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§6.3 等比数列
考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比
数列与指数函数的关系．
知识梳理
1．等比数列有关的概念
(1)定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这
个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使 a ， G ， b 成等比数列，那么G叫做a与b
的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{a}的首项为a，公比是q，则其通项公式为a＝a q n － 1 .
n 1 n 1
(2)等比数列通项公式的推广：a＝a qn－m.
n m
(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S＝na；当q≠1时，S＝＝.
n 1 n
3．等比数列性质
(1)若m＋n＝p＋q，则a a ＝ aa ，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则a a ＝
m n p q m n
a ， 其中m，n，w∈N*.
(2)a，a ，a ，…仍是等比数列，公比为 q m (k，m∈N*)．
k k＋m k＋2m
(3)若数列{a}，{b}是两个项数相同的等比数列，则数列{a·b}，{pa·qb}和也是等比数列
n n n n n n
(b，p，q≠0)．
(4)等比数列{a}的前n项和为S ，则S ，S － S ，S － S 仍成等比数列，其公比为qn.(n为
n n n 2n n 3n 2n
偶数且q＝－1除外)
(5)若或则等比数列{a}递增．
n
若或则等比数列{a}递减．
n
常用结论
1．等比数列{a}的通项公式可以写成a＝cqn，这里c≠0，q≠0.
n n
2．等比数列{a}的前n项和S 可以写成S＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
n n n
3．数列{a}是等比数列，S 是其前n项和．
n n
(1)若a·a·…·a＝T，则T，，，…成等比数列．
1 2 n n n
(2)若数列{a}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q.
n
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( × )
(2)当公比q>1时，等比数列{a}为递增数列．( × )
n
(3)等比数列中所有偶数项的符号相同．( √ )
(4)数列{a}为等比数列，则S，S－S，S －S 成等比数列．( × )
n 4 8 4 12 8
教材改编题
1．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，
数列－1，－1,1,1.满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1不是等比数列，
即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．
2．设等比数列{a}的前n项和为S.若S＝3，S＝15，则S 等于( )
n n 2 4 6
A．31 B．32 C．63 D．64
答案 C
解析 根据题意知，等比数列{a}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S －S)2＝S·(S －
n 4 2 2 6
S)，即122＝3×(S－15)，解得S＝63.
4 6 6
3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于 13，积等于 27，则这三个数为
________________．
答案 1,3,9或9,3,1
解析 设这三个数为，a，aq，
则解得或
∴这三个数为1,3,9或9,3,1.
题型一 等比数列基本量的运算
例1 (1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{a}的前3项和为168，a－a＝42，则a 等于( )
n 2 5 6
A．14 B．12 C．6 D．3
答案 D
解析 方法一 设等比数列{a}的公比为q，易知q≠1.
n
由题意可得
即解得所以a＝aq5＝3，故选D.
6 1
方法二 设等比数列{a}的公比为q，
n
易知q≠1.由题意可得
即解得
所以a＝aq5＝3，故选D.
6 1
(2)(2023·桂林模拟)朱载堉(1536～1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，
他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把
一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十
二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率
是最初那个音的2倍．设第二个音的频率为f，第八个音的频率为f.则等于( )
1 2
A. B. C. D．4
答案 A
解析 设第一个音的频率为a，相邻两个音之间的频率之比为q，那么a＝aqn－1，
n
根据最后一个音的频率是最初那个音的2倍，得a ＝2a＝aq12，即q＝ ，
13
所以＝＝q6＝.
思维升华 等比数列基本量的运算的解题策略
(1)等比数列中有五个量a ，n，q，a ，S ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃
1 n n
而解．
(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．
(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．
跟踪训练1 (1)设正项等比数列{a}的前n项和为S ，若S ＝3，S ＝15，则公比q等于(
n n 2 4
)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 ∵S＝3，S＝15，∴q≠1，
2 4
由题意，得
得q2＝4，又q>0，∴q＝2.
