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专题 18.2 三角形的中位线【八大题型】
【人教版】
【题型1 利用三角形的中位线求长度】..................................................................................................................1
【题型2 利用三角形的中位线求角度】..................................................................................................................4
【题型3 利用三角形的中位线求面积】..................................................................................................................7
【题型4 利用三角形的中位线求最值】................................................................................................................11
【题型5 利用三角形的中位线进行证明】...........................................................................................................16
【题型6 中点四边形】............................................................................................................................................22
【题型7 三角形中位线的实际应用】....................................................................................................................25
【题型8 构造三角形的中位线】............................................................................................................................31
知识点：三角形的中位线
△ABC中，点D是AB中点，点E是AC中点，则
中位线 1
DE ∥ BC 且 DE= BC
2
【题型1 利用三角形的中位线求长度】
【例1】（23-24八年级·陕西咸阳·期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD,G为AB上一点，连接DG，
点E、F分别是AD、AG的中点，连接EF,EF∥CB,EF=2cm，则CB的长等于（ ）
A．1.5cm B．4cm C．2.5cm D．3cm
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定以及性质，平行四边形的判定和性质，先证明EF∥DG，且
1
EF= DG，再证明四边形DGBC是平行四边形，由平行四边形的性质即可得出DG=BC=4cm．
2
【详解】解：∵点E、F分别是AD、AG的中点，1
∴EF∥DG，且EF= DG，
2
∵EF=2cm，
∴DG=4cm，
∵EF∥CB，
∴BC∥DG，
又∵BG∥CD，
∴四边形DGBC是平行四边形，
∴DG=BC=4cm，
故选：B．
【变式1-1】（24-25八年级·云南昭通·阶段练习）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交
BC、AC于点D、E，且△ABD是边长为6的等边三角形，则DE的长为（ ）
5
A．2 B． C．3 D．4
2
【答案】C
【分析】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形中位线的性质，先根据垂直平分线得到
AD=DC，AE=EC，然后根据等边三角形得到BD=AB=AD，即可得到BD=CD，然后根据三角形的
内角和定理解题即可．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，AE=EC，
又∵△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=AD=6，
∴BD=CD，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE= AB=3，
2
故选：C．
【变式1-2】（24-25八年级·河南驻马店·阶段练习）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．14 B．16 C．15 D．17
【答案】B
【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可．
【详解】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=4，
∴菱形的周长为4×4=16．
故选：B．
【变式1-3】（24-25八年级·江西宜春·阶段练习）如图，矩形ABCD对角线AC,BD相交于点O，E为OB
上一点，连接CE，F为CE的中点，∠EOF=90°．若OE=3,OF=2，则BE的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了中位线，勾股定理，矩形的性质，平行线的性质等知识．解题的关键在于添加辅助线，
1
构造中位线．如图，连接AE，OF是△ACE的中位线，则OF= AE，OF∥AE，AE=4，
2
∠AEO=90°，在Rt△AEO中，由勾股定理求AO的值，由矩形的性质可得OB=OA，根据
BE=OB−OE，求解BE的值即可．
【详解】解：如图，连接AE，∵四边形ABCD是矩形，
1 1
∴AO=OC，OB=OA= AC= BD
2 2
∵F为CE的中点，
∴OF是△ACE的中位线，
1
∴ OF= AE，OF∥AE，
2
∴∠AEO=∠EOF，
