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专题十 《数列》讲义
10.3 数列求通项
知识梳理 . 数列求通项
1.利用 与 的关系求通项公式；
2.累加法：若已知 且 的形式；
3.累乘法：若已知 且 的形式；
a =pa+q
4.构造法：若已知 且 的形式 n+1 n
a =pa+f (n) a =pa +qa
n+1 n n+2 n+1 n（其中p，q均为常数）；
题型一 . 利用 Sn 与 an 的关系
考点 1 . 已知 Sn 与 an 的关系求 an
2 1
1．已知数列{a }为等差数列，且a ＝5，a ＝9，数列{b }的前n项和S = b + ．
n 3 5 n n n
3 3
（Ⅰ）求数列{a }和{b }的通项公式；
n n
2．已知数列{a }的前n项和S 满足 ．
n n 2S =3(a −1)(n∈N∗)
n n
（1）求数列{a }的通项公式；
n
3．记S 为数列{a }的前n项和，已知a ＜0，a 2﹣3a ＝4﹣6S ．
n n n n n n
（1）求数列{a }的通项公式；
n考点 2 . 带省略号
1．设数列{a }满足 ．
n a +3a +⋯+(2n−1)a =2n(n∈N∗)
1 2 n
（Ⅰ）求a ，a 及{a }的通项公式；
1 2 n
1 1 1
2．已知数列{a }，a ＝2n+1，则 + +⋯+ =（ ）
n n a −a a −a a −a
2 1 3 2 n+1 n
1 1
A．1+ B．1﹣2n C．1− D．1+2n
2n 2n
题型二 . 累加法
1．已知数列{a }满足a ＝1，a ＝a +n+1．
n 1 n+1 n
（1）求{a }的通项公式；
n
2．设数列{a }满足a ＝2，a ﹣a ＝3•22n﹣1，则数列{a }的通项公式是a ＝ ．
n 1 n+1 n n n
1
3．在数列{a 中，a =2，a =a +ln(1+ )，则数列{a }的通项a ＝ ．
n} 1 n+1 n n n n
题型三 . 累乘法
1．在数列{a }中，已知（n2+n）a ＝（n2+2n+1）a ，n N ，且a ＝1，求a 的表达
n n+1 n + 1 n
式． ∈
3n−1
2．已知数列{a }满足a ＝3，a = a （n≥1），求a 的通项公式．
n 1 n+1 3n+2 n n
3．已知正项数列{a }的首项a ＝1，且2na 2+（n﹣1）a a ﹣（n+1）a 2＝0（n N*），
n 1 n+1 n n+1 n
则{a }的通项公式为a ＝ ． ∈
n n
题型四 . 构造法
1．已知数列{a }的前n项和为S ，满足a ＝2a +1，且a +2a ＝a ．
n n n+1 n 1 2 3
（1）求数列{a }的通项公式；
n2．已知数列{a
n
}满足a
n
＝3a
n﹣1
+3n（n≥2，n N*），首项a
1
＝3．
（1）求数列{a n }的通项公式； ∈
3．已知数列{a }满足 1， a ，则a ＝（ ）
n a = a = n 2021
1 2 n+1 a +1
n
1 1 1 1
A． B． C． D．
2019 2020 2021 2022
