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专题 18.12 平行四边形全章十六类必考压轴题
【人教版】
必考点1 平行四边形中边的关系运用
1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）已知平行四边形ABCD，AD=8，∠BAD=135°，点E在边
BC上，将平行四边形沿AE翻折，使点B落在边CD的F处，且满足CF−DF=3√2，则EF= ______．
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）如图，已知 ▱ABCD中，AF垂直平分DC，且AF=DC，
点E为AF上一点，连接BE、CE，若∠CEF=2∠ABE，AE=2，则AD的长为______．
3．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，D是BC边上任
意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．
4．（2022春·江西吉安·八年级统考期末）如图，在 ▱ABCD中，∠D<90°，点E在AD边上，
CM⊥AD，垂足为M，以CE为边，E为直角顶点，作等腰直角△CEF，使点F落在射线AB上．
(1)当△CED是边长为6的等边三角形时，∠AFE的度数为_______，AD的长为_______；
(2)当AE=ED时，求∠ECD的度数；(3)是否存在AF=BF的情况，如果存在，求AE，ED和CM之间满足的数量关系；如果不存在，说明理由．
5．（2022春·广东清远·八年级统考期末）在平形四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC
上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若DE=DC，∠CBD=45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD=6，CE=4时，求BE的长；
②求证：CD=CH．
6．（2022秋·湖北·九年级统考期中）如图，点P是 ▱ABCD内一点，
∠BPC=90°，∠BAD−∠PCD=45°
(1)如图1，求证：PB=PC；
(2)如图2，若 AB=8，PC=5√2，且 S
△ABP
：S
△PCD
=1：3，求▱ABCD的面积；
(3)如图3，将△PBA绕点P旋转至△PCE处，过D作DF⊥EP，交EP延长线于F，若
PF
AB=√6AP，∠PAB=75°，直接写出 的值为 ．
PD
必考点2 平行四边形中的面积转换
1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，点E、F、G、H分别在 ▱ABCD的AD、AB、BC、CD边上，
EG∥CD，FH∥AD，EG与FH交于点P，连接BD交FH于点Q，连接BP，设▱AEPF、▱EDHP、▱FPGB、▱PHCG的面积分别为S
1
、S
2
、S
3
、S
4
，若▱AEPF∽ ▱PHCG，则只需知道（ ），就
能求△BPQ的面积．
A．S −S B．S −S C．S −S D．S −S
2 1 3 1 4 1 4 3
2．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在平行四边形FBCE中，点J，G分别在边BC，EF上，
JG∥BF，四边形ABCD∼四边形HGFA，相似比k=3，则下列一定能求出△BIJ面积的条件（ ）
A．四边形HDEG和四边形AHGF的面积之差 B．四边形ABCD和四边形HDEG的面积之差
C．四边形ABCD和四边形ADEF的面积之差D．四边形JCDH和四边形HDEG的面积之差
3．（2022春·浙江·八年级阶段练习）如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得
到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S 、S 、S 、S ，给出如下结论中正确的是
1 2 3 4
____________．
①S +S =S +S ；②如果S >S ，则S >S ；③若S =2S ，则S =2S ；④如果P点在对角线BD上，则
1 3 2 4 4 2 3 1 3 1 4 2
S :S =S :S ；⑤S −S =S −S ，则P点一定在对角线BD上．
1 4 2 3 1 2 3 4
4．（2022秋·上海·七年级校考期末）小明在学习了中心对称图形以后，想知道平行四边形是否为中心对称图形．于是将一张平行四边形纸片平放在一张纸板上，在纸板上沿四边画出它的初始位置，并画出平行四
边形纸片的对角线，用大头针钉住对角线的交点．将平行四边形纸片绕着对角线的交点旋转180°后，平行
四边形纸片与初始位置的平行四边形恰好重合．通过上述操作，小明惊喜地发现平行四边形是中心对称图
形，对角线的交点就是对称中心．请你利用小明所发现的平行四边形的这一特征完成下列问题：
(1)如图①，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O．过点O的直线l与边AB、CD分
别相交于点M、N，四边形AMND的面积与平行四边形ABCD的面积之比为___________；
(2)如图②，这个图形是由平行四边形ABCD与平行四边形ECGF组成的，点E在边CD上，且B、C、G
在同一直线上．
①请画出一条直线把这个图形分成面积相等的两个部分（不要求写出画法，但请标注字母并写出结论）；