∵∠EOF=90°，OF=2，
∴AE=4，∠AEO=90°，
在Rt△AEO中，由勾股定理得AO=❑√AE2+OE2=5，
∴OB=OA=5，
∴BE=OB−OE=2，
故答案为：2．
【题型2 利用三角形的中位线求角度】
【例2】（23-24八年级·四川资阳·期末）如图，在四边形ABCD中，点M是对角线BD的中点，点E、F
分别是边AB、CD的中点，AD=BC，∠EMF=132°，则∠MFE的度数为（ ）
A．66° B．48° C．38° D．24°
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得EM是
1 1
△ABD的中位线，FM是△BCD的中位线，得到EM= AD，FM= BC，即得EM=FM，进而得到
2 2
∠MFE=∠MEF，据此即可求解，掌握了三角形中位线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点M是对角线BD的中点，点E、F分别是边AB、CD的中点，
∴EM是△ABD的中位线，FM是△BCD的中位线，
1 1
∴EM= AD，FM= BC，
2 2∵AD=BC，
∴EM=FM，
∴∠MFE=∠MEF，
∵∠EMF=132°，
180°−132°
∴∠MFE=∠MEF= =24°，
2
故选：D．
【变式2-1】23-24八年级·甘肃定西·期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边
CD的中点，连接OE，若∠ACB=40°，则∠1的度数为（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质与判定，平行线的性质，掌握平行四边形的
性质是解题的关键．根据平行四边形的性质以及三角形中位线的性质，可得OE∥BC，根据两直线平行
内错角相等即可求得∠1．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，
∴BO=OD，
∵ E是边CD的中点，
∴OE∥BC，而∠ACB=40°，
∴∠1=∠ACB=40°
故选B
【变式2-2】（23-24八年级·陕西安康·期末）如图，在△ABC中，AB=BC，点D、E分别是边AC、BC
的中点，连接BD、ED，若∠C=65°，则∠BDE的度数是（ ）A．24° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形中位线定理等知识，由等边对等角的
1
性质，得到∠A=65°，进而得到∠ABC=50°，根据三角形中位线定理，可得DE∥AB，DE= AB，
2
从而推出∠DBE=∠BDE=∠ABD，即可求解．
【详解】解：∵AB=AC，∠C=65°，
∴∠A=65°，
∴∠ABC=50°，
∵点D、E分别是边AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE∥AB，DE= AB，
2
∴∠ABD=∠BDE，
1
∵BE= BC，AB=BC，
2
∴BE=DE，
∴∠DBE=∠BDE，
1
∴∠ABD=∠DBE= ∠ABC=25°，
2
∴∠BDE=25°，
故选：B．
【变式2-3】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，在等边△ABC中，高AD，BE相交于点F，连接DE，
则∠FED的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】D
【分析】此题考查了等边三角形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三条边相等，每一个内角为60°，再由
AD、BE分别为高，利用三线合一得到E、D分别为AC、BC的中点，BE为角平分线，求出∠ABE的
度数，即DE为三角形ABC的中位线，利用三角形的中位线定理得到ED与AB平行，利用两直线平行内错
角相等可得出∠FED的度数．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC=AC，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴E、D分别为AC、BC的中点，BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE=30°，ED为△ABC的中位线，
∴ED∥AB，
∴∠FED=∠ABE=30°．
故选：D．
【题型3 利用三角形的中位线求面积】
【例3】（23-24八年级·广东中山·期中）△ABC的三边长分别为7，24，25，顺次连接三边的中点D、E、
F．得△≝¿的面积是（ ）
A．7 B．21 C．28 D．56
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、中位线定理、矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是根据勾
股定理的逆定理得出∠C=90°．
先由勾股定理的逆定理判定∠C=90°，再根据中位线定理判定四边形CEDF是矩形且求出DE、DF的长，
最后根据直角三角形的面积公式即可求得答案．
【详解】如图所示．不妨设△ABC中，BC=7,AC=24,AB=25，点D、E、F分别是
AB、BC、AC的中点．
∵72+242=252，
∴△ABC是直角三角形．∴∠C=90°．
∵点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点．
∴DF∥BC,DE∥AC，
∴四边形CEDF是平行四边形，又∠C=90°，
∴四边形CEDF是矩形．则∠EDF=90°，
∵DE、DF分别是△ABC的中位线，
1 1 7
∴DE= AC=12,DF= BC= ，
2 2 2
S
于是在Rt△EDF中， 1 1 7 ．
△≝¿= ×DE×DF= ×12× =21¿
2 2 2
故选：B．
【变式3-1】（2022·四川宜宾·模拟预测）厨房角柜的台面是三角形（如图所示），如果把各边中点连线所
围成的三角形铺成黑色大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石面积与白色大
理石的面积之比是 ．
1
【答案】1:3/
3
【分析】根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．易证明此图
