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专题十 《数列》讲义
10.1 等差数列
知识梳理 . 等差数列
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那
么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为 a －a ＝
n＋1 n
d(n∈N*，d为常数)．
(2)①通项公式：a＝a＋(n－1)d＝nd＋(a－d) 当d≠0时，a 是关于n的一次函数．
n 1 1 n
②通项公式的推广：a
n
＝a
m
＋(n－m)d(n，m∈N⇒*)．
(3)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中
项．
①若m＋n＝2p，则2a＝a ＋a(m，n，p∈N*)．
p m n
②当m＋n＝p＋q时，a ＋a＝a＋a(m，n，p，q∈N*)．
m n p q
(4)前n项和公式：S ＝ ――→S ＝na ＋d＝n2＋n 当d≠0时，S 是关于n的二次函数，
n n 1 n
且没有常数项． ⇒
2.常用结论：
已知{a}为等差数列，d为公差，S 为该数列的前n项和．
n n
(1)S，S －S，S －S ，…也成等差数列，公差为n2d.
n 2n n 3n 2n
(2)若{a}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{a}首项相同，公差是{a}公差的.
n n n
(3)若项数为偶数2n，则S ＝n(a＋a )＝n(a＋a )；S －S ＝nd；＝.
2n 1 2n n n＋1 偶 奇
若项数为奇数2n－1，则S ＝(2n－1)a；S －S ＝a；＝.
2n－1 n 奇 偶 n
题型一 . 等差数列的基本量
1．已知等差数列{a }满足a +a ＝12，3a ＝a ，则a ＝ 1 1 ．
n 3 4 2 5 6
【解答】解：设等差数列{a }的公差为d，
n
∵a +a ＝12，3a ＝a ，
3 4 2 5
∴2a +5d＝12，3（a +d）＝a +4d，
1 1 1
联立解得a ＝1，d＝2，
1
∴a ＝a +5d＝11
6 1
故答案为：112．（2018•新课标Ⅰ）记S 为等差数列{a }的前n项和．若3S ＝S +S ，a ＝2，则a ＝（
n n 3 2 4 1 5
）
A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12
【解答】解：∵S 为等差数列{a }的前n项和，3S ＝S +S ，a ＝2，
n n 3 2 4 1
3×2 4×3
∴3×(3a + d)=a +a +d+4a + d，
1 2 1 1 1 2
把a ＝2，代入得d＝﹣3
1
∴a ＝2+4×（﹣3）＝﹣10．
5
故选：B．
3．（2017•新课标Ⅰ）记S 为等差数列{a }的前n项和．若a +a ＝24，S ＝48，则{a }的
n n 4 5 6 n
公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解答】解：∵S 为等差数列{a }的前n项和，a +a ＝24，S ＝48，
n n 4 5 6
{a +3d+a +4d=24
1 1
∴ ，
6×5
6a + d=48
1 2
解得a ＝﹣2，d＝4，
1
∴{a }的公差为4．
n
故选：C．
题型二 . 等差数列的基本性质
1．在等差数列{a }中，已知a +a ＝12，则3a +a 等于（ ）
n 5 10 7 9
A．30 B．24 C．18 D．12
【解答】解：∵等差数列{a }中，a +a ＝12，
n 5 10
∴2a +13d＝12，
1
∴3a +a ＝4a +26d＝2（2a +13d）＝24．
7 9 1 1
故选：B．
1
2．在等差数列{a }中，若a +a +a +a +a ＝120，则a − a 的值为（ ）
n 4 6 8 10 12 9 3 11
A．17 B．16 C．15 D．14
【解答】解：由a +a +a +a +a ＝（a +a ）+（a +a ）+a ＝5a ＝120，解得a ＝24．
4 6 8 10 12 4 12 6 10 8 8 81 a +10d 2 14 2 2
