文档内容
专题 04 平行四边形
一、平行线之间的距离（共2小题） 二．直角三角形斜边上的中线（共2小题）
三．三角形中位线定理（共2小题） 四．平行四边形的性质（共3小题）
五．平行四边形的判定（共4小题） 六．平行四边形的判定与性质（共3小题）
七．菱形的性质（共3小题） 八．菱形的判定（共4小题）
九．菱形的判定与性质（共2小题） 十．矩形的性质（共4小题）
十一．矩形的判定（共4小题） 十二．矩形的判定与性质（共2小题）
十三．正方形的性质（共4小题） 十四．正方形的判定（共5小题）
十五．正方形的判定与性质（共3小题）
知识点一、平行四边形
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
性质：（1）．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
（2）．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
（3）．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
（4）．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
判定：（1）.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行线的性质
（1）平行线间的距离都相等
（2）等底等高的平行四边形面积相等
知识点二、特殊的平行四边形
矩形、菱形、正方形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形 叫做正方形.
矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形.
2. 对角线相等的平行四边形是矩形.
3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.
菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.
2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中
心.
正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.有一个内角是直角的菱形是正方形.
一．平行线之间的距离（共2小题）
1．（2022春•鹿邑县期中）如图，直线a∥b，直线a与直线b之间的距离是（ ）A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
2．（2022春•清丰县期中）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，a与b之间的距离为5，b
与c之间的距离为2，则a与c之间的距离为 ．
二．直角三角形斜边上的中线（共2小题）
3．（2022春•鸡西期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是
斜边AB的中点，则∠ECD＝（ ）
A．35° B．30° C．45° D．50°
4．（2022春•九龙坡区校级期中）直角三角形的两条直角边长为5和12，则斜边上的中线长是 ．
三．三角形中位线定理（共2小题）
5．（2022春•大同期中）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在AB的同侧取一点C，连接CA
并延长至点D，使得DA＝AC，连接CB并延长至点E，使得EB＝BC．若DE＝18m，则AB的长为（
）
A．12m B．10m C．9m D．8m
6．（2022春•灌南县期中）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，求EF的长．
四．平行四边形的性质（共3小题）
7．（2022春•北京期中）关于平行四边形的性质，下列描述错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．平行四边形的对角相等
C．平行四边形的对角线互相平分
D．平行四边形的对边平行且相等
8．（2022春•尧都区期中）如图，在 ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠D＝50°，则∠BCE
的度数为 ． ▱
9．（2022春•西湖区期中）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．
五．平行四边形的判定（共4小题）
10．（2022春•海淀区校级期中）如图，点O是△ABC内部一点，连接OB，OC，并将边AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G顺次连接，DEFG构成四边形，求证：四边形DEFG是平行四边形．
11．（2022春•常山县期中）已知：如图，DE，DF是△ABC的两条中位线．求证：四边形DFCE是平行
四边形．
12．（2022春•嘉祥县期中）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD
是平行四边形（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
13．（2022春•鹤城区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，动点M从点D出发，按折
线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．
（1）若动点M，N同时出发，t秒时，N走过 cm，M走过 cm；（2）若动点M，N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？
（3）若点E在线段BC上，且BE＝3cm，若动点M，N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点
A，E，M，N组成平行四边形？
六．平行四边形的判定与性质（共3小题）
14．（2022春•新会区校级期中）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将
两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形 ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（
）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
15．（2022春•淮安区期中）如图，在 ABCD中，点E、F分别是AD、BC边的中点，求证：BE∥DF．
▱
16．（2022春•庆云县期中）如图，在 ABCD中，E，F为对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接DE，
BF，BE，DF，求证：四边形EBFD▱是平行四边形．七．菱形的性质（共3小题）
17．（2022春•平邑县期中）如图，菱形 ABCD中对角线相交于点 O，AB＝AC，则∠ADB的度数是
（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
18．（2022春•南岗区校级期中）如图，在边长为 5的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、点F分别在
AD、CD上，且∠EBF＝60°，连接EF，若AE＝2，则EF的长度为 ．
19．（2022春•武进区期中）如图，点E是菱形ABCD的边BC延长线上一点，AC是对角线，∠BAC：
∠ACE＝2：7，求∠B的度数．
八．菱形的判定（共4小题）20．（2022春•泗阳县期中）如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是
对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC
21．（2022春•孝义市期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，请你添加一个条件使
它是菱形，你添加的条件是 ．
22．（2022春•孝义市期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，过点
O作AC的垂线，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，CE，求证：四边形AFCE是菱形．
23．（2022春•惠民县期中）平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE
＝CD．求证：四边形ABCD是菱形．
九．菱形的判定与性质（共2小题）24．（2022春•滨江区校级期中）如图，菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，分别延长OE、OF至点
B、点D，且BE＝DF，连接AB，AD，CB，CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若BD＝8，AC＝4，BE＝3，求 ．
25．（2022春•蓬莱市期中）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作
AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
一十．矩形的性质（共4小题）
26．（2022春•乳山市期中）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿对角线AC将矩形分成两个直角三角形，
其中△ABC不动，△A'C'D沿射线CA方向平移．若四边形ABC'D是菱形，求CC'的长度．27．（2022春•淮安区期中）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝3，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
28．（2022春•东平县期中）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对边相等且平行
29．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在矩形ABCD中，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E，点M、
N分别是AD、DC的中点，连接MN、EM、EN，若AB＝6，BC＝8，则△EMN的周长为 ．
一十一．矩形的判定（共4小题）
30．（2022春•烟台期中）如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且
EF＝BE，EF与CD交于点G，连接CF，DF，DE．
（1）求证：DF∥AC；（2）若BF＝2AB，点G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．
31．（2022春•广汉市期中）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、
MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（ ）
A．MB＝MO B．OM＝ AC C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
32．（2022春•尧都区期中）如图，BD是平行四边形ABCD的一条对角线，E是CD的中点，连接AE并
延长交BC的延长线于F．
（1）求证：BC＝CF．
（2）当DB＝DF时，求证：四边形ABCD是矩形．
33．（2022春•乾安县期中）已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）当AC、BC满足怎样的数量关系时，四边形AMCN是矩形，请说明理由．一十二．矩形的判定与性质（共2小题）
34．（2022春•赞皇县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，E、F分别在直角边
CA、BC上，且DE⊥AC，DF∥AC．
（1）求证：四边形CEDF是矩形；
（2）连接EF，若C到AB的距离是5，求EF的最小值．
35．（2022春•郧阳区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、作CE∥BD，
DE∥AC，CE和DE交于点E
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB＝60°，AD＝10时，求CE和AE的长．
一十三．正方形的性质（共4小题）
36．（2022春•烟台期中）如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在边AB，AD上，连接
FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若AB＝4，AE＝1，则FC的长为（ ）A．1 B．2 C．3 D．3
37．（2022春•让胡路区校级期中）如图，在边长为6的大正方形中有两个小正方形（小正方形的顶点都
在大正方形的边或对角线上），若两个小正方形的面积分别是S 和S ，求：S +S ．
1 2 1 2
38．（2022春•澄城县期中）在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，点F是正方形ABCD外角平分
线CM上一点，且CF＝AE，连接BE，EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，BE与EF有何数量关系，并证明；
（2）当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否
仍然成立，并证明你的结论．
39．（2022春•襄州区期中）如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD
于点E，
（1）求证：BC＝BE；（2）过点E作EG⊥AB于G，过点E作EH⊥BC于H，判断四边形EGBH的形状并证明；
（3）若BC为 ，过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长．
一十四．正方形的判定（共5小题）
40．（2022春•庄浪县期中）如图，下列三组条件中，能判定平行四边形ABCD是正方形的有（ ）
①AB＝BC，∠BAD＝90°；②AC⊥BD，AC＝BD；③OA＝OD，BC＝CD．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
41．（2022春•东莞市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB
边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
42．（2022春•南京期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是AD的中点，BE，CD的延长线交于
点F，CD＝DF，AC＝AF．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当△ACF满足条件 时，四边形ABCD是正方形．
43．（2022春•银海区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上
一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为点F，连接CD，BE．
（1）若AD＝4cm，求CE的长；
（2）当点D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若点D为AB的中点，当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请直接写出答案．44．（2022春•渝中区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上
一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．
（1）求证：∠ADB＝∠CDB；
（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
一十五．正方形的判定与性质（共3小题）
45．（2022春•新泰市期中）如图，在正方形 ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线
OM、ON 分别交 BC、CD 于点 E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF 交于点 G．给出下列结论：
①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四边形 CEOF 的面积为正方形 ABCD 面积的 ；
④DF2+CE2＝EF2.其中正确的为 .（将正确的序号都填入）46．（2022春•海淀区校级期中）在 ABCD中，O为AC的中点，点E，M为 ABCD同一边上任意两个
