文档内容
§6.3 等比数列及其前 n 项和
考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比
数列与指数函数的关系．
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不
为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，
定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G 叫做a与b
的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：a＝a q n － 1 .
n 1
(2)前n项和公式：
S＝
n
3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：a＝a ·qn－m(m，n∈N*)．
n m
(2)对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则a · a ＝a · a .
m n p t
特别地，若m＋n＝2p，则a · a ＝ a .
m n
(3)若等比数列前n项和为S ，则S ，S －S ，S －S 仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除
n m 2m m 3m 2m
外)．
(4)在等比数列{a}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a ，a ，a ，a
n n n＋k n＋2k n＋
，…为等比数列，公比为 q k.
3k
(5)若或则等比数列{a}递增．
n
若或则等比数列{a}递减．
n
微思考
1．若数列{a}满足a ＝qa(q≠0)，则{a}一定是等比数列吗？
n n＋1 n n
提示 不一定．需验证a≠0.
1
2．若数列{a}为等比数列，b＝a ＋a ，则数列{b}是等比数列吗？
n n 2n－1 2n n
提示 不一定．当q＝－1时不是等比数列．题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等比数列{a}的公比q>1，则该数列单调递增．( × )
n
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( × )
(3)如果正项数列{a}为等比数列，则数列{ln a}是等差数列．( √ )
n n
(4)数列{a}的通项公式是a＝an，则其前n项和为S＝.( × )
n n n
题组二 教材改编
2．已知等比数列的首项为－1，前n项和为S，若＝，则q的值为( )
n
A．－ B. C．2 D．－2
答案 B
解析 当q＝1时，＝1≠，∴q≠1.
当q≠1时，＝＝q5＝，
∴q＝.故选B.
3．已知数列{a}为等比数列，a＝6,6a＋a＝30，则a＝________.
n 2 1 3 4
答案 54或24
解析 由解得或
a＝a·q3＝2×33＝54或a＝3×23＝3×8＝24.
4 1 4
4．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为_______．
答案 1,3,9或9,3,1
解析 设这三个数为，a，aq，则
解得或
∴这三个数为1,3,9或9,3,1.
题组三 易错自纠
5．(多选)若{a}是公比为q(q≠0)的等比数列，记S 为{a}的前n项和，则下列说法正确的是
n n n
( )
A．若a>0,00，则S＋S>2S
4 6 5
D．若b＝，则{b}是等比数列
n n
答案 ABD
解析 A，B显然是正确的；
C中，若a＝1，q＝，则a0，所以＝3，
n＋1 n
所以数列{a＋a }是公比为3的等比数列．
n n＋1
(2)解 由题意知a＋a ＝(a＋a)3n－1＝2×3n－1，
n n＋1 1 2
因为a ＝2a ＋3a，
n＋2 n＋1 n
所以a －3a ＝－(a －3a)，a＝3a，
n＋2 n＋1 n＋1 n 2 1
所以a－3a＝0，所以a －3a＝0，
2 1 n＋1 n
故a ＝3a，
n＋1 n
所以4a＝2×3n－1，a＝×3n－1.
n n
思维升华 等比数列的三种常用判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{a}是等比
n
数列．
(2)等比中项法：若数列{a}中，a≠0且a＝a·a (n∈N*)，则{a}是等比数列．
n n n n＋2 n
(3)前n项和公式法：若数列{a}的前n项和S ＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则 {a}
n n n
是等比数列．
跟踪训练1 (2020·泰州模拟)已知数列{a}，{c}满足c ＝2a ＋a.若数列{a}是等比数列，
n n n n＋1 n n
试判断数列{c}是否为等比数列，并说明理由．
n
解 设等比数列{a}的公比为q，
n
则c＝2a ＋a＝2aq＋a＝(2q＋1)a，
n n＋1 n n n n
当q＝－时，c＝0，数列{c}不是等比数列；
n n
当q≠－时，因为c≠0，
n
所以＝＝q，
所以数列{c}是等比数列．
n
题型三 等比数列性质的应用
例2 (1)已知数列{a}是等比数列，S 为其前n项和，若a ＋a ＋a ＝4，a ＋a ＋a ＝8，则
n n 1 2 3 4 5 6S 等于( )
12
A．40 B．60 C．32 D．50
答案 B
解析 数列S，S－S，S－S，S －S 是等比数列，
3 6 3 9 6 12 9
即4,8，S－S，S －S 是等比数列，
9 6 12 9
∴S ＝4＋8＋16＋32＝60.
