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专题十 《数列》讲义
10.3 数列求通项
知识梳理 . 数列求通项
1.利用 与 的关系求通项公式；
2.累加法：若已知 且 的形式；
3.累乘法：若已知 且 的形式；
a =pa+q
4.构造法：若已知 且 的形式 n+1 n
a =pa+f (n) a =pa +qa
n+1 n n+2 n+1 n（其中p，q均为常数）；
题型一 . 利用 Sn 与 an 的关系
考点 1 . 已知 Sn 与 an 的关系求 an
2 1
1．已知数列{a }为等差数列，且a ＝5，a ＝9，数列{b }的前n项和S = b + ．
n 3 5 n n n
3 3
（Ⅰ）求数列{a }和{b }的通项公式；
n n
1
【解答】解：（Ⅰ）数列{a }为等差数列，∴d= （a ﹣a ）＝2，
n 5 3
2
又∵a ＝5，
3
∴a ＝1，
1
∴a ＝2n﹣1，
n
2 1
当n＝1时，S = b + ，
1 1
3 3
∴b ＝1，
1
2 2
当n≥2时，b n ＝S n ﹣S n﹣1 = b n − b n﹣1 ，
3 3
∴b
n
＝﹣2b
n﹣1
，
即数列{b }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，
n
∴b ＝（﹣2）n﹣1，
n
2．已知数列{a }的前n项和S 满足 ．
n n 2S =3(a −1)(n∈N∗)
n n
（1）求数列{a }的通项公式；
n【解答】解：（1）当n＝1时，2S ＝3（a ﹣1）＝2a ，得a ＝3，
1 1 1 1
当n≥2时，2S
n
＝3（a
n
﹣1），2S
n﹣1
＝3（a
n﹣1
﹣1），
两式作差可得2 a n ＝3a n ﹣3a n﹣1 ，即a n ＝3a n﹣1 ，
所以数列{a }是以3为首项，3为公比的等比数列，
n
所以a ＝3n；
n
3．记S 为数列{a }的前n项和，已知a ＜0，a 2﹣3a ＝4﹣6S ．
n n n n n n
（1）求数列{a }的通项公式；
n
【解答】解：（1）当n＝1时， ，
a 2−3a =4−6S
1 1 1
所以a ＝﹣4或a ＝1（舍）当n≥2时，因为 ，
1 1 a 2−3a =4−6S
n n n
所以 ，
a 2−3a =4−6S
n−1 n−1 n−1
两式相减得（a n +a n﹣1 ）（a n ﹣a n﹣1 +3）＝0，
因为a
n
＜0，所以a
n
﹣a
n﹣1
＝﹣3，
所以数列{a }是以﹣4为首项﹣3为公差的等差数列，
n
所以a
n
＝﹣4+（n﹣1）⋅（﹣3）＝﹣3n﹣1．
考点 2 . 带省略号
1．设数列{a }满足 ．
n a +3a +⋯+(2n−1)a =2n(n∈N∗)
1 2 n
（Ⅰ）求a ，a 及{a }的通项公式；
1 2 n
【解答】解：（Ⅰ）∵a +3a +…+（2n﹣1）a ＝2n，
1 2 n
当n＝1时，a ＝2，
1
当n＝2时，a +3a ＝4，
1 2
2
∴a = ，
2
3
∵a +3a +…+（2n﹣1）a ＝2n，①，
1 2 n
∴n≥2时，a 1 +3a 2 +…+（2n﹣3）a n﹣1 ＝2（n﹣1），②
①﹣②得：（2n﹣1）•a ＝2，
n
2
∴a = ，
n
2n−1又n＝1时，a ＝2满足上式，
1
2
∴a = ；
n 2n−1
1 1 1
2．已知数列{a }，a ＝2n+1，则 + +⋯+ =（ ）
n n a −a a −a a −a
2 1 3 2 n+1 n
1 1
A．1+ B．1﹣2n C．1− D．1+2n
2n 2n
【解答】解：a ﹣a ＝2n+1+1﹣（2n+1）＝2n
n+1 n
1 1
∴ =
a −a 2n
n+1 n
1 1 1 1 1 1 1
∴ + +⋯+ = + +⋯+ =1−
a −a a −a a −a 2 22 2n 2n
2 1 3 2 n+1 n
故选：C．
题型二 . 累加法
1．已知数列{a }满足a ＝1，a ＝a +n+1．
n 1 n+1 n
（1）求{a }的通项公式；
n
【解答】解：（1）由a ＝1，a ＝a +n+1，
1 n+1 n
可得n≥2时，a
n
﹣a
n﹣1
＝n，
可得a
n
＝a
1
+（a
2
﹣a
1
）+（a
3
﹣a
2
）+...+（a
n
﹣a
n﹣1
）
1
＝1+2+3+...+n= n（n+1），
2
1
即a = n（n+1），n N*；
n
2
∈
2．设数列{a }满足a ＝2，a ﹣a ＝3•22n﹣1，则数列{a }的通项公式是a ＝ 2 2 n ﹣ 1 ．
n 1 n+1 n n n
