故选：C．
3．在等比数列{a }中，已知 n N+，且 a +a +…+a ＝2n﹣1，那么 a 2+a 2+…+a 2为
n 1 2 n 1 2 n
（ ） ∈
2 2 1 1
A． (4n+1) B． (4n−1) C． (4n−1) D． (4n+1)
3 3 3 3
【解答】解：∵a +a +…+a ＝2n﹣1，
1 2 n
∴n≥2时，a 1 +a 2 +…+a n﹣1 ＝2n﹣1﹣1，可得a n ＝2n﹣1．
n＝1时，a ＝2﹣1＝1．对于上式也成立．
1
∴a ＝2n﹣1．
n∴ （2n﹣1）2＝4n﹣1．
a2=
n
4n−1 1
那么a 2+a 2+…+a 2= = (4n−1)．
1 2 n
4−1 3
故选：C．
题型四 . 证明等比数列
1．已知数列{a }，S 是其前n项和，并且S ＝4a +2（n＝1，2，…），a ＝1．
n n n+1 n 1
（1）设数列b ＝a ﹣2a （n＝1，2，…）求证：数列{b }是等比数列；
n n+1 n n
（2）设数列cn a （n＝1，2，…）求证：数列{c }是等差数列；
= n n
2n
（3）求数列{a }的通项公式及前n项和．
n
【解答】解：（1）由题意得，S ＝4a +2 ①，
n+1 n
当n≥2时 S n ＝4a n﹣1 +2 ②，
①﹣②得，a
n+1
＝4a
n
﹣4a
n﹣1
，
∴当n≥2时， b
n =
a
n+1
−2a
n =
4a
n
−4a
n−1
−2a
n
b a −2a a −2a
n−1 n n−1 n n−1
2a −4a 2，
= n n−1=
a −2a
n n−1
且b ＝a ﹣2a ＝3，
1 2 1
∴{b }是以2为公比，3为首项的等比数列，
n
（2）由（1）得b ＝b •qn﹣1＝3•2n﹣1，则a ﹣2a ＝3•2n﹣1，
n 1 n+1 n
∴a
n
﹣2a
n﹣1
＝3•2n﹣2，
当n≥2时，c
n
﹣c
n﹣1=
a
n−
a
n−1=
a
n
−2a
n−1=
3⋅2n−2
=
3，
2n 2n−1 2n 2n 4
a 1
且C = 1= ，
1
2 2
3 1
∴{ }为 为公差，以 为首项的等差数列，
n
4 2
∁
（3）由（2）得 ＝C +（n﹣1）•d 3n−1，即a 3n−1，
n 1 = n=
4 2n 4
∁∴a ＝（3n﹣1）•2n﹣2（n N*）
n
∵S n+1 ＝4a n +2， ∈
∴S ＝4•（3n﹣1）•2n﹣2+2＝（3n﹣1）•2n+2
n+1
即S ＝（3n﹣4）2n﹣1+2（n N*）．
n
∈
n+2
2．数列{a }的前n项和为S ，已知a =1，a = S (n=1，2，3，⋯)．
n n 1 n+1 n n
（1）试写出a ，S ，a ；
2 2 3
S
（2）设b = n，求证：数列{b }是等比数列；
n n n
（3）求出数列{a }的前n项和为S 及数列{a }的通项公式．
n n n
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 数 列 {a } 的 前 n 项 和 为 S ，
n n
n+2
a =1，a = S (n=1，2，3，⋯)，
1 n+1 n n
则：a ＝3，S ＝4，a ＝8；
2 2 3
n+2
（2）由a = S (n=1，2，3，⋯)，
n+1 n n
n+2
可得：S −S = S ，
n+1 n n n
n+2 2n+2 S S
整理S = S +S = S ⇒ n+1 =2 n，
n+1 n n n n n n+1 n
所以b ＝2b ，
n+1 n
S a
又有b = 1= 1=1≠0，
1 1 1
