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6.2 等比数列（精讲）
一．等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比
数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此
时G2＝ab.
二．等比数列的通项公式
若等比数列{a}的首项为a，公比是q，则其通项公式为a＝aqn－1，通项公式的推广：a＝a qn－m.
n 1 n 1 n m
三．等比数列的前n项和公式
首项为a，公比为q的等比数列的前n项和S＝
1 n
四．等比数列的性质
已知{a}是等比数列，S 是数列{a}的前n项和.
n n n
1.若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有a·a＝a ·a.
k l m n
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a，a ，a ，…仍是等比数列，公比为qm.
k k＋m k＋2m
3.若等比数列前n项和为S，则S ，S ，S －S ，S －S 仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．
n m 2m 2m 3m 3m 2m
4.若或则等比数列{a}递增．若或则等比数列{a}递减．
n n
5.项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{a}中，公比为q．
n
①若共有2n项，则S ∶S ＝q；②若共有2n＋1项，则＝q．
偶 奇
一．等比数列基本量的运算
等比数列中有五个量a，n，q，a，S，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
1 n n
二．等比数列的三种常用判定方法
定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{a}是等比数列
n
中项公式法 若数列{a
n
}中，a
n
≠0且a＝a
n
·a
n＋2
(n∈N*)，则{a
n
}是等比数列
通项公式法 若数列{a}的通项公式可写成a＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{a}是等比数列
n n n
前n项和公式法 若数列{a}的前n项和S＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{a}是等比数列
n n n
考法一 等比数列的基本量的运算
【例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知 是各项均为正数的等比数列 的前n项和，若
， ，则 （ ）．
A．21 B．81 C．243 D．729
【答案】C
【解析】 ，因为 ，所以 ， ，又 ，故 ，设公比是 ，则
，两式相除得： ，解得： 或 （舍去），故 .故选：C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例1-2】（2022·吉林·长春市）已知等比数列 的前 项和为 ，且公比 ， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可知 ，因为 ，则 ，
由已知可得 ，可得 ， ，则 ，
因此， .故选：B.
【例1-3】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知数列 满足 ， ，若 ，
，则 的值为______.
【答案】 或
【解析】因为 ， ，所以数列 为等比数列，设其公比为q.由 ，
，得 ， ，所以 .
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 .综上， 的值为 或 .故答案为： 或
【一隅三反】
1．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列 的各项均为正数，前n项和 ，若 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 （ ）
A． B． C．15 D．40
【答案】C
【解析】由题知 ,
即 ,即 ,即 .
由题知 ,所以 .所以 .故选:C.
2．（2023春·北京）已知各项均为正数的等比数列 满足 ， ，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】设等比数列 的公比为 ，由已知条件可得 ，解得 ，
因此， .故选：C.
3．（2022·河南安阳）已知 为等比数列， ，则 _________．
【答案】
【解析】设公比为 ，由题意知： ，又 ，解得 或 ，
若 ，则 ， ，则 ；
若 ，则 ， ，则 .故答案为： .
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 是等比数列 的前 项和，若存在 ，满足
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，则数列 的公比为
A． B．2 C． D．3
【答案】2
【解析】设数列 的公比为 ，
若 ，则 ，与题中条件矛盾，
故
.
考法二 等比数列的判断与证明
【例2】（2023·广东·高三专题练习）在数列 中， ， ，求证：数
列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
【答案】证明见解析； ；
【解析】 ，
当 时， ，
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
， ；
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，若 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明： 为等比数列．
(2)求 的通项公式．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）由题意知
，
所以 为等比数列．其首项 ， ．
（2）由（1）可知 ，又 ，
所以 ．
2．（2023·广东深圳·校考一模）已知函数 的首项 ，且满足 ，求证 为等比数
列，并求 ．
【答案】证明见解析，
【解析】因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 .
又因为 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，
所以 ，所以 .
3．（2023·山东潍坊·三模）已知数列 和 满足 ，证明：
和 都是等比数列；
【答案】证明见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为 ， ，
所以 ， ，
又由 ， 得 ， ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
考法三 等比数列的中项性质
【例3-1】（2023春·江西）在等比数列 中，若 ， ，则 （ ）
A． B．9 C．15 D．7
【答案】A
【解析】 .故选：A.
【例3-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）设等比数列 ， ， 是方程
的两根，则 的值是（ ）
A． 或 B．2或 C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， 是方程 的两根，所以 ， ，且 ， 都是负数，
又因为 为等比数列，所以 ，所以 ，且 ，所以 .故选：C
【例3-3】（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列 中， 与 是方程 的两个根，
则 _________ .
【答案】5
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为 与 是方程 的两个根，所以 ，
因为 为正项等比数列，所以 ，
所以 ，
故答案为：5.
【一隅三反】
1．（2023春·辽宁鞍山）若五个数 、 、 、 、 成等比数列，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】设等比数列 、 、 、 、 的公比为 ，则 ，
由等比中项的性质可得 ，所以， ， .
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，故 ，则 ，
，故 ，则 ，
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：A
3．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知 ，向量 与向量
垂直， ， ，2成等比数列，则 与 的等差中项为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为 与 垂直，所以 ，得到 ，
又因为 ， ，2成等比数列，所以 ，又 ，联立方程 和 ，得到 ， ，
所以 ， 的等差中项为 ．
故选：A．
4．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，若 ， ， 成等比数列，则
（ ）
A． B． C．2 D．6
【答案】D
【解析】 ， ， ， ，
又 ， ， 成等比数列， ， ，解得 ．故选：
D．
考法四 等比数列的前n项和
【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则
（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【解析】方法一：设等比数列 的公比为 ，首项为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若 ，则 ，与题意不符，所以 ；
由 ， 可得， ， ①，
由①可得， ，解得： ，
所以 ．
故选：C．
方法二：设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，所以 ，否则 ，
从而， 成等比数列，
所以有， ，解得： 或 ，
当 时， ，即为 ，
易知， ，即 ；
当 时， ，
与 矛盾，舍去．
故选：C．
【例4-2】（2023·全国·高三专题练习）等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为q，当 时， ，不合题意；
当 时，等比数列前 项和公式 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】依题意 .故选：A
【例4-3】（2023广东深圳）已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有偶数项之和的 倍，
前 项之积为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得所有项之和 是所有偶数项之和 的 倍，所以， ，故
设等比数列 的公比为 ，设该等比数列共有 项，
则 ，所以， ，
因为 ，可得 ，因此， .
