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专题04 平行四边形的重难点题型归纳（十大题型）
重难点题型归纳
【题型1 利用平行四边形的性质求角度】
【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】
【题型3 利用平行四边形求面积】
【题型4 平行四边形的性质与坐标】
【题型5 平行四边形中的最值问题】
【题型6 平行四边形中的折叠问题】
【题型7 平行四边形的判定条件】
【题型8 平行四边形的判定与坐标】
【题型9 平行四边形的判定与动点】
【题型10 平行四边形的判定与性质综合】
【题型1 利用平行四边形的性质求角度】
1．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在 ▱ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于
点E，已知∠AEB=40°，则∠D的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，主要运用了平行四边形的两个性质：①边：
平行四边形的对边平行．②角：平行四边形的对角相等．由平行四边形的性质得
∠ABC=∠D，AD∥BC，则∠AEB=∠BEC=40°，再由角平分线定义得
∠ABC=2∠ABE=80°，即可得出结论．
【详解】解：在 ▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC=40°．
∵BE平分∠ABC交AD于点E，∴∠ABC=2∠ABE=80°．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=80°．
故选：C．
2．（21-22九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在▱ABCD中，∠A+∠C=130°，则∠B
的度数为（ ）
A．135° B．115° C．70° D．65°
【答案】B
【分析】此题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
根据平行四边形的性质可知∠A=∠C，再结合∠A+∠C=130°求出∠A，再根据平
行线的性质即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C ，AE∥BC，
∴∠A+∠B=180°
又∵∠A+∠C=130°，
∴∠A=65°，
∴∠B=180°−65°=115°
故选：B．
3．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）平行四边形ABCD中，若∠A比∠B小40°，则
∠A的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．110°
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握该知识点是解题关键．
根据平行四边形的性质确定∠A+∠B=180°，把∠A=∠B−40°代入即可求出∠A
的度数．
【详解】解：∵平行四边形ABCD中，∠A比∠B小40°，
∴∠A=∠B−40°，
∵AD∥BC ，∴∠A+∠B=180°，
∴∠B=110°，
∴∠A=70°．
故选：B．
4．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作AD的垂线
交对角线AC于点E，已知∠ACB=25°，则∠CED的度数为（ ）
A．105° B．110° C．115° D．120°
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形性质和三角形内角和定理，熟记所学知识是解题关键．
根据平行四边形的性质求出∠CDE+∠ACD=65°，再利用三角形内角即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ACB=25°，
∴AD∥BC，∠ADC+∠BCD=180°，
∵AD⊥DE，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE+∠CDE+∠ACD+∠ACB=180°，
∴∠CDE+∠ACD=65°，
∴∠DEC=180°−(∠CDE+∠ACD)=115°，
故选：C．
5．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将
△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B=52°，∠DAE=20°，
则∠AED′的大小为（ ）A．110° B．108° C．105° D．100°
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练运
用这些性质是本题的关键．由平行四边形的性质可得∠B=∠D=52°，由三角形的内
角和定理可求∠DEA的度数，由折叠的性质可求∠AED′=∠DEA=108°．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=52°，
∵∠DAE=20°，
∴∠DEA=180°−∠D−∠DAE=108°．
由折叠的性质可得∠AED′=∠DEA=108°．
故选B．
6．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四
边形，则图中∠α= °．
【答案】30
【分析】本题考查了平行四边形的性质，四边形的内角和，如图，把M、N拼在一起，
得到平行四边形ABCD，则∠BCD=120°+α，由平行四边形的性质得
∠B=60°−α，进而四边形的内角和为360°得到
70°+140°+120°+(60°−α)=360°，据此解答即可求解，掌握平行四边形的性质是
解题的关键．
【详解】解：如图，把M、N拼在一起，得到平行四边形ABCD，则
∠BCD=120°+α，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B=180°−∠BCD=180°−(120°+α)=60°−α，
∵四边形的内角和为360°，∴70°+140°+120°+(60°−α)=360°，
∴α=30°，
故答案为：30．
【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】
7．（24-25八年级下·江西·开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和
∠CDA的平分线交于BC上一点E，若AB=2,AE=3，则DE的长为（ ）
5
A．❑√7 B．5 C．❑√6 D．
2
【答案】A
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理的运用，理解并
掌握平行四边形的性质，勾股勾股定理的计算是解题的关键．
根据平行四边形的性质，角平分线的定义得到∠AEB=∠BAE,∠CED=∠CDE,
CE=CD=2,AB=BE=2，∠AED=180°−∠DAE−∠ADE=90°，由勾股定理即
可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB=2,
∴AD=BC,CD=AB=2,AD∥BC,∠BAD+∠ADC=180°,
∴∠CED=∠ADE,∠AEB=∠DAE,
∵∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，