【解答】解：∵a ＝2，a ﹣a ＝3•22n﹣1，
1 n+1 n
∴n≥2时，a
n
＝a
1
+（a
2
﹣a
1
）+（a
3
﹣a
2
）+…+（a
n
﹣a
n﹣1
）
＝2+3•2+3•23+…+3•22n﹣3
2(1−4n−1
)
＝2+3⋅ =22n﹣1；
1−4
当n＝1时a ＝2适合上式．
1
∴ ．
a =22n−1
n
故答案为：22n﹣1．1
3．在数列{a 中，a =2，a =a +ln(1+ )，则数列{a }的通项a ＝ ．
n} 1 n+1 n n n n
【解答】解：a ＝2＝2+ln1，
1
a ＝2+ln2，
2
1 1
a =2+ln2+ln(1+ )=2+ln[2×（1+ ）]＝2+ln3，
3 2 2
1
a =2+ln3+ln(1+ )=2+ln4．
4 3
由此可知a ＝2+lnn．
n
故选：D．
题型三 . 累乘法
1．在数列{a }中，已知（n2+n）a ＝（n2+2n+1）a ，n N ，且a ＝1，求a 的表达
n n+1 n + 1 n
式． ∈
a a
【解答】解：由题意， n+1 = n
n+1 n
∵a ＝1，
1
a
∴{ n}是以1为首项，0为公差的等差数列，
n
a
∴ n=1，
n
∴a ＝n．
n
3n−1
2．已知数列{a }满足a ＝3，a = a （n≥1），求a 的通项公式．
n 1 n+1 3n+2 n n
3n−1
【解答】解：∵数列{a }满足a ＝3，a = a （n≥1），
n 1 n+1 3n+2 n
∴ a 3n−4（n≥2），
n =
a 3n−1
n−1
∴a a a •…•a •a
n= n ⋅ n−1 3 2 ⋅a
a a a a 1
n−1 n−2 2 1
3n−4 3n−7 5 2
= • •…• • •3
3n−1 3n−4 8 5
6
= ，当n＝1时也成立．
3n−16
∴a = ．
n
3n−1
3．已知正项数列{a }的首项a ＝1，且2na 2+（n﹣1）a a ﹣（n+1）a 2＝0（n N*），
n 1 n+1 n n+1 n
∈
1
则{a }的通项公式为a ＝ ( ) n−1 ⋅n ．
n n
2
【解答】解：∵2na 2+（n﹣1）a a ﹣（n+1）a 2＝0，
n+1 n n+1 n
∴（2na ﹣（n+1）a ）•（a +a ）＝0，
n+1 n n+1 n
∵数列{a }为正项数列，
n
∴a +a ≠0，
n+1 n
∴2na ﹣（n+1）a ＝0，
n+1 n
∴a n+1，
n+1=
a 2n
n
∴a 2，
2=
a 2
1
a 3，
3=
a 4
2
a 4，
4=
a 6
3
…
a n ，
n =
a 2(n−1)
n−1
两边累乘得，
a 2 3 4 n n• 1
n= × × ×⋯× = ( ) n−1
a 2 4 6 2(n−1) 2
1
1
∴a =( ) n−1 ⋅n，
n
2
1
故答案为：( ) n−1 ⋅n，
2
题型四 . 构造法1．已知数列{a }的前n项和为S ，满足a ＝2a +1，且a +2a ＝a ．
n n n+1 n 1 2 3
（1）求数列{a }的通项公式；
n
【解答】解：（1）数列{a }的前n项和为S ，满足a ＝2a +1，
n n n+1 n
整理得：a +1＝2（a +1），
n+1 n
由a +2a ＝a ＝2a +1，解得a ＝1，
1 2 3 2 1
故数列{a +1}是以a +1＝2为首项，2为公比的等比数列；
n 1
所以 ．
a =2n−1
n
2．已知数列{a
n
}满足a
n
＝3a
n﹣1
+3n（n≥2，n N*），首项a
1
＝3．
（1）求数列{a n }的通项公式； ∈
【解答】解：（1）数列{a }满足 （n≥2，n N*），
n a =3a +3n
n n−1
∈
∴ ，
a −3a =3n
n n−1
又∵3n≠0，
∴a a 为常数，
n− n−1=1
3n 3n−1
∴数列 a 是首项为a 、公差为1的等差数列，
{ n } 1=1
3n 3
∴a n，∴ （n N*）；
n= a =n⋅3n
3n n
∈
3．已知数列{a }满足 1， a ，则a ＝（ ）
n a = a = n 2021
1 2 n+1 a +1
n
1 1 1 1
A． B． C． D．
2019 2020 2021 2022
【解答】解：因为 a ，
a = n
n+1 a +1
n
1 1
则 − =1，
a a
n+1 n
1 1
又a = ，则 =2，
1 2 a
11
所以数列{ }是首项为2，公差为1的等差数列，
a
n
1
则 =n+1，
a
n
1
所以a = ，
n n+1
1 1
则a = = ．
2021 2021+1 2022
故选：D．