所以数列{b }是首项是1，公比为2的等比数列．
n
S
（3）由（2）可知b =2n−1，且b = n，
n n n
S
进而 n=2n−1，
n
所以数列{a }的前n项和 ，
n S =n2n−1 (n∈N+ )
n
当 ，
n≥2，a =S −S =n2n−1−(n−1)2n−2=2n⋅2n−2−(n−1)⋅2n−2=(n+1)2n−2
n n n−1
当n＝1时，a ＝1也满足上式 ．
1 a =(n+1)⋅2n−1
n所以： ．
a =(n+1)⋅2n−1
n
题型五 . 等差、等比综合
1．等差数列{a }的首项为1，公差不为0．若a ，a ，a 成等比数列，则{a }前6项
n 2 3 6 n
的和为（ ）
A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8
【解答】解：∵等差数列{a }的首项为1，公差不为0．a ，a ，a 成等比数列，
n 2 3 6
∴ ，
a 2=a ⋅a
3 2 6
∴（a +2d）2＝（a +d）（a +5d），且a ＝1，d≠0，
1 1 1 1
解得d＝﹣2，
6×5 6×5
∴{a }前6项的和为S =6a + d=6×1+ ×(−2)=−24．
n 6 1 2 2
故选：A．
2．设等差数列{a }的首项为a ，公差为d，前n项和为S ，且S •S ＝﹣15，则d的取值范
n 1 n 5 6
33
围是 (−∞，−2√2]∪[2√2，+∞) ，若a
1
＝﹣7，则d的值为 3 或 ．
10
5×4 6×5
【解答】解：S •S ＝﹣15，∴(5a + d)(6a + d)=−15，化为：2a2+
5 6 1 2 1 2 1
9da +10d2+1＝0，
1
则△＝81d2﹣8（10d2+1）≥0，化为：d2≥8，解得d≥2√2或d≤﹣2√2．
则d的取值范围是(−∞，−2√2]∪[2√2，+∞)．
33
若a ＝﹣7，则10d2﹣63d+99＝0，解得d＝3或 ．
1
10
33
故答案为：(−∞，−2√2]∪[2√2，+∞)，3或 ．
10
3．设S 为等差数列{a }的前n项和，若a ＝5，S ＝﹣55，则nS 的最小值为 ﹣ 34 3 ．
n n 7 5 n
【解答】解：设等差数列{a }的公差为d，∵a ＝5，S ＝﹣55，
n 7 5
5×4
∴a +6d＝5，5a + =−55，
1 1
2
联立解得：a ＝﹣19，d＝4．
1
n(n−1)
∴S ＝﹣19n+ ×4=2n2﹣21n．
n
2则nS ＝2n3﹣21n2，
n
令f（x）＝2x3﹣21x2，（x≥1），
f′（x）＝6x2﹣42x＝6x（x﹣7），
可得x＝7时，函数f（x）取得极小值即最小值，
∴n＝7时，nS 取得最小值，2×73﹣21×72＝﹣343．
n
故答案为：﹣343．
4．已知数列{a }是各项均为正数的等比数列，若 a ﹣a ＝5，则 a +8a 的最小值为
n 3 2 4 2
（ ）
A．40 B．20 C．10 D．5
【解答】解：根据题意，设等比数列{a }的公比为q，
n
5
若a ﹣a ＝5，则a q﹣a ＝5，即a （q﹣1）＝5，变形可得a = ，
3 2 2 2 2 2
q−1
5 5
a +8a ＝a （q2+8）= ×（q2+8）= ×[（q﹣1）2+2（q﹣1）+9]＝5×[（q﹣1）
4 2 2
q−1 q−1
9 √ 9
+ +2]≥5（2× (q−1)× +2）＝5×8＝40，
q−1 q−1
当且仅当q﹣1＝3时等号成立，即a +8a 的最小值为40；
4 2
故选：A．
5．已知正项等比数列{a }的前n项和S ，满足S ﹣2S ＝3，则S ﹣S 的最小值为（ ）