12
(2)已知S 是等比数列{a}的前n项和，S，S，S 成等差数列，a＋a＝4，则a＝_____.
n n 3 9 6 2 5 8
答案 2
解析 由已知得，2S＝S＋S，∴q≠1，
9 3 6
则有2×＝＋，
解得q3＝－，
又a＋a＝a(1＋q3)＝4，
2 5 2
∴a＝8，∴a＝a·q6＝8×＝2.
2 8 2
思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，
三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问
题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
跟踪训练2 (1)已知数列{a}为等比数列，且aa＋2a＝π，则tan(a·a)等于( )
n 2 6 3 5
A. B．－ C．－ D．±
答案 A
解析 由已知得a＋2a＝π，∴a＝，
又a·a＝a＝，∴tan(a·a)＝.
3 5 3 5
(2)(2020·全国Ⅰ)设{a}是等比数列，且a ＋a ＋a ＝1，a ＋a ＋a ＝2，则a ＋a ＋a 等于(
n 1 2 3 2 3 4 6 7 8
)
A．12 B．24 C．30 D．32
答案 D
解析 设等比数列{a}的公比为q，
n
则q＝＝＝2，
所以a＋a＋a＝(a＋a＋a)·q5＝1×25＝32.
6 7 8 1 2 3
对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习过的方法以外，根据数列递推公式的特点，
还有以下几种构造方法．
构造法1 一阶线性递推(形如a ＝pa＋q，p≠0，其中a＝a型)
n＋1 n 1(1)若p＝1，数列{a}为等差数列；
n
(2)若q＝0，数列{a}为等比数列；
n
(3)若p≠1且q≠0，数列{a}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．
n
方法如下：设a ＋λ＝p(a＋λ)，得a ＝pa＋(p－1)λ，
n＋1 n n＋1 n
又a ＝pa＋q，所以(p－1)λ＝q，即λ＝(p≠1)，
n＋1 n
所以a ＋＝p，
n＋1
即构成以a＋为首项，以p为公比的等比数列．
1
例1 在数列{a}中，若a＝1，a ＝2a＋3，求{a}的通项公式．
n 1 n＋1 n n
解 ∵a ＝2a＋3，∴a ＋3＝2(a＋3)，
n＋1 n n＋1 n
又a＋3＝4，∴数列{a＋3}是首项为4，公比q＝2的等比数列，
1 n
∴a＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴a＝2n＋1－3.
n n
变式 若例1中“a ＝2a＋3”变成“a ＝2a＋3n”，其他条件不变，求{a}的通项公式．
n＋1 n n＋1 n n
解 方法一 ∵a ＝2a＋3n，
n＋1 n
∴a ＋λ·3n＋1＝2(a＋λ·3n)，
n＋1 n
即a ＝2a－λ·3n，∴λ＝－1，
n＋1 n
即a －3n＋1＝2(a－3n)，
n＋1 n
又a－3＝－2，∴{a－3n}是首项为－2，公比q＝2的等比数列，
1 n
∴a－3n＝－2·2n－1＝－2n，∴a＝3n－2n.
n n
方法二 ∵a ＝2a＋3n，等式两边同除以3n＋1，
n＋1 n
得＝·＋，
令b＝，则b ＝b＋，
n n＋1 n
b ＋λ＝(b＋λ)，得b ＝b－λ，得λ＝－1，
n＋1 n n＋1 n
∴b －1＝(b－1)，又b－1＝－1＝－，
n＋1 n 1
∴{b－1}是首项为－，公比q＝的等比数列，
n
∴b－1＝－·n－1＝－n，∴b＝1－n，
n n
∴＝1－n，∴a＝3n－2n.
n
构造法2 二阶线性递推(形如a ＝pa＋qa ，其中a＝a，a＝b型)
n＋1 n n－1 1 2
可以化为a －xa ＝x(a －xa )，其中x ，x 是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程
n＋1 1 n 2 n 1 n－1 1 2
的根，则直接构造数列{a －a }，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的
n n－1
方法求数列{a}．
n
例2 (1)在数列{a}中，a＝1，a＝3，a ＝3a －2a，则a＝________.
n 1 2 n＋2 n＋1 n n
答案 2n－1
解析 a －a ＝2(a －a)，
n＋2 n＋1 n＋1 n
∵a－a＝2，∴{a－a }为首项为2，公比也为2的等比数列，
2 1 n n－1
a－a ＝2n－1(n>1)，
n n－1n>1时，a＝(a－a )＋(a －a )＋…＋(a－a)＋a
n n n－1 n－1 n－2 2 1 1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1
＝＝2n－1.
