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考点巩固卷 13 数列综合研究通项及求和（七大考
点）
考点01：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
n S
若 已 知 数 列 的 前 项 和 n与 的 关 系 ， 求 数 列 的 通 项 可 用 公 式
构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合
二为一”，即 和 合为一个表达，（要先分 和 两种情况分别进行运算，然后
验证能否统一）．1．数列 的前n项和 满足 ，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C．6 D．7
2．已知数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．-3 B．3 C．-2 D．2
3．设 为数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A．4 B．8 C． D．
4．已知数列 的前n项和 满足 ，则 .
5．已知数列 的前三项依次为 的前 项和 ，则 ．
6．已知数列 的前n项和为 ，且 ，则数列 的通项公式为 ．
7．已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和.
8．设数列 的前n项和 满足 且 成等差数列
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求 ．
9．已知数列 的前n项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
试卷第2页，共3页(2)求数列 的前n项和为 .
10．数列 的前n项和记为 ，已知 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的和．
(3)若 ，则 为__________（等差/等比）数列，并证明你的结论．
考点02：同除以指数求通项
递推公式为 （其中p，q均为常数）或 （其中p，q，r均
为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，引入辅助数列
（其中 ），得： 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
11．数列{an}满足 ， ，则数列{an}的通项公式为 .
12．已知数列 满足 ，若 ， ，则 ；
若 ， ，则 .
13．各项均正的数列 满足 ，则 等于
14．数列 满足 ，则数列 的通项公式为 .
15．记数列 的前 项和为 ，若 ，则 .
16．已知数列 的前 项的和为 且满足 ，数列 是两个等差数列与 的公共项组成的新数列.求出数列 ， 的通项公式；
17．已知数列 中， ，求数列 的通项公式；
18．设数列 的前 项和为 ．
(1)设 ，求证：数列 是等比数列；
(2)求 及 ．
19．已知列 满足 ，且 ， ．
（1）设 ，证明：数列 为等差数列；
（2）求数列 的通项公式；
20．已知数列 满足 ， .求数列 的通项公式.
考点03：叠加法与叠乘法求通项
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将 上 述 个 式 子 两 边 分 别 相 加 ， 可 得 ：
①若 是关于 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
试卷第4页，共3页②若 是关于 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若 是关于 的二次函数，累加后可分组求和；
④若 是关于 的分式函数，累加后可裂项求和．
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
21．已知数列 满足： 且 ，则数列 的通项公式为
．
22．已知数列 满足 ， ，则 ，
.
23．已知数列{an}满足 ，a＝1，则a ＝
1 2 023
25．数列 满足 ，则
.26．已知正项数列 满足 ，则 .
27．已知数列 满足 ， ， ，则 ．
28．数列 中， ，且 ，则 等于 .
29．在数列 中，已知 ，且 ，则 ．
30．数列 满足 ，且 ，则数列 的前2024项和为 .
考点04：构造数列法求通项
㈠形如 （其中 均为常数且 ）型的递推式：
（1）若 时，数列{ }为等差数列；
（2）若 时，数列{ }为等比数列；
（3）若 且 时，数列{ }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等
比数列来求．方法有如下两种：
法 一 ： 设 ， 展 开 移 项 整 理 得 ， 与 题 设
比较系数（待定系数法）得
，即 构成以 为首项，以 为公比的等比
试卷第6页，共3页数列．再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可得
法二：由 得 两式相减并整理得 即
构成以 为首项，以 为公比的等比数列．求出 的通项再转化为
类型Ⅲ（累加法）便可求出
31．已知数列 中， ， ，若 ，则数列 的前 项和
.
32．已知数列 的首项 ,且 ,则满足条件的最大
整数 .
33．已知数列 ，其中 ，满足 ，设 为数列 的前n项
和，当不等式 成立时，正整数n的最小值为 .
34．在数列 的首项为 ，且满足 ，设数列 的前 项和 ，则
， ．
35．已知数列 的首项 ，且 ，则
.
36．在数列 中， ，且 ，则 的通项公式为 ．
37．在数列 中， ，若对任意的 恒成立，则实
数 的最小值 .38．记数列 的前 项和为 ，若 ，则 .
39．已知数列 的前 项和为 ，满足 ，则 ．
40．已知数列 满足 ， ， 为数列 的前n项和，则满足不
等式 的n的最大值为 .
41．已知数列 的通项公式为： ， ，则数列 的前100项之和为
（ ）
A． B． C． D．
42． （ ）
A． B． C． D．
43．数列 的前n项和等于（ ）．
A． B．
C． D．
44．已知数列 中， ， .
(1)证明数列 为等差数列，并求 ；
(2)求 的前 项和 .
45．已知数列 的首项为 ，且满足 .
试卷第8页，共3页(1)求证 为等差数列，并求出数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求 .
46．数列 满足 ， （ ）．
(1)计算 ， ，猜想数列 的通项公式并证明；
(2)求数列 的前n项和；
.47．已知数列 满足 ， ，且对 ，都有 ．
(1)设 ，证明数列 为等差数列；
(2)求数列 的通项公式．
(3)求数列 的前n项和 ．
48．已知等比数列 的各项均为正数，前n项和为 ，且满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前n项和 ．
49．已知数列 .
(1)求 ；
(2)令 为数列 的前 项和，求 .
50．已知数列 的前 项和为 .(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
考点06：裂项相消求和
裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从
而求得前n项和．
积累裂项模型：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
试卷第10页，共3页（11）
（12）
51．若数列 满足 （ 且 ）， ，则 （ ）
A． B． C． D．
52．数列 满足 ，则数列 的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
53．数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
54．已知数列 满足 ，若 ，则 的
前2024项和为（ ）
A． B． C． D．
55．数列 的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
56．已知数列1， ， ，…， ，…，其前n项和为 ，则正整数
n的值为（ ）．
A．6 B．8 C．9 D．10
57．三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数如图所示.记三角形数构成的数列为 ，则使数列 的前n项和 的最小正整数
n为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
58．数列 中， ， ，则 （ ）
A．51 B．40 C．41 D．50
59．已知 是等差数列，且 ， ，则 （ ）
A．15 B．26 C．28 D．32
60．在各项均不相等的等差数列 中， ，且 等比数列，数列 的前 项
和 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
考点07：分组求和
分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，
则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
61．已知各项均为正数的数列 的前n项和为 ， ， ， ，
试卷第12页，共3页则 （ ）
A．511 B．61 C．93 D．125
62．记数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A．301 B．101 C． D．
63．在数列 中， ，且 ，则其前 项的和为（ ）
A．841 B．421 C．840 D．420
64．记数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．590 B．602 C．630 D．650
65．设数列 满足 ．设 为数列 的前
项的和，则 （ ）
A．110 B．120 C．288 D．306
66．设数列 是以2为首项，1为公差的等差数列， 是以1为首项，2为公比的等比
数列，则 （ ）
A．1011 B．1022 C．1033 D．1044
67．在数列 中，已知 ， ，则 的前11项的和为（ ）
A．2045 B．2046 C．4093 D．4094
68．已知数列 满足 ，则其前9项和 .
69．已知数列 满足 ，且前12项和为134，则 ．
70．已知数列 为公差不为零的等差数列，其前n项和为 ， ，且 ， ，
成等比数列．
(1)求 的通项公式；(2)若数列 是公比为3的等比数列，且 ，求 的前n项和 ．
试卷第14页，共3页