②延长GF与边AD的延长线交于点K，延长FE与边AB交于点H．联结EB、EK、BK，如图③所示，
当四边形AHED的面积为10，四边形CEFG的面积为2时，求三角形EBK的面积．
5．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三
角形”．性质：“朋友三角形”的面积相等．
例如：如图1，在△ABC中，如果AD是AB边上的中线，那么△ACD和△ABD是“朋友三角形”，则有
S =S ．
△ACD △ABD
应用：如图2，在矩形ABCD中，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．
(1)求证：△AOE和△AOB是“朋友三角形”．(2)如图3，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD//BC，AD=DC=8，BC=12，点G在BC上，点E
在AD上，DG与CE交于点F，GF=DF．
①求证：△DFE和△DFC是“朋友三角形”；
②连接AF，若△AEF和△≝¿是“朋友三角形”，求四边形ABGF的面积．
(3)在△ABC中，∠B=30°，AB=8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，
1
将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的 ，
4
则△ABC的面积是________（请直接写出答案）．
6．（2022秋·重庆大足·九年级统考期末）如图1，两个等腰直角三角形△ABC、△EDC的顶点C重合，
其中∠ABC=∠EDC=90°，连接AE，取AE中点F，连接BF,DF．
(1)如图1，当B、C、D三个点共线时，请猜测线段BF、FD的数量关系，并证明；
(2)将△EDC绕着点C顺时针旋转一定角度至图2位置，根据“AE中点F”这个条件，想到取AC与EC的
中点G、H，分别与点F相连，再连接BG,DH，最终利用△BGF≌△FHD（SAS）证明了（1）中的结
论仍然成立．请你思考当△EDC绕着点C继续顺时针旋转至图3位置时，（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
(3)连接BD，在△EDC绕点C旋转一周的过程中，△BFD的面积也随之变化．若AC=5√2,CB=3√2，请
直接写出△BFD面积的最大值．
必考点3 平行四边形中的角度转换
1．（2022春·江西新余·八年级新余四中校考期中）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于
点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：①△ABE是等边三角形：②
△ABC≌△EAD；③AD=AF：④S =S ；⑤S =S 其中正确的是（ ）
△ABE △CDF △ABE △CEFA．①②③ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②③④
2．（2022春·江苏南京·八年级统考期中）如图，在等边三角形ABC中，AB=4，P为AC上一点（与点
A、C不重合），连接BP，以PA、PB为邻边作平行四边形PADB，则PD的取值范围是_______．
3．（2022秋·辽宁朝阳·九年级校考期中）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于O，BD=2AD，E，
F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③EG=GF
；④EA平分∠GEF．其中正确的是________．
4．（2022春·浙江·八年级期末）如图，四边形ABCD中，AB//CD,∠B=∠D，点E为BC延长线上一
点，连接AE，AE交CD于H．∠DCE的平分线交AE于G．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）如图1，若AB=2AD=10，H为CD的中点，HE=6，求AC的长；
（3）如图2，若∠BAC=∠DAE①∠AGC=2∠CAE，求∠CAE的度数；
②∠AGC=n∠CAE,∠CAE=_____°（用含有n的式子表示）
5．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在□ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点
E，F，BE，CF相交于点G.
(1)求证：BE⊥CF；
(2)若AB=a，CF=b，求BE的长.
6．（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，点 A（a，6），B（4，b），
（1）若 a，b 满足 (a b 5)2 |2a−b−1| 0 ，
①求点 A，B 的坐标；
②点 D 在第一象限，且点 D 在直线 AB 上，作 DC⊥x 轴于点 C，延长 DC 到 P 使 得 PC=DC，若
△PAB 的面积为 10，求 P 点的坐标；
（2）如图，将线段 AB 平移到 CD，且点 C 在 x 轴负半轴上，点 D 在 y 轴负半轴上， 连接 AC 交
y 轴于点 E，连接 BD 交 x 轴于点 F，点 M 在 DC 延长线上，连 EM，3∠MEC+∠CEO=180°，点 N
在 AB 延长线上，点 G 在 OF 延长线上，∠NFG= 2∠NFB，请探究∠EMC 和∠BNF 的数量关系，给出
结论并说明理由.