中分割的四个三角形的面积都相等．所以黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是1:3．
【详解】解：如图，
∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴DF=BE=EC，EF=AD=BD，DE=AF=FC，
∴△BDE≌△ADF≌△CEF≌△≝¿，
∴S =S =S =S ，
△BDE △ADF △CEF △≝¿¿
∴黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是1:3．故选：C．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形的中位线定理可以证明三角形被它的三条中位线分成
的四个三角形全等．
【变式3-2】（24-25八年级·浙江绍兴·期中）如图，△ABC的面积是10，点D，E，F，G分别是BC，AD，
BE，CE的中点，则△EFG的面积是 ．
5
【答案】
4
【分析】本题主要考查了三角形的面积，与三角形中线、中位线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
1 1 1
根据中线的性质，可得S = S ，同理S = S ，S = S ，根据三角形中位线的性
△ABD 2 △ABC △EBD 2 △ABD △ECD 2 △ACD
1
质可得S = S ，即可得到△EFG的面积．
△EFG 4 △EBC
【详解】解：∵点D是BC的中点，
1
∴S =S = S =5，
△ABD △ACD 2 △ABC
又∵点E是AD 的中点，
1 5 1 5
∴S = S = ，S = S = ，
△EBD 2 △ABD 2 △ECD 2 △ACD 2
5 5
∴S =S +S = + =5．
△EBC △EBD △ECD 2 2
又∵F、G是BE，CE的中点，
∴FG是△EBC的中位线，
1 5
∴S = S = ，
△EFG 4 △EBC 4
5
故答案为： ．
4
【变式3-3】（2024·贵州黔东南·二模）如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E是CD边的中点，P，Q是对角线BD上的动点（点Q在点P的上方），且PQ=❑√2，连接AP，QE．当AP+QE的值最小时，
△QDE的面积是 ．
【答案】1
【分析】取BC的中点F，连接EF，取EF的中点H，连接PH，则EF是△BCD的中位线，有
1
EF∥BD,EF= BD．进一步求得BD和EF，即可判定四边形PHEQ是平行四边形，那么，
2
AP+QE=AP+PH．连接AH，交BD于点P′，则当点P位于点P′处时，AP+PH的值最小，即AP+QE
1
的值最小，此时的点Q记为点Q′，结合正方形的性质求得∠Q′DE=45°,DE= CD=2即可求得面积．
2
【详解】解：如图，取BC的中点F，连接EF，取EF的中点H，连接PH，
∵点E是CD边的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
1
∴EF∥BD,EF= BD．
2
在正方形ABCD中，AB=4，
∴BD=4❑√2，
1
∴EF= BD=2❑√2，
2
1
∴HE= EF=❑√2=PQ
2
∴四边形PHEQ是平行四边形，
∴PH=QE，
∴AP+QE=AP+PH．连接AH，交BD于点P′，则当点P位于点P′处时，AP+PH的值最小，即AP+QE的值最小．
将此时的点Q记为点Q′，由正方形的对称性可知AH⊥BD．
∴EQ′⊥BD．
1
又∠Q′DE=45°,DE= CD=2，
2
1 (❑√2 ) 2 1 1
则△QDE的面积为S = × DE = × ×4=1．
△Q′DE 2 2 2 2
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、三角形的三边关系
的应用和勾股定理，解题的关键是熟悉特殊四边形的性质和找到最小值．
【题型4 利用三角形的中位线求最值】
【例4】（24-25八年级·河南郑州·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动
点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B=60°，AB=6，BC=8，则GH
的最小值为 ，最大值为 ．
3❑√3 3
【答案】 / ❑√3 ❑√13
2 2
【分析】本题考查三角形中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，正确作
出辅助线，理解当AF⊥BC时，AF最短，即此时GH最小；当点F与点C重合时，AF最长，即此时GH
1
最大是解题关键．连接AF，由G，H分别为AE，EF的中点，结合三角形中位线定理可知GH= AF．
2
最后根据当AF⊥BC时，AF最短，即此时GH最小；当点F与点C重合时，AF最长，即此时GH最大解
答即可．
【详解】解：如图，连接AF．∵G，H分别为AE，EF的中点，
1
∴GH= AF．
2
当AF⊥BC时，AF最短，即此时GH最小，如图，
∵∠B=60°，AB=6，
1
∴BF= AB=3，
2
∴AF=❑√AB2−BF2=3❑√3，
3❑√3 3❑√3
∴GH= ，即GH的最小值为 ．
2 2
当点F与点C重合时，AF最长，即此时GH最大，如图，过点A作AP⊥BC，
∴AP=3❑√3，BP=3，
∴CP=BC−BP=5，
∴AC=❑√AP2+CP2=❑√(3❑√3) 2+52=2❑√13，
2❑√13
∴GH= ，即GH的最大值为❑√13．
23❑√3
故答案为： ，❑√13．
2
【变式4-1】（23-24八年级·山西吕梁·阶段练习）如图，M是直线x=−4在第二象限部分上的一个动点，
连接OM，将OM顺时针旋转90°得到线段OM′，N是x轴正半轴上一个动点，P为OM′的中点，Q为ON
的中点，连接PQ．下列同学关于PQ的说法中，正确的是 ．
小兰：PQ为定值，长度为2．
小虎：PQ为定值，长度为4．
小天：PQ有最小值，最小值为2．
小灿：PQ有最大值，最大值为4．
【答案】小天
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的中位线，根据三角形的中位线的判
1
定及性质得PQ= M′N，当M′N⊥x轴，令点M(−4,m)，则MH=m，根据旋转的性质及AAS得
2
