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考点巩固卷 13 数列综合研究通项及求和（七大考
点）
考点01：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
若 已 知 数 列 的 前 n项 和 S 与 的 关 系 ， 求 数 列 的 通 项 可 用 公 式
n
构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合
二为一”，即 和 合为一个表达，（要先分 和 两种情况分别进行运算，然后
验证能否统一）．1．数列 的前n项和 满足 ，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C．6 D．7
【答案】B
【分析】由已知结合 化简变形可得数列 是以2为首项， 为公比的
等比数列，从而可求出 ，进而可求出答案.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，得 ，
所以数列 是以2为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
所以 .
故选：B
2．已知数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．-3 B．3 C．-2 D．2
【答案】B
【分析】根据递推关系，赋值 即可求解．
【详解】若 ， ，变形得到， ，
当 时， ，解得 ；
试卷第2页，共3页当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
故选：B.
3．设 为数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】B
【分析】根据 的关系可得递推公式 ，利用递推公式可得.
【详解】当 时， ，所以 ，
整理得 ，所以 .
故选：B．
4．已知数列 的前n项和 满足 ，则 .
【答案】
【分析】首先利用公式 ，判断数列 是等比数列，再代入公式，即
可求解.
【详解】令 ，得 ，得 ，
，当 时， ，两式相减得，
，即 ，即 ，
所以数列 是以首项 ，公比为2的等比数列，
所以 .故答案为：
5．已知数列 的前三项依次为 的前 项和 ，则 ．
【答案】2024
【分析】根据题意列方程得到 ，然后根据 求 即可.
【详解】由题意知 ， ， ，
解得 ， ， ，
所以 ， .
故答案为：2024.
6．已知数列 的前n项和为 ，且 ，则数列 的通项公式为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式即得.
【详解】数列 中， ， ，
当 时， ，显然 满足上式，
数列 的通项公式为 .
故答案为：
7．已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和.
【答案】(1) (2)
试卷第4页，共3页【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求 .
【详解】（1）因为 ,故 ，
所以 即 故等比数列的公比为 ，
故 ，故 ，故 .
（2）由等比数列求和公式得 ，
所以数列 的前n项和
.
8．设数列 的前n项和 满足 且 成等差数列
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求 ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用 的关系可知 是等比数列，再求出首项，可得通项公式；
（2）利用错位相减法可求答案.
【详解】（1）当 时， ， ，两式相减可得 ，因为 成等差数列，所以 ，即 ，
解得 ，所以 是首项为2，公比为2的等比数列；
所以 .
（2） ， ，
，
两式相减可得
，
所以 .
9．已知数列 的前n项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和为 .
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据 ，作差得到 ，从而得到 ，
再由等差数列的定义及通项公式计算可得
（2）由（1）可得 ，利用分组求和法计算可得.
【详解】（1）因为 ，
即 ，
试卷第6页，共3页当 时 ，解得 或 （舍去），
当 时 ，
所以 ，
即 ，
即 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 .
（2）由（1）可得 ，
所以
.
10．数列 的前n项和记为 ，已知 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的和．
(3)若 ，则 为__________（等差/等比）数列，并证明你的结论．
【答案】(1) (2) (3)等差，证明见解析
【分析】（1）根据 的关系即可作差得 为等比数列，且公比为 ，即可利用等比通项求解，
（2）根据等比数列求和公式即可求解，
（3）根据等差数列的定义即可求解.
【详解】（1）由 可得 ，
两式相减可得 ，进而可得 ，
又 ，解得 ，
故数列 为等比数列，且公比为 ，
所以
（2） ，
所以
（3） ，
为等差数列，证明如下：
为常数，
故 为等差数列，且公差为
考点02：同除以指数求通项
递推公式为 （其中p，q均为常数）或 （其中p，q，r均
试卷第8页，共3页为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，引入辅助数列
（其中 ），得： 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
11．数列{an}满足 ， ，则数列{an}的通项公式为 .
