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专题 7.7 数列
1．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行
深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕
日周期的比值，用到数列 ： ， ， ，…，
依此类推，其中 ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 ，再利用数列 与 的关系判断 中各项的大小，即
可求解.
【详解】[方法一]:常规解法
因为 ，
所以 ， ，得到 ，
同理 ，可得 ，
又因为 ，
故 ， ；
以此类推，可得 ， ，故A错误；
，故B错误；
，得 ，故C错误；
，得 ，故D正确.
[方法二]：特值法不妨设 则
故D正确.
2．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记 为等差数列 的前n项和．若
，则公差 _______．
【答案】2
【分析】转化条件为 ，即可得解.
【详解】由 可得 ，化简得 ，
即 ，解得 .
故答案为：2.
3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记 为等比数列 的前 项和．若
，则 的公比为________．
【答案】
【分析】先分析 ，再由等比数列的前 项和公式和平方差公式化简即可求出公比 .
【详解】若 ，
则由 得 ，则 ，不合题意.
所以 .
当 时，因为 ，
所以 ，
即 ，即 ，即 ，
解得 .
故答案为：
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记 为等比数列 的前n项和.若 ，
，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】根据题目条件可得 ， ， 成等比数列，从而求出 ，进一步
求出答案.【详解】∵ 为等比数列 的前n项和，
∴ ， ， 成等比数列
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：A.
5．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知正项等比数列 中， 为 前
n项和， ，则 （ ）
A．7 B．9 C．15 D．30
【答案】C
【分析】根据题意列出关于 的方程,计算出 ,即可求出 .
【详解】由题知 ,
即 ,即 ,即 .
由题知 ,所以 .
所以 .
故选:C.
6．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记 为等差数列 的前 项和．若
，则 （ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列 的公差和首项，再根据前 项和公式即
可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列 的公差，再根据前 项和公式的性质即可
解出．
【详解】方法一：设等差数列 的公差为 ，首项为 ，依题意可得，
，即 ,
又 ，解得： ，
所以 ．
故选：C.
方法二： ， ，所以 ， ，从而 ，于是 ，
所以 ．
故选：C.
7．（2021年全国新高考I卷数学试题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常
会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到
， 两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可
以得到 ， ， 三种规格的图形，它们的面积之和
，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折
次，那么 ______ .
【答案】 5
【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得 ，再根据错位相减法得结果.
【详解】（1）由对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的
图形，所以对着三次的结果有： ，共4种不同规格（单位 ；
故对折4次可得到如下规格： ， ， ， ， ，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格
如何，其面积成公比为 的等比数列，首项为120 ,第n次对折后的图形面积为
，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为
种（证明从略），故得猜想 ，
设 ，
则 ，
两式作差得：，
因此， .
故答案为： ； .
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于 结构，其中 是等差数列， 是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于 结构，利用分组求和法；
（4）对于 结构，其中 是等差数列，公差为 ，则
，利用裂项相消法求和.
8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 为等比数列， ，
，则 ______.
【答案】
【分析】根据等比数列公式对 化简得 ，联立 求出 ，最
后得 .
【详解】设 的公比为 ，则 ，显然 ，
则 ，即 ，则 ，因为 ，则 ，
则 ，则 ，则 ，
故答案为： .
9．（2021年全国新高考II卷数学试题）设正整数 ，
其中 ，记 ．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用 的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
【详解】对于A选项， ， ，所以， ，A选项正确；
对于B选项，取 ， ， ，
而 ，则 ，即 ，B选项错误；
对于C选项， ，
所以， ，
，
所以， ，因此， ，C选项正确；
对于D选项， ，故 ，D选项正确.
故选：ACD.
10．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列 的公比为q，前n项和为 ，
设甲： ，乙： 是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有
成立即可说明 成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛
盾的，则 成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须
要给予其证明过程．
11．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知等比数列 的前3项和为168，
，则 （ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】设等比数列 的公比为 ，易得 ，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列 的公比为 ，
若 ，则 ，与题意矛盾，
所以 ，
则 ，解得 ，
所以 .
故选：D.