(2)在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11
个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是( )
A．插入的第8个数为
B．插入的第5个数是插入的第1个数的倍
C．M>3
D．N<7
答案 D解析 设该等比数列为{a}，公比为q，
n
则a＝1，a ＝2，
1 13
故q12＝＝2.
插入的第8个数为a＝aq8＝，故A正确；
9 1
插入的第5个数为a＝aq5，插入的第1个数为a＝aq，所以＝＝q4＝，故B正确；
6 1 2 1
M＝＝＝－1－ ，
要证M>3，即证－1－ >3，
即证 >4，
即证> ，
即证12>2，
而12>6>2成立，故C正确；
N＝M＋3.
因为12>(1.4)6>(1.9)3>2，
所以> ，
所以 >5，
所以－1－ >4，即M>4，
所以N＝M＋3>7，故D错误．
题型二 等比数列的判定与证明
例2 已知数列{a}的各项均为正数，记S 为{a}的前n项和，从下面①②③中选取两个作
n n n
为条件，证明另外一个成立．
①数列{a}是等比数列；②数列{S＋a}是等比数列；③a＝2a.
n n 1 2 1
注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
解 选①②作为条件证明③：
设S＋a＝Aqn－1(A≠0)，则S＝Aqn－1－a，
n 1 n 1
当n＝1时，a＝S＝A－a，所以A＝2a；
1 1 1 1
当n≥2时，a＝S－S ＝Aqn－2(q－1)，
n n n－1因为{a}是等比数列，所以＝，解得q＝2，所以a＝2a.
n 2 1
选①③作为条件证明②：
因为a＝2a，{a}是等比数列，所以公比q＝2，
2 1 n
所以S＝＝a(2n－1)，即S＋a＝a2n，
n 1 n 1 1
因为＝2，所以{S＋a}是等比数列．
n 1
选②③作为条件证明①：
设S＋a＝Aqn－1(A≠0)，则S＝Aqn－1－a，
n 1 n 1
当n＝1时，a＝S＝A－a，所以A＝2a；
1 1 1 1
当n≥2时，a＝S－S ＝Aqn－2(q－1)，
n n n－1
因为a＝2a，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，
2 1
所以当n≥2时，a＝S－S ＝Aqn－2(q－1)＝A·2n－2＝a·2n－1，
n n n－1 1
又因为＝2(n≥2)，且a＝2a，
2 1
所以{a}为等比数列．
n
思维升华 等比数列的三种常用判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{a}是等比
n
数列．
(2)等比中项法：若数列{a}中，a≠0且a＝a·a (n∈N*)，则{a}是等比数列．
n n n n＋2 n
(3)前n项和公式法：若数列{a}的前n项和S ＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{a}是
n n n
等比数列．
跟踪训练2 在数列{a}中，a＋2a ＝aa ＋a＋a ，且a＝2，a＝5.
n n＋1 n n＋2 n n＋2 1 2
(1)证明：数列{a＋1}是等比数列；
n
(2)求数列{a}的前n项和S.
n n
(1)证明 因为a＋2a ＝aa ＋a＋a ，
n＋1 n n＋2 n n＋2
所以(a ＋1)2＝(a＋1)(a ＋1)，
n＋1 n n＋2
即＝.
因为a＝2，a＝5，所以a＋1＝3，a＋1＝6，
1 2 1 2
所以＝2，
所以数列{a＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．
n
(2)解 由(1)知，a＋1＝3·2n－1，所以a＝3·2n－1－1，
n n
所以S＝－n＝3·2n－n－3.
n
题型三 等比数列的性质
例3 (1)(2023·黄山模拟)在等比数列{a}中，a ，a 是方程x2－13x＋9＝0的两根，则的值
n 1 13
为( )
A. B．3 C．± D．±3答案 B
解析 ∵a，a 是方程x2－13x＋9＝0的两根，∴a＋a ＝13，a·a ＝9，
1 13 1 13 1 13
∴a>0，a >0，a·a ＝a·a ＝a＝9，
1 13 1 13 2 12
又数列{a}为等比数列，等比数列奇数项符号相同，可得a＝3，
n 7
∴＝＝3.