【答案】 ．
【分析】已知式两边同除以 ，构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论．
【详解】∵ ，所以 ，即 ，
∴ 是等差数列，而 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
12．已知数列 满足 ，若 ， ，则 ；
若 ， ，则 .
【答案】 85
【分析】对于第一空，直接根据递推公式代入计算可得；
对于第二空，依题意可得 ，即可得到
，再根据 ，即可得到 ，从而求
出数列的通项公式；
【详解】解：因为 ，当 ， 时 ，所以， ， ；
当 ， 时 ，则 ，又
，所以 ，即
故答案为： ； ；
13．各项均正的数列 满足 ，则 等于
【答案】
【解析】根据 可得 ，即可构造出等差数列 ，由等差数列的
性质可求出 ，即可求得 ．
【详解】将 两边同除以 ，得 ，则 是首项为2，公差为1
的等差数列，∴ ，则 ．
故答案为： ．
14．数列 满足 ，则数列 的通项公式为 .
【答案】
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得.
【详解】数列 中，由 ，得 ，即 ，
而 ， ，于是数列 是首项为3，公比为 的等比数列，
因此 ，即 ，
试卷第10页，共3页所以数列 的通项公式为 .
故答案为：
15．记数列 的前 项和为 ，若 ，则 .
【答案】 /0.5
【分析】构造得 ，从而得到 ，则 ，再利用等比数列求
和公式代入计算即可.
【详解】由 ，得 ，
则 ，
又 ，则 ，则 ，
， ，
，
故答案为： .
16．已知数列 的前 项的和为 且满足 ，数列 是两个等差数列
与 的公共项组成的新数列.求出数列 ， 的通项公式；
【答案】 ，
【分析】利用 ，得 ，再变形为 ，根据数列
是以 为首项， 为公差的等差数列，求出 ；根据两个等差数列的第一个公共项为首项，两个等差数列的公差的最小公倍数为公差，可求出通项公式.
【详解】当 时， ， ；
当 时， ， ，即
，
， 数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
， ；
数列 是两个等差数列 与 的公共项组成的新数列，
数列 的首项为 ，因为等差数列 ，的公差为 ，等差数列 的
公差为 ，所以数列 是等差数列，且公差为 ，
.
17．已知数列 中， ，求数列 的通项公式；
【答案】 ．
【分析】由已知可得数列 是首项为1，公差为2的等差数列，求其通项公式，可得数
列 的通项公式；
【详解】解：由 ，
得： ，
∴ ，
试卷第12页，共3页即数列 是首项为1，公差为2的等差数列，
∴ ，
得 ．
18．设数列 的前 项和为 ．
(1)设 ，求证：数列 是等比数列；
(2)求 及 ．
【答案】(1)证明见解析(2) ，
【分析】（1） ，再由 得 的递推关系式，进而得出 ，然后由等比
数列的定义证明；
（2）由 的递推关系，构造一个等比数列求出通项公式后可得 ，代入已知式得 ．
【详解】（1）证明：当 时， ，解得 ，
，
化为 ，
所以 ，
可得 ， ，
则数列 是首项和公比均为2的等比数列；
（2）由 ，
可得 ，则 为公差为 ，首项为 的等差数列，
可得 ，
则 ；
所以 ．
19．已知列 满足 ，且 ， ．
（1）设 ，证明：数列 为等差数列；
（2）求数列 的通项公式；
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）根据题设递推式得 ，根据等差数列的定义，结论得证.
（2）由（1）直接写出通项公式即可.
【详解】（1）由题设知： ，且 ，
∴ 是首项、公差均为1的等差数列，又 ，则数列 为等差数列，得证.
（2）由（1）知： .
20．已知数列 满足 ， .求数列 的通项公式.
【答案】
【分析】对 变形可得 ，从而可得数列 为等比数
列，进而可求出 .
【详解】因为 ，所以 ，又 ，
试卷第14页，共3页所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
所以 .
