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第 04 讲 分式方程
课程标准 学习目标
1. 掌握分式方程的概念、能够熟练的判断分式方程，
①分式方程的概念
并根据分式方程的概念求值。
②解分式方程
2. 掌握解分式方程的方法并能够熟练的解分式方程。
③分式方程的实际应用
3. 能够熟练的应用分式方程解决实际问题。
知识点01 分式方程的概念
1. 分式方程的概念：
未知数 的方程叫做分式方程。
分母中含有
题型考点：①判断分式方程。
【即学即练1】
1．下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． + ＝1 B．x+ ＝2 C．2x＝x﹣5 D．x﹣4y＝1
【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程符合分式方程的定义，故本选项符合题意；C、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D、该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【即学即练2】
2．在① x2﹣x+ ，② ﹣3＝a+4，③ +5x＝6，④ ＝1 中，其中关于 x 的分式方程的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①x2﹣x+ 是分式，不是分式方程；
② ﹣3＝a+4是关于a的分式方程；
③ +5x＝6是一元一次方程；
④ ＝1是关于x的分式方程，
故关于x的分式方程只有一个．
故选：A．
知识点02 解分式方程
1. 解分式方程的基本思路：
去分母：分式方程的两边同时乘以分母的 最简公分母 。使分式方程转化为整式方程再进行求解。
2. 解分式方程的基本步骤：
①去分母：分式方程的左右两边乘以分母的 最简公分母 ，将分式方程转化为整式方程。
②解整式方程：
③检验：将解出的整式方程的解带入 最简公分母 中，若最简公分母不为0，则整式方程的解就
是分式方程的解。若最简公分母为0，则整式方程的解是分式方程的 曾根 ，原分式方程无解。
④写解：根据检验的情况写出分式方程的解。
注意解分式方程一定要检验。
题型考点：①解分式方程。②分式方程的曾根与无解 。③分式方程的特殊解
【即学即练1】
3．解分式方程．
（1） ；
（2） ．【解答】解：（1） ，
解：方程两边同乘（4﹣x），得x﹣3﹣4+x＝﹣1，
移项、合并同类项得2x＝6，
解得x＝3，
检验：当x＝3时，4﹣x＝4﹣3＝1≠0，所以x＝3是原分式方程的解．
（2） ，
解：方程两边同乘x（x﹣1），得3（x﹣1）+6x＝x+5，
去括号得3x﹣3+6x＝x+5，
移项、合并同类项得8x＝8，
解得x＝1，
检验：当x＝1时，x（x﹣1）＝0，所以x＝1是增根，原分式方程无解．
【即学即练2】
4．解方程：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）去分母得：x（x+2）﹣2＝x2﹣4，
去括号得：x2+2x﹣2＝x2﹣4，
移项、合并同类项得：2x＝﹣2，
系数化1得：x＝﹣1．
检验：当x＝﹣1时，x2﹣4＝﹣3≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣1．
（2）去分母得：2（x﹣1）+3（x+1）＝1，
去括号得：2x﹣2+3x+3＝1，
移项、合并同类项得：5x＝0，
系数化1得：x＝0．
检验：当x＝0时，x2﹣1＝﹣1≠0，
∴分式方程的解为x＝0．
【即学即练3】
5．解下列分式方程：
（1） ；（2） ．
【解答】解：（1）原方程去分母得：x﹣2＝3（2x﹣1），
去括号得：x﹣2＝6x﹣3，
移项，合并同类项得：﹣5x＝﹣1，
系数化为1得：x＝ ，
经检验，x＝ 是分式方程的解，
故原方程的解为x＝ ；
（2） ，
去分母得：8+x2﹣4＝x（x+2），
去括号得：8+x2﹣4＝x2+2x，
移项得：x2﹣x2﹣2x＝﹣8+4，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是分式方程的增解，
∴原分式方程无解．
【即学即练4】
6．若在解关于x的方程 时，会产生增根，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得
x+7+2（x﹣1）＝m+5，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣1＝0，
解得x＝1．
当x＝1时，1+7＝m+5，
∴m＝3．
故选：A．
【即学即练5】
7．若关于x的分式方程 有增根，则m的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
【解答】解： ，3﹣（x+m）＝x﹣4，
解得：x＝ ，
∵分式方程有增根，
∴x＝4，
把x＝4代入x＝ 中得：
4＝ ，