(2)已知正项等比数列{a}的前n项和为S 且S －2S ＝6，则a ＋a ＋a ＋a 的最小值为
n n 8 4 9 10 11 12
______．
答案 24
解析 由题意可得S－2S＝6，可得S－S＝S＋6，
8 4 8 4 4
由等比数列的性质可得S，S－S，S －S 成等比数列，
4 8 4 12 8
则S(S －S)＝(S－S)2，
4 12 8 8 4
综上可得a＋a ＋a ＋a ＝S －S＝＝S＋＋12≥24，
9 10 11 12 12 8 4
当且仅当S＝6时等号成立．综上可得，a＋a ＋a ＋a 的最小值为24.
4 9 10 11 12
思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，
三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问
题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
跟踪训练3 (1)(2023·六安模拟)在等比数列{a}中，若a ＋a ＝16，a ＋a ＝24，则a ＋a 等
n 1 2 3 4 7 8
于( )
A．40 B．36 C．54 D．81
答案 C
解析 在等比数列{a}中，a＋a，a＋a，a＋a，a＋a 成等比数列，
n 1 2 3 4 5 6 7 8
∵a＋a＝16，a＋a＝24，∴a＋a＝(a＋a)·2＝24×2＝54.
1 2 3 4 7 8 3 4
(2)等比数列{a}共有奇数个项，所有奇数项和S ＝255，所有偶数项和S ＝－126，末项是
n 奇 偶
192，则首项a 等于( )
1
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ∵a＝192，
n
∴q＝＝＝＝－2，
又S＝＝S ＋S ，
n 奇 偶
即＝255＋(－126)，
解得a＝3.
1
(3)在等比数列{a}中，a>0，a ＋a ＋a ＋…＋a ＝4，aa·…·a ＝16，则＋＋…＋的值为(
n n 1 2 3 8 1 2 8
)
A．2 B．4 C．8 D．16答案 A
解析 ∵aa…a＝16，
1 2 8
∴aa＝aa＝aa＝aa＝2，
1 8 2 7 3 6 4 5
∴＋＋…＋＝＋＋＋
＝(a＋a)＋(a＋a)＋(a＋a)＋(a＋a)
1 8 2 7 3 6 4 5
＝(a＋a＋…＋a)＝2.
1 2 8
课时精练
1．(2023·岳阳模拟)已知等比数列{a}满足a－a＝8，a－a＝24，则a 等于( )
n 5 3 6 4 3
A．1 B．－1 C．3 D．－3
答案 A
解析 设a＝aqn－1，∵a－a＝8，a－a＝24，
n 1 5 3 6 4
∴
解得∴a＝aq2＝×32＝1.
3 1
2．数列{a}中，a＝2，a ＝a a，若a ＋a ＋…＋a ＝215－25，则k等于( )
n 1 m＋n m n k＋1 k＋2 k＋10
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 令m＝1，则由a ＝a a ，得a ＝aa ，即＝a ＝2，所以数列{a}是首项为2，公
m＋n m n n＋1 1 n 1 n
比为2的等比数列，所以a ＝2n，所以a ＋a ＋…＋a ＝2k (a ＋a ＋…＋a )＝2k×＝
n k＋1 k＋2 k＋10 1 2 10
2k＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4.
3．若等比数列{a}中的a ，a 是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log a ＋log a ＋log a
n 5 2 019 3 1 3 2 3 3
＋…＋log a 等于( )
3 2 023
A. B．1 011 C. D．1 012
答案 C
解析 由题意得aa ＝3，
5 2 019
根据等比数列性质知，
aa ＝aa ＝…＝a a ＝a a ＝3，
1 2 023 2 2 022 1 011 1 013 1 012 1 012
于是a ＝ ，
1 012
则log a＋log a＋log a＋…＋log a
3 1 3 2 3 3 3 2 023
＝log (aaa…a )
3 1 2 3 2 023＝log ＝.