不重合的动点（不与端点重合），▱EO，MO的延长线分别与 ABCD的另一边▱交于点F，N．
下面四个推断： ▱
①四边形ABFM是平行四边形；
②四边形ENFM是平行四边形；
③若 ABCD是矩形（正方形除外），则至少存在一个四边形ENFM是正方形；
④对▱于任意的 ABCD，存在无数个四边形ENFM是矩形．
其中，正确的有▱ ．
47．（2022春•沂水县期中）（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，
得到折痕DE，如图1．求证：四边形AEA'D是正方形；
（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点
B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图2．线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不
等，请说明理由．
一、单选题
1．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）下列说法错误的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
2．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，A（﹣
4，0），G（0，4），BC的中点E恰好落在x轴上，CD交y轴于点F，连接DG，DO．给出判断：①BF
＝AE；②CD平分∠ODG；③∠AEB+∠CDG＝90°； ④△ADO是等腰三角形．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
3．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点
O，以下说法错误的是（ ）
A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD
4．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，
若EF=3，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
5．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，矩形 中，对角线 ， 交于O点．
若 ， ，则 的长为（ ）．
A．4 B． C．3 D．56．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，在 ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，
▱
AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于（ ）
A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
7．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C
为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（ ）．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
8．（2022春·福建龙岩·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD外取一点P，连接AP、BP、DP．若AP
＝ ，PB＝4．则DP的最大值为（ ）
A．4+2 B．4+ C．5 D．6
9．（2023秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）如图，在等腰直角三角形 中，
， 为 的中点， 为边 上一点（不与端点重合），过点 作 于点 ，作
于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．若 ，则阴影部分的面积为（）A．12 B．12.5 C．13 D．13.5
10．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，矩形 中， ， ，E为 边的中点，点
P、Q为 边上的两个动点，且 ，当 （ ）时，四边形 的周长最小．
A．3 B．4 C．5 D．
二、填空题
11．（2022春·湖南永州·八年级校考期中）如下图，长为6，宽为3的矩形 ，阴影部分的面积为
_____.
12．（2022春·湖南永州·八年级校考期中）在 中，点 E、F、D分别是 边上的中点，若
的周长为10cm，则 的周长 __．
13．（2022春·湖南永州·八年级校考期中）如图所示，以正方形 中 边为一边向外作等边 ，
则 __．14．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，DE为 ABC的中位线，点F在DE上，且
∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为______． △
15．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）一个三角形的三边长分别为 5，12，13，则这个三角形最长边
上的中线为_______．
16．（2022春·湖南永州·八年级校考期中）如图，在平行四边形 中， 为 ，取长边 的
中点M， ，则 __．
17．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图， 中， 于D，E是 的中点．若 ，
，则 的长等于_______．
18．（2023秋·江苏南京·八年级校联考期中）如图，在 中， ， ，点D是
的中点，将 沿 对折，点A落在点 处， 与 相交于点E，则 的度数为______°．三、解答题
19．（2022春·广西贵港·八年级统考期中）如图，E、F、M、N分别是正方形 四条边上的点，且
，
(1)求证：四边形 是正方形；
(2)若 ， ，求四边形 的周长．
20．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）如图，在四边形 中， ， ，
E是 上一点．
(1)求证： ；
(2)若E是 的中点，延长 交 于点F，且 ，求 的度数．
21．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，已知 垂直平分 ， ， ．(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ， ，求 的长．
22．（2022春·湖南永州·八年级校考期中）如图，矩形 中，对角线 ， 为 边上一点，
，将矩形 沿 所在的直线折叠，使 点恰好落在对角线 上的 处，那么三角形
的面积是多少？
23．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点
F在DC延长线上，AE＝BF．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长．
24．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是
AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)证明四边形ADCF是菱形；
(3)若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．
25．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）如图，在等腰直角三角形 中， ， 为 边上中点，
过 点作 ，交 于 ，交 于 ，若 ， ，求 长．26．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，
点E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线交于点F．
(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；
(2)若BC＝BD，求BF的长．
27．（2022春·福建龙岩·八年级校考期中）如图1，在正方形 中，点E是 边上的一点，
，且 交正方形外角的平分线 于点P．(1)求 的度数；
(2)求证： ；
(3)在 边上是否存在点M，使得四边形 是平行四边形？若存在，请画出图形并给予证明；若不存
在，请说明理由；
(4)如图2，在边长为4的正方形 中，将线段 沿射线 平移，得到线段 ，连接 ，则直
接写出 的最小值是 ．