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023福建福州）已知等比数列 的前 项和 ，前 项和 ，则前 项和
（ ）
A．64 B．66 C． D．
【答案】C
【解析】由等比数列前 项和的性质，可得 构成等比数列，
即 成等比数列，可得 ，解得 .
故选：C.
2．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．41 B．45 C．36 D．43
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
因为 为等比数列，根据等比数列的性质，可得 仍成等比数列.
因为 ，所以 ，所以 ，故 .故选：D.
3．（2023·全国·高三对口高考）已知等比数列 的前n项和为 ，则 __________.
【答案】
【解析】由题意可得 ， ，
，故有 .
故答案为：
4．（2023·江苏宿迁）已知等比数列 的前 项中，所有奇数项的和为 ，所有偶数项的和为 ，
则 的值为______．
【答案】
【解析】设等比数列 的公比为 ，设等比数列 的前 项中，设所有奇数项的和为 ，所有偶数
项的和为 ，
则 ，所以， ，
又 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因此， .故答案为： .
考法五 等比数列的最值
【例5-1】（2023春·辽宁鞍山）等比数列 的前n项积为 ，且满足 ， ， ，
则使得 成立的最大自然数n的值为（ ）
A．102 B．203
C．204 D．205
【答案】C
【解析】由 ，即 ，则有 ，即 。所以等比数列 各项为正数，
由 ，即 ，可得： ，
所以 ， ，
故使得 成立的最大自然数n的值为204，故选：C
【例5-2】（2023·全国·高三专题练习）设等比数列 的公比为q，其前n项和为 ，前n项积为 ，并
且满足条件 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】AD
【解析】因为 ， ， ，所以 ， ，所以 ，故A正确.
，故B错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ， ，所以数列 为递减数列，所以 无最大值，故C错误；
又 ， ，所以 的最大值为 ，故D正确.故选：AD
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并且满足
条件 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】B
【解析】若 ，因为 ，所以 ，则 与 矛盾，
若 ，因为 ，所以 ，则 ，与 矛盾，
所以 ，故B正确；
因为 ，则 ，所以 ，故A错误；
因为 ， ，所以 单调递增，故C错误；
因为 时， ， 时， ，所以 的最大值为 ，故D错误；
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）设等比数列 的公比为q，其前n项和为 ，前n项积为 ，
并满足条件 ， ， ，下列结论正确的是（ ）
A．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．
C． 是数列 中的最大值
D．若 ，则n最大为4038．
【答案】ABD
【解析】对A，∵ ， ， ，且数列 为等比数列，
∴ ， ，∴ ，
因为 ，∴ ，故A正确；
对B，∵ ，∴ ，故B正确；
对C，因为等比数列 的公比 ， ，所以数列 是递减数列，
因为 ， ，所以 是数列 中的最大项，故C错误；
对D， ，因为 ， ，故 ， ，
故 ，即 ，故n最大为4038，故D正确．
故选：ABD．
3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等比数列 的公比为 ，前 项积为 ，若 ，且
，则下列命题正确的是（ ）
A． B．当且仅当 时， 取得最大值
C． D．
【答案】ACD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为 ，所以 ，故A正确；
又 ，即 ，解得 ，故C正确；
由 知等比数列 为递减数列，且 ，故 取得最大值为 ，故B错误；
因为 ，
所以 成立，故D正确.故选：ACD
考法六 等比数列在实际生活中的运用
【例6】（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：
“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里
程是前一天的一半，七天一共行走了 里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设该马第 天行走的里程数为 ，
由题意可知，数列 是公比为 的等比数列，
所以，该马七天所走的里程为 ，解得 .
故该马第五天行走的里程数为 .故选：D.
【一隅三反】
1．（2023春·湖北孝感·高三校联考阶段练习）为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经
济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.
据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为
资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷
款）为（ ）元（参考数据： ， ）
A．35200 B．43200 C．30000 D．32000
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】D
【解析】设2022年6月底小王手中有现款为 元，
设2022年6月底为第一个月，以此类推，设第 个月底小王手中有现款为 ，第 个月月底小王手中有
现款为 ，
则 ，即 ，
所以数列 是首项为4800，公比为1.2的等比数列，
∴ ，即 ，
年所得收入为 元.
故选：D.
2．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗
玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五
人得到的玉米总量为（ ）
A． 斗 B． 斗
C． 斗 D． 斗
【答案】A
【解析】由题意记10人每人所得玉米时依次为 ，则 时， ， ，即
是等比数列，由已知 ， ， （斗）．故选：A．
3．（2023·陕西榆林·统考三模）现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的
路程．已知第i（ ）匹马的日行路程是第 匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为315里，则这17匹马的日行路程之和约为（取 ）（ ）
A．7750里 B．7752里
C．7754里 D．7756里
【答案】B
【解析】 ，依题意可得，第17匹马、第16匹马、……、第1匹马的日行路程里数依次成等比数
列，且首项为300，公比为1.05，
故这17匹马的日行路程之和为
（里）．
故选：B.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