显然n＝1时满足上式，
∴a＝2n－1.
n
(2)已知在数列{a}中，a＝5，a＝2，a＝2a ＋3a (n≥3)，求这个数列的通项公式．
n 1 2 n n－1 n－2
解 ∵a＝2a ＋3a ，
n n－1 n－2
∴a＋a ＝3(a ＋a )，
n n－1 n－1 n－2
又a＋a＝7，{a＋a }形成首项为7，公比为3的等比数列，
1 2 n n－1
则a＋a ＝7×3n－2，①
n n－1
又a－3a ＝－(a －3a )，
n n－1 n－1 n－2
a－3a＝－13，{a－3a }形成首项为－13，公比为－1的等比数列，
2 1 n n－1
则a－3a ＝(－13)·(－1)n－2，②
n n－1
①×3＋②得，4a＝7×3n－1＋13·(－1)n－1，
n
∴a＝×3n－1＋(－1)n－1.
n
构造法3 倒数为特殊数列
两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为b ＝pb＋q型，求出的表达式，再求a.
n＋1 n n
例3 (1)已知数列{a}中，a＝1，a ＝，求数列{a}的通项公式．
n 1 n＋1 n
解 ∵a ＝，a＝1，
n＋1 1
∴a≠0，∴＝＋，
n
即－＝，
又a＝1，则＝1，
1
∴是以1为首项，为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)×＝＋，
∴a＝(n∈N*)．
n
(2)已知在数列{a}中，a＝2，a ＝(n∈N*)，求a.
n 1 n＋1 n
解 ∵＝3·＋1，∴＋＝3，＋＝1，
∴是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴＋＝3n－1，
∴＝3n－1－，
∴a＝(n∈N*)．
n课时精练
1．在正项等比数列{a}中，a＝2，a·a＝64，则的值是( )
n 3 4 6
A．4 B．8 C．16 D．64
答案 C
解析 设正项等比数列{a}的公比为q，
n
∵a＝2，a·a＝64，
3 4 6
∴aq2＝2，aq8＝64，
1
解得q2＝4，则＝42＝16.
2．设正项等比数列{a}的前n项和为S，若S＝S＋2S，且a＝3，则a 等于( )
n n 3 1 2 2 5
A．3 B．12 C．24 D．48
答案 C
解析 设等比数列{a}的公比为q，
n
∵S＝S＋2S，a＝3，
3 1 2 2
∴⇒
解得(舍)或
∴a＝aq4＝×24＝24.
5 1
3．已知数列a，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则log a 等于( )
1 2 n
A．n(n＋1) B. C. D.
答案 D
解析 由题设有＝1×2n－1＝2n－1(n≥2)，
而a＝a×××…×
n 1
＝1×21＋2＋…＋n－1
＝ (n≥2)，
当n＝1时，a＝1也满足该式，故a＝ (n≥1)，
1 n
所以log a＝.
2 n
4．在数列{a}中，a ＝1，a ＝3，且＝2＋(－1)n(n∈N*)，S 为数列{a}的前n项和，则S
n 1 2 n n 100
等于( )
A.＋50 B.＋50
C.＋50 D.＋50
答案 C解析 由题意＝2＋(－1)n(n∈N*)，
当n为偶数时，可得＝3；
当n为奇数时，可得＝1，
即数列的偶数项成公比为3的等比数列，奇数项都为1，
由求和公式可得S ＝＋50＝＋50.
100
5．(多选)已知等比数列{a}的公比为q，前4项的和为a ＋14，且a ，a ＋1，a 成等差数列，
n 1 2 3 4
则q的值可能为( )
A. B．1 C．2 D．3
答案 AC
解析 因为a，a＋1，a 成等差数列，
2 3 4
所以a＋a＝2(a＋1)，
2 4 3
因此a＋a＋a＋a＝a＋3a＋2＝a＋14，故a＝4.
1 2 3 4 1 3 1 3
又{a}是公比为q的等比数列，
n
所以由a＋a＝2(a＋1)，
2 4 3
得a＝2(a＋1)，即q＋＝，
3 3
解得q＝2或.
故选AC.