1 1
∴∠BAE=∠DAE= ∠BAD,∠CDE=∠ADE= ∠ADC,
2 2
∴∠AEB=∠BAE,∠CED=∠CDE,
∴CE=CD=2,AB=BE=2，
∴AD=BC=BE+CE=4,
1
∴∠DAE+∠ADE= (∠BAD+∠CDA)=90°,
2∴∠AED=180°−∠DAE−∠ADE=90°,
∵AE=3,
∴DE=❑√AD2−AE2=❑√7，
故选：A．
8．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在▱ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，
若AB=11，BE=4，则AD的长为（ ）
A．15 B．11 C．20 D．52
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，解
题的关键是掌握平行四边形的性质和等角对等边．根据平行四边形的性质可得
AD∥BC，AD=BC，AB=DC，根据角平分线的性质，则∠ADE=∠CDE，根据
平行线的性质，则∠ADE=∠CED，根据等角对等边，可得DC=EC，根据
BC=BE+EC即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC，
∴∠ADE=∠CED，
∵BE是∠ADC的角平分线，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CED=∠CDE，
∴DC=EC=AB=11，
∵BE=4，
∴BC=BE+EC=4+11=15，
∴AD=15．
故选：A．
9．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，1
分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线
2
MN交BC于点F，交AD于点E，则△ABF的周长是（ ）
A．7 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了作图-基本作图（垂直平分线）和平行四边形性质，要熟练掌握基
本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线，
作已知角的角平分线，过一点作已知直线的垂线）的方法．利用垂直平分线的作法得
MN垂直平分AC，则AF=CF，利用等线段代换得到△ABF的周长=AB+BC，然后
根据平行四边形的性质可确定周长的值．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，CD=AB=4，
∵由作法可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴AF=CF，
∴AF+BF=CF+BF=BC，
∴△ABF的周长=AF+BF+AB=BC+AB=6+4=10．
故选B．
10．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，
∠BAD=45°，AD=2，则▱ABCD的对角线AC的长为（ ）
2
A．5 B．10 C． D．2❑√5
3
【答案】D【分析】连接BD交AC于点F，根据平行四边形和线段垂直平分线的性质可以推出
BD=AD=2，即可推出∠ADB=90°，先利用勾股定理求出AF的长，即可求出AC的
长．
【详解】解：如图，连接BD交AC于点F．
∵BE垂直平分CD，
∴BD=BC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD=2，BF=DF，AC=2AF，
∴BD=AD=2，
1
∴DF= BD=1
2
∵∠BAD=45°，
∴∠ABD=45°，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF=❑√22+12=❑√5，
∴AC=2AF=2❑√5，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性
质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
11．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE并
延长，交BC的延长线于点G，BF⊥AE，垂足为F，若AD=AE=1，∠DAE=30°，
则EF= ．
【答案】❑√3−1【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，勾股定理，
含30度直角三角形性质；根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，进而得
到∠D=∠ECG，即可证明出△ADE≌△GCE，结合题干条件根据勾股定理解直角
三角形即可得到FG的长，进而即可求解．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC，
∴ ∠D=∠ECG，∠DAE=∠G，
∵ E为CD的中点，
∴ DE=CE，
∴ △ADE≌△GCE(AAS)，
∴ AD=CG=1，AE=EG=1，
∵ BF⊥AE，∠DAE=30°，
1
∴ BF= BG=1，
2
∴ FG=❑√BG2−BF2=❑√3，
∴ EF=FG−EG=❑√3−1．
故答案为：❑√3−1．
12．（24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，在▱ABOC中，以点O为圆心，适当长
1
为半径画弧，分别交OB，OC于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于 EF的长为
2
半径画弧，两弧交于点G，连接OG并延长交AC于点D，若OC=4，∠BOC=60°，
则OD的长为 ．
【答案】4❑√3
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，
勾股定理，含30度的特殊直角三角形，正确作出辅助线是解答本题的关键．，作
CH⊥OD于点H，由作图可知，OD平分∠BOC，可求∠COD=∠BOD=30°，
再证明∠CDO=∠BOD，得∠CDO=∠COD，从而OC=CD，然后求出CH、OH的长即可求解．
【详解】解：如图，作CH⊥OD于点H，
由作图可知，OD平分∠BOC
1
∴ ∠COD=∠BOD= ∠BOC=30°
2
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AC∥OB
∴∠CDO=∠BOD
∴∠CDO=∠COD
∴OC=CD
∵CH⊥OD
∴OH=DH
∵OC=4，∠COD=30°
1
∴CH= OC=2
2
∴OH=❑√OC2−CH2=❑√42−22=2❑√3
∴OD=4❑√3
故答案为：4❑√3．
13．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD的周长为30cm，
对角线AC,BD相交于点O，如果OE⊥AC交边AD于点E，那么△DCE的周长为
cm．
【答案】15
【分析】此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，
OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又由平行四边形ABCD的
周长为30cm，可得AD+CD的长，继而可得△DEC的周长等于AD+CD．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长为30cm，
