文档内容
第 04 讲 全等三角形（2 个知识点+3 种题型+分层练
习）
知识导图
知识清单
知识点1．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位
置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的
角叫做对应角．
知识点2．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三
角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
题型强化
题型一．全等图形
1．（2024春•贵州期末）如图所示各组中的两个图形属于全等图形的是
A． B．
C． D．
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形解答．
【解答】解：全等图形形状相同，大小相等，
、两个图形形状不同，故选项不符合题意；
、两个图形形状相同，大小相等，故选项符合题意；
、两个图形形状不同，故选项不符合题意；
、两个图形大小不等，故选项不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了全等图形，掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题的关键．
2．（2024•朝阳区模拟）如图，是有一个公共顶点 的两个全等正五边形，若将它们的其
中一边都放在直线 上，则 的度数为 10 8 ．
【分析】根据正五边形的性质和图形全等的性质得到 ，再利用邻
补角的定义计算出 ，接着根据三角形内角和定理计算出 ，
然后利用周角的定义计算出 的度数．
【解答】解：如图，
两图形为全等的正五边形，
，
，
，．
故答案为：108．
【点评】本题考查了全等图形：掌握全等图形的定义和正五边形的性质是解决问题的关键．
3．把下列各图分成若干个全等图形，请在原图上用虚线标出来．
【分析】根据能够完全重合的图形叫做全等形，将第一个图分割成 5个正方形，将第二个
图分割成3个直角三角形即可．
【解答】解：如图所示：
【点评】本题主要考查了全等图形，注意：能够完全重合的图形叫做全等形，全等图形的
形状大小都相同．
题型二、全等三角形的概念
4．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．全等三角形的周长相等、面积相等 D．所有的等边三角形全等
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的概念及性质，根据三角形全等的概念和性质逐一判断即可.
【详解】A选项：形状和大小完全相同的两个三角形全等，故形状相同的两个三角形不一
定全等，本选项说法错误；
B选项：全等的两个三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项说法错误；
C选项：全等三角形的周长相等，面积相等，本选项说法正确；
D选项：等边三角形的形状相同，但大小不同，故本选项说法错误.
故选：C
5．（22-23八年级上·山东聊城·开学考试）已知A与 ，B与 是对应点，则 和
全等用符号语言表示为： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念求解即可．
【详解】解：A与 ，B与 是对应点，则 和 全等用符号语言表示为
，
故答案为： ．
6．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，点 ， 在线段 上， 与 全等，
点 与点 ，点 与点 是对应顶点， 与 交于点 ．
(1)表示这两个三角形全等；
(2)写出对应边及对应角．
【答案】(1)
(2) 与 ， 与 ， 与 ； 与 ， 与 ， 与
【分析】本题主要考查全等三角形的对应边，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
（1）根据题意写出全等三角形即可；
（2）根据全等三角形的表示找出对应边与对应角．
【详解】（1）解： 点 与点 ，点 与点 是对应顶点，
；
（2）解： ，
故 与 ， 与 ， 与 为对应边； 与 ， 与 ， 与
为对应角．题型三．全等三角形的性质
7．（2024春•连平县期末）如图，点 在线段 上， ， ， ，
则 的长为
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】利用全等三角形的对应边相等解决问题，掌握全等三角形的性质的对应边相等是
解题的关键．
【解答】解： ， ，
，
又 ，
，
故选： ．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，利用全等三角形的对应边相等解决问题，掌握全
等三角形的性质的对应边相等是解题的关键．
8．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知 ，若 的周长为32， ，
，则 1 1 ．
【分析】先根据三角形的周长的定义求出 ，再根据全等三角形对应角相等可得
．
【解答】解： 的周长为32， ， ，
，
，
．
故答案为：11．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的周长的定义，全等三角形的对应顶点的
字母放在对应位置上容易确定出对应边或对应角．
9．（2024春•长春期末）如图， ，点 对应点 ，点 对应点 ，点 、、 、 在一条直线上．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 边的取值范围．
【分析】（1）由全等三角形的性质可得 ，等号两边同时减去 即可得到
；
（2）由全等三角形的性质可得 ，再利用三角形三边关系即可求出 边的取
值范围．
【解答】（1）证明： ，
，
，
；
（2）解： ， ，
，
在 中， ，
，
即 ．
【点评】本题考查全等三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握全等三角形
的对应边相等．
分层练习
一、单选题
1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是全等形的识别．利用全等图形的概念（两个图形能够完全重合，就
是全等图形）可得答案．【详解】解：A、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