考点03：叠加法与叠乘法求通项
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将 上 述 个 式 子 两 边 分 别 相 加 ， 可 得 ：
①若 是关于 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
②若 是关于 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若 是关于 的二次函数，累加后可分组求和；
④若 是关于 的分式函数，累加后可裂项求和．
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：将上述 个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
21．已知数列 满足： 且 ，则数列 的通项公式为
．
【答案】
【分析】根据累乘法求数列通项公式即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
累乘可得 ，
即 ，所以 ，
当 时， 也成立，
所以 .
故答案为：
试卷第16页，共3页22．已知数列 满足 ， ，则 ，
.
【答案】 0 2023
【分析】分别令 可求出 ；由 可得
，再由累乘法即可求出 ，代入可求出 .
【详解】令 可得： ，所以 ，
令 可得： ，所以 ，
由 可得： ，
所以 ，
，
……，
，以上 个式子相加可得：
，所以 ，
则 .
故答案为：0；2023.
23．已知数列{an}满足 ，a＝1，则a ＝
1 2 023
【答案】4045
【详解】∵ ＝2n，∴ an＋1＋an＝2n(an＋1－an)，即(1－2n)an＋1＝(－2n－1)an，可得
＝ ，∴ a2 023＝ × × ×…× × ×a1＝ × × …× × ×1＝4
045.
24．数列 中，若 ， ，则 .
【答案】
【分析】根据数列的递推关系式结合累乘法即可得 .
【详解】由题意， ， 可得 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
25．数列 满足 ，则
.
【答案】
【分析】由累乘法求出 ，再由错位相减法求出数列 的前 项和为 ，即可求
出 ，代入求解即可.
【详解】由 可得： ，
当 时，
试卷第18页，共3页， ， ，……， ，
所以上述 式子相乘可得： ，所以 ，
令 ， ，所以 满足 ，所以 .
设数列 的前 项和为 ，
①，
②，
①减②可得：
所以 ，
所以 ，
所以
.
故答案为： .
26．已知正项数列 满足 ，则 .
【答案】
【分析】由递推公式可得 ，再由累乘法即可求得结果.【详解】由 可得 ，
由累乘可得 .
故答案为：
27．已知数列 满足 ， ， ，则 ．
【答案】128
【分析】由题意，根据等比数列的定义可知数列 是首项为 ，公比为4的等比
数列，由等比数列的通项公式可得 ，利用累乘法求得 ，令 ，计
算即可求解.
【详解】由题意知， ，即 ，又 ，
所以数列 是首项为 ，公比为4的等比数列，
所以 ，
当 时， ，
所以 .
故答案为：128
28．数列 中， ，且 ，则 等于 .
试卷第20页，共3页【答案】
【分析】
先根据条件求首项，再利用累乘法求通项即可.
【详解】由题意可知： ，
显然有 ，
由累乘法可得 .
而 符合，
故答案为：
29．在数列 中，已知 ，且 ，则 ．
【答案】
【分析】由累加法和裂项相消法求通项即可得出答案.
【详解】由 可得：
，．
故答案为： .
30．数列 满足 ，且 ，则数列 的前2024项和为 .
【答案】
【分析】由 运用迭代法求出 ，则 ，利
用裂项相消法即可求得 的前2024项和.
【详解】由 可得 ，
则 ，
则 ，
故数列 的前2024项和为 .
故答案为： .
考点04：构造数列法求通项
㈠形如 （其中 均为常数且 ）型的递推式：
（1）若 时，数列{ }为等差数列；
（2）若 时，数列{ }为等比数列；
（3）若 且 时，数列{ }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等
试卷第22页，共3页比数列来求．方法有如下两种：
法 一 ： 设 ， 展 开 移 项 整 理 得 ， 与 题 设
比较系数（待定系数法）得
，即 构成以 为首项，以 为公比的等比
数列．再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可得
法二：由 得 两式相减并整理得 即
构成以 为首项，以 为公比的等比数列．求出 的通项再转化为
类型Ⅲ（累加法）便可求出
31．已知数列 中， ， ，若 ，则数列 的前 项和
.