∴AD+CD=15cm，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△DEC的周长=CD+CE+DE=CD+DE+AE=CD+AD=15cm．
故答案为：15．
【题型3 利用平行四边形求面积】
14．（23-24九年级上·全国·开学考试）如图，O是平行四边形ABCD的对角线交点，
E为AB中点，DE交AC于点F，若平行四边形ABCD的面积为8．则△DOE的面积
是（ ）
3 9
A．2 B． C．1 D．
2 4
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的
关键．根据平行四边形的面积，可知S ，根据E是中点，可知S ，最后根据平
△ABD △EBD
行四边形的对角线互相平分，推出O是BD中点，从而得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形且面积为8
1 1
∴ S = S = ×8=4，BO=DO
△ABD 2 ▱ABCD 2
又∵E为AB中点
1 1
∴S = S = ×4=2
△EBD 2 △ABD 2∵BO=DO
1 1
∴S = S = ×2=1
△DOE 2 △EBD 2
故选：C．
15．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB=4cm，
将纸片沿对角线AC对折至CF，交AD边于点E，此时△CDE恰为等边三角形，则图
中折叠重合部分的面积是 ．
【答案】4❑√3
【分析】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题．根据翻折的性质，及
已知的角度，可得△AEF为等边三角形，再由四边形ABCD为平行四边形，且
∠B=60°，从而知道F，A，B三点在同一条直线上，再由AC是对称轴，所以AC垂
直且平分BF，AB=AF=AE=4 ，求AE边上的高，从而得到面积．
【详解】解：∵△CDE恰为等边三角形，
∴∠AEF=∠DEC=60°，∠D=∠B=∠F=60°
∴△AEF为等边三角形，
由四边形ABCD为平行四边形，且∠B=60°，
∴∠BAD=120°，所以∠FAE+∠DAB=180°，CD=AB=4，
∴F，A，B三点在同一条直线上，
∵AC是对折线，
∴AC垂直且平分BF，
∴AB=AF=AE=4，
过点C作CG⊥AD，
则有∠DCG=30°，1
∴DG= CD=2，
2
∴CG=❑√CD2−CF2=2❑√3，
1
∴折叠重合部分的面积是 ×4×2❑√3=4❑√3．
2
故答案为：4❑√3．
16．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
EF，GH过点O，且点E，H在边AB上，点G，F在边CD上，若▱ABCD的面积为
20，则阴影区域的面积为 ．
【答案】5
【分析】根据平行四边形的性质易得S =S ，进而得到
△OEH △OFG
1
S =S +S +S =S ，又由S = S 即可得出结论．
阴影 △OEH △OCF △OGD △OCD △OCD 4 ▱ABCD
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证出
1
S =S = S 是解题的关键．
阴影 △OCD 4 ▱ABCD
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S =S ，
△OEH △OFG
∴S =S +S +S =S ，
阴影 △OEH △OCF △OGD △OCD
1
∵S = S ，▱ABCD的面积为20，
△OCD 4 ▱ABCD
∴S =5，
阴影
故答案为：5．
【题型4 平行四边形的性质与坐标】
17．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，若▱ABCD的顶点A，C，D的坐标分别是
(1,1),(3,−1),(5,2)，则点B的坐标是（ ）( 1 )
A．(−4,−2) B． − ,−1 C．(−1,−1) D．(−1,−2)
2
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，平移的性质，掌握平行四边形
的性质是本题的关键．
由平行四边形的性质可得AB∥CD,AB=CD，再由平移的性质可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD,AB=CD，
∴D向点A的平移方向与距离与点C向B的平移方向与距离一样，
∵A，C，D的坐标分别是(1,1),(3,−1),(5,2)，
∴由平移的性质得到B(−1,−2)
故选：D．
18．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶
点A、B、D的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C的坐标是（ ）
A．(7,3) B．(8,2) C．(3,7) D．(5,3)
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形，熟练掌握平行四边形的性质并利
用数形结合的思想是解题关键．根据平行四边形的性质结合所给三个顶点的坐标可得
出x =x +CD=7，y = y =3，即可求解．
C D C D
【详解】解：∵平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，
∴CD=AB=5，CD∥x轴，∴x =x +CD=7，y = y =3，
C D C D
∴顶点C的坐标是(7,3)．
故选：A．
19．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，▱AOBC的顶点
B在x轴上，点A坐标为(1,2)，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB
1
于点D、E，再分别以点D、点E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧在
2
∠AOB内相交于点F，作射线OF交AC于点P．则点P的坐标是（ ）
A．(3,2) B．(❑√5,2) C．(1+❑√5,2) D．(2+❑√5,1)
【答案】C
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，角平分线的作图与计算，
等腰三角形的判定，理解题意，证明AP=AO是解本题的关键．利用勾股定理先求解
OA=❑√(1−0) 2+❑√(2−0) 2=❑√5, 再证明AP=AO=❑√5, 从而可得答案．
【详解】解：∵点A坐标为(1,2)，
∴OA=❑√(1−0) 2+❑√(2−0) 2=❑√5,
∵▱AOBC，
∴AC∥OB,
∴∠APO=∠POB,
由作图可得：OP平分∠AOB,
∴∠AOP=∠BOP,
∴∠AOP=∠APO,
∴AP=AO=❑√5,∴P(1+❑√5,2)，
故选：C
20．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，▱PQMN的三个顶点坐标
分别是P(−5,−10)，Q(15,−3)，M(6,8)，则N点坐标是（ ）
A．(−15,5) B．(−14,1) C．(−14,5) D．(−15,1)
【答案】B
【分析】此题考查了平行四边形的性质和平移，根据题意先确定点Q(15,−3)向左平
移20个单位，向下平移7个单位得到P(−5,−10)，根据相同的平移方式即可得到N
点坐标.