△OMH≌△M′OG，进而可得OG=MH=m，M′G=OH=4，故点M′(m,4)，则此时M′N有最小值，
进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：如图，连接M′N，
设直线x=−4与x轴交于点H，过点M′作M′G⊥x轴于点G，
∵P，Q分别是OM′和ON的中点，
∴PQ是△OM′N的中位线，
1
∴PQ= M′N．
2当M′N⊥x轴，即点N在点G处时，
令点M(−4,m)，则MH=m．
由旋转的性质得：MO=M′O，∠MOM′=90°，
∴∠MOH+∠M′OG=90°，
∵∠MOH+∠OMH=90°，
∴∠OMH=∠M′OG，
在△OMH和△M′OG中，
{∠MHO=∠OGM′
)
∠OMH=∠M′OG ，
OM=M′O
∴△OMH≌△M′OG(AAS)，
∴OG=MH=m，M′G=OH=4，
故点M′(m,4)，即点M′在直线y=4上，
M′N有最小值，最小值为4，
此时PQ也有最小值，最小值为2，
即小天的说法正确，
故答案为：小天．
【变式4-2】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，等边△ABC中，AB=4，E、F分别是边AB、AC上
1
的动点，且BE= CF，则BF+2CE的最小值为 ．
2
【答案】4❑√7
1
【分析】取BC、CF的中点D、G，连接AD、DG，则可得DG= BF，
2
(1 )
BF+2CE=2 BF+CE =2(DG+CE)，因此转而求DG+CE的最小值；过A作AM⊥AC，且
2
AM=AD，连接ME、CE，可证明△AME≌△ADG，则有ME=DG，进而转化为求ME+CE的最小值，当点E在线段CM上时，取得最小值，在Rt△AMC中由勾股定理即可求得最小值，从而求得BF+2CE的
最小值．
1
【详解】解：如图，取BC、CF的中点D、G，连接AD、DG，则CG= CF，DG为△CBF的中位线，
2
1
∴DG= BF，
2
(1 )
∴BF+2CE=2 BF+CE =2(DG+CE)，
2
在等边三角形ABC中，AB=4，D为BC的中点，
∴AB=AC=BC=4，∠BAC=60°，
∴ CD=2，∠CAD=30°，AD⊥BC，
∴AD=❑√AC2−CD2=2❑√3，
1
∵CF=2BE，CG= CF，
2
∴BE=CG，
∴AE=AG；
过A作AM⊥AC，且AM=AD，连接ME、CM，则∠MAE=90°−∠BAC=30°=∠CAD，
∴△AME≌△ADG(SAS)，
∴ME=DG，
∴DG+CE=ME+CE≥CM，
∴当点E在线段CM上时，ME+CE取得最小值，且最小值为线段CM的长，
在Rt△AMC中，由勾股定理得：CM=❑√AM2+AC2=2❑√7，
∴BF+2CE的最小值=2(DG+CE)=2(ME+CE)=2×2❑√7=4❑√7．
故答案为：4❑√7．【点睛】本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，
三角形中位线定理，把求BF+2CE的最小值转化为求DG+CE的最小值，进而转化为求ME+CE的最小
值，是本题的难点与关键所在．
【变式4-3】（24-25八年级·山东济南·期中）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E为AB的中点，F
为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是 ．
24
【答案】
5
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，垂线段的性质等，解题的关键是通过作辅助线
确定点P的运动轨迹．
如图，取CD中点G，连接AG交DE于O，连接BG，由中位线定理可得OG即为点P的运动轨迹，由垂线
段最短可知，当BP⊥OG时，PB有最小值，即可求解；
【详解】解：如图，取CD中点G，连接AG交DE于O，连接BG，
∵ ABCD
四边形 是矩形，
∴AB=CD=6，AD=BC=4，
∵矩形ABCD中，点E是AB中点，点G是CD中点，
1
∴CG=AE=DG=BE= AB=3，四边形AEGD是矩形，
2
∴AG=❑√AD2+DG2=❑√42+32=5，
∵四边形AEGD是矩形，
∴点O是ED的中点，
又∵P是DF的中点，
∴OG即为点P的运动轨迹，
∴当BP⊥OG时，PB有最小值，1 1
∵S= AG·BH= AB·EG，
2 2
AB·EG 6×4 24
∴BH= = =
AG 5 5
24
∴PB的最小值为 ；
5
24
故答案为：
5
【题型5 利用三角形的中位线进行证明】
【例5】（24-25八年级·安徽六安·期末）已知：如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，M、N 分别
为 AD、BC 的中点，E、F 分别是 BM、CM 的中点．求证：
(1)△ABM≌△DCM；
(2)四边形 MENF 是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由等腰梯形的性质得出AB=DC，∠A=∠D，再由M是AD的中点，根据SAS即可证明
△ABM≌△DCM；
（2）先由（1）得出BM=CM，再由已知条件证出ME=MF，EN、FN是△BCM的中位线，即可证出
EN=FN=ME=MF，得出四边形MENF是菱形．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中，
{
AB=DC
)
∠A=∠D ，
AM=DM
∴△ABM≌△DCM（SAS）；（2）解：由（1）得：△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，
∵E、F分别是线段BM、CM的中点，
1 1
∴ME=BE= BM，MF=CF= CM，
2 2
∴ME=MF，
又∵N是BC的中点，
∴EN、FN是△BCM的中位线，
1 1
∴EN= CM，FN= BM，
2 2
∴EN=FN=ME=MF，
∴四边形MENF是菱形．
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线、菱形的判定；熟练掌
握等腰梯形的性质，菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
【变式5-1】（24-25八年级·福建三明·期中）如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形
