文档内容
专题十 《数列》讲义
10.2 等比数列
知识梳理 . 等比数列
1．等比数列的有关概念
(1)定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这
个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示，定义的表达
式为＝q(q≠0，n∈N*)．
(2)等比中项
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中
项⇔G2＝ab．
“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：a＝aqn－1．
n 1
(2)前n项和公式：S＝
n
3．等比数列的性质
已知数列{a}是等比数列，S 是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)
n n
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则a ·a＝a·a＝a．
m n p q
(2)数列a ，a ，a ，a ，…仍是等比数列．
m m＋k m＋2k m＋3k
(3)数列S ，S －S ，S －S ，…仍是等比数列(此时{a}的公比q≠－1)．
m 2m m 3m 2m n
常用结论
4．记住等比数列的几个常用结论
(1)若{a}，{b}(项数相同)是等比数列，则{λa}(λ≠0)，，{a}，{a·b}，仍是等比数列．
n n n n n
(2)在等比数列{a}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a ，a ，a ，a
n n n＋k n＋2k n
，…为等比数列，公比为qk.
＋3k
(3)S，S －S，S －S ，…也成等比数列。
n 2n n 3n 2n
题型一 . 等比数列的基本量
1．（2013•北京）若等比数列{a }满足a +a ＝20，a +a ＝40，则公比q＝ ；前
n 2 4 3 5
n项和S ＝ ．
n
2．（2010•辽宁）设S 为等比数列{a }的前n项和，已知3S ＝a ﹣2，3S ＝a ﹣2，则公比
n n 3 4 2 3
q＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．67 63
3．（2017•江苏）等比数列{a }的各项均为实数，其前n项和为S ，已知S = ，S = ，
n n 3 6
4 4
则a ＝ ．
8
题型二 . 等比数列的性质
1．已知正项等比数列{a }中，a a ，若a +a +a ＝7，则a ＝（ ）
n 3= 4 1 2 3 8
a
2
A．32 B．48 C．64 D．128
2．已知各项均为正数的等比数列{a }的前n项和为S ，a ＜a ，n N*，a •a ＝9，a +a
n n n n+1 4 14 8 10
＝10，则数列{a }的公比为（ ） ∈
n
1 1
A． B． C．2 D．3
2 3
3．（2014•广东）若等比数列{a }的各项均为正数，且a a +a a ＝2e5，则lna +lna +…
n 10 11 9 12 1 2
+lna ＝ ．
20
题型三 . 等比数列的前 n 项经典结论
1．各项均为正数的等比数列{a }的前n项和为S ，若S ＝2，S ＝14，则S 等于（
n n 10 30 40
）
A．80 B．30 C．26 D．16
2．设等比数列{a }的前n项和为S ，若S 1，则S （ ）
n n 6= 9=
S 2 S
3 3
1 2 3 1
A． B． C． D．
2 3 4 3
3．在等比数列{a }中，已知 n N+，且 a +a +…+a ＝2n﹣1，那么 a 2+a 2+…+a 2为
n 1 2 n 1 2 n
（ ） ∈
2 2 1 1
A． (4n+1) B． (4n−1) C． (4n−1) D． (4n+1)
3 3 3 3
题型四 . 证明等比数列
1．已知数列{a }，S 是其前n项和，并且S ＝4a +2（n＝1，2，…），a ＝1．
n n n+1 n 1
（1）设数列b ＝a ﹣2a （n＝1，2，…）求证：数列{b }是等比数列；
n n+1 n n（2）设数列cn a （n＝1，2，…）求证：数列{c }是等差数列；
= n n
2n
（3）求数列{a }的通项公式及前n项和．