必考点4 平行四边形中勾股定理的运用
1．（2022春·浙江温州·八年级统考期中）如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD＝√6，顶点E重合，
将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连接AD、BC，这时△ADE的面积是______．
2．（2022春·广西贵港·八年级统考期中）如图，四边形ABCD为菱形，AB=3，∠ABC=60°，点M为BC边
上一点且BM=2CM，过M作MN∥AB交AC，AD于点O，N，连接BN．若点P，Q分别为OC，BN的中
点，则PQ的长度为________．
3．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的
中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
(1)求证：四边形GEHF是平行四边形．
(2)若AB=4，BC=7，当四边形GEHF是矩形时BD的长为 ．
4．（2022秋·辽宁辽阳·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为平面
内一点，以CD为腰在CD右侧作等腰Rt△CDE，且∠CDE=90°，过点B作BF∥DE，且BF=DE，
连接BD，DF，EF．(1)如图①，当点D在AC边上时，直接写出线段AF与AD的关系为 ；
(2)将图①中的等腰Rt△CDE绕点C逆时针旋转α(0°<α<45°)到图②的位置，连接AD，AF，（1）中的
结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)若AD=3，AC=5，当A、E、F三点在一条直线上时，请直接写出CD的长．
5．（2022春·广东广州·八年级广州市南武中学校考期中）如图：
(1)如图1，平行四边形ABCD中，AM⊥BC于M，DN⊥BC于N．求证：BM=CN．
(2)如图2，平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2．
(3)如图3，PT是△PQR的中线，已知：PQ=7，QR=6，RP=5．求：PT的长度．
6．（2022春·广东深圳·八年级深圳中学校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，
过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，过点C作CH⊥AB，垂足为H，求CH的长．
必考点5 平行四边形中的多解问题
1．（2022春·浙江杭州·八年级期末）平行四边形的一边长为12，那么这个平行四边形的两条对角线的长
可能是（ ）
A．8和12 B．9和13 C．12和12 D．11和142．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）已知：一组邻边分别为6cm和10cm的平行四边形ABCD，
∠DAB和∠ABC的平分线分别交CD所在直线于点E，F，则线段EF的长为________cm．
3．（2022春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，
∠A=60°，AC=4，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着
边PE折叠，折叠后得到△EPA′，当折叠后△EPA′与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分
之一，则此时BP的长为______．
4．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）如图1，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E为BD上
的一个动点，连接CE并延长到点F，使EF=CE，连接AF．
(1)若点E与点B重合（如图2），判断AF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)若以A，F，B，E为顶点的四边形是平行四边形，BD=3，请直接写出线段BE的长度．
5．（2022春·四川成都·八年级四川省成都市七中育才学校校考期末）已知△ABC为等边三角形，其边长为
4．点P是AB边上一动点，连接CP．(1)如图1，点E在AC边上且AE=BP，连接BE交CP于点F．
①求证：BE=CP；②求∠BFC的度数；
(2)如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D．设BP=x，CD=y，求y与
x的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长BC至点E，且CE=BP，连接QE，DE．在点P运动过程中，当△CEQ
的周长为4+√13时，求DE的长．
6．（2022春·浙江杭州·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠BCD=90°，
AB=AD=10cm，BC=8cm，点P从点B出发，沿线段BA，向点A以2cm/s的速度匀速运动；点Q从
点D出发，沿线段DC向点C以3cm/s的速度匀速运动，已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一
点也停止运动，设运动时间为t(s)．
（1）连结P、Q两点，则线段PQ长的取值范围是________；
（2）当PQ=10cm时，求t的值；
（3）若在线段CD上有一点E，QE=2cm，连结AC和PE．请问是否存在某一时刻使得AC平分PE？若
存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
必考点6 平行四边形中的动点问题
1．（2022秋·广东广州·九年级广州四十七中校考期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
D为CA上一动点，E为BC延长线上的动点，始终保持CE=CD．连接BD和AE，将AE绕A点逆时针旋转90°到AF，连接DF．
(1)请判断线段BD和AF的位置关系并证明；
1
(2)当S = BD2 时，求∠AEC的度数；
△ABD 4
(3)如图2，连接EF，G为EF中点，AB=2√2，当D从点C运动到点A的过程中，EF的中点G也随之运
动，请求出点G所经过的路径长．
2．（2022春·贵州遵义·八年级校考期末）如图，点P是□ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不
与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．
(1)当点P与点O重合时如图1，线段OE与线段OF的数量关系是______．
(2)如图2，点P在OC上运动时（不与点O与C重合），（1）中的结论是否成立？
(3)点P在OC的延长线上运动时，当∠OFE=60°时，如图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的
数量关系？
3．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）如图（a），直线l ∶y=kx+b经过点A、B，OA=OB=3，直线l :
1 2
3
y= x−2交y轴于点C，且与直线l 交于点D，连接OD．
2 1(1)求直线l 的解析式；
1
(2)求△OCD的面积；
(3)如图（b），点P是直线l 上的一动点，连接CP交线段OD于点E，当△COE与△DEP的面积相等时，
1
求点P的坐标；
(4)在（3）的条件下，若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以D、C、
P、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2022春·吉林四平·八年级统考期末）如图1，直线y＝kx＋b分别交x轴，y轴于点A，点B，点C、P
3
分别是线段OB，AB的中点，且OC= ，CP＝2，动点D，E分别在直线CP和线段AB上，设点E的横坐
2
标为m，线段CD的长为n（n>0），且m＋n＝3，以DO，DE为邻边作平行四边形ODEF．
(1)求出直线AB的解析式．
(2)当n＝1时，请求出点F的坐标．
(3)当点F落在△AOB的边OB或AB上时，求直接写出点F的坐标．
5．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，
AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以
2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为ts．
(1)CD边的长度为______cm，t的取值范围为______．
(2)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？
(3)从运动开始，当t取何值时，PQ=CD？
6．（2022春·浙江温州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是平行四边形，O为
坐标原点，点A的坐标是(−16，0)， 线段BC 交y轴于点D，点D的坐标是(0，8)，线段CD=6．动点P
从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的
速度向终点B运动，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，运动时间为t秒.