C、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
D、两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：B．
2．下列图形中，是全等图形的有（ ）
A． 组 B． 组 C． 组 D． 组
【答案】C
【详解】根据全等图形的定义判断即可．掌握能够完全重合的两个图形是全等形是解题的
关键．
【解答】解：图①与⑩是全等图形，
图②与⑫是全等图形；
图④与⑧是全等图形；
图⑤与⑨是全等图形；
综上分析可知：全等图形有4组．
故选：C．
3．如图， ，下列等式不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质得出 ， ， ， ，
再逐个判断即可．本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关
键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．【详解】解： ，
， ， ， ，
，
，
即只有选项D符合题意，选项A、选项B、选项C都不符合题意；
故选：D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．两点确定一条直线
C．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是全等三角形
D．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角
形”
【答案】B
【分析】根据绝对值的意义，确定直线的条件，全等三角形的判定，命题的条件与结论逐
项判断即可．
【详解】解：A.若 ，则 或 ，原说法错误；
B.两点确定一条直线，说法正确；
C.面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误；
D.命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形的三个内角都相
等”，原说法错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，确定直线的条件，全等三角形的判定，命题的条件与
结论，熟练掌握基础知识是解题的关键．
5．若 ，且 厘米， 厘米， 厘米，则 的长为（ ）
A． 厘米 B． 厘米 C． 厘米 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，解答的关键是灵活应用全等三角形的性质．运用
全等三角形的性质定理，即可做出选择．
【详解】解：∵ ，∴
∵ 厘米
∴ 厘米
故选：C．
6．如图，在 中， 于点D、E是 上一点，若 ， ，
，则 的周长为（ ）
A．22 B．23 C．24 D．26
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．
由全等三角形的性质可得 ， ，即可得 的周长
，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ 的周长 ，
∵ ， ，
∴ 的周长为 ．
故选：C．
7．下列命题：
①8的立方根是 ；
② 的算术平方根是 ；
③能够完全重合的两个三角形全等；
④若 ，则 ；
⑤等角的余角相等．
其中，真命题有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据真假命题的判别方法，立方根，算术平方根，三角形全等，不等式的性质，
即可判断答案．【详解】①8的立方根是 ，所以①错误，是假命题；
② 的算术平方根是 ，正确，是真命题；
③能够完全重合的两个三角形全等，正确，是真命题；
④当 ， 时， ，但 ，所以④错误，是假命题；
⑤等角的余角相等，正确，是真命题．
故选C．
【点睛】本题考查了真命题的判别，算术平方根，立方根，全等三角形的定义，不等式的
性质，掌握判定命题真假的方法是解答本题的关键．真命题可以通过证明来判断，假命题
通过举反例来说明．
8．下列命题的逆命题为真命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等 B．对顶角相等
C．两直线平行，同旁内角相等 D．若 ，则
【答案】D
【分析】分别写出各选项的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：A中的逆命题为对应角相等的两个三角形是全等三角形，错误，不是真命题，
故不符合要求；
B中的逆命题为相等的角为对顶角，错误，不是真命题，故不符合要求；
C中的逆命题为同旁内角相等，两直线平行，错误，不是真命题，故不符合要求；
D中的逆命题为若 ，则 ，正确，是真命题，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了逆命题，真命题，全等三角形的判定，对顶角，平行线的判定等知识．
熟练掌握逆命题，真命题，全等三角形的判定，对顶角，平行线的判定是解题的关键．
9．如图，已知 ，点 在同一条直线上，若 ，则
的长为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据 得到 ，得到 ，从而解答．
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
10．如图，在四边形 中， ，点 为 上的点（不与 重合），
观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等
三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（ ）对全等三角形．
A．15 B．16 C．18 D．21
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形以及图形规律探索，结合题意得出规律，确定第 个
图中可有 对全等三角形，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，图1中有3对全等三角形，
图2中有6对全等三角形，
图3中有10对全等三角形，
…第 个图中，有 对全等三角形，
∴第5个图中有 对全等三角形．
故选：D．
二、填空题
11．如图所示，下列图形中的全等图形是 .
