文档内容
专题 21.8 正方形的性质
教学目标 1. 熟悉正方形的定义，掌握正方形的性质，并能够熟练地应用性质。
1. 重点
（1）正方形的性质。
教学重难点 2. 难点
（1）利用正方形的性质解决线段或角度问题；
（2）利用正方形的性质结合平面直角坐标系求点的坐标。知识点01 正方形的定义
1. 正方形的定义：
四条边都 ，四个角都是 的四边形叫做正方形。
所以正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，还是特殊的菱形。
知识点02 正方形的性质
1. 正方形的性质：
同时具有平行四边形、矩形以及菱形的一切性质。
性质 几何语言 图示
对边平行，四条 AB∥CD，AD∥BC
边
边都相等 AB=BC=CD=AD
角 四个角都是直角 ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°
AC⊥BD，AC=BD
对角线相互垂直
OA=OB=OC=OD
对角线 平分且相等，且
∠BAC=∠DAC=∠ADB=∠CDB
平分每一组对角
=∠DCA=∠BCA=∠CBD=∠ABD=45°
法1：对角线算
1
面积 法 S= AC⋅BD=AB2
2
法2：边的平方
对称性 既是中心对称图形，也是轴对称图形
【即学即练1】
1．正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分
C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等
【即学即练2】
2．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分
B．每条对角线平分一组对角
C．对角线相等
D．对边相等
【即学即练3】
3．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，如图，在正方形ABCD的BC边上取中点E，以点E为圆心，线
段DE长为半径作圆，交BC的延长线于点F，过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，得到长方形CDGF．若AB＝2，则CF的长是（ ）
❑√3−1 ❑√5−1
A．❑√3−1 B． C．❑√5−1 D．
2 2
【即学即练4】
4．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝4，CE＝2，H是AF的中点，那么CH
的长为（ ）
A．❑√10 B．2❑√10 C．3❑√7 D．❑√7
【即学即练5】
5．如图，在正方形ABCD中，F为对角线BD上一点，连接AF并延长交CD于点E，若EF＝EC，则
∠ECF的度数为（ ）
A．36° B．32° C．30° D．28°
【即学即练6】
6．如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边△ABE，连接 DE、AC，相交于点 F，则∠BFC的度数为
（ ）
A．60° B．75° C．45° D．80°
【即学即练7】
7．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固
定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点C落在y轴的正半轴上的点C′处，则点D的对应点D′的坐标为（ ）
A．(−1，❑√3) B．(−1，−❑√3) C．(−2，❑√3) D．(−2，−❑√3)
题型01 利用正方形的性质求线段
【典例1】若一个正方形的对角线长为4cm，则它的面积是（ ）
A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．72cm2
【变式1】如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE，与BC的延
长线相交于点F，连接EF，与边CD相交于点G，与对角线BD相交于点H．若BD＝BF，则BE的长为
（ ）
A．2 B．3❑√2 C．6−3❑√2 D．3❑√2−3
【变式2】如图，正方形ABCD的一条边BC与等腰△CEF的一条边CF在同一直线上，AF分别交CD，
CE于点G，H．已知BC＝CF＝2，CE＝EF=❑√5，则GH的长为（ ）
❑√5 2 2❑√5 5
A． B． C． D．
5 5 9 9
【变式 3】如图，点 E是正方形 ABCD 的中心（对角线的交点），以点 E为直角顶点作 Rt△EFG，
Rt△EFG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为8，则重叠部分四
边形EMCN的面积为（ ）A．6 B．9 C．12 D．16
题型02 利用正方形的性质求角度
【典例1】如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若
∠BAE＝53°，则∠CEF的度数为（ ）
A．13° B．14° C．15° D．16°
【变式1】如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，∠CDE的度数为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【变式2】点E为正方形ABCD中对角线AC上一点（点E不与端点A、C重合），当△CBE为等腰三角形
时，∠ABE的度数为 ．
【变式3】如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别为边BC和AB上的点，且CE＝BF，连
接EF，过点E作EG⊥BC交AC于点G，点H为边AD上的点，连接GH，若GH＝EF，∠FEB＝25°，
则∠AHG的度数为 ．
题型03 利用正方形的性质求坐标
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O（0，0）；B（4，0），则顶点C的坐标
是（ ）A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（﹣2，2） D．(2❑√2，−2)
【变式1】在平面直角坐标系中，正方形OBCD的顶点O的坐标是（0，0），顶点B的坐标是（0，3），
则顶点D的坐标是（ ）
A．（3，0） B．（﹣3，0）