FECG，使点B落在AD边上的点E处，连接BG交CE于点H，连接BE．
(1)求证：BE平分∠AEC；
(2)取BC中点P，连接PH，求证：PH∥CG．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行线性质，得到∠AEB=∠EBC；根据等腰三角形的性质，得到∠BEC=∠EBC，
等量代换得到∠AEB=∠BEC即可．
（2）如图，过点B作BM⊥EC，证明BM=BA=CD=CG，后证明△BMH≌△GCH，得到BH=GH，
继而得到PH是△BCG中位线得证．
【详解】（1）证明：∵矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，使点B落在AD边上的点
E处，∴AD∥BC，AB=CD=CG，CB=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠AEB=∠EBC，∠BEC=∠EBC，
∴∠AEB=∠BEC，
∴BE平分∠AEC．
（2）证明：如图，过点B作BM⊥EC，
∵BE平分∠AEC，∠A=90°，
∴BM=BA=CD=CG，
{
∠BHM=∠GHC
)
∵ ∠BMH=∠GCH=90° ，
BM=GC
∴△BMH≌△GCH，
∴BH=GH，点P为BC的中点，
∴PH是△BCG中位线，
∴PH∥CG．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的中位线的性质，等腰
三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理
是解题的关键．
【变式5-2】（24-25八年级·山东青岛·期中）如图，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，连接DE、
EF、AB、DF．
(1)求证：AE、DF互相平分；
(2)现有三个条件：①∠BAC=90°；②AE平分∠BAC；③AE⊥BC；请你从中选择两个条件（写序号）：使得四边形ADEF是正方形，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)①②（或①③），见解析
【分析】本题考查了正方形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握正方形的判
断，三角形中位线定理是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理得DE∥AC，EF∥AB，再证四边形ADEF为平行四边形，即可得出结论；
（2）可以选①②（或①③），根据平行四边形的性质与判定、矩形的判定定理、三角形中位线的性质及
正方形的判定定理得到结论．
【详解】（1）证明：证明：∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DE∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADEF为平行四边形．
∴AE、DF互相平分；
（2）方法1：选①∠BAC=90°②AE平分∠BAC，
证明：∵四边形ADEF为平行四边形，∠BAC=90°，
∴▱ADEF是矩形
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE=∠FAE，
∵EF∥DA，
∴∠DAE=∠AEF，
∴∠FAE=∠AEF，
∴AF=EF，
∴矩形ADEF为正方形．
方法2：选①∠BAC=90°；③AE⊥BC；
证明：∵四边形ADEF为平行四边形，∠BAC=90°
∴▱ADEF是矩形
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°
∵点F是AC的中点，
1
∴EF= AC=AF
2
∴矩形ADEF为正方形．
故答案为：①②（或①③）【变式5-3】（24-25八年级·广东广州·期中）如图，在Rt△ABC和Rt△AEF中，∠BAC=∠EAF=90∘，
AB=AC=9，AE=AF=3．点M、N、P分别为EF、BC、CE的中点，△AEF绕点A在平面内自由旋
转．
(1)求证：PM=PN；
(2)求证：∠MPN=90°；
(3)求△MNP面积的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)18
【分析】（1）连接BE并延长交CF延长线于R，由已知条件证明△BEA≌△CFA，得出∠ABE=∠ACF，
BE=CF，再由三角形的中位线得到PM=PN，
（2）由∠ABE=∠ACF得到BR⊥RC，从而得出三角形PMN是等腰直角三角形；
（3）△AEF绕点A在平面内自由旋转时，边BE最小为Rt△ABC和Rt△AEF的直角边之差，最大为两直
角边之和；进而可求得△MNP面积的最大值．
【详解】（1）解：连接BE并延长交CF延长线于R，
在Rt△ABC和Rt△AEF中，∠BAC=∠EAF=90°，AB=AC=9，AE=AF=3，
∴ Rt△ABC和Rt△AEF都是等腰直角三角形，
∴∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC，
∴∠BAE=∠CAF，
BA=CA，EA=FA，
∴△BEA≌△CFA，
∴∠ABE=∠ACF，BE=CF，点M、N、P分别为EF、BC、CE的中点，
1 1
∴PM= CF，PN= BE，
2 2
∴PM=PN，
（2）∵∠ABC+∠ACB=90°，∠ABE=∠ACF，
∴∠RBC+∠RCB=90°，
∴BR⊥RC，
∵PM∥CF，PN∥BE，
∴PM⊥PN，即∠MPN=90°
（3）由（1）可得PM=PN，又∠MPN=90∘，即三角形PMN是等腰直角三角形，
当△AEF绕点A在平面内自由旋转时，9−3≤BE≤9+3，
1
∴3≤PM=PN= BE≤6，
2
1
∴△PMN的面积最大值为： ×6×6=18．
2
【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定，三角形的中位线定理，
解题的关键是通过添加辅助线得出三角形PMN是等腰直角三角形．
【题型6 中点四边形】
【例6】（24-25八年级·山西·期中）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AD，BD，CB
和AC的中点，顺次连接EF，FG，GH和HE得到四边形EFGH．若AB⊥CD，AB=8，CD=12，则