n n 4 2 6 4
1
A． B．3 C．4 D．12
4
【解答】解：根据题意，设该等比数列的首项为a ，公比为q，
1
若S ﹣2S ＝3，则有S ﹣2S ＝a +a +a +a ﹣2（a +a ）＝（a +a ）﹣（a +a ）＝（q2﹣
4 2 4 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2
1）（a +a ）＝3，
1 2
又由数列{a }为正项的等比数列，则q＞1，
n
3
则（a +a ）= ，
1 2 q2−1
3 1
则 S ﹣S ＝（a +a ）＝q4×（a +a ）= ×q4＝3[（q2﹣1）+ + 2]≥6+3×2
6 4 5 6 1 2 q2−1 q2−1
√ 1 12，
× (q2−1)× =
q2−1当且仅当q2＝2时等号成立；
即S ﹣S 的最小值为12；
6 4
故选：D．
1 1
6．数列{a }满足a = ，a =1− ，那么a ＝（ ）
n 1 2 n+1 a 2018
n
1
A．﹣1 B． C．1 D．2
2
1 1
【解答】解：∵a = ，a =1− ，
1 2 n+1 a
n
1 1
∴a ＝1﹣2＝﹣1，a ＝1+1＝2，a ＝1− = ，
2 3 4
2 2
故数列{a }是周期数列，周期是3，
n
则a ＝a ＝a ＝﹣1，
2018 3×672+2 2
故选：A．
7．已知数列{a n }的首项为1，第2项为3，前n项和为S n ，当整数n＞1时，S n+1 +S n﹣1 ＝2
（S +S ）恒成立，则S 等于（ ）
n 1 15
A．210 B．211 C．224 D．225
【解答】解：结合S n+1 +S n﹣1 ＝2（S n +S 1 ）可知，S n+1 +S n﹣1 ﹣2S n ＝2a 1 ，
得到a
n+1
﹣a
n
＝2a
1
＝2，所以a
n
＝1+2⋅（n﹣1）＝2n﹣1，所以a
15
＝29，
(a +a )15 (29+1)⋅15
所以S = 1 15 = =225，
15 2 2
故选：D．
8．已知数列{a
n
}和{b
n
}首项均为1，且a
n﹣1
≥a
n
（n≥2），a
n+1
≥a
n
，数列{b
n
}的前n项和
为S ，且满足2S S +a b ＝0，则S ＝（ ）
n n n+1 n n+1 2019
1 1
A．2019 B． C．4037 D．
2019 4037
【解答】解：∵a
n﹣1
≥a
n
（n≥2），a
n+1
≥a
n
，
∴a ≥a ≥a ，
n n+1 n
∴a ＝a ，
n n+1
另外：a ≥a ≥a ，可得a ＝a ＝1，
1 2 1 2 1
∴a ＝1．
n
∵2S S +a b ＝0，
n n+1 n n+1
∴2S S +b ＝0，∴2S S +S ﹣S ＝0，
n n+1 n+1 n n+1 n+1 n1 1
∴ − = 2．
S S
n+1 n
1
∴数列{ }是等差数列，首项为1，公差为2．
S
n
1
∴ = 1+2（n﹣1）＝2n﹣1，
S
n
1
∴S = ．
n
2n−1
1
∴S = ．
2019
4037
故选：D．
3
9．已知数列{a }的通项公式为a ＝3n，记数列{a }的前n项和为S ，若 n N*使得（S +
n n n n n
2
∃ ∈
2
）k≥3n﹣6成立，则实数 k的取值范围是 [− ，+∞) ．
3
【解答】解：∵数列{a }的通项公式为a ＝3n，
n n
∴数列{a }是等比数列，公比为3，首项为3．
n
3(3n−1) 3n+1 3
∴S = = − ，
n
3−1 2 2
3 2n−4
∴（S + ）k≥3n﹣6化为：k≥ ，
