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专题十 《数列》讲义
10.4 数列求和
知识梳理 . 数列求和
1．公式法
(1)等差数列{a}的前n项和S＝＝na＋.
n n 1
推导方法：倒序相加法．
(2)等比数列{a}的前n项和S＝
n n
推导方法：乘公比，错位相减法．
(3)一些常见的数列的前n项和：
①1＋2＋3＋…＋n＝；
②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
2．几种数列求和的常用方法
(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成
的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，
从而求得前n项和．
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积
构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列{a}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一
n
个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
题型一 . 裂项相消
1 99
1．数列{a }的通项公式 a = ，已知它的前 n项和S = ，则项数 n＝（
n n n(n+1) n 100
）
A．98 B．99 C．100 D．1012．已知等差数列{a }满足a ＝10，a +a ＝17．
n 3 1 4
（1）求{a }的通项公式；
n
3
（2）设b = ，求数列{b }的前n项和S ．
n a a n n
n n+1
3．已知数列{a }的前n项和为S ，若4S ＝（2n﹣1）a +1，且a ＝1．
n n n n+1 1
（1）求数列{a }的通项公式；
n
1
（2）设c = ，数列{c }的前n项和为T ，求T ．
n a (a +2) n n n
n n题型二 . 错位相减
1．已知等差数列{a }公差不为零，且满足：a ＝2，a ，a ，a 成等比数列．
n 1 1 2 5
（Ⅰ）求数列{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）设 ，求数列{b }的前n项和．
b =3na n
n n
2．已知等差数列{a }的前n项和为S ，S ＝30，S ＝56；各项均为正数的等比数列{b }满
n n 5 7 n
1 1
足b b = ，b b = ．
1 2 2 3
3 27
（1）求数列{a }和{b }的通项公式；
n n
（2）求数列{a •b }的前n项和T ．
n n n
3．（2015·山东）设数列{a }的前n项和为S ，已知2S ＝3n+3．
n n n
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）若数列{b }，满足a b ＝log a ，求{b }的前n项和T ．
n n n 3 n n n题型三 . 分组求和
1．已知数列{a }是公差不为零的等差数列，a ＝2，且a ，a ，a 成等比数列．
n 1 1 2 4
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）设b
n
＝a
n
﹣2a n，求数列{b
n
}的前n项和S
n
．
2．在公差不为0的等差数列{a }中，a ，a ，a 成公比为a 的等比数列，又数列{b }满足
n 1 3 9 3 n
{2a n，n=2k−1，（k N*）．
b =
n 2n，n=2k，
∈
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）求数列{b }的前2n项和T ．
n 2n
3．已知数列{a }、{b }满足：a ＝a +b ，{b +2}为等比数列，且b ＝2，a ＝4，a ＝10．
n n n+1 n n n 1 2 3
（1）试判断数列{b }是否为等差数列，并说明理由；
n
（2）求数列{a }的前n项和S ．
n n题型四 . 讨论奇偶、绝对值求和
1．数列{a }的前n项和记为S ，对任意的正整数n，均有4S ＝（a +1）2，且a ＞
n n n n n
0．
（1）求a 及{a }的通项公式；
1 n
4n
（2）令b =(−1) n−1 ，求数列{b }的前n项和T ．
