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专题十 《数列》讲义
10.1 等差数列
知识梳理 . 等差数列
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那
么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为 a －a ＝
n＋1 n
d(n∈N*，d为常数)．
(2)①通项公式：a＝a＋(n－1)d＝nd＋(a－d) 当d≠0时，a 是关于n的一次函数．
n 1 1 n
②通项公式的推广：a
n
＝a
m
＋(n－m)d(n，m∈N⇒*)．
(3)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中
项．
①若m＋n＝2p，则2a＝a ＋a(m，n，p∈N*)．
p m n
②当m＋n＝p＋q时，a ＋a＝a＋a(m，n，p，q∈N*)．
m n p q
(4)前n项和公式：S ＝ ――→S ＝na ＋d＝n2＋n 当d≠0时，S 是关于n的二次函数，
n n 1 n
且没有常数项． ⇒
2.常用结论：
已知{a}为等差数列，d为公差，S 为该数列的前n项和．
n n
(1)S，S －S，S －S ，…也成等差数列，公差为n2d.
n 2n n 3n 2n
(2)若{a}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{a}首项相同，公差是{a}公差的.
n n n
(3)若项数为偶数2n，则S ＝n(a＋a )＝n(a＋a )；S －S ＝nd；＝.
2n 1 2n n n＋1 偶 奇
若项数为奇数2n－1，则S ＝(2n－1)a；S －S ＝a；＝.
2n－1 n 奇 偶 n
题型一 . 等差数列的基本量
1．已知等差数列{a }满足a +a ＝12，3a ＝a ，则a ＝ ．
n 3 4 2 5 6
2．（2018•新课标Ⅰ）记S 为等差数列{a }的前n项和．若3S ＝S +S ，a ＝2，则a ＝（
n n 3 2 4 1 5
）
A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12
3．（2017•新课标Ⅰ）记S 为等差数列{a }的前n项和．若a +a ＝24，S ＝48，则{a }的
n n 4 5 6 n
公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8题型二 . 等差数列的基本性质
1．在等差数列{a }中，已知a +a ＝12，则3a +a 等于（ ）
n 5 10 7 9
A．30 B．24 C．18 D．12
1
2．在等差数列{a }中，若a +a +a +a +a ＝120，则a − a 的值为（ ）
n 4 6 8 10 12 9 3 11
A．17 B．16 C．15 D．14
3．设等差数列{a }的前n项和为S ，若a ＝10，S ＝36，则公差d为 ．
n n 3 4
题型三 . 等差数列的函数性质
1．下面是关于公差d＞0的等差数列{a }的四个命题：
n
（1）数列{a }是递增数列；
n
（2）数列{na }是递增数列；
n
a
（3）数列{ n }是递减数列；
n
（4）数列{a +3nd}是递增数列．
n
其中的真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知数列{a }的前n项和S ＝n2（n N*），则{a }的通项公式为（ ）
n n n
A．a n ＝2n ∈ B．a n ＝2n﹣1
{ 1，n=1
C．a ＝3n﹣2 D．a =
n n 2n，n≥2
3．在数列{a }中，若a ＝5n﹣16，则此数列前n项和的最小值为（ ）
n n
A．﹣11 B．﹣17 C．﹣18 D．3
题型四 . 等差数列的前 n 项和经典结论
1．设等差数列{a }的前n项和为S ，若S ＝9，S ＝72，则S ＝（ ）
n n 3 9 6
A．27 B．33 C．36 D．45
S S
2．等差数列{a }中，S 是其前n项和，a =−11， 10− 8=2，则S ＝（ ）
n n 1 10 8 11
A．﹣11 B．11 C．10 D．﹣103．若两个等差数列{a }和{b }的前n项和分别是S 和T ，已知S n ，则a 等于（
n n n n n = 7
T 2n+1 b
n 7
）
13 21 13 8
A． B． C． D．
21 4 27 27
题型五 . 等差数列的最值问题
1．已知等差数列{a }中，S 是它的前n项和，若S ＞0，S ＜0，则当S 最大时，n
n n 16 17 n
的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．16
2．在等差数列{a }中，已知a ＝20，前n项和为S ，且S ＝S ，求当n为何值时，S 取
n 1 n 10 15 n
得最大值，并求出它的最大值．
3．（2014·江西）在等差数列{a }中，a ＝7，公差为d，前n项和为S ，当且仅当n＝8时
n 1 n
S 取得最大值，则d的取值范围为 ．
n
题型六 . 证明等差数列
3 1
1．已知数列{a }满足a = ，a =2− (n≥2，n∈N∗)，数列{b }满足
n 1 5 n a n
n−1
1
b = (n∈N∗)．
n a −1
n
（1）求证数列{b }是等差数列；
n
（2）求数列{a }中的最大项和最小项．
n
n(a −a )
2．已知数列{a }中，a ＝1，前n项和为S ，且S = n 1 ．
n 2 n n
2
（1）求a ；
1
（2）证明数列{a }为等差数列，并写出其通项公式；
n
课后作业 . 等差数列
1．设等差数列{a }的前n项和为S ，若S ＝72，则a +a +a ＝（ ）
n n 9 1 5 9A．36 B．24 C．16 D．8
2．设等差数列{a }的前n项和为S ，S ＝4a ，a ＝﹣2，则a ＝（ ）
n n 8 3 7 10
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣4 D．﹣2
3．已知等差数列{a }的前 n 项和为 S ，且 a ＞0，2a +a ＝0，则下列说法错误的为
n n 1 5 11
（ ）
A．a ＜0
8
B．当且仅当n＝7时，S 取得最大值
n
C．S ＝S
4 9
D．满足S ＞0的n的最大值为12
n
4．若等差数列{a }满足a +a +a ＞0，a +a ＜0，则当n＝ 时，{a }的前n项和最大；
n 7 8 9 7 10 n
当S ＞0时n的最大值为 ．
n
5．在数列{a }中，a ＝8，a ＝2，且2a ﹣a ＝a （n N*），则|a |+|a |+…+|a |的值是（
n 2 5 n+1 n+2 n 1 2 10
） ∈
A．210 B．10 C．50 D．90
1
6．已知在正整数数列{a }中，前n项和S 满足：S = （a +2）2．
n n n n
8
（1）求数列{a }的通项公式；
n
1
（2）若b = a ﹣30，求数列{b }的前n项和的最小值．
n n n
2