(1)用t的代数式表示：BQ=_______，AP=_______；
(2)若以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
(3)当△BQP恰好是等腰三角形时，求t的值．
必考点7 平行四边形中的最值问题
1．（2022秋·湖北黄冈·九年级统考期中）如图，点D，E是△ABC内的两点，且DE//AB，连结AD，
BE，CE．若AB＝9√2，DE＝2√2，BC＝10，∠ABC＝75°，则AD+BE+CE的最小值为___________．2．（2022春·上海静安·八年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，
AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接
AF，则AF的最小值是___．
3．（2022春·浙江·八年级期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC=5,BC=6，点M是AC边上任意一点，
连接MB，以MB、MC为邻边作平行四边形MCNB，连接MN，则MN的最小值_________．
4．（2022春·江苏南通·八年级校联考期中）如图， ▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上
的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______.
5．（2022春·重庆·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥AC，AD=AC，点E为AB上一动点，DE与AC相交于点G，CH⊥DE，垂足为H，CH的延长线与AB相交于点F，点P在边AB上
（1）若DG=√10，AG=1，求AB的长
（2）求证DG=CF+FG
（3）若AP=1，AD=4√2，请直接写出PH的最小值
1
6．（2022春·四川遂宁·九年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝ AD，点E为AD的
2
中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．
（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；
（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．
必考点8 构造平行四边形
1．（2022春·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）如图，线段AB长为
6cm，点C是线段AB上一动点（不与A，B重合），分别以AC和BC为斜边，在AB的同侧作等腰直角三
角形△ADC，△CEB，点P是DE的中点，当点C从距离A点1cm处沿AB向右运动至距离B点1cm处时，
点P运动的路径长是_____cm．
2．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）【模型建立】(1)如图1，已知在△ABC中，点D是AB边的中点，将△BDC沿CD翻折得到△FDC，连接FA，FB．
①求证：△AFB是直角三角形；
②延长FA，BC交于点E，判断CF与BE的数量关系，并证明你的结论；
(2)【拓展应用】如图2，已知在△ABC中，点D是AB边的中点，点E是BC边上一点，将△BDE沿DE翻
折得到△FDE，连接FA，FB．
①判断AF与DE的位置关系，并证明你的结论；
②若AC∥EF，用等式表示线段BE，CE，AC之间的数量关系，并证明你的结论．
3．（2022秋·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，△CAB 与△CDE 为等腰直角三角形．
∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE．
(1)如图1，若∠CAD=30∘，∠DCB=10∘，求∠DEB的度数；
(2)如图2，若A、D、E三点共线，AE与BC交于点F，且CF=BF，AD=3，求△CEF 的面积：
(3)如图3，BE 与AC的延长线交于点G，若CD⊥AD，延长CD 与AB 交于点N ，在BC 上有一点M
且BM=CG，连接NM ，请猜想CN、NM、BG 之间的数量关系并证明你的猜想．
4．（2022春·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）我们知道，平行四边形的对边平行
且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助．
重温定理，识别图形（1）如图1，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F，使
1
EF=DE，连接CF”，此时DE与DF在同一直线上且DE= DF，又可证图中的四边形______为平行四
2
1
边形，可得BC与DF的关系是______，于是推导出了“DE//BC，DE= BC”．
2
寻找图形，完成证明
（2）如图2，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，△BEH是等边三角形，∠ABC=∠AEF=60°，
连接CF、CH．求证：CF=BE．
构造图形，解决问题．
（3）如图3，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，连接BE、CF．直接写出CF与BE的数量关系．
5．（2022秋·重庆渝北·八年级重庆市两江育才中学校校考期中）如图， CAB与 CDE为等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠C△DE＝∠C△ED＝45°，连接AD、
BE．
（1）如图1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，则∠DEB的度数为________度；
（2）如图2，若A、D、E三点共线，AE与BC交于点F，且CF＝BF，AD＝3，求 CEF的面积；
（3）如图3，BE与AC的延长线交于点G，若CD⊥AD，延长CD与AB交于点N，△在BC上有一点M且
BM＝CG，连接NM，请猜想CN、NM、BG之间的数量关系并证明你的猜想．
6．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校考期中）已知ΔABC和ΔDEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点．
（1）如图1，当点D在BC边上时，连接AD、BE，求证：AD=BE；
（2）如图2，F是线段AD上的一点，连接CF，若AF=CF，试判断BE与CF的数量关系和位置关系，并说明
理由；
（3）如图3，把ΔDEC绕点C顺时针旋转α角（0°<α<90°）将（2）问的条件AF=CF换成AF=FD，其他条件
不变，（2）问中的关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出相应的正确的结论．
必考点9 矩形的折叠问题
1．（2022春·福建福州·八年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，点O为对角线的交点，点E为CD上一点，