四边形EFGH的面积等于（ ）
A．36 B．32 C．24 D．20
【答案】C
【分析】此题考查了矩形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．
1 1
首先证明出EF是△ABD的中位线，得到EF∥AB，EF= AB=4，同理得到EH∥CD，EH= CD=6，
2 2
然后证明出四边形EFGH是矩形，然后根据矩形的性质求解即可．
【详解】解：∵点E，F，分别为边AD，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线
1
∴EF∥AB，EF= AB=4
2
同理可得，EH是△ACD的中位线
1
∴EH∥CD，EH= CD=6
2
∵AB⊥CD
∴EF⊥EH
∵点G，H分别为边CB和AC的中点，
∴HG是△ABC的中位线
1
∴HG∥AB，HG= AB=4
2
∴EF=HG，EF∥HG
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵EF⊥EH
∴四边形EFGH是矩形
∴四边形EFGH的面积等于EF⋅EH=4×6=24．
故选：C．
【变式6-1】（24-25八年级·全国·期中）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，那么原
来四边形的对角线一定满足的条件是（ ）
A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直且相等
【答案】D
【分析】此题主要考查了正方形的性质定理，中位线定理，熟练应用中位线定理和正方形的性质是解题的
关键．
1
根据题意画图，利用中位线定理得EH∥FG∥AC，EF∥BD∥HG，EF= BD=GH，
2
1
FG= AC=FG，然后根据正方形的性质得四个角是直角，四条边相等，然后，根据平行线的性质即可
2
解答．
【详解】根据题意画出图形如下：∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH∥FG∥AC，EF∥BD∥HG，
1 1
∴EF= BD=GH，FG= AC=FG，
2 2
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=FG=GH=HE，∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠FEH=90°，
∴AC=BD，AC⊥BD，
故选：D．
【变式6-2】（24-25八年级·广东佛山·期中）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，
CD，D的中点，下列说法中不正确的是( )
A．四边形EFGH一定是平行四边形
B．若AC=BD，则四边形EFGH是菱形
C．若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形
D．若四边形ABCD是矩形，则四边形EFGH是正方形
【答案】D
【分析】本题考查了中点四边形，中位线的性质，特殊四边形的判定，根据平行四边形，菱形，矩形，正
方形的判定定理逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF、FG、GH分别为△ABC、△BCD、△ADC的中位线，
1 1 1
∴EF= AC，EF∥AC，FG= BD，FG∥BD，GH= AC，GH∥AC，
2 2 2∴EF=GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC=BD时，EF=FG，则平行四边形EFGH为菱形，
当AC⊥BD时，EF⊥FG，则平行四边形EFGH是矩形，
若四边形ABCD是矩形，则四边形EFGH是菱形，不一定是正方形，
故不正确的选项是D，
故选：D．
【变式6-3】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB的中点，BD、CE
交于点O，F、G分别是BO、CO中点，连接OA，若AO=5，BC=8，则四边形DEFG的周长是
．
【答案】13
【详解】本题考查三角形中位线定理、平行线定理、平行四边形的判定，根据三角形中位线定理和平行线
1 1 5
定理可得ED=FG= BC=4，EF=DG= AO= ，EF∥DG，DE∥FG，证得四边形EFGD是平
2 2 2
行四边形，即可求解．
解：∵D、E、F、G分别是AC、AB、BO、CO的中点，
1 1
∴ED=FG= BC，EF=DG= AO，ED∥BC，FG∥BC，EF∥AO，DG∥AO，
2 2
∴EF∥DG，DE∥FG，
∴四边形EFGD是平行四边形，
∵AO=5，BC=8，
5
∴ED=FG=4，EF=DG= ，
2
5
∴四边形DEFG的周长为2×4+2× =13，
2
故答案为：13．【题型7 三角形中位线的实际应用】
【例7】（23-24八年级·浙江温州·期中）如图1是雨伞的结构示意图．OP是伞柄，OM，AB，CD是伞骨．
已知点A，C分别是OM，AB的中点．CD=❑√7(dm)．点B，D在OP上滑动时，可将雨伞打开或收拢．
当OP与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开
时，∠ABD=90°；再将雨伞收拢到如图3，此时B′D′=1(dm)，且点C′到OP的距离恰好等于图2中BD
的长．则伞骨AB的长为 (dm)，设图2中能罩住的水平面面积是S ，图3中能罩住的水平面面积
1
S
是S ，则 1= ．
2 S
2
【答案】 2❑√6 6
【分析】利用勾股定理求得BC=❑√6，再利用三角形中位线定理求得AB和MN的长；再先后求得C′F′=1，
M N′=2AE′=4，M N′=2AE′=4，然后利用圆的面积公式即可求解.
【详解】解：作MN⊥OP于点N，连接AN，
∵∠ABD=90°，
∴AB∥MN，
∵点A是线段OM的中点，
∴AN=OA=AM，
∵AB⊥OP，∴点B是ON的中点，
∴AB是△OMN的中位线，
在Rt△BCD中，BC=❑√CD2−BD2=❑√6，
∵点C是线段AB的中点，
∴AB=2BC=2❑√6，
∴MN=2AB=4❑√6，
过点A和C′作OP的垂线，垂足分别为E′和F′，
由题意得C′F′=1，同理C′F′是△AB′E′的中位线，
∴AE′=2C′F′=2，
同理M N′=2AE′=4，
S π⋅(4❑√6) 2
∴ 1= =6，
S π⋅42
2
故答案为：2❑√6，6.