【答案】
【分析】根据条件，先构造等比数列求出 ，再由 得 ，从而可求和.
【详解】由 ，有 ，
，两式相除得到 ，所以 是以 为公比， 为首项的等比数列，
所以 ，则 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
32．已知数列 的首项 ,且 ,则满足条件的最大
整数 .
【答案】2024
【分析】将已知条件递推公式,取倒数,变换为 ,则有 是等比数列,
从而得 ,分组求和求出新数列 ,根据 的单调性,即可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以数列 是等比数列，首项为 ,公比为 ，
试卷第24页，共3页所以 ,即 ，
所以
，
而当 时， 单调递增，
又因为 ,且 ，
所以满足条件的最大整数 .
故答案为：2024.
33．已知数列 ，其中 ，满足 ，设 为数列 的前n项
和，当不等式 成立时，正整数n的最小值为 .
【答案】9
【分析】利用递推关系式得 ，由此可证得 是等
比数列；由等比数列通项公式推导可得 ，进而可求得 的表达式，代入解不等式即可求
解.
【详解】因为由 得： ，
又 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 .
所以 ，所以 等价 ，
由 知，满足 正整数n的最小值为9.
故答案为：9.
34．在数列 的首项为 ，且满足 ，设数列 的前 项和 ，则
， ．
【答案】
【分析】借助所给条件可构造 ，即可得数列 为等比数列，即
可得 ，借助等比数列前 项和公式即可得 .
【详解】由 ，即 ，
则 ，又 ，
故数列 是以 为公比、 为首项的等比数列，
即 ，则 ，
.
故答案为： ； .
35．已知数列 的首项 ，且 ，则
.
【答案】2022
试卷第26页，共3页【分析】利用构造法求出数列 的通项公式，则 ，结合等差数列前n项求和公式计
算即可求解.
【详解】由 ，得 ，又 ，
所以数列 是以4为公比、以4为首项的等比数列，
所以 ，得 .
所以 ，
则 .
故答案为：2022
36．在数列 中， ，且 ，则 的通项公式为 ．
【答案】
【分析】利用待定系数法，设 ，变形得出
，对比题干中的等式，求出 、 的值，可知数列 为等
比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列 的通项公式.
【详解】因为 ，设 ，其中 、
，
整理可得 ，
所以， ，解得 ，所以， ，
且 ，所以，数列 是首项为 ，公比也为 的等比数列，
所以， ，解得 .故答案为： .
37．在数列 中， ，若对任意的 恒成立，则实
数 的最小值 .
【答案】
【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒成
立问题和数列的单调性的应用求出结果．
【详解】由 整理得 ，即 ，又 ，
故数列 是以4为首项，4为公比的等比数列，可得 ,
不等式 ，可化为 ，
令 ，当 时， ；
当 时， ， ，
故当 时， 单调递减，故 ，
综上， ，
所以 ，故 最小值为 ．
故答案为：
38．记数列 的前 项和为 ，若 ，则 .
【答案】
【分析】由 与 的关系即可求出 ，进而求 .
【详解】由题意当 时， ，解得 ，
试卷第28页，共3页当 时，由 可得 ，
两式相减得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 是首项为 ，公比为2的等比数列，
所以 ，
所以 ，故 .
故答案为：
39．已知数列 的前 项和为 ，满足 ，则 ．
【答案】
【分析】根据题意结合 与 之间的关系整理可得 ，进而结合等比数列
的定义与通项公式分析求解.
【详解】因为 ，则 ，
整理得 ，且 ，
可知数列 是以首项为3，公比为2的等比数列，
可得 ，所以 .
故答案为： .
40．已知数列 满足 ， ， 为数列 的前n项和，则满足不
等式 的n的最大值为 .