解得：m＝﹣1，
故选：D．
【即学即练6】
8．若关于x的分式方程 无解，则k的取值是（ ）
A．﹣3 B．﹣3或﹣5 C．1 D．1或﹣5
【解答】解： ，
去分母，得6x＝x+3﹣k（x﹣1），
∴（5+k）x＝3+k，
∵关于x的分式方程 无解，
∴分两种情况：
当5+k＝0时，k＝﹣5，
当x（x﹣1）＝0时，x＝0或1，
当x＝0时，0＝3+k，
∴k＝﹣3，
当x＝1时，5+k＝3+k，
∴k不存在，故不符合题意，
综上所述：k的值为：﹣3或﹣5．
故选：B．
【即学即练7】
9．若关于x的方程 ＝1的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m＞3 C．m＞3且m≠1 D．m＜3且m≠1
【解答】解：方程两边都乘以x﹣1，得：2﹣（x+m）＝x﹣1，
解得：x＝ ，
∵方程的解是正数，∴ ＞0且 ，
解得：m＜3且m≠1，
故选：D．
【即学即练8】
10．已知关于x的分式方程 +1＝ 的解是非负数．则m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠﹣2 D．m＜2且m≠﹣2
【解答】解：分式方程去分母得：m+x﹣2＝﹣x，
解得：x＝ ，
由分式方程的解是非负数，得到 ≥0，且 ﹣2≠0，
解得：m≤2且m≠﹣2，
故选：C．
知识点03 列分式方程解实际应用题
1. 列分式方程解实际应用题的基本步骤：
①审：仔细审题，审清题意，找出题目中已知量与未知量的 等量关系 。
②设：设出未知数。
③列：列出分式方程。
④解：解分式方程。
⑤验：检验求出的解是不是分式方程的解，也要检验这个解是否符合实际问题。
⑥答：写出答案。
题型考点：①由实际问题抽象出分式方程。②列分式方程解决实际问题。
【即学即练1】
11．2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地震应急演练，
在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多 15，结果2000名同学全部撤离的时间比
第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意得： ＝ +240，
故选：A．
【即学即练2】12．为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校 15km的烈
士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了30min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已
知汽车的速度是骑车师生速度的 2倍，设骑车师生的速度为x km/h．根据题意，下列方程正确的是（
）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵骑车师生的速度为x km/h，汽车的速度是骑车师生速度的2倍，
∴汽车的速度是2x km/h，
又∵30min＝ h，
∴ ．
故选：B．
【即学即练3】
13．某文教用品商店购进甲、乙两种文具进行销售，一个甲种文具的进价比一个乙种文具的进价多 5元，
用4000元购进甲种文具的数量是用1500元购进乙种文具的数量的2倍．
（1）求每个甲种文具的进价是多少元？
（2）该商店将每个甲种文具的售价定为30元，每个乙种文具的售价定为25元，商店根据市场需求，
决定向文具厂再购进一批文具，且购进乙种文具的数量比购进甲种文具的数量的 2倍还多6个，若本次
购进的两种文具全部售出后，总获利不低于3360元．求该商店本次购进甲种文具至少是多少个？
【解答】解：（1）设每个乙种文具的进价是m元，则每个甲种文具的进价是（m+5）元，
由题意得： ，
解得：m＝15，
经检验，m＝15是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+5＝15+5＝20，
答：每个甲种文具的进价是20元；
（2）设该商店本次购进甲种文具n个，则购进乙种文具（2n+6）个，
由题意得：（30﹣20）n+（25﹣15）（2n+6）≥3360，
解得：n≥110，
答：该商店本次购进甲种文具至少是110个．
【即学即练4】
14．杭州亚运会于9月23日正式开幕，其吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”受到了广大群众的喜爱，学校计划
购买一批吉祥物挂件和吉祥物徽章作为奖品，其中吉祥物挂件占 ．
（1）求吉祥物徽章的个数占吉祥物挂件个数的几分之几？（2）通过对学生的调查得知，喜欢吉祥物徽章的学生较多，因此学校决定再多买50个吉祥物徽章，这
样吉祥物徽章的数量就占吉祥物挂件的 ，求学校共买了多少个吉祥物挂件？
（3）在（2）的条件下，若授权店将吉祥物徽章按照原价 销售，那么吉祥物徽章的单价恰好是吉祥物
挂件单价的 ，但购买当天授权店无优惠活动，学校购买吉祥物挂件和吉祥物徽章共花 14750元，求吉