a − a =a +8d− 1 = a + d= （a +7d）= a ＝16
9 3 11 1 3 3 1 3 3 1 3 8
故选：B．
3．设等差数列{a }的前n项和为S ，若a ＝10，S ＝36，则公差d为 2 ．
n n 3 4
【解答】解：∵a ＝10，S ＝36，
3 4
4×3
∴a +2d＝10，4a + d＝36，
1 1
2
解得d＝2．
故答案为：2．
题型三 . 等差数列的函数性质
1．下面是关于公差d＞0的等差数列{a }的四个命题：
n
（1）数列{a }是递增数列；
n
（2）数列{na }是递增数列；
n
a
（3）数列{ n }是递减数列；
n
（4）数列{a +3nd}是递增数列．
n
其中的真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：设等差数列的首项为a ，公差d＞0，则a ＝a +（n﹣1）d＝dn+a ﹣d，
1 n 1 1
∴数列{a }是递增数列，故（1）正确；
n
d−a
na =dn2+(a −d)n，当n＜ 1时，数列{na }不是递增数列，故（2）错误；
n 1 2d n
a a −d a
n=d+ 1 ，当a ﹣d≤0时，数列{ n }不是递减数列，故（3）错误；
1
n n n
a +3nd＝4nd+a ﹣d，数列{a +3nd}是递增数列，故（4）正确．
n 1 n
∴真命题个数有2个．
故选：C．
2．已知数列{a }的前n项和S ＝n2（n N*），则{a }的通项公式为（ ）
n n n
A．a n ＝2n ∈ B．a n ＝2n﹣1
{ 1，n=1
C．a ＝3n﹣2 D．a =
n n 2n，n≥2
【解答】解：∵S ＝n2，
n∴当n＝1时，a ＝S ＝1．
1 1
当n≥2时，a
n
＝S
n
﹣S
n﹣1
＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，
而当n＝1时也满足，
∴a ＝2n﹣1．
n
故选：B．
3．在数列{a }中，若a ＝5n﹣16，则此数列前n项和的最小值为（ ）
n n
A．﹣11 B．﹣17 C．﹣18 D．3
1
【解答】解：令a ＝5n﹣16≤0，解得n≤3+ ．
n
5
3×(−11+15−16)
则此数列前n项和的最小值为S = =−18．
3
2
故选：C．
题型四 . 等差数列的前 n 项和经典结论
1．设等差数列{a }的前n项和为S ，若S ＝9，S ＝72，则S ＝（ ）
n n 3 9 6
A．27 B．33 C．36 D．45
【解答】解：∵等差数列{a }的前n项和为S ，若S ＝9，S ＝72，
n n 3 9
∴S
3
，S
6
﹣S
3
，S
9
﹣S
6
成等差数列，故2（S
6
﹣S
3
）＝S
3
+S
9
﹣S
6
，
即 2（S
6
﹣9）＝9+72﹣S
6
，求得S
6
＝33，
故选：B．
S S
2．等差数列{a }中，S 是其前n项和，a =−11， 10− 8=2，则S ＝（ ）
n n 1 10 8 11
A．﹣11 B．11 C．10 D．﹣10
n(n−1)
【解答】解：S =na + d，
n 1 2
S (n−1)
得 n=a + d，
n 1 2
S S
由 10− 8=2，
10 8
10−1 8−1
得a + d−(a + )d=2，d＝2，
1 2 1 2
S (11−1)
11=a + d=−11+5×2=−1，
11 1 2
∴S ＝﹣11，
11故选：A．
3．若两个等差数列{a }和{b }的前n项和分别是S 和T ，已知S n ，则a 等于（
n n n n n = 7
T 2n+1 b
n 7
）
13 21 13 8
A． B． C． D．
21 4 27 27
【解答】解：∵S n ，
n =
T 2n+1
n
13
(a +a )
a 2a 2 1 13 S 13 13
∴ 7= 7= = 13 = = ，
b 2b 13 T 2×13+1 27
7 7 (b +b ) 13
2 1 13
故选：C．
题型五 . 等差数列的最值问题
1．已知等差数列{a }中，S 是它的前n项和，若S ＞0，S ＜0，则当S 最大时，n
n n 16 17 n
的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．16