【答案】8【分析】已知递推关系凑配一个等比数列，从而可得通项公式 ，再由分组求得法及等比
数列的前 项和公式求得 ，化简不等式后求解即得．
【详解】由 得 ，又 ，从而 ，
所以 是等比数列，所以 ，
，所以 ，
，由 得 （因为 是正整数），
所以 的最大值是8.
故答案为：8.
考点05：错位相减求和
错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成
的，那么求这个数列的前 项和即可用错位相减法求解．
41．已知数列 的通项公式为： ， ，则数列 的前100项之和为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用错位相减法求和作答.
【详解】令数列 的前n项和为 ，因为 ，
则 ，
则有
试卷第30页，共3页两式相减得： ，
因此 ，有 ，
所以数列 的前100项之和为 .
故选：B
42． （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察数列属于等差乘等比模型，按照错位相减法求和即可.
【详解】由 ，
得 ，
两式相减得
.
所以 .
故选：B.
43．数列 的前n项和等于（ ）．
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】根据错位相减法求解即可得答案.
【详解】解：设 的前n项和为 ，
则 ， ①
所以 ， ②
①－②，得 ，
所以 ．
故选:B．
44．已知数列 中， ， .
(1)证明数列 为等差数列，并求 ；
(2)求 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析， (2) .
【分析】（1）依题意可得 ，结合等差数列的定义证明即可，再由等差数
列的通项公式计算可得；
（2）利用错位相减法计算可得.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，故 ，
即数列 是以 为公差的等差数列，
又 ，所以 ，
试卷第32页，共3页故 ，
所以 .
（2）依题意可得 ，
，
两式相减可得 ，
所以 .
45．已知数列 的首项为 ，且满足 .
(1)求证 为等差数列，并求出数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求 .
【答案】(1)证明见解析， (2)
【分析】（1）利用等差数列的定义证明 为等差数列，由数列 的通项公式求
的通项公式；
（2）利用错位相减法求和.
【详解】（1）证明：数列 的首项为 ，且满足 ，
则有 ，又 ，所以数列 是以2为首项，公差为3的等差数列；
则有 ，
所以 .
（2）由（1）得， ，
所以 ，①
，②
由① ②得，
所以 .
46．数列 满足 ， （ ）．
(1)计算 ， ，猜想数列 的通项公式并证明；
(2)求数列 的前n项和；
【答案】(1) ， ，猜测 ，证明见解析
(2)
【分析】（1）直接通过递推公式计算，然后猜测 并证明；
（2）使用错位相减法即可.
试卷第34页，共3页【详解】（1） ， .
猜测 ，下面用数学归纳法证明：
当 时，由 知结论成立；
假设结论对 成立，即 ，则 ，故结论
对 成立.
综上，有 成立.
（2）设数列 的前 项和为 ，则 .
所以
.
故 .
47．已知数列 满足 ， ，且对 ，都有 ．
(1)设 ，证明数列 为等差数列；
(2)求数列 的通项公式．
(3)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析(2) ， (3)
【分析】（1）由 得 ，根据等差数列的定义可得；
（2）由（1）可得 时， ，利用累加法可得 ，验证
即可；
（3）利用错位相减法求和可得.
【详解】（1）证明： ， ，
，即 ，则数列 为等差数列；
（2） ， ， ， ，
，又 ，
当 时， ， ， ， ，
累加有 ，则 ．
也符合上式，所以数列 的通项公式为 ， .
（3） ，
①，
②，
① ②得
，
．
48．已知等比数列 的各项均为正数，前n项和为 ，且满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
试卷第36页，共3页(2)若数列 满足 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) (2) ．
【分析】（1）设等比数列的公比为 ，由已知条件和等比数列基本量的计算，求出
数列首项和公比，得通项公式；
（2）利用错位相减法可得数列 的前n项和 ．
【详解】（1）设数列 的公比为 ，
∵ ， ，
∴ ，
即 ，∴ （ 舍去），
∴ ，即 ，
∴ ．
（2）∵ ，∴ ．
∴ ，
，
两式相减得 ，
∴ ．
49．已知数列 .