C．（3，0）或（﹣3，0） D．（0，3）或（0，﹣3）
【变式2】如图，将边长为5的正方形OACD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的横坐标为
3，求A的坐标．
【变式3】如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且C
（0，﹣2），D（b，﹣1），则b的值是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
1．矩形、菱形和正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线相等
C．每一条对角线平分一组对角
D．对角线互相垂直
2．下列性质中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形却不具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直
B．对角线互相平分
C．对角线长度相等
D．每一条对角线平分一组对角
3．下列关于特殊四边形性质的说法，正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直且平分
B．正方形的对角线相等且互相垂直平分
C．菱形的对角线相等且互相平分
D．平行四边形是中心对称图形也是轴对称图形
4．如图，在正方形ABCD中，点G在BC边上，连接AG，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若BF＝4，
DE＝9，则EF的长为（ ）
A．5 B．8 C．12 D．2
5．如图，边长为12的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且∠BAE＝∠FAE．则AF的
长为（ ）
A．15 B．16
C．9❑√3 D．(❑√5+2❑√5)×2=6❑√5
6．如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC是边长为3的正方形，其中，点C位于第二象限，点B位
于第一象限，且OC与y轴正半轴的夹角为15°，则点B的坐标为（ ）3❑√2 3❑√6
A．( ， ) B．(2，2❑√3)
2 2
2❑√3 3❑√2 9
C．( ，2) D．( ， )
3 2 2
7．在正方形ABCD中，AC与BD交于点G，若DE平分∠GDC，连接BE并取中点F，连接AF，则∠AEB
的度数是（ ）
A．70° B．62.5° C．67.5° D．75°
8．如图，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，则下列结论错误的是
（ ）
A．BE＝CD B．ED=❑√2OE
C．∠BEC＝75° D．OB2+OE2＝CE2
9．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M、N分别在BC、AD上，点
E、F在MN上，点G、H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE、DE、BF、CF，若图中阴影
部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 BC 上，BE＝1，点 M 在 BC 的延长线上．CP 平分∠DCM，点F在CP上，CF=❑√2，过点F作FH⊥BM于点H，连接AF交CD于点N，连接AE、EF．
17
下列结论：①AE⊥EF；②△AEF的面积为 ；③△ECN的周长为8；④EN2＝BE2+DN2．其中正确
2
结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．把边长为1的正方形纸片对折4次后，所得的图形面积是 ．
12．如图，阴影部分是两个正方形．若两个正方形面积的和与周长的和分别为 5，12，则图中两个空白长
方形的面积之和等于 ．
13．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，EF⊥CD，EG⊥AD，垂足分别为F、G，若
EG＝2，EF＝6，则BE的长度为 ．
14．已知正方形ABCD的边长为8cm．若点N从点A出发，以每秒3cm的速度沿线段AD运动到点D后立
即反向以原速向点A运动；同时点M从点B出发，以每秒4cm的速度沿折线B→C→D方向运动．当点
M到达点D时，两点同时停止运动．当运动时间是 秒时，AN＝CM．
15．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，
连接GM．若正方形ABCD的边长为4，则GM的最小值为 ．
16．一个正方体的木箱卡在了垂直于地面且互相平行的两堵墙之间，抽象出几
何图形如图，AD、BE为墙面，四边形DCEF为正方形，说明该正方体木箱能否平放在这两堵墙之间．
17．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E、F 分别在边 AD、AB 上，连接 CE、CF、EF，已知
CE=CF=❑√5．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求EF的长．
18．如图，四边形 ABCD 是正方形，G是BC 上任意一点（点 G与B、C 不重合），AE⊥DG 于E，
CF⊥DG于F．
（1）求证：△AED≌△DFC；
（2）求证：AE＝FC+EF．
19．如图，∠MON＝90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，E为AC上一点，且∠EBC＝∠CBN，直线DE与ON交于F．
（1）求证：∠CBN＝∠BAO；
（2）判断DF与ON的位置关系，并说明理由．
20．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、
PB．点Q在BA的延长线上且PQ＝PD．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．
①求∠DPQ的度数；
②探究AQ与OP的数量关系并说明理由．
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形且∠ABC＝60°．探究AQ与CP的数量关系并说明理由．