【答案】（1）（9），（2）（3），（4）（8），（11）（12）
【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此
逐一判断即可。
【详解】解；由全等图形的定义可知，（1）（9），（2）（3），（4）（8），（11）
（12）是全等图形，
故答案为：（1）（9），（2）（3），（4）（8），（11）（12）．
12．如图所示， ，其中 与 ， 与 是对应顶点，则 的对应边是
， 的对应角是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的对应边与对应角．解题的关键是牢记“全等三角形的对
应边相等，对应角相等”即可．解题时要找对对应边，对应角即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ 的对应边是 ， 的对应角是 ．
故答案为： ， ．13．如图，已知 ，若 ，则 ．
【答案】 /50度
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟记性质并准确识图是解题
的关键．根据全等三角形对应角相等可得 ，然后在 中利用三角
形内角和定理即可求出求出 的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
14．如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C在x
轴上运动（不与点A重合）点D在y轴上运动（不与点B重合），当点C的坐标为
时，以C，O，D为顶点的三角形与 全等．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等．
根据点A和点B的坐标得出 ，根据点C不与点A重合，点D不与点B重合，
进行分类讨论：当 时；当 时；即可解答．
【详解】解：∵点A的坐标是(2,0)，点B的坐标是 ，
∴ ，当 时，点C的坐标为 或 ．
当 时，
∵点C不与点A重合，点D不与点B重合，
∴C(−2,0)，
故答案为 或 或 ．
15．如图，四边形 与四边形 是全等四边形，若 ， ，
，则 ．
【答案】60°/60度
【分析】本题考查了全等多边形的性质和四边形的内角和，先根据全等图形的性质求得
和 ，再由四边形的内角和求得 即可．
【详解】解：∵全等多边形的对应边和对应角相等，
∴ ， ，
又∵四边形的内角和为 ，
∴ ，
故答案为： ；
16．如图，在 中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，
如果要使以A，B，D为顶点的三角形与 全等（点D不与点C重合），那么点D的
坐标是 .【答案】 或 或
【分析】根据题意画出图形，根据A、B、C的坐标和全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：符合题意的有3个，如图，
∵点A、B、C坐标为 ， ， ，
∴ 的坐标是 ， 的坐标是 ， 的坐标是 ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是正确画出图形，此题难度不大．
17．命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是 ，该逆命题是 （填真、
假）命题．
【答案】 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 假
【分析】先写出原命题的逆命题，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：命题“两个全等三角形面积相等”的逆命题是如果两个三角形的面积相等，
那么这两个三角形全等，是假命题．
故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假．【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的
条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题
叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
18．蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示， ，其中
，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，全等图形的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同
旁内角互补；全等图形对应角相等．先求出 ，即可解答．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题
19．半径相等的两个圆是全等图形吗？你是怎样知道的？
【答案】是全等图形，理由见详解