(1)求 ；(2)令 为数列 的前 项和，求 .
【答案】(1) (2) .
【分析】（1）利用 得到 ，再用两式相减可得 ，由于此时
，所以需要对第一项和第二项进行检验， ，最后可判断 是
等比数列，并求出通项；
（2）先求出 ，再利用错位相减法来求出它的前 项和.
【详解】（1）由 ，
所以当 时，有 ，两式相减得： ，
即 .
又有 ，
所以 是以 为首项，公比为2的等比数列，所以 .
（2）由（1）知： ，
所以 ，
则 ，
上面两式相减得：
试卷第38页，共3页，
所以 .
50．已知数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由 的关系分 是否等于1进行讨论即可求解；
（2）首先得 ，进一步结合错位相减法以及等比数列求和公式即可得
解.
【详解】（1）
当 时 ，
当 时， ，两式相减得 ，
，
数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
（2）由（1）可知 ，记 ，，
，
两式相减得
.
考点06：裂项相消求和
裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从
而求得前n项和．
积累裂项模型：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
试卷第40页，共3页（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
51．若数列 满足 （ 且 ）， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将数列递推式整理裂项，运用累加法和裂项相消法求和，得到数列通项即得.
【详解】由 可得 ，
则有，
.
故 .
故选：C.
52．数列 满足 ，则数列 的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据等差数列求和公式得到 ，从而得到 ，再由裂
项相消法计算可得.
【详解】因为 ，
所以 ，
设数列 的前 项和为 ，
则 .
故选：B
53．数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定的通项公式，利用裂项相法求和即得.
【详解】依题意， ，
则 ，
所以 .
故选：D
54．已知数列 满足 ，若 ，则 的
前2024项和为（ ）
试卷第42页，共3页A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由数列的递推式推得 ，从而得到 ，再由
裂项相消法求和即可．
【详解】因为 ，
当 时 ；
当 时， ，
两式相减可得 ，
所以 ，经检验当 时 也成立，
所以 ，所以 ，
设 的前 项和为 ，
则
．
故选：B．
55．数列 的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先将 化为 ，再利用裂项相消法求出它的前 项和．
【详解】
由题意得， ，所以数列 的前 项和
，
故选：A．
56．已知数列1， ， ，…， ，…，其前n项和为 ，则正整数
n的值为（ ）．
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】先求出数列的通项公式，再裂项相消求和列方程求n的值.
【详解】 ，
所以前n项和为 ，
解得 .
故选：C.
57．三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数
如图所示.记三角形数构成的数列为 ，则使数列 的前n项和 的最小正整数
n为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
试卷第44页，共3页【分析】由题意可得 ，则 ，然后累
加求和即可.
【详解】由题意可得 ，
则 ，
则 ，
又 ，
则 ，
则 ，
则使数列 的前n项和 的最小正整数n为7
故选：C.
58．数列 中， ， ，则 （ ）
A．51 B．40 C．41 D．50
【答案】B
【分析】化简得到 ，利用裂项相消法求和，得到方程，求出答案.
【详解】 ，
故
，
故 ，解得 .故选：B
59．已知 是等差数列，且 ， ，则 （ ）
A．15 B．26 C．28 D．32
【答案】C
【分析】设出公差为 ，进而裂项相消法求和得到 ，
从而得到方程，求出公差，进而求出答案.
【详解】设公差为 ，若 ，则 ，不满足题意，所以 ，
则 ，
则 ，
所以
，
故 ，解得 ，
故 .
故选：C
60．在各项均不相等的等差数列 中， ，且 等比数列，数列 的前 项
和 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
试卷第46页，共3页(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ， (2)
【分析】（1）设数列 的公差为 ，由已知可得 ，解得 （舍
去）或 ，可求数列 的通项公式，利用 与 的关系可求得 的通项公式；
（2）利用 ，可求数列 的前 项和.