12．（2022年新高考全国II卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，
是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑
屋顶截面的示意图．其中 是举， 是相等的步，相邻桁的
举步之比分别为 ．已知 成公差为0.1的等差数
列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【分析】设 ，则可得关于 的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设 ，则 ，
依题意，有 ，且 ，
所以 ，故 ，
故选：D
13．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n
项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲： 为等差数列，设其首项为 ，公差为 ，
则 ，
因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 为常数，设为 ，
即 ，则 ，有 ，
两式相减得： ，即 ，对 也成立，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲： 为等差数列，设数列 的首项 ，公差为 ，即 ，
则 ，因此 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 ，
即 ， ，
当 时，上两式相减得： ，当 时，上式成立，
于是 ，又 为常数，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
14．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记 为等比数列 的前n项和，若 ，
，则 （ ）．A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据 的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列 的公比为 ，首项为 ，
若 ，则 ，与题意不符，所以 ；
由 ， 可得， ， ①，
由①可得， ，解得： ，
所以 ．
故选：C．
方法二：设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，所以 ，否则 ，
从而， 成等比数列，
所以有， ，解得： 或 ，
当 时， ，即为 ，
易知， ，即 ；
当 时， ，
与 矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键
是把握 的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
15．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列 的公差为 ，集合
，若 ，则 （ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个
元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列 中， ，
显然函数 的周期为3，而 ，即 最多3个不同取值，又
，
则在 中， 或 ，
于是有 ，即有 ，解得 ，
所以 ， .
故选：B
16．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知数列 的各项均为正数，记 为
的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】证明过程见解析
【分析】选①②作条件证明③时，可设出 ，结合 的关系求出 ，利用 是等
差数列可证 ；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系
数，得到等量关系，进行证明.
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出 ，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出 ，结合 的关系求出 ，根据 可求 ，
然后可证 是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明
出结论.
【详解】选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+ 与 关系式
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 也是等差数列，所以 ，解得 ；
所以 ， ，故 .
[方法二] ：待定系数法设等差数列 的公差为d，等差数列 的公差为 ，
则 ，将 代入 ，
化简得 对于 恒成立．
则有 ，解得 ．所以 ．
选①③作条件证明②：
因为 ， 是等差数列，
所以公差 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 ，所以 ，解得 或 ；
当 时， ，当 时， 满足等差数列的定义，此时
为等差数列；
当 时， ， 不合题意，舍去.
综上可知 为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为 ，所以 ， ，因为 也为等差数列，所以公差
，所以 ，故 ，当 时，
，当 时，满足上式，故 的通项公式为，所以 ， ，符合题意.
【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关
公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于 的一次函数，直接
设出 ，平方后得到 的关系式，利用 得到 的通
项公式，进而得到 ，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出 与 的
公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系 ，
，进而得到 ；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出 及 ，进
而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于 的一次
函数，直接设出 ，结合 的关系求出 ，根据 可求 ，然后
可证 是等差数列；法二：利用 是等差数列即前两项的差 求出
公差，然后求出 的通项公式，利用 ，求出 的通项公式，进而
证明出结论.
17．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记 为数列 的前n项和，已知
，且数列 是等差数列，证明： 是等差数列.
【答案】证明见解析.
【分析】先根据 求出数列 的公差 ，进一步写出 的通项，从而求出
的通项公式，最终得证.
【详解】∵数列 是等差数列，设公差为
∴ ，
∴ ，
∴当 时，
当 时， ，满足 ，
∴ 的通项公式为 ，
∴
∴ 是等差数列.
【点睛】在利用 求通项公式时一定要讨论 的特殊情况.
18．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记 为数列 的前n项和．已知．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到
，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出 ，即可得到 的通项公式与前 项和，再
根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时， ．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，即有 .则当 或 时， ．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出 的最小值，适用于可以求出 的表
达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
19．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数
列，且 ．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）设数列 的公差为 ，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得 ，即可解出．
【详解】（1）设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得，
，所以原命题得证．
（2）由（1）知， ，所以 ，即 ，
亦即 ，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合
中的元素个数为 ．
20．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列 的特征，然后求和其通项公式即
可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前 项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然 为偶数，则 ，
所以 ，即 ，且 ，所以 是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是 ．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知 ，所以 ．
由 （ 为奇数）及 （ 为偶数）可知，
数列从第一项起，
若 为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以 ，则 ．
[方法三]：累加法
由题意知数列 满足 ．
所以 ，
，
则
．
所以 ，数列 的通项公式 ．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列 满足 ，
所以 ．
所以数列 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由 知数列 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列 的前20项和为：
．
【整体点评】(1)方法一：由题意讨论 的性质为最一般的思路和最优的解法；方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列 的通项公式，然后累加求数列 的通项公式，是一种更加灵活的
思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前 项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前 项和公式和分组的方
法进行求和是一种不错的选择.