祥物挂件的单价为多少元？
【解答】解：（1）1﹣ ＝ ，
＝ ，
答：吉祥物徽章的个数占吉祥物挂件个数的 ；
（2）设吉祥物徽章原来为x个，则购买后为（x+50）个，原来吉祥物挂件为 x个，
由题意得， ＝ ，
解得：x＝200，
x＝300，
答：学校共买了300个吉祥物挂件；
（3 ）设吉祥物徽章原价为y元，则吉祥物挂件单价为 元，
由题意得，250y+300× ＝14750，
解得：y＝35，
＝20，
答：吉祥物挂件的单价为20元．题型01 判断分式方程
【典例1】
在方程 ， ， ， 中，分式方程有 3 个．
【解答】解：在方程 ， ， ， 中，分式方程有 ， ，
，一共有3个．
故答案为：3．
【典例2】
下列方程不是分式方程的是（ ）
A． +x＝2+3x B． ＝
C． ﹣ ＝4 D． + ＝1
【解答】解：A、方程分母中含未知数x，故A是分式方程；
B、方程分母中含未知数x，故B是分式方程；
C、方程分母中不含未知数，故C不是分式方程；
D、方程分母中含未知数x，故D是分式方程；
故选：C．
【典例3】
下面是分式方程的是（ ）
A． + B． ＝
C． x+5＝ （x﹣6） D． + ＝1
【解答】解：A、不是方程，故本选项错误；
B、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误；
C、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误；
D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项正确．
故选：D．
【典例4】
有下列方程：① ；② ；③ ；④ ．属于分式方程的有（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【解答】解：①2x+ ＝10是整式方程，
②x﹣ ＝2是分式方程，
③ ﹣3＝0是分式方程，
④ + ＝0是整式方程，
所以，属于分式方程的有②③．
故选：B．
题型02 解分式方程
【典例1】
嘉淇解分式方程 的过程如下：
解：去分母，得6＝2x﹣（3x﹣3）①
去括号，得6＝2x﹣3x﹣3②
移项、合并同类项，得x＝﹣9③
因为x＝﹣9时，各分母均不为0，
所以，原分式方程的解是x＝﹣9．④
以上步骤中，最开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：解分式方程 的过程如下：
去分母，得6＝2x﹣（3x﹣3），
去括号，得6＝2x﹣3x+3，
移项、合并同类项，得x＝﹣3，
因为x＝﹣3时，各分母均不为0，
所以，原分式方程的解是x＝﹣3．
所以最开始出错的一步是②．
故选：B．
【典例2】
解方程：
（1） ；（2） ．
【解答】解：（1） ，
方程两边同时乘x（x+1），得5x+2＝3x，
解得x＝﹣1；
经检验，x＝﹣1是增根，原方程无解；
（2） ，
方程两边同时乘2（x+1），
2（x+1）﹣（x﹣3）＝6x，
解得x＝1，
经检验，x＝1是原方程的根．
【典例3】
解方程：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1） ，
方程两边同时乘以 （3﹣x），得：
2x+1＝﹣3+x，
解得：x＝﹣4，
检验：当x＝﹣4时，3﹣x≠0，
∴原方程的解是x＝﹣4；
（2） ，
方程两边同时乘以 x（x+1）（x﹣1），得：
2x﹣（x﹣1）＝0，
解得 x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x＝﹣1是原方程的增根，
∴原方程无解．
【典例4】
解方程：（1） ＝5 ．
（2） ＝0．
【解答】解：（1） ＝5 ．
方程两边同乘（x﹣1），得：3＝5（x﹣1）﹣3x，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣1≠0，
∴原分式方程的解为：x＝4；
（2） ＝0，
原方程变形为： ＝0，
两边同乘x（x+1）（x﹣1），得：
5（x﹣1）﹣（x+1）＝0，
解得：x＝ ，
检验：当x＝ 时，x（x+1）（x﹣1）≠0，
∴原分式方程的解为：x＝ ．
【典例4】
解方程：
（1） ＝ +1；
（2） ﹣ ＝ ．
【解答】解：（1）方程两边同时乘（3x+3），
得3x＝2x+3x+3，
整理，得3x＝5x+3，
解得x＝ ，
检验：当x＝ 时，3x+3＝ ≠0，
∴原方程的解为x＝ ．
（2）方程两边同时乘（x+3）（x﹣3），得x﹣3+2（x+3）＝12，
整理，得x﹣3+2x+6＝12，
解得x＝3，
检验：当x＝3时，（x+3）（x﹣3）＝0，
∴原方程无解．
题型03 分式方程的曾根与无解
【典例1】
若关于x的分式方程 有增根，则m的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
【解答】解：方程两边都乘（x﹣4），