【详解】（1）设数列 的公差为 ，则 ，
成等比数列， ，即 ，
整理得 ，解得 （舍去）或 ，
，
当 时， ，
当 时， 满足上式，
所以数列 的通项公式为 .
（2） ，
则数列 的前 项和
.考点07：分组求和
分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，
则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
61．已知各项均为正数的数列 的前n项和为 ， ， ， ，
则 （ ）
A．511 B．61 C．93 D．125
【答案】D
【分析】由条件推得 ，故按照 分类得到 和 两种首项不同，但
公比相同的等比数列，利用分组求和即得 .
【详解】由 可得 ，①，当 时， ，②
由 可得： （*），由 代入 解得 ，
由（*）知数列 ,组成首项为1，公比为2的等比数列，
数列 ,组成首项为2，公比为2的等比数列.
故
.
故选：D.
62．记数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A．301 B．101 C． D．
试卷第48页，共3页【答案】C
【分析】根据给定条件，利用分组求和法计算即得.
【详解】数列 中， ，则 ，
所以
故选：C
63．在数列 中， ，且 ，则其前 项的和为（ ）
A．841 B．421 C．840 D．420
【答案】A
【分析】设数列 的前 项和为 ，则 ，利
用等差数列求和公式计算可得.
【详解】设数列 的前 项和为 ，因为 ，且 ，
则
.
故选：A
64．记数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．590 B．602 C．630 D．650
【答案】A
【分析】根据 作差得到 ，再计算出 ，即可得到
，再利用并项求和法计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，
两式相减可得 .
由 ， ，解得 ，
所以 ，满足上式，故 ，
所以
.
故选：A
65．设数列 满足 ．设 为数列 的前
项的和，则 （ ）
A．110 B．120 C．288 D．306
【答案】A
【分析】利用分组求和法，结合已知，可得答案.
【详解】
.
故选：A.
66．设数列 是以2为首项，1为公差的等差数列， 是以1为首项，2为公比的等比
数列，则 （ ）
A．1011 B．1022 C．1033 D．1044
试卷第50页，共3页【答案】C
【分析】根据给定条件，分别求出 和 的通项公式，再求出 的通项，并利用分
组求和法求解即得.
【详解】由数列 是以2为首项，1为公差的等差数列，得 ，
由 是以1为首项，2为公比的等比数列，得 ，
因此 ，所以 .
故选：C
67．在数列 中，已知 ， ，则 的前11项的和为（ ）
A．2045 B．2046 C．4093 D．4094
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出 ，再利用并项求和法，即可计算得解.
【详解】由 ，得 ，而 ，解得 ，
所以 的前11项的和
.
故选：C
68．已知数列 满足 ，则其前9项和 .
【答案】
【分析】借助 ，结合 代入计
算即可得.
【详解】
.故答案为： .
69．已知数列 满足 ，且前12项和为134，则 ．
【答案】1
【分析】由数列的递推式，讨论n为奇数和偶数时，结合等差数列的通项公式，解方程可
得所求值．
【详解】因为 ，
当n为奇数时， ，
即 ，
，
可得 ；
当n为偶数 ，
即 ，
可得 ，
则前12项和为 ，解得 ．
故答案为：1
70．已知数列 为公差不为零的等差数列，其前n项和为 ， ，且 ， ，
成等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 是公比为3的等比数列，且 ，求 的前n项和 ．
【答案】(1) (2)
试卷第52页，共3页【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于 和d
的方程，求解即可得 的通项公式；
（2）由（1）可得等比数列 的第三项 ，进而得 ，从而得到 的通项
公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出 .
【详解】（1）因为 为等差数列，设公差为d，
由 ，得 ， 即 ，
由 ， ， 成等比数列得 ， ，
化简 得 ，因为 ，所以 ．
所以 ．
综上 ．
（2）由 知 ， ，
又 为公比是3的等比数列， ，
所以 ，即 ，
所以 ， ，
所以
.
综上 .试卷第54页，共3页
