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专题 18.10 四边形中动点问题的五大题型专项训练
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对四边形中的动点问题的理解！
【类型1 面积问题】
1.（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，长方形ABCD中，AB=3cm，BC=2cm，点P从A出发，
以1cm/s的速度沿A→B→C运动，最终到达点C，在点P运动了3秒后点Q开始以2cm/s的速度从D运
动到A，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当△APQ的面积为2cm2时，t的值为________．
2.（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）E、F是线段AB上的两点，且AB=16，AE=2，BF=4，点G是
线段EF上的一动点，分别以AG、BG为斜边在AB同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为D、C，
如图所示，连接CD并取中点P，连接PG，点G从E点出发运动到F点，则线段PG扫过的图形面积为
______．
3.（2022秋·重庆大足·八年级统考期末）如图1，两个等腰直角三角形△ABC、△EDC的顶点C重合，其
中∠ABC=∠EDC=90°，连接AE，取AE中点F，连接BF,DF．(1)如图1，当B、C、D三个点共线时，请猜测线段BF、FD的数量关系，并证明；
(2)将△EDC绕着点C顺时针旋转一定角度至图2位置，根据“AE中点F”这个条件，想到取AC与EC的
中点G、H，分别与点F相连，再连接BG,DH，最终利用△BGF≌△FHD（SAS）证明了（1）中的结
论仍然成立．请你思考当△EDC绕着点C继续顺时针旋转至图3位置时，（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
(3)连接BD，在△EDC绕点C旋转一周的过程中，△BFD的面积也随之变化．若AC=5√2,CB=3√2，请
直接写出△BFD面积的最大值．
4.（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标
原点，点A和点B分别在y轴和x轴上，连接AB，点C为AB的中点，OA=OB=12．
(1)求点C坐标；
(2)点P从点O出发沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，连接AP、CP，点P的运动时间为t秒，
△ACP的面积为S，求用含t的式子表示S；
(3)在（2）的条件下，在y轴负半轴上有一点Q，连接BQ，过点A作AD⊥BQ于点D，AD与CP交于点
E，与x轴交于点F，当∠BPC=2∠OBQ时，OQ=CE，求此时点Q的坐标．
5.（2022秋·吉林·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，以A为原点，AB、AD所在直
线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．正方形ABCD的边长是方程x2−8x+16=0的根．点P从点B出发，沿BC－CD向点D运动，同时点Q从点E出发，沿EB−BC向点C运动，点P的速度是每秒2个单
位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动
的时间为t秒，△AQP的面积为S．
(1)求点C的坐标；
(2)求S关于t的函数关系式；
(3)当△AQP是以AP为底边的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
6.（2022春·八年级衡水期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4．过点A作对角线BD的平
行线与边CD的延长线相交于点E，P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），连接PA，PE，AC．
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形．
(2)求四边形ABDE的周长和面积．
(3)记△ABP的周长和面积分别为C 和S ，△PDE的周长和面积分别为C 和S ，在点P的运动过程中，试
1 1 2 2
探究下列两个式子的值或范围：①C +C ，②S +S ，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定
1 2 1 2
值的，请直接写出它的取值范围．
7.（2022春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学期末）如图1，点O为长方形ABCD的中心，x轴∥BC，y轴
//AB，AB=6，BC=12．
(1)直接写出A、B的坐标；(2)如图2，若点P从C点出发以每秒2个单位长度向CB方向匀速移动(不超过点B)，点Q从B点出发以每秒1
个单位长度向BA方向匀速移动(不超过点A)，连接DP、DQ，在点P、Q移动过程中，四边形PBQD的
面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．
(3)如图3，若矩形MNRS中，MN=4，NR=2，M(−8,0)，MS在x轴上，矩形MNRS以每秒1个单位长
度向右平移t(t>0)秒得到矩形M'N'R'S'，点M'、N'、R'、S'分别为M、N、R、S的对应点，与此
同时，点G从点O出发，沿矩形OEDF的边以每秒2个单位长度的速度顺时针方向运动(即
O→E→D→F→O→E…)连接GM'，GN'，点H为GN'的中点，当△GM'N'的面积为12时，请直
接写出t的值及对应的点H坐标．
8.（2022秋·吉林长春·八年级长春市第八十七中学校考期末）如图，长方形ABCD中，AD∥BC，
∠B=90°，AD=BC=10cm，AB=4cm，动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿B→A→D的方
向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒1cm的速度沿B→C的方向向终点C运动．以PQ为边向右
上方作正方形PQMN，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点P、Q同时出发，
运动时间为t秒（t＞0）．
(1)当0＜t＜4时，AP＝______（用含t的代数式表示）；