得3＝（x﹣4）+（x+m），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣4＝0，
解得x＝4，
当x＝4时，m＝﹣1，
故m的值是﹣1．
故选：D．
【典例2】
若关于x的分式方程 有增根，且关于y的不等式m+n≤y≤8中有2个整数解，则整数n是（
）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解： ，
方程两边同乘以（x﹣3），得x﹣1＝m﹣2+2（x﹣3），
解得x＝﹣m+7，
∵关于x的分式方程 有增根，
∴﹣m+7＝3，
解得m＝4，
∴4+n≤y≤8，
∵关于y的不等式4+n≤y≤8中有2个整数解，
∴6＜4+n≤7，
解得2＜n≤3，
则整数n是3，故选：A．
【典例3】
若关于x的分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣1或2
【解答】解：去分母得：2m（x+1）+m（x﹣1）＝4，
由分式方程有增根，得到x＝1或x＝﹣1，
把x＝1代入整式方程得：2m×（1+1）+m×（1﹣1）＝4
解得：m＝1；
把x＝﹣1代入整式方程得：2m×（﹣1+1）+m×（﹣1﹣1）＝4，
解得：m＝﹣2；
故选：C．
【典例4】
若关于x的分式方程 无解，则m的值是（ ）
A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6
【解答】解：去分母得：﹣x﹣m+x（x+2）＝（x+2）（x﹣2），
由分式方程无解，得到x＝2或x＝﹣2，
把x＝2代入整式方程得：m＝6；
把x＝﹣2代入整式方程得：m＝2．
故选：A．
【典例5】
若关于x的方程 ＝ +1无解，则a的值是（ ）
A．1 B．3 C．﹣1或2 D．1或2
【解答】解： ＝ +1，
去分母得，ax＝2+x﹣1，
整理得，（a﹣1）x＝1，
当x＝1时，分式方程无解，
则a﹣1＝1，
解得，a＝2；
当整式方程无解时，a＝1，
故选：D．
题型04 分式方程的特殊解【典例1】
若整数a使关于x的不等式组 有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程 的
解满足y＜7，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8 B．6 C．10 D．7
【解答】解：不等式组 的解集是﹣1≤x＜ ，
∵该不等式组有且只有3个整数解，
∴1＜ ≤2，解得﹣2＜a≤4．
分式方程 + ＝﹣1的解是y＝6﹣a（y≠3），
∵y＜7，即6﹣a＜7，解得a＞﹣1，且a≠3．
综上，﹣1＜a≤4（a为整数），且a≠3，
∴a＝0，1，2，4，
∴0+1+2+4＝7．
故选：D．
【典例2】
若关于x的方程 + ＝2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠8
【解答】解：原方程化为整式方程得：2﹣x﹣m＝2（x﹣2），
解得：x＝2﹣ ，
因为关于x的方程 + ＝2的解为正数，
可得： ，
解得：m＜6，
因为x＝2时原方程无解，
所以可得 ，
解得：m≠0．
故选：C．
【典例3】如果关于x的分式方程 有整数解，且关于x的不等式组 有且只有四个
整数解，那么符合条件的整数a的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【解答】解：解分式方程 得： ，
∵分式方程有整数解，
∴2+a为2的倍数，且 ，即a≠2
解不等式组 得：
∵不等式组有且只有四个整数解
∴
解得：0＜a≤4
综上所述：符合条件的整数a为：a＝4
故选：A．
【典例4】
如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0
C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2
【解答】解：将分式方程两边同乘（x+1），去分母可得：2x﹣m＝x+1，
移项，合并同类项得：x＝m+1，
∵原分式方程的解是负数，
∴m+1＜0，且m+1+1≠0，
解得：m＜﹣1且m≠﹣2，
故选：D．
【典例5】
若整数 a 使得关于 x 的不等式组 至少有 2 个整数解，且使得关于 y 的分式方程
有整数解，则满足条件的整数a之和为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．4【解答】解：解不等式 ﹣ ≥﹣1，得x≥﹣ ，
解不等式 +4＞2x，得x＜ ，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴ ＞1，
解得a＞﹣5，
解分式方程 ，
得y＝﹣ ，
∵方程有整数解，
∴a+1＝±4，±2，±1，
∴a＝﹣5，3，﹣3，1，﹣2，0，
∵a＞﹣5，且﹣ ≠2，
∴a值有3，1，﹣2，0，
∴3+1﹣2+0＝2．
故选：C．
题型05 分式方程的实际应用
【典例1】
阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．
某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点
800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的 1.2倍，乙同学比甲
同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵乙同学的速度是x米/分，
则甲同学的速度是1.2x米/分，
由题意得： ，
故选：D．
【典例2】
甲地到乙地之间的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.5倍，这样由甲地到乙地的行驶时间缩短了90分钟，设原来火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设原来火车的平均速度为x千米/小时，则动车运行速度为1.5x千米/小时，
根据题意，得： ﹣1.5＝ ，
故选：C．
【典例3】
市政府为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，
打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，
实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面
积为x万平方米，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵原计划每天绿化的面积为x万平方米，且实际工作时每天的工作效率比原计划提高了
25%，
∴实际工作时每天绿化的面积为（1+25%）x万平方米．
根据题意得： ﹣ ＝30．
故选：A．
【典例4】
习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应
节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的
1.5倍，现公司用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．
（1）求每辆B型汽车进价是多少万元？
（2）A型汽车利润率为5%，B型汽车利润率为8%，那么该公司出售完此批汽车后总利润是多少元？
【解答】解：（1）设每辆B型汽车进价是x万元，则每辆A型汽车进价是1.5x万元，
根据题意得： ﹣ ＝20，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意．
答：每辆B型汽车进价是10万元；
（2）1500×5%+1200×8%＝171（万元）＝1710000（元），
答：该公司出售完此批汽车后总利润是1710000元．【典例5】
某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，
且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，
满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
【解答】解：（1）设每台A型机器每天搬运货物x吨，则每台B型机器每天搬运货物（x+10）吨，
由题意得： ，
解得：x＝90，
当x＝90时，x（x+10）≠0，
∴x＝90是分式方程的根，
∴x+10＝90+10＝100，
答：每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货物100吨；
（2）设购买A型机器m台，购买总金额为w万元，
由题意得： ，
解得：10≤m≤12，
w＝1.5m+2（30﹣m）＝﹣0.5m+60；
∵﹣0.5＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝12时，w最小，此时w＝﹣0.5×12+60＝54，
∴购买A型机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元．
【典例6】
酸辣粉是重庆的特色美食，三峡广场某小吃店推出两款酸辣粉，一款是“经典手工酸辣粉”，另一款是
“肉沫哨子酸辣粉”．已知1份“经典手工酸辣粉”和2份“肉沫哨子酸辣粉”需34元；3份“经典手
工酸辣粉”和1份“肉沫哨子酸辣粉”需42元．
（1）求“经典手工酸辣粉”和“肉沫哨子酸辣粉”的单价；
（2）红薯粉条是制作酸辣粉的原材料之一，该小吃店老板发现今年第三季度平均每千克红薯粉条的价
格比第二季度上涨了20%，第三季度花600元买到的红薯粉条数量比第二季度花同样的钱买到的红薯粉
条数量少了10千克，求第三季度红薯粉条的单价．
【解答】解：（1）设“经典手工酸辣粉”的单价是x元，“肉沫哨子酸辣粉”的单价是y元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：“经典手工酸辣粉”的单价是10元，“肉沫哨子酸辣粉”的单价是12元；（2）设第二季度红薯粉条的单价为m元，则第三季度红薯粉条的单价为（1+20%）m元，