【详解】解：∵四边形PQMN是平行四边形，
∴PQ∥MN，
∵点Q(15,−3)向左平移20个单位，向下平移7个单位得到P(−5,−10)，
∴点M(6,8)向左平移20个单位，向下平移7个单位得到(−14,1)，即N点坐标是
(−14,1)，
故选：B
21．（23-24八年级下·河南安阳·期中）已知在平行四边形ABCD中，点A，B，C的坐标分
别是A(−1,1)，B(1,−2)，C(4,−2)，则点D的坐标是 ．
【答案】(2,1)
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，
根据平行四边形的性质得到−1+4=1+x ，1+(−2)=−2+ y ，进而求解即可．
D D
【详解】∵在平行四边形ABCD中，点A，B，C的坐标分别是A(−1,1)，B(1,−2)，
C(4,−2)，
∴−1+4=1+x ，1+(−2)=−2+ y
D D
∴x =2，y =1
D D∴点D的坐标是(2,1)．
故答案为：(2,1)．
22．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，平行四边形ABCD
的顶点A、B、D在坐标轴上，若点A的坐标为(−1,0)，OB=1，∠DAB=45°，则点
C的坐标为 ．
【答案】(2，1)
【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，等角对等边，先求出
OA=1，再证明∠ADO=45°=∠DAO推出OD=OA=1，进一步求出AB=2，由平
行四边形的性质得到CD=AB=2，CD∥AB，即CD⊥y轴，由此可得答案．
【详解】解：∵点A的坐标为(−1,0)，
∴OA=1，
∵∠DAB=45°，∠DOA=90°，
∴∠ADO=45°=∠DAO，
∴OD=OA=1，
∵OB=1，
∴AB=2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2，CD∥AB，即CD⊥y轴，
∴点C的坐标为(2，1)，
故答案为：(2，1)．
【题型5 平行四边形中的最值问题】
23．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，
∠C=120°，AD=4，AB=2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、
HG，点E为AH的中点，点F为HG的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差
为（ ）❑√3
A．1 B．❑√3−1 C． D．2−❑√3
2
【答案】C
【分析】取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N，先求出EF的最
❑√3 ❑√3
大值为❑√3最小值为 ，再求出EF的最大值与最小值的差为 即可．
2 2
【详解】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=120°，AD=4，AB=2，
∴∠D=180°−∠BCD=60°，AB=CD=2，
∴AM=DM=DC=2，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC=∠MCD=60°，CM=DM=AM，
∴∠MAC=∠MCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∴AC=❑√AB2−CD2=2❑√3，
在Rt△ACN中，
∵AC=2❑√3，∠ACN=∠DAC=30°，
1
∴AN= AC=❑√3，
2
∵AE=EH，GF=FH，
1
∴EF= AG，
2
根据题意，得AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为2❑√3，最小值为❑√3，
❑√3
∴EF的最大值为❑√3，最小值为 ，
2❑√3
∴EF的最大值与最小值的差为 ．
2
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，垂线段最短，等边三角
形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
24．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在△ABC中，AB=BC=15，AC=18，D
是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作▱ADCE，连接DE，则DE长
的最小值为（ ）
A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8
【答案】A
【分析】设AC，ED交于点O，过点O作OF⊥BC于点F，勾股定理求得OB，等面
积法求得OF，根据垂线段最短，当点D与点F，重合时，OD最小，进而求得DE的
最小值，即可求解．
【详解】解：设AC，ED交于点O，过点O作OF⊥BC于点F，如图所示，
在四边形ADCE中，AO=CO，EO=DO，
∵AB=BC=15，
∴BO⊥AC，
∵AC=18，
∴AO=CO=9，
在Rt△BOC中，BO=❑√BC2−OC2=12，1 1
∵S = CO⋅BO= BC⋅OF，
△OBC 2 2
∴OF=7.2，
当点D与点F，重合时，OD最小，
∴ED的最小值为2OD=14.4．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，
掌握以上知识是解题的关键．
25．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是
边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．
若∠B=60°，AB=6，BC=8，则GH的最小值为 ，最大值为 ．
3❑√3 3
【答案】 / ❑√3 ❑√13
2 2
【分析】本题考查三角形中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，
垂线段最短，正确作出辅助线，理解当AF⊥BC时，AF最短，即此时GH最小；当
点F与点C重合时，AF最长，即此时GH最大是解题关键．连接AF，由G，H分别
1
为AE，EF的中点，结合三角形中位线定理可知GH= AF．最后根据当AF⊥BC
2
时，AF最短，即此时GH最小；当点F与点C重合时，AF最长，即此时GH最大解
答即可．
【详解】解：如图，连接AF．∵G，H分别为AE，EF的中点，
1
∴GH= AF．
2
当AF⊥BC时，AF最短，即此时GH最小，如图，
∵∠B=60°，AB=6，
1
∴BF= AB=3，
2
∴AF=❑√AB2−BF2=3❑√3，
3❑√3 3❑√3
∴GH= ，即GH的最小值为 ．
2 2
当点F与点C重合时，AF最长，即此时GH最大，如图，过点A作AP⊥BC，
∴AP=3❑√3，BP=3，
∴CP=BC−BP=5，
∴AC=❑√AP2+CP2=❑√(3❑√3) 2+52=2❑√13，
2❑√13
∴GH= ，即GH的最大值为❑√13．
2
3❑√3
故答案为： ，❑√13．
2
26．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
AB=9,BC=12，P为边AC上的一动点，连接PB，以PA，PB为邻边作▱APBQ，则线段AQ长的最小值为 ．