n 2 3n
3 2n−4
∵ n N*使得（S + ）k≥3n﹣6成立，∴k≥( ) ．
n 2 3n min
∃ ∈
2n−4 2n−2 2n−4 10−4n
令b = ，则b ﹣b = − = ，
n 3n n+1 n 3n+1 3n 3n+1
n≤2时，b ≥b ；n≥3时，b ＜b ．
n+1 n n+1 n
∴b ＜b ＝0，b ＞b ＞b ＞…＞0．
1 2 3 4 5
2n−4 2
∴( ) = b =− ．
3n min 1 3
2
∴k≥− ．
3
2
故答案为：[− ，+∞)．
3
1 1 n−2λ
10．已知数列{a }满足a = ，a = a (n∈N∗)．设b = ，n N*，且数列{b }是
n 1 2 n+1 2 n n a n
n
∈3
递增数列，则实数 的取值范围是 （﹣∞， ） ．
2
λ
1
【解答】解：由题设可知数列{a }是首项、公比均为 的等比数列，
n
2
1 n−2λ
∴a = ，b = =（n﹣2 ）•2n，
n 2n n a
n
λ
又∵数列{b }是单调递增数列，
n
∴b ﹣b ＝（n+1﹣2 ）•2n+1﹣（n﹣2 ）•2n＝（n+2﹣2 ）•2n＞0恒成立，
n+1 n
即n+2﹣2 ＞0恒成立λ， λ λ
∴2 ＜（nλ+2）
min
＝3，
λ 3
∴ ＜ ，
2
λ
3
故答案为：（﹣∞， ）．
2
11．已知{a }是首项为32的等比数列，S 是其前n项和，且S 65，则数列{|log a |}前10
n n 6= 2 n
S 64
3
项和为 5 8 ．
【解答】解：∵{a }是首项为32的等比数列，S 是其前n项和，且 S 65，
n n 6=
S 64
3
32(1−q6
)
∴ 1−q 65，
=
32(1−q3 ) 64
1−q
65
∴1+q3= ，
64
1
∴q= ，
4
1
∴a ＝32•（ ）n﹣1＝27﹣2n，
n
4
∴|log a |＝|7﹣2n|，
2 n
∴数列{|log a |}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13＝58，
2 n
故答案是：58．1
12．已知数列{a }满足2a +22a +23a +…+2na ＝n（n N*），若b = ，则
n 1 2 3 n n log a ⋅log a
2 n 2 n+1
∈
n
数列{b }的前n项和S ＝ ．
n n n+1
【解答】解：因为2a +22a +23a +…+2na ＝n（n N*），
1 2 3 n
所以2a
1
+22a
2
+23a
3
+…+2n﹣1a
n﹣1
＝n﹣1（n≥2），∈
两式相减得2na ＝1（n≥2），
n
1
当n＝1时也满足，故a = ，
n 2n
1 1 1 1
b = = = − ，
n log a ⋅log a n(n+1) n n+1
2 n 2 n+1
1 1 1 1 1 1 n
故S ＝1− + − +⋯+ − =1− = ．
n 2 2 3 n n+1 n+1 n+1
n
故答案为： ．
n+1
课后作业 . 等比数列
1．记S 为等比数列{a }的前n项和．若a ﹣a ＝12，a ﹣a ＝24，则S （ ）
n n 5 3 6 4 n=
a
n
A．2n﹣1 B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1 D．21﹣n﹣1
【解答】解：设等比数列的公比为q，
∵a ﹣a ＝12，
5 3
∴a ﹣a ＝q（a ﹣a ），
6 4 5 3
∴q＝2，
∴a q4﹣a q2＝12，
1 1
∴12a ＝12，
1
∴a ＝1，
1
1−2n