3
4．(2022·日照模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙
门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”
共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一
幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{a}，则log (a·a)的值为(
n 2 3 5
)
A．16 B．12 C．10 D．8
答案 B
解析 由题意，得{a}是以2为公比的等比数列，
n
∴S＝＝1 016,127a＝1 016，解得a＝8，
7 1 1
∴log (a·a)＝log (8×22×8×24)＝12.
2 3 5 2
5．(多选)已知{a}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S ，且{S}是等差数列，则下
n n n
列结论正确的是( )
A．{a＋S}是等差数列
n n
B．{a·S}是等比数列
n n
C．{a}是等差数列
D．是等比数列
答案 ACD
解析 由{S}是等差数列，可得2(a＋a)＝a＋a＋a＋a，∴a＝a，
n 1 2 1 1 2 3 2 3
∵{a}是各项均为正数的等比数列，∴a＝aq，可得q＝1.∴a＝a>0，
n 2 2 n 1
∴a＋S＝(n＋1)a，∴数列{a＋S}是等差数列，因此A正确；
n n 1 n n
a＝a，∴{a}是常数列，为等差数列，因此C正确；
＝a>0，∴是等比数列，因此D正确；
1
aS＝na，∴{a·S}不是等比数列，因此B不正确．
n n n n
6．已知数列{a}是等比数列，若a ＝1，a ＝，则aa ＋aa ＋…＋aa (n∈N*)的最小值为(
n 2 5 1 2 2 3 n n＋1
)
A. B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由已知得数列{a}的公比满足q3＝＝，
n
解得q＝，∴a＝2，a＝，故数列{aa }是首项为2，公比为＝的等比数列，
1 3 n n＋1
∴aa＋aa＋…＋aa ＝
1 2 2 3 n n＋1
＝∈，故选C.
7．已知 S 是等比数列{a}的前 n 项和，且 a>0，S ＋a ＝2，S ＋a ＝22，则公比 q＝
n n n 1 1 3 3
________，S＋a＝________.
5 5答案 3 202
解析 由题意得2a ＝2，∴a ＝1.由a ＋aq＋2aq2＝22，得q＝3或q＝－，∵a>0，∴q＝－
1 1 1 1 1 n
不符合题意，故q＝3，∴S＋a＝＋1×34＝202.
5 5
8．已知数列{a}为等比数列，若数列{3n－a}也是等比数列，则数列{a}的通项公式可以为
n n n
__________.(写出一个即可)
答案 a＝3n－1(答案不唯一)
n
解析 设等比数列{a}的公比为q，令b ＝3n－a ，则b ＝3－a ，b ＝32－aq，b ＝33－
n n n 1 1 2 1 3
aq2，∵{b}是等比数列，∴b＝bb ，即(32－aq)2＝(3－a)(33－aq2)，可化为q2－6q＋9＝0，
1 n 1 3 1 1 1
解得q＝3，取a＝1，则a＝3n－1.(注：a 的值可取任意非零实数)．
1 n 1
9．等比数列{a}中，a＝1，a＝4a.
n 1 5 3
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)记S 为{a}的前n项和，若S ＝63，求m.
n n m
解 (1)设数列{a}的公比为q，由题设得a＝qn－1.
n n
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故a＝(－2)n－1或a＝2n－1(n∈N*)．
n n
(2)若a＝(－2)n－1，则S＝.
n n
由S ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
m
若a＝2n－1，则S＝2n－1.
n n
由S ＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.
m
10．S 为等比数列{a}的前n项和，已知a＝9a，S＝13，且公比q>0.
n n 4 2 3
(1)求a 及S；
n n
(2)是否存在常数λ，使得数列{S ＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明
n
理由．
解 (1)由题意可得解得a＝1，q＝3，
1
所以a＝3n－1，S＝＝.
n n
(2)假设存在常数λ，使得数列{S＋λ}是等比数列．
n
因为S＋λ＝λ＋1，S＋λ＝λ＋4，S＋λ＝λ＋13，
1 2 3
所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，此时S＋＝×3n，则＝3.