36
【答案】
5
【分析】本题主要考查了勾股定理、平行四边形性质、垂线段最短等知识点，确定BP
的最小值成为解题的关键，先利用勾股定理算出AC，再根据垂线段最短可得当
BP⊥AC时，BP的长的最小；再根据平行四边形的性质可知AQ=BP,即BP的长的
最小值就是线段AQ长的最小值，据此即可解答即．
【详解】解：∵∠ABC=90°，AB=9,BC=12，
∴BC=❑√AB2+AC2=15，
根据垂线段最短可得当BP⊥AC时，BP的长的最小；
1 1
∴ AB⋅BC= AC⋅BP,即9×12=15⋅BP,
2 2
36
解得：BP= ，
5
∵在▱APBQ中，
∴AQ=BP，
36
∴BP的长的最小值 就是线段AQ长的最小值．
5
36
故答案为： ．
5
27．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=16，P是
边AC上的一个动点，以BC为对角线作平行四边形BPCD，则DP的最小值为
．48
【答案】
5
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，
由垂线段最短可得当DP⊥AC时，DP最短，由平行四边形对角线互相平分得
24
OB=OC=8，根据勾股定理得AO=6, 根据等积关系得OP= ，从而可求出结论．
5
【详解】解：∵四边形BPCD是平行四边形，
∴AC∥BD，
∵点P在AC上，
∴当DP⊥AC时，DP最小，
∵DP,BC是对角线，
∴O是DP,BC的中点，
1
∴OB=OC= BC=8，
2
连接AO，如图，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC，
∴∠AOC=90°，
在Rt△AOC中，AO=❑√AC2−OC2=❑√102−82=6，
1 1
∵ AO⋅OC= AC⋅OP，
2 2
AO⋅OC 6×8 24
∴OP= = = ，
AC 10 5
48
∴DP=2OP= ，
5
48
故答案为： ．
5
28．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，在 ▱ABCD中，AB=4，AD=2，∠DAE=60°，DE为∠ADC的角平分线，点F为DE上一动点，点G为CF的中点，
连接AG，则AG的最小值是_____．
【答案】2❑√3
【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质于判定，平行四边形的性
质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，连接CE，取CE的中点G ，取CD中
2
点G ，连接GG ，GG ，则由三角形中位线定理GG ∥DF，GG ∥EF，据此可
1 1 2 1 2
得G 、G、G 三点共线，则点G在G G 上运动，故当AG⊥G G 时，AG最小；
1 2 1 2 1 2
再证明DG =CG =AD=2，由三线合一定理得到AG ⊥DE，则AG ⊥G G ，
1 1 1 1 1 2
即当点G与点G 重合时，AG最小，设AG 、DE交于H，则AG =2AH，求出
1 1 1
1
∠DAH=30°，得到DH= AD=1，利用勾股定理即可求出AG =2AH=2❑√3，即
2 1
AG最小值为2❑√3．
【详解】解：如图所示：连接CE，取CE的中点G ，取CD中点G ，连接
2 1
GG ，GG ，
1 2
∴GG ，GG 分别是△CDF，△CEF的中位线，
1 2
∴GG ∥DF，GG ∥EF，
1 2
∴由平行线的唯一性可知G 、G、G 三点共线，
1 2
∴ G G G
1 2
点 在 上运动，
∴当AG⊥G G 时，AG最小，
1 2
∵在▱ABCD中，AB=4，AD=2，
∴CD=AB=4，
∴DG =CG =AD=2，
1 1
∵DE为∠ADC的角平分线，
∴AG ⊥DE，
1∵DE∥G G ，
1 2
∴AG ⊥G G ，
1 1 2
∴当点G与点G 重合时，AG最小，
1
设AG 、DE交于H，则AG =2AH，
1 1
∵∠DAE=60°，
∴∠DAH=30°，
1
∴DH= AD=1，
2
∴AH=❑√AD2−DH2=❑√3，
∴AG =2AH=2❑√3，
1
∴AG最小值为2❑√3，
故答案为：2❑√3．
29．（2024·广西钦州·一模）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB ∥ CD，BC=3，
DC=4，点E在BC上，且BE=1,F,G为边AB上的两个动点，且FG=1，则四边形
DGFE的周长的最小值为 ．
【答案】2❑√5+6
【分析】先确定DE和FG的长为确定的值，得到四边形DEFG的周长最小时，即为
DG+EF最小时，过点F作FP∥DG得平行四边形DGFP，知
FP=DG,DP=FG=1,作点E关于AB对称点Q，连接QF,则QF=EF,连接QP,当
Q,F,P三点共线时，QF+PF的值最小，为QP,得到DG+EF最小为QP,在
Rt△PCQ中由勾股定理可得QP,从而可求出结论．
【详解】解：∵∠ABC=90°,AB∥CD,∴∠ABC+∠C=180°,
∴∠C=90°,
∵BE=1,BC=3,
∴CE=BC−BE=3−1=2,
在Rt△DCE中，DC=4,CE=2,
∴DE=❑√DC2+CE2=❑√42+22=2❑√5,
∵FG=1,
∴四边形DEFG的周长为=DG+EF+2❑√5+1，
要使四边形DEFG的周长最小，只要DG+EF最小即可，
过点F作FP∥DC交DC于点P，则四边形DGFP是平行四边形，
∴FP=DG,DP=FG=1,
∵DC=4,
∴CP=DC−DP=4−1=3
延长CB到点Q，使BQ=BE=1,连接QF,则QF=EF,
∴CQ=BC+BQ=3+1=4,
∴DG+EF=PF+QF,
当Q,F,P三点共线时，QF+PF的值最小，为QP,
∴DG+EF的最小值为QP,
在Rt△PCQ中，QP=❑√PC2+QC2=❑√32+42=5,
∴四边形DEFG的周长为=5+2❑√5+1=2❑√5+6,
故答案为：2❑√5+6
【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及三角形三边关系，勾股定理，能
将周长和的最小值表示成一条线段的长与固定长度的和是解题的关键．
30．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4❑√3，BC=3❑√7，
∠ABC=60°，E、F分别为边AD、BC上的点，且AE=CF，连接BE，AF，则AF+BE的最小值为 ．
【答案】3❑√23
【分析】本题主要考查平行四变形的判定和性质，含30度直角三角形及轴对称的性质，
理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
连接EC，作点C关于AD的对称点H，连接BH,EH，根据平行四边形的性质及判定
得出四边形AECF为平行四边形，再由轴对称的性质确定当点B、E、H三点共线时，
AF+BE的最小值为BH的长，然后结合图形利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接EC，作点C关于AD的对称点H，连接BH,EH，如图所示：
∵平行四边形ABCD，AB=4❑√3，BC=3❑√7，∠ABC=60°，