(2)当点N落在AD边上时，求t的值；
(3)当正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）；
(4)请直接写出当t满足什么条件时，正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为三角形．
【类型2 线段最值问题】
9.（2022春·广东深圳·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点
P、Q为BC边上的两个动点，且PQ=2，当BP=（ ）时，四边形APQE的周长最小．
A．3 B．4 C．5 D．2√210.（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E在BC边上，且
BE=3，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作正方形EFGH，且点H在矩形ABCD内，连接
CH，则CH的最小值为( )．
A．3 B．4 C．√8 D．√10
11.（2022秋·甘肃兰州·八年级统考期中）如图正方形ABCD的面积为24，△ABE是等边三角形，点E在正
方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，要使PD+PE最小，则这个最小值为（ ）
A．√3 B．2√3 C．2√6 D．√6
12.（2022秋·甘肃兰州·八年级校考期中）在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，
点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
13.（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E在BC边上，且
BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，
则CG的最小值为（ ）A．3 B．2 C．1 D．√3
14.（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，
D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是______．
（2）如图2，在正△ABC中，AB=4，P、M、N分别是BC,CA,AB上的动点，
①PM+MN的最小值为______；②求PM+MN+NP的最小值．
（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是边AB和BC上的动点且始终满足AE=BF，连结
DE,DP，求DE+DF的最小值．
15.（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）问题提出：
(1)如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P为高AE上的动点，过点P作PH⊥AC于
PH
H，则 的值为________．
AP
问题探究：
(2)如图2，在平面直角坐标系中，直线y=−√3x+2√3与x轴、y轴分别交于点A、B．若点P是直线AB
上一个动点，过点P作PH⊥OB于H，求OP+PH的最小值．
问题解决：
(3)如图3，在平面直角坐标系中，长方形OABC的OA边在x轴上，OC在y轴上，且B(6,8)．点D在OA边上，且OD=2，点E在AB边上，将△ADE沿DE翻折，使得点A恰好落在OC边上的点A′处，那么在折痕
√2
DE上是否存在点P使得 EP+A′P最小，若存在，请求最小值，若不存在，请说明理由．
2
16.（2022春·全国·八年级专题练习）已知∶如图1，点D在△ABC外，∠BAC=90°，AB=AC，射线
BD与△ABC的边AC交于点H，AE⊥BD，垂足为E，∠ABD=∠ACD．
(1)若∠ABD=30°，CH=4，求DH的长；
(2)求证：BE=DC+DE；
(3)如图2，若∠ABE=25°，BE=4，点F在线段BC上，且BE=BF，点M、N分别是射线BC、BD上的
动点，在点M、 N运动的过程中，请判断式子EM+MN+NF的值是否存在最小值，若存在，请求出这个
最小值；若不存在，写出你的理由．
【类型3 几何存在性问题】
17.（2022秋·四川达州·八年级校考期中）在矩形ABCD中，AB=40cm．动点P从点A开始沿AB边以
5cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CD边以3cm/s的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点
到达终点时，另一点也随之停止运动．那么______秒后四边形APQD为矩形？
18.（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16厘米，BC=20厘米，
点D在BC上，且CD=12厘米．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以4厘米/秒的
速度沿AC向终点C运动；点Q以5厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点
E，连接EQ．设动点运动时间为t秒(t>0)．(1)CP= ；（用t的代数式表示）
(2)连接CE，并运用割补的思想表示△AEC的面积（用t的代数式表示）；
(3)是否存在某一时刻t，使四边形EQDP是平行四边形，如果存在，请求出t，如果不存在，请说明理由；
(4)当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
19.（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，AD=6，
BC=10，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒1个单位的速度由A向D运动，点Q以每秒2个单
位的速度由C向B运动，其中一动点到达端点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
(1)用含t的代数式表示：
AP=______；DP=______；BQ=______；CQ=______．
(2)P、Q与四边形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t值．
20.（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，
AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C