根据题意得： ﹣ ＝10，
解得：m＝10，
经检验，m＝10是所列方程的解，且符合题意，
∴（1+20%）m＝（1+20%）×10＝12．
答：第三季度红薯粉条的单价为12元．
1．下列各式中为分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、 不是方程，故本选项错误；
B、方程 的分母中含未知数x，所以它是分式方程．故本选项正确；
C、方程 分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；
D、方程 的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；
故选：B．2．解方程 去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（ ）
A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x
C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x
【解答】解：解方程 去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为：1﹣2（x﹣1）＝﹣3x，
故选：B．
3．分式 与 互为相反数，则x的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【解答】解：由题意得 ，
去分母3x+2（1﹣x）＝0，
解得x＝﹣2．
经检验得x＝﹣2是原方程的解．
故选：C．
4．若关于x的分式方程 无解，则n＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
【解答】解： ，
去分母，得 x+x+2＝n﹣1，
合并同类项、系数化为1，得 ，
由题意可知，分式方程的增根为x＝﹣2，
即有 ，解得n＝﹣1．
故选：A．
5．青年志愿团队到某地开展志愿服务活动，他们从距离活动地点11km的地方出发．一部分人骑自行车先
走，过了30min后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车速度是骑车志愿者速度的 2倍，
设骑车志愿者的速度为x km/h．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵骑车师生的速度为x km/h，汽车的速度是骑车师生速度的2倍，
∴汽车的速度是2x km/h，又∵30min＝ h，
∴ ．
故选：B．
6．分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A．3 B．6 C．1或﹣2 D．0或6
【解答】解：将原式去分母得：
2x（x+2）﹣2（x﹣1）（x+2）＝m，
2x2+4x﹣2x2﹣2x+4＝m，
x＝ m﹣2，
∵方程有增根，
∴x＝1或x＝﹣2，
∴ m﹣2＝1或 m﹣2＝﹣2，
∴m＝6或m＝0，
当m＝0时，方程无解，
∴m＝6．
故选：B．
7．若关于x的不等式 的解集为x＞4，且关于x的分式方程 有正整数解，则满
足条件的所有整数m的和为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
【解答】解：不等式组整理得： ，
∵不等式组的解集为x＞4，
∴m≤4，
分式方程去分母得：6+x﹣3＝mx﹣3，
解得：x＝ ，
∵分式方程有正整数解，且x≠3，
∴m﹣1＝1或3或6，
解得：m＝2，4（m＞4的值舍去），
则所有满足题意整数m之和为2+4＝6．故选：B．
8．新能源车的技术越来越成熟，而且更加环保节能．小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航
里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多 0.54元，已知燃油车的油
箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为0.6元/千瓦时，则小松爸
爸选择的两台汽车的续航里程是（ ）
A．600km B．500km C．450km D．400km
【解答】解：设两台汽车的续航里程是x千米，
由题意可得， ，
解得：x＝600，
经检验x＝60是方程的解，
故选：A．
9．已知代数式 与 的值互为倒数，则x＝ ﹣ 3 ．
【解答】解：∵代数式 与 的值互为倒数，
∴ ，
，
，
∴x+4＝﹣2x﹣5，
解得x＝﹣3，
检验：将x＝﹣3代入x2﹣4＝5≠0，2x+5＝﹣1≠0，
∴x＝﹣3．
故答案为：﹣3．
10．若分式方程 + ＝1的解是正数，则m的取值范围为 m ＜ 7 且 m ≠﹣ 1 ．
【解答】解： + ＝1，
去分母得，3﹣（x+m）＝x﹣4，
去括号得，3﹣x﹣m＝x﹣4，