∴AB=CD=4❑√3，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∵AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF=EC，
∵点C、H关于AD对称，
∴EH=EC,CN=HN,AD⊥CH，
∴EC=AF=EH，
∴AF+BE=BE+EH，
当点B、E、H三点共线时， AF+BE的最小值为BH的长，∵∠ADC=60°,AD⊥CH，
∴∠DCN=30°，
1
∴DN= CD=2❑√3，CN=❑√CD2−DN2=❑√3DN=6，
2
∴CH=12，
∴BH=❑√BC2+CH2=❑√63+144 =3❑√23，
故答案为：3❑√23．
【题型6 平行四边形中的折叠问题】
31．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的
一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B=50°，
∠DAE=20°，则∠FED′=（ ）度．
A．40 B．35 C．30 D．50
【答案】A
【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知
识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出∠AEC的度数是解题的关键．
由平行四边形的性质得∠B=∠D=50°，再由三角形的外角性质得
∠AEC=∠D+∠DAE=70°，则∠AED=110°，然后由折叠的性质得
∠AED=∠AED′=110°，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=50°，
∵∠DAE=20°，
∴∠AEC=∠D+∠DAE=50°+20°=70°，
∴∠AED=180°−70°=110°，
∵将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，∴∠AED=∠AED′=110°，
∴∠FED'=∠AED'−∠AEC=110°−70°=40°，
故选：A．
32．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿若AC
所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B=60°，
∠ACB=45°，AC=❑√6，则B′D的长
( )
❑√6
A．1 B．❑√2 C．❑√3 D．
2
【答案】B
【分析】由翻折的性质得△ABC≌△AB′C，先证明△EAC为等腰直角三角形，求出
AE=EC= ❑√3，在Rt△CDE中，求出ED=1，CD=2，在Rt△AEB'中，求出
B′E=1，在Rt△EDB′中，即可求B′D=❑√2．
【详解】解：∵将△ABC沿若AC所在的直线折叠得到△AB′C，
∴△ABC≌△AB′C，
∴AB=AB′，∠B=∠AB′C=60°，∠ACB=∠ACB′=45°，
∴∠BCB′=90°，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=45°，
∴∠AEC=180°−45°−45°=90°,AE=CE，
∴△EAC为等腰直角三角形，AC2=AE2+EC2
∵AC=❑√6，
∴AE=EC=❑√3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠B=60°，AB=CD，
在Rt△CDE中，∠ECD=30°，EC= ❑√3，
∴CD=2ED，
由勾股定理得：DE2+EC2=CD2 ,解得：ED=1，CD=2，
∴AB=AB′=2，
在Rt△AEB′中，由勾股定理得：B′E=❑√22−(❑√3) 2=1，
在Rt△EDB′中，由勾股定理得： B′D=❑√12+12=❑√2，
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的翻折，平行四边形的性质，勾股定理，30°直角三角形的
性质，确定△EAC为等腰直角三角形是解题的突破点，熟练掌握勾股定理求边是解题
的关键．
33．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片ABCD折叠，使得点D落
在AB边上的D′处，折痕为AE．再将△AD′E翻折，点A恰好落在BC的中点A′处，
连接A A′，若AD=2，则线段A A′的长为 ．
【答案】❑√15
【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出AD′=DE，而AD′∥DE，进而得
到四边形ADED′是平行四边形，由折叠可得，D′E垂直平分A A′，即可得出
△A A′B是直角三角形，再证明∠B=∠D′ A′B，得到D′ A′=D′B=2，即
AB=2+2=4，最后在Rt△A A′B中，运用勾股定理进行计算即可得到A A′的长．
【详解】解：由折叠可得，∠DAE=∠D′ AE，AD=AD′=2，
∵平行四边形ABCD中，AB∥CD,AD∥CB，
∴∠DEA=∠D′ AE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE=2，
∴AD′=DE，而AD′∥DE，
∴四边形ADED′是平行四边形，
∴AD∥D′E，
由折叠可得，D′E垂直平分A A′，
∴A A′⊥AD，又∵AD∥BC，
∴A A′⊥BC，
∴△A A′B是直角三角形，
∵AD′=A′D′=2，
∴∠D′ A A′=∠D′ A′ A，
又∵∠D′ A A′+∠B=90°，∠D′ A′ A+∠D′ A′B=90°，
∴∠B=∠D′ A′B，
∴D′ A′=D′B=2，
∴AB=2+2=4，
又∵A′是BC的中点，BC=AD=2，
∴A′B=1，
∴A A′=❑√AB2−A′B2=❑√42−12=❑√15，
故答案为：❑√15．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股
定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形
状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
33．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在▱ABCD中，AB=6,AD=8,∠A=60°，
将▱ABCD折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则AE=
．
14
【答案】
5
【分析】设AE=2x，作EL⊥GD于点L，则∠GLE=∠DLE=90°，由折叠可知
GD=AB=6,≥=AE=2x，∠G=∠A=60°，得到∠GEL=90°−60°=30°，则
1
GL= ≥=x，DL=GD−GL=6−x，由勾股定理得到(2x) 2−x2=(8−2x) 2−(6−x) 2，
27
解得x= ，即可得到答案．
5
【详解】解：设AE=2x，作EL⊥GD于点L，则∠GLE=∠DLE=90°，
∵AB=6,AD=8,∠A=60°
∴由折叠可知GD=AB=6,≥=AE=2x，∠G=∠A=60°
∴∠GEL=90°−60°=30°，
1
∴GL= ≥=x，
2
∴DL=GD−GL=6−x，
∵GE2−GL2=DE2−DL2=LE2，
∴(2x) 2−x2=(8−2x) 2−(6−x) 2，
7
解得x= ，
5
14
∴AE=2x= ，