开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点
也随之停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当t为何值时，四边形ABQP为矩形？
(2)当t为何值时，PQ∥CD？
(3)当t为何值时，PQ=CD？
21.（2022春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知A(7a，0)，B(0，−7a)，点C
为x轴负半轴上一点，AD⊥AB，∠1=∠2．
(1)求∠ABC+∠D的度数．
(2)如图1，若点C的坐标为(−3a，0)，CD=CB，求点D的坐标（结果用含a的式子表示）．
(3)如图2，在（2）的条件下，若a=1，过点D作DE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，点M为线段DF上
一点，若第一象限内存在点N(n，2n−3)，使△EMN为等腰直角三角形，请直接写出符合条件的N点坐
标，并选取一种情况计算说明．
22.（2022秋·山西运城·八年级山西省运城市实验中学期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，动
点P，Q分别从点A，C同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，点P到达点D后停止，点Q到达点B
后停止．设运动时间为t秒．
1
(1)当S = S 时，t的值为______．
△ABP 3 △BPQ
(2)当QB=QP时，求t的值．
(3)在点P和点Q的运动过程中是否存在∠BPQ=90°，你的判断是______（填“存在”或“不存在”）．
23.（2022秋·江苏连云港·八年级期末）在正方形ABCD中，O是AD的中点，点P从A点出发沿
A→B→C→D的路线匀速运动，移动到点D时停止．(1)如图1，若正方形的边长为12，点P的运动速度为2单位长度/秒，设t秒时，正方形ABCD与∠POD重
叠部分的面积为y．
①求当t=4时，y的值．
②求y关于t的函数解析式．
(2)如图2，若点Q从D出发沿D→C→B→A的路线匀速运动，移动到点A时停止．P、Q两点同时出发，
点P的速度大于点Q的速度．设t秒时，正方形ABCD与∠POQ（包括边缘及内部）重叠部分的面积为
S，S与t的函数图象如图3所示．
①P，Q两点在第________秒相遇；正方形ABCD的边长是________；
②当t为何值时，重叠部分面积S等于9？
24.（2022春·全国·八年级专题练习）如图，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，顶点B在第
一象限，AB=6，点E、F分别在边AB和射线OB上运动（E、F不与正方形的顶点重合），OF=2√2BE，
设BE=t，
(1)当t=2时，则AE=_________，BF=___________；
9
(2)当点F在线段OB上运动时，若△BEF的面积为 ，求t的值．
4
(3)在整个运动过程中，平面上是否存在一点P，使得以P、O、E、F为顶点，且以OF为边的四边形是菱
形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【类型4 运动的图象问题】
25.（2022秋·江苏南通·八年级统考期中）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在边BC上运动，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．设BE=x，CF2= y，则y关
于x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
26.（2022秋·河南漯河·八年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为2cm，点P，点Q同时从点A出发，
速度均为2cm/s，点P沿A→D→C向点C运动，点Q沿A→B→C向点C运动，则△APQ的面积S(cm2)与
运动时间t(s)之间函数关系的大致图象是（ ）A． B．
C． D．
27.（2022春·八年级衡水期末）如图①，在矩形ABCD的边BC上有一点E，连结AE，点P从顶点A出发，
沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积y(cm2)随时间x(s)变化
的函数图象，则BE的长为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
28.（2022春·八年级衡水期末）如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，BC∥x轴．
直线y=x从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD截得的线段长度n与
直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．平行四边形ABCD的面积为（ ）
4
A．3 B．3√2 C． √2 D．4
3
29.（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级新疆师范大学附属中学校考期末）如图①，在矩形ABCD中，AB>AD，
对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿A→B→C运动，设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AB边的长为（ ）
A．6 B．6.4 C．7.2 D．8
30.（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）如图①，在矩形ABCD中，AB>AD，对角线AC，BD相交于
点O，动点P由点A出发，沿A→B→C运动．设点P的运动路程为x， AOP的面积为y，y与x的函数关
系图象如图②所示，则AB边的长为（ ） △
A．6 B．6.4 C．7.2 D．8
31.（2022秋·河南郑州·八年级校考期末）如图1，菱形ABCD中，∠B=60°，动点P以每秒1个单位的速
度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B出发沿折线B−C−D运动
到点D．图2是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时间t变化关系图象，则a的值是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．2√3