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线上的性质，等腰三角形的性质
等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式7-1】（24-25八年级·山西临汾·期中）2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安
湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取
OA，OB的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段MN的长，于是贝贝在AO，BO
延长线上分别选取P，Q两点，且满足OP=ON，OQ=OM，贝贝测得线段PQ=90米，则A，B两点间
的距离是（ ）米．A．120 B．140 C．160 D．180
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的
一半是解题的关键．证明△OMN≌△OQP，根据全等三角形的性质求出MN，再根据三角形中位线定理
计算即可．
【详解】解：在△OMN和△OQP中，
{
ON=OP
)
∠MON=∠QOP ，
OM=OQ
∴△OMN≌△OQP(SAS)，
∴MN=PQ=90米，
∵点M，N分别为OA，OB的中点，
∴MN是△OAB的中位线，
∴AB=2MN=180米，
故选：D．
【变式7-2】（23-24八年级·浙江温州·期中）如图，某游乐场游客中心位于A处，其正南方向300米处有海
盗船游乐项目B，在B的正东方向300米处有摩天轮游乐项目C.餐厅D位于AC的中点；碰碰车游乐项目F
位于BC上，且恰好处于餐厅D的正南方向.小快从A出发，经B到C匀速骑行游玩，曼曼同时从D出发，沿
南偏西方向匀速直线行走游玩．
(1)餐厅D和碰碰车游乐项目F相距多少米？
(2)已知小快的速度是曼曼速度的2倍，小快在由B到C骑行的途中与曼曼相遇于E处，那么相遇时曼曼行走了多少米？（结果精确到0.1米，❑√6≈2.45）
【答案】(1)150米
(2)177.5米
【分析】（1）利用三角形的中位线定理求解即可；
（2）设相遇时曼曼行走了x米，则DE=x米，AB+BE=2x米，求出EF=(450−2x)米，然后在
Rt△≝¿中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意可知，AB=BC=300米，AB∥DF，
∵D位于AC的中点，AB∥DF，
∴F位于BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
1 1
∴DF= AB= ×300=150 （米）．
2 2
答：餐厅D和碰碰车游乐项目F相距150米；
（2）解：设相遇时曼曼行走了x米，则DE=x米，AB+BE=2x米，
由题意可知，AB⊥BC，
由（1）可知，DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AB，
∴DF⊥BC，
∴∠DFE=90°，
∵F位于BC的中点，
1
∴CF= BC=150米，
2
∴EF=AB+BC−(AB+BE)−CF=300+300−2x−150=(450−2x)米，
在Rt△≝¿中，由勾股定理得：x2=1502+(450−2x) 2，
整理得：x2−600x+75000=0，
解得：x =300−50❑√6≈177.5，x =300+50❑√6≈442.5 （不合题意，舍去），
1 2
答：相遇时曼曼行走了约177.5米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、方向角以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理，
由勾股定理得出方程是解题的关键．
【变式7-3】（23-24八年级·山西朔州·期末）阅读与思考
问题情境：如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离．
可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪．
方法分析：
“圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出AC的长和∠ACB的度数；
作∠CBM=∠ACB；在射线BM上找一点D，使BD=AC；测出CD的长度，就可得到A，B两点间的距
离．
“智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接AC，BC；分别取AC，BC的
中点D，E，测出DE的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离．
说明：以上各点都在同一水平面内．
（1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量CD的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组
通过测量DE的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ．
迁移应用：
（2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求：
①在图1中画出可操作的方案图；
②简要说明你的操作步骤；
③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ．
【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见
解析；③全等三角形对应边相等
【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可；
（2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可．
【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵∠CBM=∠ACB，
∴AC∥BD，
∵AC=BD，
∴四边形ABDC为平行四边形，∴AB=CD，
∴“圆周率”小组通过测量CD的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等；
“智慧”小组：∵D，E分别为AC，BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
1
∴DE= AB，
2