n
n+2
2．数列{a }的前n项和为S ，已知a =1，a = S (n=1，2，3，⋯)．
n n 1 n+1 n n
（1）试写出a ，S ，a ；
2 2 3
S
（2）设b = n，求证：数列{b }是等比数列；
n n n
（3）求出数列{a }的前n项和为S 及数列{a }的通项公式．
n n n题型五 . 等差、等比综合
1．等差数列{a }的首项为1，公差不为0．若a ，a ，a 成等比数列，则{a }前6项
n 2 3 6 n
的和为（ ）
A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8
2．设等差数列{a }的首项为a ，公差为d，前n项和为S ，且S •S ＝﹣15，则d的取值范
n 1 n 5 6
围是 ，若a ＝﹣7，则d的值为 ．
1
3．设S 为等差数列{a }的前n项和，若a ＝5，S ＝﹣55，则nS 的最小值为 ．
n n 7 5 n
4．已知数列{a }是各项均为正数的等比数列，若 a ﹣a ＝5，则 a +8a 的最小值为
n 3 2 4 2
（ ）
A．40 B．20 C．10 D．5
5．已知正项等比数列{a }的前n项和S ，满足S ﹣2S ＝3，则S ﹣S 的最小值为（ ）
n n 4 2 6 4
1
A． B．3 C．4 D．12
4
1 1
6．数列{a }满足a = ，a =1− ，那么a ＝（ ）
n 1 2 n+1 a 2018
n
1
A．﹣1 B． C．1 D．2
2
7．已知数列{a n }的首项为1，第2项为3，前n项和为S n ，当整数n＞1时，S n+1 +S n﹣1 ＝2
（S +S ）恒成立，则S 等于（ ）
n 1 15
A．210 B．211 C．224 D．225
8．已知数列{a
n
}和{b
n
}首项均为1，且a
n﹣1
≥a
n
（n≥2），a
n+1
≥a
n
，数列{b
n
}的前n项和
为S ，且满足2S S +a b ＝0，则S ＝（ ）
n n n+1 n n+1 2019
1 1
A．2019 B． C．4037 D．
2019 4037
3
9．已知数列{a }的通项公式为a ＝3n，记数列{a }的前n项和为S ，若 n N*使得（S +
n n n n n
2
∃ ∈
）k≥3n﹣6成立，则实数 k的取值范围是 ．
1 1 n−2λ
10．已知数列{a }满足a = ，a = a (n∈N∗)．设b = ，n N*，且数列{b }是
n 1 2 n+1 2 n n a n
n
∈
递增数列，则实数 的取值范围是 ．
λ
11．已知{a }是首项为32的等比数列，S 是其前n项和，且S 65，则数列{|log a |}前10
n n 6= 2 n
S 64
3
项和为 ．1
12．已知数列{a }满足2a +22a +23a +…+2na ＝n（n N*），若b = ，则
n 1 2 3 n n log a ⋅log a
2 n 2 n+1
∈
数列{b }的前n项和S ＝
n n
课后作业 . 等比数列
1．记S 为等比数列{a }的前n项和．若a ﹣a ＝12，a ﹣a ＝24，则S （ ）
n n 5 3 6 4 n=
a
n
A．2n﹣1 B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1 D．21﹣n﹣1
1
2．已知{a }是首项为1的等比数列，S 是{a }的前n项的和，且9S ＝S ，则数列{ }的前
n n n 3 6 a
n
5项的和为（ ）
15 31 31 15
A． 或5 B． C． 或5 D．
8 16 16 8
3．已知等比数列{a }的前n项和为S ，且 S 3，则 2a ．
n n 6 = 6 =
3S 8 a +a
3 5 4
4．已知等比数列{a }满足a +a ＝10，a +a ＝5，则a a …a 的最大值为（ ）
n 1 3 2 4 1 2 n
A．32 B．64 C．128 D．256
nπ
5．若数列{a }满足a ＝（2|sin |﹣1）a +2n，则a +a +…+a ＝（ ）
n n+1 n 1 2 8
2
A．136 B．120 C．68 D．40
6．已知数列{a }满足a ＝﹣2，a ＝3a +6．
n 1 n+1 n
（1）证明：数列{a +3}是等比数列；
n
（2）若数列{a }的前n项和为S ，求数列{a }的通项公式以及前n项和S ．
n n n n