【解答】解：∵等差数列{a }中，S ＞0且S ＜0
n 16 17
∴a +a ＞0，
8 9
a ＜0，
9
∴a ＞0，
8
∴数列的前8项和最大
故选：A．
2．在等差数列{a }中，已知a ＝20，前n项和为S ，且S ＝S ，求当n为何值时，S 取
n 1 n 10 15 n
得最大值，并求出它的最大值．
【解答】解：∵等差数列{a }中S ＝S ，
n 10 15
∴S ﹣S ＝a +a +a +a +a ＝5a ＝0，
15 10 11 12 13 14 15 13
∴a ＝0，
13
∴数列的前12项为正数，第13项为0，从第14项开始为负值，
∴当n＝12或13时，S 取得最大值，
na −a 5
又公差d= 13 1=− ，
13−1 3
12×11 5
∴S ＝12×20+ （− ）＝130
12
2 3
∴S 的最大值为130
n
3．（2014·江西）在等差数列{a }中，a ＝7，公差为d，前n项和为S ，当且仅当n＝8时
n 1 n
7
S 取得最大值，则d的取值范围为 （﹣ 1 ， − ） ．
n
8
n(n−1)
【解答】解：∵S ＝7n+ d，当且仅当n＝8时S 取得最大值，
n n
2
{d＞−1
∴{S ＜S ，即{49+21d＜56+28d，解得： ，
7 8 7
S ＜S 63+36d＜56+28d d＜−
9 8 8
7
综上：d的取值范围为（﹣1，− ）．
8
题型六 . 证明等差数列
3 1
1．已知数列{a }满足a = ，a =2− (n≥2，n∈N∗)，数列{b }满足
n 1 5 n a n
n−1
1
b = (n∈N∗)．
n a −1
n
（1）求证数列{b }是等差数列；
n
（2）求数列{a }中的最大项和最小项．
n
3 1 1
【解答】解：（1）由 a = ， a =2− (n≥2，n∈N∗)，得 a ＝2−
1 5 n a n+1 a
n−1 n
（n N•）
1 1 1 1
∈ = − = − =1
b ﹣b a −1 a −1 1 a −1 …（4分）
n+1 n n+1 n 2− −1 n
a
n
5
又b =− ，
1
2
5
所以{b }是以− 为首项，1为公差的等差数列 …（6分）
n
2
7 1 2
（2）因为b ＝b +（n﹣1）＝n− ，所以a = + 1= +1． …（9分）
n 1 2 n b 2n−7
n1≤n≤3时数列{a }单调递减且a ＜1，n≥4时数列{a }单调递减且a ＞1
n n n n
所以数列{a }的最大项为a ＝3，最小项为a ＝﹣1．…（14分）
n 4 3
n(a −a )
2．已知数列{a }中，a ＝1，前n项和为S ，且S = n 1 ．
n 2 n n
2
（1）求a ；
1
（2）证明数列{a }为等差数列，并写出其通项公式；
n
1(a −a )
【解答】解：（1）令n＝1，则a ＝S = 1 1 =0
1 1
2
n(a −a ) na
（2）由S = n 1 ，即S = n，①
n 2 n 2
(n+1)a
得 S = n+1．②
n+1 2
②﹣①，得 （n﹣1）a ＝na ．③
n+1 n
于是，na ＝（n+1）a ．④
n+2 n+1
③+④，得na +na ＝2na ，即a +a ＝2a
n+2 n n+1 n+2 n n+1
又a ＝0，a ＝1，a ﹣a ＝1，
1 2 2 1
所以，数列{a }是以0为首项，1为公差的等差数列．
n
所以，a ＝n﹣1
n
课后作业 . 等差数列
1．设等差数列{a }的前n项和为S ，若S ＝72，则a +a +a ＝（ ）
n n 9 1 5 9
A．36 B．24 C．16 D．8
9
【解答】解：由等差数列的求和公式可得，S = （a +a ）＝72，
9 1 9
2
∴a +a ＝16，
1 9
由等差数列的性质可知，a +a ＝2a ，
1 9 5
∴a ＝8，
5
∴a +a +a ＝24．
1 5 9
故选：B．
2．设等差数列{a }的前n项和为S ，S ＝4a ，a ＝﹣2，则a ＝（ ）
n n 8 3 7 10
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣4 D．﹣2
【解答】解：等差数列{a }中，前n项和为S ，且S ＝4a ，a ＝﹣2，