21．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设 是首项为1的等比数列，数列 满
足 ．已知 ， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及 得到 ，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出 ，再作差比较即可.
【详解】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设 ， ⑧则 ． ⑨
由⑧-⑨得 ．
所以 ．
因此 ．
故 ．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得 ，
，①
，②
① ②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知 ，令 ，且 ，即
，
通过等式左右两边系数比对易得 ，所以 ．则 ，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设 ，
由于 ，
则 ．
又 ，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，
考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要
根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得 ,然后证得结论,为最
优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造 ，使 ，求
得 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
22．（2021年全国新高考II卷数学试题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，
若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．【答案】(1) ；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公
式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
(2)由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为 .
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于
熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
23．（2022年新高考全国I卷数学真题）记 为数列 的前n项和，已知 是
公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得 ，得到 ，
利用和与项的关系得到当 时， ,进而得：
，利用累乘法求得 ，检验对于 也成立，得到 的通项公式
；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到 ，进而证得.
【详解】（1）∵ ，∴ ,∴ ,
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
∴当 时， ，
∴ ,
整理得： ,
即 ,
∴
，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
（2）
∴
24．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设等差数列 的公差为 ，且 ．令
，记 分别为数列 的前 项和．
(1)若 ，求 的通项公式；
(2)若 为等差数列，且 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；（2）由 为等差数列得出 或 ，再由等差数列的性质可得 ，分类
讨论即可得解.
【详解】（1） ， ，解得 ，
，
又 ，
，
即 ，解得 或 （舍去），
.
（2） 为等差数列，
，即 ，
，即 ，解得 或 ，
， ，
又 ，由等差数列性质知， ，即 ，
，即 ，解得 或 （舍去）
当 时， ，解得 ，与 矛盾，无解；
当 时， ，解得 .
综上， .
25．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 为等差数列， ，记
， 分别为数列 ， 的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，用 表示 及 ，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶结合分组求和法求出 ，并与 作
差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶借助等差数列前n项和公式
求出 ，并与 作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，
则 ，
于是 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）方法1：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
方法2：由（1）知， ， ，
当 为偶数时，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时，若 ，则
，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，所以当 时， .
26．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记 为等差数列 的前 项和，已知
．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解 ，进而可得结果；
（2）先求 ，讨论 的符号去绝对值，结合 运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为 ，
由题意可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，
（2）因为 ，
令 ，解得 ，且 ，
当 时，则 ，可得 ；
当 时，则 ，可得
；
综上所述： .
27．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知数列 中， ，设 为 前n
项和， ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据 即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
当 时， ，所以 ，
化简得： ，当 时， ，即 ，
当 时都满足上式，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
，
两式相减得，
，
，即 ， ．
28．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记 为数列 的前n项和， 为数列
的前n项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）由已知 得 ,且 ，取 ,得 ,由题意得,消积得到项的递推关系 ,进而证明数列 是等差
数列;
（2）由（1）可得 的表达式,由此得到 的表达式,然后利用和与项的关系求得
.
【详解】（1）[方法一]：
由已知 得 ,且 ， ,
取 ,由 得 ,
由于 为数列 的前n项积，
所以 ,
所以 ，
所以 ,
由于
所以 ，即 ,其中
所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是 ． ②
由①②得 ． ③
又 ， ④
由③④得 ．
令 ，由 ，得 ．所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法三]：
由 ，得 ，且 ， ， ．
又因为 ，所以 ，所以
．
在 中，当 时， ．
故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知 ，得 ， ， ， ，猜想数列 是以 为首项，
为公差的等差数列，且 ．
下面用数学归纳法证明．
当 时显然成立．
假设当 时成立，即 ．
那么当 时， ．
综上，猜想对任意的 都成立．
即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
,
,
当n=1时， ,
当n≥2时, ,显然对于n=1不成立,∴ .
【整体点评】（1）方法一从 得 ，然后利用 的定义，得到数列
的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从 的定义，替换相除得到 ，再结合 得到 ，从而证
得结论，为最优解；
方法三由 ，得 ，由 的定义得 ，进而作差证得结
论；方法四利用归纳猜想得到数列 ，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到 ，求得 的表达式,然后利用和与项的关系求得 的
通项公式；