【分析】根据全等图形的定义即可判断．
【详解】解：半径相等的两个圆大小和形状都一样，能够完全重合，它们是全等图形．
【点睛】本题主要考查全等图形的定义，掌握“能够完全重合的图形叫做全等图形”是关
键．
20．如图，若 ， 与 是对应角， 与 是对应边，写出其他的对应
边及对应角．【答案】 与 是对应边， 与 是对应边， 与 是对应角， 与
是对应角．
【分析】根据全等三角形对应边和对应角的定义即可判断．
【详解】解：因为 ，
所以 与 是对应边，
与 是对应边，
与 是对应角，
与 是对应角．
【点睛】本题主要考查全等三角形的对应边和对应角，比较基础，熟练掌握全等三角形对
应边和对应角的定义是解题关键．
21．如图，已知 ，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写
出这两个三角形的对应边和对应角．
【答案】见解析
【分析】根据对应顶点，写出对应边和对应角即可．
【详解】解：∵ ，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点，
∴这两个三角形的对应边是： 和 ， 和 ， 和 ；
对应角是： 和 ， 和 ， 和 ．
【点睛】本题考查全等三角形的性质．正确的找出对应边和对应角，是解题的关键．
22．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，虽然只有七块，但是可以拼出多种多样的图形．
如图就是一个七巧板，这七块刚好拼成一个正方形．图中有三对全等的三角形，如
，也有几对全等的四边形．(1)请根据全等形的特征，求 的度数；
(2)请写出图中的一对全等的四边形和另外两对全等的三角形．
【答案】(1)
(2)四边形 全等四边形 ；（答案不唯一） ；
【分析】（1）根据 ，求出 ，根据 ，得
出 ；
（2）根据全等三角形的判定和全等图形的定义进行判断即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：图中全等的四边形有：四边形 全等四边形 ；四边形 全等四
边形 ；四边形 全等四边形 ；四边形 全等四边形 ；
全等三角形有： ； ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等四边形的判定，解题的关键是熟
练掌握全等三角形的对应角相等．
23．如图， ，在 中， 是最长的边，在 中， 是最长的
边， 和 是对应角，且 ， ， ．
(1)写出对应相等的边及对应相等的角．
(2)求线段 及线段 的长度．
【答案】(1) ， ， ； ， ，
(2) ；
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段的和差关系．（1）根据全等三角的性质，全等三角形对应边相等，对应角相等解题即可．
（2）根据全等三角的性质得出 ， ，根据线段的和差关
系即可．
【详解】（1）解： ，
， ， ，
， ， ．
（2） ，
， ，
24．如图， 与 全等，在 中， 是最短的边，在 中， 是
最短的边， 和 是对应角，且 ， ， ，求线段
的长度．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质：
等三角形的对应边相等，对应角相等．本题根据全等三角形的性质找出对应边，再由全等
三角形的性质可得 ， ，继而结合线段的和差求 的长
度．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
25．如图，已知 ，其中 和 ， 与 是对应边，点 在边 上，
与 交于点 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练
掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质得出 ，再求出答案即可；
（2）根据全等三角形的性质得出 ，根据对顶角相等和三角形内角和定理得出
， ， ，求出
即可．
【详解】（1）证明： ，
，
，
；
（2）解：由（1）可知， ，
，
，
，
，
， ， ，
．
26．如图，已知 ， 和 是对应角， 和 是对应边， ．(1)写出其他对应边及对应角；
(2)判断 与 的位置关系，并说明理由．
(3)求 的长．
【答案】(1) 和 是对应角， 和 是对应角， 和 是对应边， 和
是对应边
(2) ，理由见解析
(3)5
【分析】（1）根据对应边、对应角的定义即可解答；
（2）由 可得 ,然后根据内错角相等、两直线平行即可解答；
（3）由 可得 ,然后根据线段的和差即可解答．
【详解】（1）解： 和 是对应角， 和 是对应角， 和 是对应边，
和 是对应边．
（2）解： ，理由如下：
∵
∴
∴ ．
（3）解：∵
∴
∵
∴ ,即 ,解得 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的定义、全等三角形的性质等知识点，灵活运用全等
三角形的性质是解答本题的关键．