沿BE折叠，点C恰好与点O重合，点G为BD上的一动点，则EG+CG的最小值m与BC的数量关系是（
）
A．√3m=√5BC B．m=√2BC C．√3m=√7BC D．2m=√7BC
2．（2022秋·四川达州·九年级统考期末）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在
AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；
④当点H与点A重合时，EF=2√5．
以上结论中，你认为正确的有__________．（填序号）
3．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
(1)根据定义判矩形
已知：如图1，在平行四边形ABCD中，AC,BD是它的两条对角线，AC=BD．求证：平行四边形
ABCD是矩形．
(2)动手操作有发现
如图2，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，
延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系?并证明你的结论．
(3)类比探究到一般
如图3，将(2)中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，(2)中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(4)解决问题巧应用
如图4，保持(2)中的条件不变，若G点是CD的中点，且AB=2，请直接写出矩形ABCD的面积．
4．（2022春·湖北宜昌·八年级统考期末）（1）【操作发现】：如图一，在矩形ABCD中，E是BC的中点，
将 ABE沿AE折叠后得到 AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC的
数△量关系是 ． △
（2）【类比探究】：如图二，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论
是否仍然成立？请说明理由．
（3）【应用】：如图三，将（1）中的矩形ABCD改为正方形，边长AB＝4，其它条件不变，求线段GC
的长．5．（2022春·全国·八年级统考期末）已知：如图，矩形纸片ABCD的边AD=3，CD=2，点P是边CD上的一
个动点（不与点C重合，把这张矩形纸片折叠，使点B落在点P的位置上，折痕交边AD与点M，折痕交边
BC于点N .
（1）写出图中的全等三角形. 设CP=x，AM=y，写出y与x的函数关系式；
（2）试判断∠BMP是否可能等于90°. 如果可能，请求出此时CP的长；如果不可能，请说明理由.
必考点10 矩形与等腰三角形
1．（2022秋·江西吉安·九年级统考期末）在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，点E在AD边上，若 BCE是等
腰三角形，则线段DE的长为______． △
2．（2022秋·浙江·八年级期末）在一张长为6cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的
等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）则剪
下的等腰三角形的面积为________cm2．
3．（2022秋·福建福州·八年级校考期末）已知：若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的
顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角和是180°，则称这个两个顶点关于这条底边互为
勾股顶针点．
如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB＝AC，DB＝DC，则点A与点D关于BC互为顶针点；若
再满足∠A+∠D＝180°，则点A与点D关于BC互为勾股顶针点．初步思考
(1)如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，D、E为△ABC外两点，EB＝EC，∠EBC＝45°，△DBC
为等边三角形．
①点A与点______关于BC互为顶针点：
②求证：点D与点A关于BC互为勾股顶针点．
实践操作
(2)在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10．
①如图3，点E在AB边上，点F在AD边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E、F，使得点E与点C关
于BF互为勾股顶针点．（不写作法，保留作图痕迹）
思维探究
②如图4，点E是直线AB上的动点，点P是平面内一点，点E与点C关于BP互为勾股顶针点，直线CP
与直线AD交于点F，求在点E运动过程中，当线段BE与线段AF的长度相等时AE的长．
4．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）有一张矩形纸条ABCD，AB=15，BC=4，点M、N分别在边
AB、CD上．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点E，F上．(1)如图，当点E与点D重合时
①求证：△EMN是等腰三角形；
②点G在EM上，当四边形EGNF为矩形时，求MG的长．
(2)如图，若CN=3，点M从点A出发运动到终点B的过程中，若四边形MEFN的边ME与线段CD交于点
P，求点P的运动路程．
5．（2022春·上海长宁·八年级上海市民办新世纪中学校考期末）如图矩形ABCD中，AB=2，AD=4，
点P是边AD上一点，联结BP，过点P作PE⊥BP，交DC于E点，将△ABP沿直线PE翻折，点B落在点
B′处，若△B′PD为等腰三角形，求AP的长．
6．（2022秋·江苏·八年级期末）问题背景
若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足
两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．
如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB=AC，DB=DC，则点A与点D关于BC互为顶针点；
若再满足∠A+∠D=180°，则点A与点D关于BC互为勾股顶针点．初步思考
(1)如图2，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，D、E为△ABC外两点，EB=EC，∠EBC=45°，
△DBC为等边三角形．
①点A与点______关于BC互为顶针点；
②点D与点______关于BC互为勾股顶针点，并说明理由．
实践操作
(2)在长方形ABCD中，AB=8，AD=10．
①如图3，点E在AB边上，点F在AD边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E、F，使得点E与点C关于
BF互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)
思维探究
②如图4，点E是直线AB上的动点，点P是平面内一点，点E与点C关于BP互为勾股顶针点，直线CP与