n a a n n
n n+1
2．已知等差数列{a }前n项和为S ，a ＝9，S ＝25．
n n 5 5
（1）求数列{a }的通项公式及前n项和S ；
n n
（2）设 ，求{b }前2n项和T ．
b =(−1) nS n 2n
n n
3．已知数列{a }满足a ＝﹣2，a ＝2a +4．
n 1 n+1 n
（1）求a ，a ，a ；
2 3 4
（2）猜想{a }的通项公式并加以证明；
n
（3）求数列{|a |}的前n项和S ．
n n
题型五 . 数列求和选填综合1．首项为正数的等差数列{a }中，a 7，当其前 n 项和 S 取最大值时，n 的值为
n 3= n
a 5
4
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．在等比数列{a
n
}中，a
2
•a
3
＝2a
1
，且a
4
与2a
7
的等差中项为 17，设b
n
＝a
2n﹣1
﹣a
2n
，
n N*，则数列{b }的前2n项和为 ．
n
3．已∈知数列{a n }的前n项和为S n ，a 1 ＝1，a 2 ＝2且对于任意n＞1，n N*满足S n+1 +S n﹣1 ＝2
（S +1），则（ ） ∈
n
A．a ＝7 B．S ＝240 C．a ＝19 D．S ＝381
4 16 10 20
4 ． 已 知 数 列 {a } 是 首 项 为 1 ， 公 差 为 2 的 等 差 数 列 ， 数 列 {b } 满 足 关 系
n n
a a a a 1 ，数列{b }的前n项和为S ，则S 的值为（ ）
1+ 2+ 3+⋯+ n= −1 n n 5
b b b b 2n
1 2 3 n
A．﹣454 B．﹣450 C．﹣446 D．﹣442
5 ． 已 知 数 列 {a n } 满 足 a = 3， a = 3a n ， 若 c = 3n， 则 c 1 +c 2 +⋅ ⋅ ⋅ +c n ＝
1 2 n+1 a +3 n a
n n
．
6．已知数列{a }的前n项和为S ，a ＝2，S ＝ a ﹣2，其中 为常数，若a b ＝13﹣n，则
n n 1 n n n n
数列{b }中的项的最小值为 λ ． λ
n
7．已知数列{a
n
}和{b
n
}首项均为1，且a
n﹣1
≥a
n
（n≥2），a
n+1
≥a
n
，数列{b
n
}的前n项和
为S ，且满足2S S +a b ＝0，则S ＝（ ）
n n n+1 n n+1 2019
1 1
A．2019 B． C．4037 D．
2019 4037
8．已知数列{a n }满足：a 1 ＝1，a 2= 1， b 1+ b 2 +⋅⋅⋅+ b n= b n+1+6 （n≥2且n N + ），
3 a a❑ a a
1 2 n n−1
∈
{1
，n为奇数，
等比数列{b n }公比 q＝2，令 c n= a 则数列{c n }的前 n 项和 S 2n ＝
n
b ，n为偶数，
n
．1 n−λ
9．已知数列{a }满足2a a +a +3a +2＝0，其中a =− ，设b = ，若b 为数列
n n n+1 n n+1 1 2 n a +1 3
n
{b }中唯一最小项，则实数 的取值范围是
n
λ
课后作业 . 数列求和
1．已知各项均不相等的等差数列{a }的前四项和S ＝14，且a ，a ，a 成等比．
n 4 1 3 7
（1）求数列{a }的通项公式；
n
1
（2）设T 为数列{ }的前n项和，若 T ≤a 对一切n N*恒成立，求实数 的最
n a a n n+1
n n+1
λ ∈ λ
大值．
2．设等差数列{a }的前n项和为S ，a ＝6，a ＝14．
n n 3 7
（1）求数列{a }的通项公式及S ；
n n
（2）若_____，求数列{b }的前n项和T ．
n n
在①b
n
＝2
a
•a
n
；②b
n=
a2
n
+a
n+1
2 ；③b
n
＝（﹣1）n•a
n
这三个条件中任选一个补充
❑ n
S
n
在第（2）问中，并对其求解．a (a +1)
3．已知数列{a }的各项均为正数，前n项和为S ，且S = n n （n N*）．
n n n
2
∈
（1）求数列{a }的通项公式；
n
2S
（2）设b n= n ，T n ＝b 1 +b 2 +…+b n ，求T n ．
(−2) n (n+1)
4．在数列{a
n
}中，a
1=
1，对任意的n N*，都有 1
=
na
n
+1成立．
2 (n+1)a na
n+1 n
∈
（Ⅰ）求数列{a }的通项公式；
n
15
（Ⅱ）求数列{a }的前n项和S ；并求满足S＜ 时n的最大值．
n n n
16