5
14
故答案为：
5
【点睛】此题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质、
轴对称的性质等知识，作高构造直角三角形是解题的关键．
34．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，
使点A落到E处，交BC于点F，折痕为BD，若∠CBD=∠CBE,∠E=120°，则
∠DFC的度数为 ．【答案】40°/40度
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，三角形外角的性质，
熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
根据折叠的性质，平行四边形的性质以及三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点A落到E处，
∴∠E=∠A=120°，∠ABD=∠DBE，
∵四边形纸片ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ABC=180°−∠A=60°，
∵∠CBD=∠CBE，
1 1
∴∠CBD= ∠DBE= ∠ABD，
2 2
1 1
∴∠DBC= ∠ABC= ×60°=20°，
3 3
∴∠CBE=∠CBD=20°，
∴∠DFB=∠E+∠CBE=140°，
∴∠DFC=180°−∠DFB=40°．
故答案为：40°
35．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，将▱ABCD先沿BE折叠，再沿BF折叠
后，A点落在线段BF上的A′处，C点落在E处，连结EA′，EF．若恰有EF⊥EA′，
则∠A= ．
【答案】126°/126度【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及垂线定义，熟练掌握平
行四边形的性质、折叠的性质是解题的关键．
由平行四边形的性质得AD∥BC，∠A=∠C，由折叠得
∠ABE=∠A′BE=∠CBF，∠A′EB=∠AEB，∠BEF=∠C=∠A，则
∠A′EB=∠AEB=∠EBC=2∠A′BE=2∠ABE，所以∠BEF−∠A′EB=90°，
则∠A−2∠ABE=90°，于是得180°−3∠ABE−2∠ABE=90°，则
∠ABE=18°，∠AEB=36°，即可求得∠A=126°，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A=∠C，
由折叠得∠ABE=∠A′BE=∠CBF，∠A′EB=∠AEB，∠BEF=∠C=∠A，
∴∠A′EB=∠AEB=∠EBC=2∠A′BE=2∠ABE，
∵EF⊥EA′，
∴∠A′EF=90°，
∴∠BEF−∠A′EB=90°，
∴∠A−2∠ABE=90°，
∵∠A=180°−∠ABC=180°−3∠ABE，
∴180°−3∠ABE−2∠ABE=90°，
∴∠ABE=18°，
∴∠AEB=2∠ABE=2×18°=36°，
∴∠A=180°−∠ABE−∠AEB=180°−18°−36°=126°，
故答案为：126°．
36．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在△ABC中，
AB>AC，∠A=30°，AC=4，点E为AC的中点，点F为边AB上的一个动点，
将三角形沿EF折叠，点A的对应点为A′，当以E，F，A′，C为顶点的四边形是平行
四边形时，线段AF的长为 ．
【答案】2或2❑√3
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分如图1，四边形A′CEF是平行四边形，如图2，四边形
A′CFE是平行四边形，两种情况利用折叠的性质进行求解即可．
【详解】解：如图1，四边形A′CEF是平行四边形，
∵AC=4，点E为AC的中点，
1
∴AE=CE= AC=2，
2
由折叠得A′E=AE=2，
∵A′F∥CE，A′F=CE，
∴A′F∥AE，A′F=AE，
∴四边形A′EAF是平行四边形，
∴AF=A′E=2 ；
如图2，四边形A′CFE是平行四边形，作CG⊥AB于点G，
∵∠AGC=90°，∠A=30°，
1
∴CG= AC=2，
2
∵A′E=AE=2 ，
∴CF=A′E=2，
∴CF=CG，
∴点F与点G重合，
∴AF=❑√AC2−CG2=2❑√3，
综上所述，线段AF的长为2或2❑√3，
故答案为：2或2❑√3．【题型7 平行四边形的判定条件】
37．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交
于点O，下列条件中，不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD=BC
C．AB=DC，AD=BC D．AO=CO，BO=DO
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握平行线平行四边形的判定方法是解
答本题的关键．根据平行四边形判定定理进行判断．
【详解】解：如图，
∵AB∥DC AD∥BC
A、 ， ，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
B、由AB∥DC,AD=BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
C、∵AB=DC,AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
D、∵ OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
故选：B．
38．（21-22八年级下·广东江门·期中）下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形
的是（ ）
A．∠A=∠C，∠B=∠D B．AB∥CD，AB=CD
C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可．
【详解】∵∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°，∴AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选项A不符合题意；
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选项B不符合题意；
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选项D不符合题意；
由AB=CD，AD∥BC，无法得到四边形ABCD是平行四边形，
∴选项C符合题意．
故选：C．
【题型8 平行四边形的判定】
39．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF
上的点，∠EDC=∠CBE．求证：四边形BCDE是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，根据平行线的性
质和判定证得EB∥DC是解决问题的关键．根据平行线的性质和判定证得EB∥DC，
再根据平行四边形的判定即可证得结论．
【详解】证明：∵EF∥AC，
∴∠EDC+∠C=180°，
又∵∠EDC=∠CBE，