直线AD交于点F．在点E运动过程中，线段BE与线段AF的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE的
长；若不相等，请说明理由．
7．（2011秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=10．
（1）求矩形ABCD的周长；
（2）E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．
①求DE的长；
②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．
（3）M是AD上的动点，在DC 上存在点N，使△MDN沿折痕MN折叠，点D落在BC边上点T处，求线段
CT长度的最大值与最小值之和．必考点11 矩形的多解与最值
1．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，矩形ABCD的边AD长为4，将△ADC沿对角线AC翻折
得到△AD′C，CD′与AB交于点E，再以CD′为折痕，将△BCE进行翻折，得到△B′CE．若两次折叠后，
点B′恰好落在△ADC的边上，则AB的长为___________．
2．（2022秋·天津和平·九年级天津一中校考期末）如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，E为BC上
一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接
FG和CG，则CG的最小值为__．
3．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是对角线BD上
一点，EF⊥BC于点F，EG⊥CD于点G，连接FG，则EF+FG的最小值为______________．
4．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋
转α角，得到矩形CDEF．设若A(0,3)，C(4,0)，则BD2+BF2−BC2的最小值为______．5．（2022春·辽宁沈阳·八年级统考期末）等边△ABC中，AB＝14．平面内有一点D，BD＝6，AD＝10，
则CD的长为_____．
6．（2022秋·天津·九年级校考期末）在平面直角坐标系中，矩形OABC，O为原点，
A(3,0),B(3,4),C(0,4)，将△OBC绕点B逆时针旋转，点O,C旋转后的对应点为O′,C′．
(1)如图（1），当∠CBC′=30°时，求C′的坐标；
(2)如图（2），当点O′恰好落在x轴上时，O′C′与AB交于点D．
①此时DB与DO′是否相等，说明理由；
②求点D的坐标；
(3)求△AO′C′面积的最大值．（直接写出答案即可）
必考点12 菱形中的全等三角形的构造
1．（2022春·山东济南·八年级统考期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为
CD延长线上一点，且CD=DE，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
1
①OG= AB；②S >S ；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S =4S ，其
2 四边形ODGF △ABF △ACD △BOG
中正确的结论是（ ）A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
2．（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交
于点E，F，G分别是线段AB和线段AC上的动点，且AF=CG，若DE=1，AB=2，则DF+DG的最小值为
______．
3．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，
交DC的延长线于点F．
(1)如图1，求证：CE=CF；
(2)如图2，FG∥BC,FG=EC，连接DG、EG，当∠ABC=120°时，求证：∠BDG=60°；
(3)如图3，在（2）的条件下，当BE=2CE,AE=4√3时，求线段BD的长．
3
4．（2022春·山东德州·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=− x+b分别与x轴、y
4
轴交于点A、B，且点A的坐标为(8，0)，四边形ABCD是正方形．(1)求b的值和点D的坐标；
(2)点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外）．
①如图2，将 BMC沿CM折叠，点B的对应点是点E，连接ME并延长交AD边于点F，问 AMF的周长
是否发生变化△？若不变，求出其值；若变化，请说明理由； △
②点P是x轴上一个动点，Q是坐标平面内一点，探索是否存在一个点P，使得以A、B、P、Q为顶点的
四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点Q的坐标．
5．（2022春·河南鹤壁·八年级鹤壁市外国语中学校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相
交于点O，EF经过点O且垂直于AC，分别与边AD，BC交于点F，E．
(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)若AD＝3，CD=√2，且∠ADC＝45°，直接写出四边形AECF的面积．
6．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AC=2AB．对角线
AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转β°(0<β<180)，分别交直线BC、AD于点E、F．
(1)当β=______°，四边形ABEF是平行四边形；
(2)在旋转的过程中，从A、B、C、D、E、F中任意找4个点为顶点构造四边形．
①β=______°，构造的四边形是菱形；
②若构造的四边形是矩形，则不同的矩形应该有______个．必考点13 正方形中线段的和差倍分关系
1．（2022春·广东惠州·八年级统考期末）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以
线段AG为边作一个正方形AEFG，线段DG与BE、AE分别相交于点H、K．
(1)求证：∠ABE=∠ADG；
(2)判断BE与DG的关系，并说明理由；
(3)若AB=6√2，AG=6，求DK的长．
2．（2022春·黑龙江绥化·八年级统考期末）已知四边形ABCD是正方形，等腰Rt△AEF的直角顶点E在直
线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．
(1)当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB＋BE＝AM；（提示：延长MF，交
边BC的延长线于点H）
(2)当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上
时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；