n n 8 3 7则{8a
1
+28d=4a
1
+8d
，
a +6d=−2
1
解得a ＝10，d＝﹣2，
1
∴a ＝a +9d＝﹣8．
10 1
故选：A．
3．已知等差数列{a }的前 n 项和为 S ，且 a ＞0，2a +a ＝0，则下列说法错误的为
n n 1 5 11
（ ）
A．a ＜0
8
B．当且仅当n＝7时，S 取得最大值
n
C．S ＝S
4 9
D．满足S ＞0的n的最大值为12
n
【解答】解：∵2a +a ＝0，
5 11
∴2a +8d+a +10d＝0，
1 1
∴a ＝﹣6d，
1
∵a ＞0，
1
∴d＜0，
∴{a }为递减数列，
n
∴a ＝a +（n﹣1）d＝﹣6d+（n﹣1）d＝（n﹣7）d，
n 1
由a ≥0，（n﹣7）d≥0，解得n≤7，
n
∴数列前6项大于0，第7项等于0，从第8项都小于0，
∴a ＜0，当n＝6或7时，S 取得最大值，故A正确，B错误；
8 n
∵S ＝4a +6d＝﹣24d+6d＝﹣18d，S ＝9a +36d＝﹣28d+36d＝﹣18d，
4 1 9 1
∴S ＝S ，故C正确；
4 9
n(n−1)d d
∴S ＝na + = （n2﹣13n）＞0，
n 1
2 2
解得0＜n＜13，
∴满足S ＞0的n的最大值为12，故D正确．
n
故选：B．
4．若等差数列{a }满足a +a +a ＞0，a +a ＜0，则当n＝ 8 时，{a }的前n项和最大；
n 7 8 9 7 10 n
当S ＞0时n的最大值为 1 5 ．
n
【解答】解：∵a +a +a ＝3a ＞0，a +a ＝a +a ＜0，
7 8 9 8 7 10 8 9∴a ＞0，a ＜0，
8 9
∴n＝8时，{a }的前n项和最大；
n
15(a +a )
∵S = 1 15 =15a ＞0，
15 8
2
16(a +a )
S = 1 16 =8（a +a ）＜0，
16 8 9
2
∴当S ＞0时n的最大值为15．
n
故答案为：8；15．
5．在数列{a }中，a ＝8，a ＝2，且2a ﹣a ＝a （n N*），则|a |+|a |+…+|a |的值是（
n 2 5 n+1 n+2 n 1 2 10
） ∈
A．210 B．10 C．50 D．90
【解答】解：∵2a ﹣a ＝a （n N*），即2a ＝a +a （n N*），
n+1 n+2 n n+1 n+2 n
∴数列{a n }是等差数列， ∈ ∈
设公差为d，则a +d＝8，a +4d＝2，
1 1
联立解得a ＝10，d＝﹣2，
1
∴a ＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n．
n
令a ≥0，解得n≤6．
n
n(10+12−2n)
S = =11n﹣n2．
n
2
∴|a |+|a |+…+|a |＝a +a +…+a ﹣a ﹣…﹣a
1 2 10 1 2 6 7 10
＝2S ﹣S
6 10
＝2（11×6﹣62）﹣（11×10﹣102）
＝50．
故选：C．
1
6．已知在正整数数列{a }中，前n项和S 满足：S = （a +2）2．
n n n n
8
（1）求数列{a }的通项公式；
n
1
（2）若b = a ﹣30，求数列{b }的前n项和的最小值．
n n n
2
1 1
【解答】解：（1）∵S
n
=
8
（a
n
+2）2，∴当n＝1时，a
1
=
8
(a
1
+2) 2，化为(a
1
−2) 2=
0，解得a ＝2．
11 1
当n≥2时，a n ＝S n ﹣S n﹣1 = 8 （a n +2）2− 8 (a n−1 +2) 2，化为（a n ﹣a n﹣1 ﹣4）（a n +a n﹣
）＝0，
1
∵ n N*，a n ＞0，∴a n ﹣a n﹣1 ＝4．
∴∀数列∈{a
n
}是等差数列，首项为2，公差为4，
∴a ＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．
n
1 1
（2）b = a ﹣30= (4n−2)−30=2n﹣31．
n n
2 2
31
由b ≤0，解得n≤ ，因此前15项的和最小．
n
2
又数列{b }是等差数列，
n
15(−29+2×15−31)
∴数列{b }的前15项和T = =−225．
n 15
2
∴数列{b }的前n项和的最小值为﹣225．
n
