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第 04 讲 分式的加减
课程标准 学习目标
1. 掌握分式的加减法运算法则，并能够在分式的加减法运算中熟
①分式的加减法法则 练的应用。
②分式的混合运算 2. 掌握分式的混合运算法则，并能够熟练地进行分式的混合运
算。
知识点01 分式的加减法运算
1. 分式的加减法运算法则：
①同分母的分式相加减：分母 ，分子 。
即 。
②异分母的分式相加减：先通分，变成 的分式的加减运算，在按照同分母的加减运算法
则运算即可。
即 ± ＝ 。2. 具体步骤：
第一步：通分：将异分母分式转化为同分母分式。
第二步：加减：分母不变，分子相加减。
第三步：合并：分子去括号，然后合并同类项。
第四步：约分：分子分母进行约分，把结果化成最简分式。
分式的加减运算中，若出现有一部分是整式，则通常把整式部分看成一个整体。
【即学即练1】
1．（1） （2）
（3） （4）
（5） ．
【即学即练2】
2．（1） （2）知识点02 分式的混合运算
1. 分式的混合运算：
分式的混合运算和有理数的混合运算一样，按照运算顺序，先算 ，再算 ，最后
算 。有括号时先算括号里的，若能运算简便运算的要用简便运算。
【即学即练1】
化简下列各式：
（1） （2）
（3） ．
题型01 分式的加减运算
【典例1】计算．
（1） （2）
（3） （4） ．【变式1】化简：
（1） （2）
（3） （4） ．
【变式2】计算：
（1） ； （2） ； （3） ．
【变式3】计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．题型02 分式的混合运算
【典例1】计算：
（1） ； （2） ；
（3） ．
【变式1】计算：
（1） ； （2） ．
【变式2】计算：
（1）（ ）﹣3÷ •（ ）2 （2） ÷（ + ）
（3） ÷（a+2b+ ）+ （4）（ ）2• ﹣ ÷ ）【变式3】计算下列各题
（1） • （2） ﹣ ﹣
（3） + ﹣ （4）（ ﹣x﹣2）+
题型03 求分式运算中的未知部分
【典例1】如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是（ ）
A． B．a C． D．1
【变式1】若分式 的计算结果为3，则“？”中的式子是（ ）
A．3a+6 B．3a﹣2 C．3a D．a﹣3
【变式2】已知A为整式，若计算 ﹣ 的结果为 ，则A＝（ ）
A．x B．y C．x+y D．x﹣y
【变式3】小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的
一角中“■”为（ ）
A． B． C． D．【变式4】若化简 的最终结果为整数，则“△”代表的式子可以是（ ）
A．4x B．4﹣x C．x+4 D．﹣2x
题型04 分式的化简求值
【典例1】先化简，再求值： ，其中x＝5，y＝3．
【变式1】已知
（1）化简W；
（2）请从﹣2，2，0，3，4选取合适的整数a代入W，求出W的值．
【变式2】先化简，再求值： ，再从﹣2，﹣1，0，1，2中取一个数代入求值其
中．【变式3】（1）先化简 ，再从﹣1，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．
（2）先化简，再求值： ，其中a，b满足b﹣2a＝0．
题型05 根据分式计算的结果为整式求值
【典例1】已知 这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的
结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（ ）
A．x﹣3 B．x﹣2 C．x+3 D．x+2
【变式1】小明在化简分式 时，发现最终结果是整式，则□表示的式子可以是（ ）
A．m﹣1 B．m﹣2 C．m D．m+1
【变式2】若化简 •〇的最终结果是整式，则〇代表的式子可以是（ ）
A．x+1 B．x+2 C．x+3 D．x+4
【变式3】若 的运算结果为整式，则“ ”中的式子不能为（ ）
A．2ab B．3a2b﹣2ab2 C．﹣a3b2 D．a2﹣b2
⊗
【变式4】若代数式 的化简结果为2x+2，则整式M为（ ）
A．﹣x B．x C．1﹣x D．x+1题型04 利用分式的运算解决实际问题
【典例1】小强的爸爸开汽车到距离xkm外的单位去上班，在正常情况下经过yh可以到达．但是有一天由
于汽车需要维修晚出发zh，小强的爸爸每小时应该多走多少km，才能按时到达单位？
【变式1】从火车上下来的两个旅客，他们沿着同一方向到同一地点去，甲旅客一半路程以速度 a行走，
另一半路程以速度b行走；乙旅客一半的时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走，问哪个旅客先
到达目的地？（速度单位都相同，且速度a≠速度b）
【变式2】用水清洗蔬菜上残留的农药，设用x（x≥1）单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量