6．(多选)数列{a}的前n项和为S，若a＝1，a ＝2S(n∈N*)，则有( )
n n 1 n＋1 n
A．S＝3n－1 B．{S}为等比数列
n n
C．a＝2·3n－1 D．a＝
n n
答案 ABD
解析 由题意，数列{a}的前n项和满足a ＝2S(n∈N*)，
n n＋1 n
当n≥2时，a＝2S ，
n n－1
两式相减，可得a －a＝2(S－S )＝2a，
n＋1 n n n－1 n
可得a ＝3a，即＝3(n≥2)，
n＋1 n
又由a＝1，当n＝1时，a＝2S＝2a＝2，所以＝2，
1 2 1 1
所以数列的通项公式为a＝
n
当n≥2时，S＝＝＝3n－1，
n
又由n＝1时，S＝a＝1，适合上式，
1 1
所以数列{a}的前n项和为S＝3n－1；
n n
又由＝＝3，
所以数列{S}为公比为3的等比数列，
n
综上可得选项ABD是正确的．
7．记S 为等比数列{a}的前n项和，a＝1，且S＝a－1，则公比q＝________.
n n 1 4 5答案 2或－1
解析 若q＝1，则S ＝4，a －1＝0，等式S ＝a －1不成立，所以q≠1.由S ＝a －1，得＝
4 5 4 5 4 5
aq4－1，结合a＝1整理，得(q4－1)(2－q)＝0.又q≠1，
1 1
所以q＝2或q＝－1.
8．已知在递增的等比数列{a}中，a＋a＝3，a·a＝2，则＝________.
n 2 8 3 7
答案
解析 因为数列{a}为等比数列，且a·a＝2，
n 3 7
所以a·a＝2，
2 8
因为数列{a}为递增等比数列，
n
所以由得
设等比数列{a}的公比为q(q>0)，
n
则得q6＝2，q3＝，
所以＝q3＝.
9．(2021·安庆模拟)已知公比不为1的等比数列{a}，且a＝a，a＋2a＝3a，则数列的通项
n 7 6 4 5
公式a＝________.
n
答案 2n＋1
解析 设等比数列{a}的公比为q，
n
则q≠1，由a＝a，a＋2a＝3a，
7 6 4 5
得解得a＝4，q＝2，
1
∴数列{a}的通项公式a＝aqn－1＝4×2n－1＝2n＋1.
n n 1
10．已知数列{a}与均为等差数列(n∈N*)，且a ＝2，则a ＝________，a ＋2＋3＋…＋n＝
n 1 n 1
________.
答案 2n 2n＋1－2
解析 设a＝2＋(n－1)d，所以＝＝，
n
由于为等差数列，
所以其通项是一个关于n的一次函数或常数函数，
所以(d－2)2＝0，∴d＝2，
所以a＝2＋2(n－1)＝2n，∴＝＝2，
n
所以a＋2＋3＋…＋n
1
＝21＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－2.
11．(2018·全国Ⅰ)已知数列{a}满足a＝1，na ＝2(n＋1)a.设b＝.
n 1 n＋1 n n
(1)求b，b，b；
1 2 3
(2)判断数列{b}是否为等比数列，并说明理由；
n
(3)求{a}的通项公式．
n解 (1)由条件可得a ＝a，
n＋1 n
将n＝1代入得，a＝4a，而a＝1，所以a＝4.
2 1 1 2
将n＝2代入得，a＝3a，所以a＝12.
3 2 3
从而b＝1，b＝2，b＝4.
1 2 3
(2){b}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：
n
由条件可得＝，即b ＝2b，
n＋1 n
又b＝1，所以{b}是首项为1，公比为2的等比数列．
1 n
(3)由(2)可得＝2n－1，所以a＝n·2n－1.
n
12．已知数列{a}的前n项和为S，且满足2S＝－a＋n(n∈N*)．
n n n n
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列{a－1}的前n项和T.
n n
(1)证明 2S＝－a＋n，
n n
当n≥2时，2S ＝－a ＋n－1，
n－1 n－1
两式相减，得2a＝－a＋a ＋1，即a＝a ＋.
n n n－1 n n－1
∴a－＝，
n
∴数列为等比数列．
(2)解 由2S＝－a＋1，得a＝，
1 1 1
由(1)知，数列是以－为首项，为公比的等比数列．
∴a－＝－n－1＝－n，
n
∴a＝－n＋，
n
∴a－1＝－n－，
n
∴T＝－＝－.