(3)在（1）、（2）的条件下，若BE＝3，∠BAF＝15°，则AM的长为 ．3．（2022春·河南信阳·八年级统考期末）已知正方形ABCD与正方形CEFG，点M是AF的中点，连接
DM，EM．
(1)如图，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结
论；
(2)如图，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；
(3)将（1）图中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB=13，CE=5，请直
接写出MF的长__________．
4．（2022春·山东济南·八年级统考期末）阅读下列材料：
数学课上老师出示了这样一个问题：如图1，等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边AD上，斜
边BF交CD于点Q，连接PQ．请探索PQ、AP、CQ的数量关系．
某学习小组的同学经过探索，交流了自己的想法：利用现在所学的旋转知识，可将△ABP旋转到△CBE位
置，然后通过证明△BPQ≌△BEQ来探索数量关系．
(1)（问题解决）请你根据他们的想法写出PQ、AP、CQ的数量关系是________；(2)（学以致用）如图2，若等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边DA的延长线上，斜边BF的延
长线交CD的延长线于点Q，连接PQ，猜想线段PQ，AP，CQ满足怎样的数量关系？并证明你的结论；
(3)（思维拓展）等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内部一点，若BC＝2．则AP＋BP＋CP的最
小值＝________．
5．（2022秋·四川达州·九年级统考期末）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标物上，点B坐标为
(3,3)．将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α(0°<α<90°)，得到正方形ADEF，ED交线段OC于点
G，ED的延长线交线段BC于点P．连AP、AG．
（1）求证：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；
（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式（可能用到的数据：在Rt△中，30°内角对应的直角边等于斜边
的一半）．
（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，
请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2022春·江西南昌·八年级校联考期末）如图，四边形ABCD中，已知：A（a，0），B（0，b），C
（c，0）和D（0，d）．
（1）当四边形ABCD正方形时，写出a，b，c，d满足的等式关系 ：
（2）若AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H．
①直接写出E、F、G、H四点的坐标；
②证明：四边形EFGH是矩形；
③若矩形EFGH是正方形，则a，b，c，d满足的等式关系是 ．7．（2022春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，P是正方形ABCD的边CD右侧一点，CP=CD，∠PCD
为锐角，连PB，PD．
（1）如图1，若PD=PC，则∠BPD的度数为 ；
（2）如图2，作CE平分∠PCD交PB于E．
①求∠BEC的度数；
②猜想PD，BE，CE之间有何数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若PB=6，则四边形PCBD的面积为 平方单位
必考点14 正方形中的折叠问题
1．（2022春·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）如图，E为正方形ABCD边AB上
一动点（不与A重合），AB＝4，将△DAE绕点A逆时针旋转90°得到△BAF，再将△DAE沿直线DE折叠
得到△DME．下列结论∶①若延长DE，则DE⊥BF； ②若连接AM，则AM∥FB； ③连接FE，当F、
E、M三点共线时，AE=4√2−4；④连接EF、EC、FC，若 FEC是等腰三角形，则AE=4√3−4；其
中正确有（ ） △A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）已知正方形的边长为12，点P是边AD上的一个动点，连接BP，
将△ABP沿BP折叠，使点A落在点A′上，延长PA′交CD于E，当点E与CD的中点F的距离为2时，则
此时AP的长为______．
3．（2022春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，正方形ABCD的边长为6，点E为边AD的
中点，将三角形ABE沿BE折叠使点A与恰好落在点F处，又将点C折叠使其与BF上的点M重合，且折
痕GH与BF平行交CD于点H，则线段GH的长度为____．
4．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）综合与实践数学活动课上，张老师找来若干张等宽的矩形纸条，
让学生们进行折纸探究．(1)希望小组将如图（1）所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点A 处，折痕
1
为BE．
埴空：图（1）中四边形ABA E的形状是______．
1
(2)智慧小组准备了一张如图（2）所示的长、宽之比为(√2+1):√2的矩形纸片ABCD，用希望小组的方法
折叠纸片，得到四边形ABA E，接着沿过点C的直线折叠纸片，使点D落在EA 上的点M处，折痕为
1 1
CF，求∠MCD的度数．
(3)勤奋小组拿着一张如图（3）所示长为5，宽为2的矩形纸片ABCD，利用希望小组的方法折叠纸片，得
到四边形ABA E，在ED上取一点F（不与点D，E重合），沿CF折叠△CDF，点D的对应点为M，射
1
线FM交直线BC于点Y．
①FY与CY的数量关系为______；
②当射线FM经过△BA E的直角边的中点时，直接写出FD的长．
1
5．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）综合与实践
动手操作：利用“正方形纸片的折叠和旋转”开展数学活动，探究体会图形在正方形折叠和旋转过程中的
变化及其蕴含的数学思想方法．折一折：如图1，已知正方形ABCD的边长AB=6，将正方形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B的对应
点M落在AC上，展开正方形ABCD，折痕为AE，延长EM交CD于点F，连接AF．
(1)思考探究：图1中，与△ABE全等的三角形有________个，∠EAF=________°，BE、EF、DF三者的
数量关系________，BE的长为________．
转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转到图2所示位置，与BC、CD的交点分别为E、F，连接EF．