32.（2022秋·广东汕头·八年级林百欣中学校考期中）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，点P
从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为
y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（ ）A． B． C． D．
【类型5 函数图象中的几何动点问题】
33.（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，
E是BC的中点，BC=12，点A坐标是(0，4)，CD所在直线的函数关系式为y=−x+9，点P是BC边上
一个动点．
(1)当PB=_________________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形．
(2)在（1）的条件下，点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试
说明理由．
34.（2022秋·四川成都·八年级石室中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，
与y轴交于点A，OA=1，OB=√3OA，直线OC：y=√3x交直线AB于点C．(1)求直线AB的解析式及C点的坐标；
√3
(2)如图1，P为直线OC上一动点且在第一象限内，M、Q为x轴上动点，Q在M右侧且MQ= ，当
2
9√3
S = 时，求PQ+QM+MA最小值；
△PCB 8
(3)如图2，将△AOB沿着射线CO方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，当DF过O点
时，在平面内是否存在H点，在第一象限内是否存在N点，使得以H、N、D、F四个点为顶点的四边形
为正方形，若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由．
35.（2022春·上海·八年级上海田家炳中学校考期中）已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D是
AC中点，作直线BD．分别以AC，BC所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如图）．
(1)求直线BD的表达式．
(2)在直线BD上找出一点E，使四边形ABCE为平行四边形．
(3)直线BD上是否存在点F，使△AFC为以AC为腰的等腰三角形?若存在，直接写出点F的坐标；若不存
在，说明理由．
36.（2022春·广东东莞·八年级统考期中）如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xOy中，使OA,OC分5
别落在x，y轴的正半轴上，其中AB=10，对角线AC所在直线解析式为y=− x+b，将矩形OABC沿着
3
BE折叠，使点A落在边OC上的D处．
(1)求点B的坐标；
(2)求EA的长度；
(3)点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，如不存在，
请说明理由．
37.（2022春·重庆·八年级期中）如图，平面直角坐标系中，直线y＝ax+2a（a＞0）的图象经过A、B两点，
点C的坐标是（1，0）．
(1)如图1，当S ABC＝6时，求直线AB的解析式；
△
(2)如图2，以BC、AB为边分别在第一二象限作正方形BCGF和正方形ABDE，连接DF，交y轴于点H，
当a的值发生变化时，试判断BH的长度是否发生变化？若没有变化，请求出这个值并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，在a的值发生变化过程中，当直线y＝ax+2a（a＞0）的图象经过点F时，将
直线AF向左平移，平移后的直线为A′F′，当直线A′F′经过点D时停止平移，此时在直线A′F′上有一动点
P，当PC+PG最小时，在y轴左侧的平面内是否存在一动点Q使得以P、Q、A、C为顶点的四边形是平行
四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．38.（2022春·上海青浦·八年级校考期中）已知长方形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），点A，
C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，设PC＝m．
（1）已知点D在第一象限且是直线y＝2x＋6上的一点，设D点横坐标为n，则D点纵坐标可用含n的代
数式表示为 ，此时若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；
（2）直线y＝2x＋b过点（3，0），请问在该直线上，是否存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角
形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由．
39.（2022春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+6的图象分别交x轴，y轴
于A，B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
(1)求直线AM的函数解析式；
(2)试在直线AM上找一点P，使得S =S ，请求出点P的坐标；
△ABP △AOB
(3)若点N为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点N，使以A，B，M，N为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点N的坐标；若不存在，请说明理由．
40.（2022春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是长方形，O为坐标原点，
3
顶点A，C分别在y轴、x轴上，顶点B在第二象限内，一次函数y= x+6的图象分别与坐标轴交于点
4
A，C．(1)如图①，将△ABC折叠使得点C落在长方形的边AB上的点E处，折痕为BD，求点B，E的坐标；
(2)如图②，将△ABC折叠使得点B落在对角线AC上的点E处，折痕为AD，求点D的坐标；
(3)在平面直角坐标系内，是否存在一点E(除点B外），使得△AEC与△ABC全等？若存在，写出所有
符合条件的点E的纵坐标；若不存在，请说明理由．