∴S = =2n﹣1，a ＝2n﹣1，
n n
1−2
∴S 2n−1 2﹣21﹣n，
n= =
a 2n−1
n
故选：B．1
2．已知{a }是首项为1的等比数列，S 是{a }的前n项的和，且9S ＝S ，则数列{ }的前
n n n 3 6 a
n
5项的和为（ ）
15 31 31 15
A． 或5 B． C． 或5 D．
8 16 16 8
【解答】解：设等比数列{a }的公比是q，且首项为1，
n
若q＝1时，9S ＝27、S ＝6，则不满足9S ＝S ，所以q＝1不成立；
3 6 3 6
1−q3 1−q6
若q≠1，由9S ＝S 得，9× = ，
3 6
1−q 1−q
化简得，q6﹣9q3+8＝0，解得q3＝8或q3＝1，
所以q＝2或q＝1（舍去），
1 1
则a ＝2n﹣1，所以 = ，
n a 2n−1
n
1
1−
1 1 1 1 1 25 1 31
则数列{ }的前5项的和S＝1+ + + + = =2（1− ）= ，
a 2 4 8 16 1 25 16
n 1−
2
故选：B．
3．已知等比数列{a }的前n项和为S ，且 S 3，则 2a 1 ．
n n 6 = 6 =
3S 8 a +a 3
3 5 4
【解答】解：∵等比数列{a }中， S 3，
n 6 =
3S 8
3
显然q≠1，
∴a (1−q6 ) 9 ，
1 = a (1−q3 )
1−q 8 1
9
1+q3= ，
8
1
∴q= ，
2
1
2a 2a q5 2q2 2 1
则 6 = 1 = = = ．
a +a a (q4+q3 ) 1+q 3 3
5 4 1
21
故答案为：
3
故选：A
4．已知等比数列{a }满足a +a ＝10，a +a ＝5，则a a …a 的最大值为（ ）
n 1 3 2 4 1 2 n
A．32 B．64 C．128 D．256
【解答】解：设等比数列{a }的公比为q，∵a +a ＝10，a +a ＝5，
n 1 3 2 4
1
∴q（a +a ）＝10q＝5，解得q= ，a ＝8．
1 3 1
2
1
∴a =8×( ) n−1=24﹣n．
n
2
则a a …a ＝23+2+…+（4﹣n） −(n− 7 )2+ 49 ，
1 2 n n(3+4−n) 2 4
=2 2 =2 2
当且仅当n＝3或4时，取得最大值为26＝64．
故选：B．
nπ
5．若数列{a }满足a ＝（2|sin |﹣1）a +2n，则a +a +…+a ＝（ ）
n n+1 n 1 2 8
2
A．136 B．120 C．68 D．40
nπ
【解答】解：∵a ＝（2|sin |﹣1）a +2n，
n+1 n
2
∴a ＝a +2，
2 1
a ＝﹣a +4＝﹣a +2，
3 2 1
a ＝a +6＝﹣a +8，
4 3 1
a ＝﹣a +8＝a ，
5 4 1
a ＝a +10＝a +10，
6 5 1
a ＝﹣a +12＝﹣a +2，
7 6 1
a ＝a +14＝﹣a +16，
8 7 1
故a +a +…+a ＝40，
1 2 8
故选：D．
6．已知数列{a }满足a ＝﹣2，a ＝3a +6．
n 1 n+1 n
（1）证明：数列{a +3}是等比数列；
n
（2）若数列{a }的前n项和为S ，求数列{a }的通项公式以及前n项和S ．
n n n n
【解答】解：（1）由题可得a +3＝3（a +3），
n+1 n即a +3 ，
n+1 =3
a +3
n
又a +3＝1，
1
∴数列{a +3}是首项为1，公比为3的等比数列．
n
（2）由（1）可知， ，∴ ，
a +3=1⋅3n−1 a =3n−1−3
n n
1 1
∴S = ⋅3n−3n− ．
n 2 2