(2)证明推理：图2中，BE、EF、DF三者的数量关系________．
并给出证明．
(3)开放拓展：如图3，在旋转∠EAF的过程中，当点F为CD的中点时，BE的长为________．
6．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）【探究问题】（1）阅读并补全解题过程
如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AB的中点，CE⊥DE．
求证：DE平分∠ADC．
张某某同学受到老师说过的“有中点，延长加倍构造全等”的启发，延长DE交射线CB于点F，请你依据
该同学的做法补全证明过程．
证明：延长DE交射线CB于点F．
【应用】（2）如图②在长方形ABCD中，将△ABF沿直线AF折叠，若点B恰好落在边CD的中点E处，
直接写出∠AFB的度数．
【拓展】（3）如图③在正方形ABCD中，E为边AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在正方形
ABCD内部的点F处，延长BF交CD于点G，延长EF交CD于点H，若正方形ABCD的边长为4，直接写出FG的值．
7．（2022春·广东汕头·八年级统考期末）（1）如图1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且
AE⊥DF．则AE和DF的数量关系为 ．
（2）如图2，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边AD，BC，CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：
EF＝BG．
（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F，M分别是边AD，BC，AB上的点，AE＝2，BF＝4，BM＝1，将
正方形沿EF折叠，点M的对应点与CD边上的点N重合，求CN的长度．
必考点15 坐标系中的正方形
1．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC 的两边
1 1 1
OA、OC 在坐标轴上，以它的对角线OB 为边作正方形OBBC ，再以正方形OBBC 的对角线OB 为边
1 1 1 1 2 2 1 2 2 2
作正方形OBBC ，以此类推，则正方形OB B C 的顶点B 的坐标是（ ）
2 3 3 16 17 17 17
A．(128，-128) B．(256，0) C．(256，256) D．(0，512)
12
2．（2022春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=− x+12的图象交x
5
轴、y轴于A、B两点，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴于点F，交
BD于点E，连接AE．则下列说法中正确的是（ ）A．点D的坐标为(17,7) B．∠EAF=45°
C．点C的坐标为(12,17) D．△AEF的周长为(14+7√2)
3．（2022春·湖北孝感·七年级统考期末）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，AD ∥
BC ∥ x轴，AD与y轴交于点E，OE=1，且AE,DE的长满足√AE−3+|DE−1|=0．
(1)求点A的坐标；
(2)若P(−2,−1)，
①求△EPC面积；
②正方形ABCD的边CD上是否存在点M，使S =S ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请
△ECM △EPM
说明理由．
4．（2022秋·福建漳州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，B（8，6），过点B作AB∥x轴，交y轴于
点A．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，点E为OC的中点，点F在线段BC上，连接EF，将△CEF沿直线
EF折叠得△DEF．(1)如图1，当四边形CFDE是正方形时，求点D的坐标；
(2)如图2，当BF=2CF时，求点D到x轴的距离．
5．（2022春·广东广州·八年级统考期末）在正方形ABCD中，点E是直线BC上一点，∠AEF=90°，且
EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）如图1，若点E是BC的中点．求证：AE=EF；
（2）如图2，若点E是BC边上任意一点（不含B，C），结论“AE=EF”还成立吗？若成立，请证明；
若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若点E是BC延长线上任意一点，结论“AE=EF”还成立吗？若成立，请证明；若不成立，
请说明理由；
（4）如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为4，若点F恰好落在直线
1
y= x+7上，请直接写出此时点E的坐标．
2
2
6．（2022秋·四川成都·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，一次函数y=− x+4的图象与x轴和y轴
3
分别交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O作匀速运动，到
达点O即停止运动．其中A、Q两点关于点P对称，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为秒．如图①．
（1）当t=2秒时，OQ的长度为 ；
2
（2）设MN、PN分别与直线y=− x+4交于点C、D，求证：MC=NC；
3
（3）在运动过程中，设正方形PQMN的对角线交于点E，MP与QD交于点F，如图2，求OF+EN的最小
值．
必考点16 四边形中存在性问题
1．（2022秋·福建福州·八年级福州华伦中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知矩形OBCD，点
C(6,4)，现将矩形OBCD绕点O逆时针旋转(0°<∠EOB<180°)得到矩形OEFG，点B，C，D的对应点
分别为点E，F，G．(1)如图1，当点E恰好落在边CD上时，则EC的长为______(请直接写出答案)；
(2)如图2，CD所在直线与OE、GF分别交于点H、M，且CH=MH．求线段MF的长度．
(3)如图3，设点P为边FG的中点，连接PB，PE，BE，在矩形OBCD旋转过程中，△BEP的面积是否存
在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
2．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线
AC，BD交于点O．点E从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点F从点C出发，沿
CD方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接EO并延长，交BC
于点G，连接OF和EF．设运动时间为t（s）（0