∴∠CBE+∠C=180°，
∴EB∥DC，
∵DE∥BC，BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形．
40．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．
(1)求证：∠ABE=∠CDF；
(2)求证：四边形BFDE是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关
键是掌握平行四边形的判定与性质．
（1）根据平行四边形的性质可得：AB=CD，∠A=∠C，可证明△ABE≌△CDF，
根据全等三角形的性质即可得证；
（2）由四边形ABCD是平行四边形可得：AD=BC，AD∥BC，结合AE=CF，可
得DE=BC，即可得证．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，∠A=∠C，
∵ AE=CF，
∴ △ABE≌△CDF(SAS)，
∴ ∠ABE=∠CDF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC，
∵ AE=CF，
∴ AD−AE=BC−CF，即DE=BC，
∴四边形BFDE是平行四边形．
41．（2025·湖南娄底·一模）已知：如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD=BC，
AE=BF，CE=DF．求证：(1)AE∥FB；
(2)四边形CFDE是平行四边形．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用SSS证明△AEC与△BFD全
等解答．
（1）根据等式的性质得出AC=BD，进而利用SSS证明△AEC与△BFD全等，进而
利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠A=∠B，进而利用SAS证明三角形全等得出
CF=DE，从而可证明四边形CFDE是平行四边形．
【详解】（1）证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，AD=BC，
∴AD+DC=BC+CD ，
即AC=BD，
∵AE=BF，CE=DF，
∴△ACE≌△BDF(SSS) ，
∴∠A=∠B ，
∴AE∥FB ；
（2）证明：∵AD=BC，AE=BF，∠A=∠B，
∴△ADE≌△BCF(SAS) ，
∴DE=CF，
又∵CE=DF，
∴四边形CFDE是平行四边形．
42．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在BC上，
且BF=CE．(1)求证：△ABE≌△DCF；
(2)试证明：以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定，解答此题的关键是
要掌握判定方法．
（1）由全等三角形的判定定理SAS证得△ABE≌△DCF；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得∠AEB=∠DFC，则
∠AEF=∠DFE，所以根据平行线的判定可以证得AE∥DF．由全等三角形的对应
边相等证得AE=DF，则易证得结论．
【详解】（1）解：∵ AB∥CD，
∴ ∠B=∠C，
又∵ BF=CE，
∴ BF−EF=CE−EF，
∴ BE=CF，
∵在△ABE与△DCF中，
{
AB=DC
)
∠B=∠C ，
BE=CF
∴ △ABE≌△DCF(SAS)；
（2）连接AF、DE．
由(1)知，△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，∠AEB=∠DFC，∴ ∠AEF=∠DFE，
∴ AE∥DF，
又∵ AE=DE，
∴以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．
43．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在▱ABCD中，点E，F分别边BC和
AD上，连接AE，CF，若∠1=∠2．求证：四边形AECF为平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定性质，三角形全等的判定与性质，．由平行四
边形性质得AB=CD，AD=BC，AD∥BC，证明∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，
进而推出∠BAE=∠DCF，证明△ABE≌△CDF，得BE=DF，进而可得AF=CE，
又因为AD∥BC，即可求证．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，
∴ ∠B+∠BCD=∠D+∠BCD=180°，∠D+∠BAD=∠D+∠BCD=180°，
∴ ∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴ ∠BAD−∠1=∠BCD−∠2，即∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中
{
∠B=∠D
)
AB=CD
∠BAE=∠DCF
∴ △ABE≌△CDF，
∴ BE=DF，
∵ AD=BC，
∴ AF=CE，
∵ AD∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形．【题型9 平行四边形的判定与动点】
44．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，
BC=5cm，M，N是△ABC边上的两个动点，其中点N从点A开始沿A→B方向运动，
且速度为2cm/s，点M从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为2cm/s，它们
同时出发，设运动的时间为ts．
(1)出发2s后，求MN的长；
(2)当点M在边AC上运动时，出发几秒钟，△BCM是直角三角形？
(3)当点M在边AC上运动时，直接写出能使△BCM成为等腰三角形的t的值=______．
【答案】(1)4❑√5cm
45
(2) 秒或9秒
13
115 23
(3) 或5或
26 4
【分析】本题考查的是三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、直角
三角形的性质，分类讨论的思想.解题的关键在于用时间t表示相应的线段以及是否能
利用等腰三角形进行分类讨论.
（1）根据题意求出BM和BN长度，再根据勾股定理即可求出MN长度；
（2）用t分别表示出CM和AM长度，由△BCM是直角三角形，分∠BMC=90°或
∠CB=90°，两种情况讨论即可；
（3）用t表示出CM长度，分三种情况讨论即可求出答案.
【详解】（1）解：当t=2时，AN=2t=4cm，BM=2t=4cm.
∵AB=12cm，
∴BN=AB−AN=12−4=8(cm)，
如图，在Rt△BMN中，
由勾股定理可得，；
MN=❑√BM2+BN2=❑√42+82=4❑√5(cm)
（2）解：∵△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=5cm，
∴AC=❑√AB2+BC2=13cm，
5 13+5 5
由题意可知当点M在边AC上运动时，