n
13．(多选)如图，已知点E是▱ABCD的边AB的中点，F(n∈N*)为边BC上的一列点，连接
n
AF 交BD于G ，点G(n∈N*)满足GnD＝a ·GnA－2(2a ＋3)·GnE，其中数列{a}是首项为
n n n n＋1 n n
1的正项数列，S 是数列{a}的前n项和，则下列结论正确的是( )
n n
A．a＝13 B．数列{a＋3}是等比数列
3 n
C．a＝4n－3 D．S＝2n＋1－n－2
n n
答案 AB
解析 GnD＝a ·GnA－2(2a＋3)·(GnA＋GnB)，
n＋1 n
故GnD＝(a －2a－3)·GnA－(2a＋3)·GnB，
n＋1 n nGnD，GnB共线，故a －2a－3＝0，
n＋1 n
即a ＋3＝2(a＋3)，a＝1，
n＋1 n 1
故a＋3＝4×2n－1，故a＝2n＋1－3.
n n
a＝24－3＝13，A正确；
3
数列{a＋3}是等比数列，B正确；
n
a＝2n＋1－3，C错误；
n
S＝4×－3n＝2n＋2－3n－4，故D错误．
n
故选AB.
14．(多选)已知数列{a}不是常数列，其前n项和为S，则下列选项正确的是( )
n n
A．若数列{a}为等差数列，S>0恒成立，则{a}为递增数列
n n n
B．若数列{a}为等差数列，a>0，S＝S ，则S 的最大值在n＝6或7时取得
n 1 3 10 n
C．若数列{a}为等比数列，则S ·a >0恒成立
n 2 021 2 021
D．若数列{a}为等比数列，则{ }也为等比数列
n
答案 ABC
解析 对于A，若数列{a}为等差数列，S>0恒成立，则公差d>0，故{a}为递增数列，故
n n n
A正确；
对于B，若数列{a}为等差数列，a>0，设公差为d，由S ＝S ，得3a ＋d＝10a ＋d，即a
n 1 3 10 1 1 1
＝－6d，故a ＝(n－7)d，所以当n≤7时，a≥0，a ＝0，故S 的最大值在n＝6或7时取得，
n n 7 n
故B正确；
对于C，若数列{a}为等比数列，则S ·a ＝·a·q2 020＝a·q2 020·>0恒成立，故C正确；
n 2 021 2 021 1
对于D，若数列{a}为等比数列，则 ，所以 不是常数，
n
故{ }不是等比数列，故D错误．
故选ABC.
15．已知数列{a}满足递推公式a ＝2a ＋1，a ＝1.设S 为数列{a}的前n项和，则的最小
n n＋1 n 1 n n
值是________．
答案
解析 因为a ＝2a＋1，所以a ＋1＝2(a＋1)，
n＋1 n n＋1 n
所以数列{a＋1}是首项为a＋1＝2，公比为2的等比数列，
n 1
所以a＋1＝2n，所以a＝2n－1，
n n
所以S＝2＋22＋23＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－2－n，
n
所以＝＝2n＋－2，由对勾函数的性质可得，当n＝1时，2n＝2,2n＋－2＝2＋－2＝，
当n≥2时，2n≥4，所以y＝2n＋－2单调递增，
当n＝2时，2n＋－2＝4＋－2＝<，
所以的最小值是.
16．已知等比数列{a}的公比q>1，a ＝2，且a ，a ，a －8成等差数列，数列{ab}的前n
n 1 1 2 3 n n
项和为.
(1)分别求出数列{a}和{b}的通项公式；
n n
(2)设数列的前n项和为S，∀n∈N*，S≤m恒成立，求实数m的最小值．
n n
解 (1)因为a＝2，且a，a，a－8成等差数列，
1 1 2 3
所以2a＝a＋a－8，
2 1 3
即2aq＝a＋aq2－8，所以q2－2q－3＝0，
1 1 1
所以q＝3或q＝－1，又q>1，所以q＝3，
所以a＝2·3n－1(n∈N*)．
n
因为ab＋ab＋…＋ab＝，
1 1 2 2 n n
所以ab＋ab＋…＋a b ＝(n≥2)，
1 1 2 2 n－1 n－1
两式相减，得ab＝2n·3n－1(n≥2)，
n n
因为a＝2·3n－1，所以b＝n(n≥2)，
n n
当n＝1时，由ab＝2及a＝2，得b＝1(符合上式)，
1 1 1 1
所以b＝n(n∈N*)．
n
(2)因为数列{a}是首项为2，公比为3的等比数列，
n
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以S＝＝<.
n
因为∀n∈N*，S≤m恒成立，
n
所以m≥，即实数m的最小值为.