移项得，﹣2x＝m﹣7，
系数化1得，x＝ ，
∵分式方程 + ＝1的解是正数，∴ ，
解得m＜7且m≠﹣1．
故答案为：m＜7且m≠﹣1．
11．甲，乙，丙三管齐开，12分钟可以注满全池，乙，丙，丁三管齐开，15分钟可注满全池．甲，丁两管
齐开，20分钟注满全池，如果是四管齐开，需要 1 0 分钟可以注满全池．
【解答】解：设分别打开甲，乙，丙，丁四个进水管，注满全池所用的时间分别为a分钟，b分钟，c
分钟，d分钟．
根据题意得： ，
三式相加得：2（ ）＝ ，
∴ ＝ ，
则四管齐开，需要10分钟可以注满全池．
故答案为：10．
12．若关于x的一元一次不等式组 的解集为x≥3，且关于y的分式方程 有正整
数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 1 0 ．
【解答】解：不等式组 解得 ，
∵关于x的一元一次不等式组 的解集为x≥3，
∴ ＜3，
∴a＜8，
∵分式方程 ，
∴y＝ ，此方程有正整数解，
∴a+2＞0，
但是y＝ ≠2，
∴a≠2
∴a＞﹣2，
∴﹣2＜a＜8，
∴a的整数解且使y有正整数解有a＝0或4或6，
∴所有满足条件的整数a的值之和是10．
故答案为：10．
13．已知分式方程 ，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚．
（1）若“▲”表示的数为6，求分式方程的解；
（2）小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数．
【解答】解：（1） ，
方程两边同乘（x﹣3），得：6﹣（x﹣1）＝x﹣3，
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，x﹣3≠0，
所以x＝5是原分式方程的解；
（2）设▲＝m， ，
方程两边同乘（x﹣3），得：m﹣（x﹣1）＝x﹣3，
把x＝3代入m﹣（x﹣1）＝x﹣3，得：
m﹣2＝0，
解得：m＝2，
∴原分式方程中“▲”代表的数为2．
14．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少 2元，且用80
元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不
超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两
种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种
方案？
【解答】解：（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，根据题意，得 ＝ ，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：10﹣2＝8．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．
（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个．
由题意得：3y﹣5+y≤95．
解得y≤25．
答：商场最多购进乙商品25个；
（3）由（2）知，（12﹣8）（3y﹣5）+（15﹣10）y＞380，
解得：y＞23 ．
∵y为整数，y≤25，
∴y＝24或25．
∴共有2种方案．
方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；
方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
15．我们把形如 （m，n不为零），且两个解分别为x ＝m，x ＝n的方程称为“十字分式方
1 2
程”．
例如 为十字分式方程，可化为 ，∴x ＝2，x ＝3．
1 2
再如 为十字分式方程，可化为 ．
∴x ＝﹣1，x ＝﹣7．
1 2
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若 为十字分式方程，则x ＝ ﹣ 2 ，x ＝ ﹣ 5 ．
1 2
（2）若十字分式方程 的两个解分别为x ＝a，x ＝b，求 的值．
1 2
（3）若关于x的十字分式方程 的两个解分别为x ，x （k＞3，x ＞x ），求 的
1 2 1 2
值．
【解答】（1）解：∵方程 是十字分式方程，可化为：，
∴x ＝﹣2，x ＝﹣5，
1 2
故答案为：﹣2，﹣5．
（2）解：∵十字分式方程 的两个解分别为：x ＝a，x ＝b，
1 2
∴ab＝﹣4，a+b＝﹣5，
∴ + +1
＝ +1，
＝ ，
＝ ，
＝ ，
＝ ．
（3）解：方程 是十字分式方程，可化为：
，
当k＞3时，2k﹣3﹣k＝k﹣3＞0，
∵关于x的十字分式方程 的两个解分别为：x ，x （k＞3，x ＞x ），
1 2 1 2
∴x ﹣1＝2k﹣3，x ﹣1＝k，
1 2
∴x ＝2k﹣2，x ＝k+1
1 2
，∴ ．