与本次清洗前残留的农药量之比为 ．现有a（a≥2）单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均
分成两份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．
【变式3】A玉米试验田是边长为a米（a＞2）的正方形减去一个边长为2米的正方形后余下部分，B玉米试验田是边长为（a﹣2）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了600千克．
（1）哪种玉米的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．a+ •b＝a
2．以下是乐乐同学在学习分式运算时解答的四道题：①2÷m× ＝2；② ＝x﹣x2；③ ﹣ ＝
0；④ ，其中解答正确的有（ ）
A．1道 B．2道 C．3道 D．4道
3．嘉嘉在计算： 时，将“÷”号看成了“+”号，运算结果为 ，则“△”应该是（
）
A．m﹣1 B．m C．m+1 D．
4．如图所示，小敏同学不小心将分式运算的作业撕坏了一角，若已知该运算正确，则撕坏的部分中
“□”代表的是（ ）
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（ ）
化简：
甲同学：原式＝ ；乙同学：＝ ；
丙同学：＝ ；丁同学＝ ．
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
6．已知x2+2x﹣2＝0，计算 的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．
7 ． 根 据 分 式 的 性 质 ， 可 以 将 分 式 （ m 为 整 数 ） 进 行 如 下 变 形 ：，其中m为整数．
结论Ⅰ：依据变形结果可知，M的值可以为0；
结论Ⅱ：若使M的值为整数，则m的值有3个．（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
8．若分式 ，则分式 的值等于（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
9．若x为整数，则使分式 的值为整数的x的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
10．实数a、b、m、n满足a＜b，﹣1＜n＜m，若 ， ，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．无法确定的
11．若|a|＝3，|b|＝6，且ab＞0，则代数式 的值等于 ．
12．某商店有A，B两种糖果，原价分别为a元/千克和b元/千克．据调查发现，将两种糖果按A种糖果m
千克与B种糖果n千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现调整糖果价格，若 A种糖果单价上涨
20%，B种糖果单价下调10%，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变．则 为 ．
13．定义两种运算： ， ，则mΔn÷（m*n）＝ ．
14．已知a+b+c＝0，abc＞0，则 ＝ ．
15．对于代数式m，n，定义运算“ ”：m n＝ ，例如：4 2＝ ，若（x﹣1） （x+2）
⊗ ⊗ ⊗ ⊗
＝ ，则A+2B＝ ．
16．化简（1） （2）17．先化简： ，然后从 的范围内选取一个你喜欢的整数作为m的值
代入求值．
18．嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分 ．
（1）嘉淇猜被墨水遮住的式子是 ，请代入原式化简，然后从﹣1，0，1中选取一个你喜欢的作为a
值代入求值；
（2）若这道题的答案是 ，则被墨水遮住的式子是多少？19．阅读材料：已知 ，求 的值．
解：由 得， ，则有 ，由此可得， ；
所以， ．
请理解上述材料后求：
（1）已知 ，求分式 的值；
（2）已知 ，用a的代数式表示 的值．20．阅读理解：
材料1：我们为了研究分式 的值与分母x的关系，制作如下表格：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
… ﹣0.25 ﹣0.5 ﹣1 无意 1 0.5 0.25 …
﹣0. 0.
义
从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大， 的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增
大， 的值也随之减小．
材料2：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；
当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分
式的和的形式．
例如： ＝ ＝1﹣ ；再如： ．
请根据上述材料完成下列问题：
（1）当m＞0时，随着m的增大， 的值 （填“增大”或“减小”）；
当m＜0时，随着m的增大， 的值 （填“增大”或“减小”）；
（2）当m＞1时，随着m的增大， 的值无限接近一个数，请求出这个数．