n
故存在常数λ＝，使得数列是等比数列．
11．(多选)在数列{a}中，n∈N*，若＝k(k为常数)，则称{a}为“等差比数列”，下列关于
n n
“等差比数列”的判断正确的是( )
A．k不可能为0
B．等差数列一定是“等差比数列”C．等比数列一定是“等差比数列”
D．“等差比数列”中可以有无数项为0
答案 AD
解析 对于A，k不可能为0，正确；
对于B，当a＝1时，{a}为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；
n n
对于C，当等比数列的公比q＝1时，a －a ＝0，分式无意义，所以{a}不是“等差比数
n＋1 n n
列”，错误；
对于D，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确．
12．记S 为等比数列{a}的前n项和，已知a＝8，a＝－1，则数列{S}( )
n n 1 4 n
A．有最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
答案 A
解析 根据题意，等比数列{a}中，a＝8，a＝－1，则q3＝＝－，则q＝－，
n 1 4
则S＝＝＝，
n
若n为奇数，则S＝，此时有S>S>…>S>；
n 1 3 n
若n为偶数，则S＝，此时有S1，令b ＝a ＋1(n＝1,2，…)，若数列{b}有连续四
n n n n
项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
答案 －9
解析 {b}有连续四项在{－53，－23,19,37,82}中，b ＝a ＋1，则a ＝b －1，{a}有连续四
n n n n n n
项在{－54，－24,18,36,81}中．又{a}是等比数列，等比数列中有负数项则q<0，且负数项
n
为相隔两项，
等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值由小到大的顺序排列上述数值：18，－
24,36，－54,81，
相邻两项相除＝－，＝－，＝－，＝－，
很明显，－24,36，－54,81是{a}中连续的四项，
n
q＝－或q＝－(|q|>1，∴此种情况应舍)，
∴q＝－，∴6q＝－9.
14．记S 为数列{a}的前n项和，S ＝1－a ，记T ＝aa ＋aa ＋…＋a a ，则a ＝
n n n n n 1 3 3 5 2n－1 2n＋1 n
________，T＝________.
n
答案
解析 由题意得a ＝1－a ，故a ＝.当n≥2时，由得a ＝－a ＋a ，则＝，故数列{a}是
1 1 1 n n n－1 n以为首项，为公比的等比数列，故数列{a}的通项公式为a ＝.由等比数列的性质可得aa ＝
n n 1 3
a，aa ＝a，…，a a ＝a，所以数列{a a }是以a＝为首项，为公比的等比数列，
3 5 2n－1 2n＋1 2n－1 2n＋1
则T＝a＋a＋…＋a＝＝.
n
15．将正整数按照如图所示方式排列：
试问2 024是表中第________行的第________个数．
答案 11 1 001
解析 由题意得第n行有2n－1个数，前10行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＝
＝1 023(个)数，前11行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＋210＝＝2 047(个)数，
故2 024在表中第11行，又表中第11行有210＝1 024(个)数，故2 024是表中第11行的第1
001个数．
16．(2023·泰安模拟)已知等比数列{a}的前n项和为S，a>0,4S＋S＝S.
n n n 1 2 3
(1)求数列{a}的公比q；
n
(2)对于∀n∈N*，不等式＋n2＋≥6n＋t恒成立，求实数t的最大值．
解 (1)由4S＋S＝S，
1 2 3
得4a＋a＋a＝a＋a＋a，
1 1 2 1 2 3
整理得4a＝a，
1 3
所以4a＝aq2.
1 1
因为a≠0，所以q2＝4，
1
由题意得q>0，所以q＝2.
(2)由(1)得S＝＝a(2n－1)，
n 1
a＝a·2n－1，
n 1
所以＝.
所以不等式＋n2＋≥6n＋t恒成立，等价于＋n2＋≥6n＋t恒成立，
所以t≤＋n2－6n＋.
令f(n)＝＋n2－6n＋＝(n－3)2－.
当n＝1时，f(1)＝4－＝；
当n＝2时，f(2)＝1－＝；
当n≥3时，f(n)单调递增，
所以f(n)≥f(3)＝－.所以t≤－，
故实数t的最大值为－.