∴“智慧”小组通过测量DE的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第
三边的一半；
（2）①如图，
②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使
DC=AC，EC=BC ，最后量出DE的距离就是AB的距离；
③在△DCE和△ACB中，
{
DC=AC
)
∠DCE=∠ACB ，
EC=BC
∴△DCE≌△ACB(SAS)，
∴DE=AB，
∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平
行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质．
【题型8 构造三角形的中位线】
【例8】（24-25八年级·湖北恩施·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠CAB交BC于点E．若
∠BDA=90°，E是AD中点，DE=2，AB=5，则AC的长为（ ）4 3 5
A．1 B． C． D．
3 2 3
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线定理；熟练掌
握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
延长AC、BD交于点F，过点D作DG∥AF交BC于G，证△DGE≌△ACE(AAS)，得出DG=AC，证
出∠F=∠ABD，得出AF=AB=5，BD=FD，证明DG是△BCF的中位线，得出CF=2DG，得出
AF=AC+CF=3DG=3AC，即可得出答案．
【详解】解：延长AC、BD交于点F，过点D作DG∥AF交BC于G，如图所示：
则∠DGE=∠ACE，
∵E是AD中点，DE=2，
∴DE=AE=2，
∴AD=4，
∵BD=3，
∵∠BDA=90°，
∴AB=❑√AD2+BD2=5，
在△DGE和△ACE中，
{∠DGE=∠ACE
)
∠DEG=∠AEC ，
DE=AE
∴△DGE≌△ACE(AAS)，
∴DG=AC，
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD=∠FAD，∵∠BDA=90°，
∴AD⊥BF，∠FDA=90°，
∴∠F=∠ABD，
∴AF=AB，
∵AB=5，
∴AF=AB=5，
∴△AFB为等腰三角形，
∵∠BDA=90°
∴BD=FD，
∵DG∥AF，
∴DG是△BCF的中位线，
∴CF=2DG，
∴AF=AC+CF=3DG=3AC，
1 5
∴AC=DG= AF= ，
3 3
故选：D．
【变式8-1】（24-25八年级·山西长治·阶段练习）已知如图，正方形ABCD，AB=10，点E，F分别是边
AB，BC的中点，连接EC，DF，点G，H分别是EC，DF的中点，连接GH，则GH= ．
5
【答案】 ❑√2
2
【分析】CH并延长交AD于P， 连接PE，根据正方形的性质得到
∠A=90°,AD∥BC,AB=AD=BC=10,根据全等三角形的性质得到PD=CF=5,根据勾股定理和三角
形的中位线定理即可得到结论.
【详解】解： 连接CH并延长交AD于P， 连接PE，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90∘,AD∥BC,AB=AD=BC=10，
∵E,F分别是边AB,BC的中点，
1
∴AE=CF= ×10=5，
2
∵AD∥BC，
∴∠DPH=∠FCH，
在△PDH与△CFH中，
{∠DPH=∠FCH
)
∠DHP=∠FHC ，
DH=FH
∴△PDH≌△CFH(AAS)，
∴PD=CF=5，PH=CH，
∴AP=AD−PD=5，
∴PE=❑√AP2+AE2=❑√52+52=5❑√2，
∵点G,H分别是EC,FD的中点，
1 5
∴GH= EP= ❑√2，
2 2
5
故答案为： ❑√2．
2
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作
出辅助线是解题的关键．
【变式8-2】（24-25八年级·四川成都·阶段练习）如图，在△ABC中，已知AE平分∠BAC,BE⊥AE于
点E,F是BC的中点．若AB=14cm，AC=20cm，则EF= cm．【答案】3
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形中位线等于第三边的一
半是解题的关键．证明△AEB≌△AED，根据全等三角形的性质得到AD=AB=3cm，BE=ED，进而
求出DC，再根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠AED=90°，
在△AEB和△AED中，
{
BAE=∠DAE
)
AE=AE ，
∠AEB=∠AED
∴△AEB≌△AED(ASA)，
∴AD=AB=14cm，BE=ED，
∴DC=AC−AD=20−14=6(cm)，
∵BE=ED，F是BC的中点，
∴EF是△BDC的中位线，
1
∴EF= DC=3(cm)，
2
故答案为：3．
【变式8-3】（24-25八年级·重庆·期中）已知Rt△ABC中，点D为斜边AB的中点，连接CD，将△DCB
沿DC翻折，使点B落在点E的位置，DE交AC于F，连接AE．若AC=8，BC=6，则AE的长为
．14
【答案】
5
【分析】先求出AB，过点D作DM⊥BC，DN⊥AE，垂足分别为M、N，连接BE交CD于点G，可将
所求的问题进行转化求BE，由折叠得CD是BE的中垂线，借助三角形的面积公式，可以求出BG，进而求
出BE，由等腰三角形的性质，可得DN是三角形的中位线，得到DN等于BE的一半，求出DN，在根据勾
股定理，求出AN，进而求出AE．
【详解】解：如图，过点D作DM⊥BC，DN⊥AE，垂足分别为M、N，连接BE交CD于点G，
∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理，得AB=❑√AC2+BC2=❑√82+62=10，
∵点D为斜边AB的中点，
1
∴CD=AD=BD= AB=5，
2
在△DBC中，DC=DB，DM⊥BC，
1
∴MB=MC= BC=3，
2
∴由勾股定理，得DM=❑√BD2−BM2=❑√52−32=4，
由折叠得，CD垂直平分BE，∠BDC=∠EDC，
在△ADE中，DA=DE，DN⊥AE，
1
∴AN=NE= AE，
2
∴DN是△ABE的中位线，1
∴DN∥BE,DN= BE=≥¿，
2
1 1
在△DBC中，由三角形的面积公式得： BC⋅DM= DC⋅BG，
2 2
即：6×4=5×BG，
24
∴BG= =DN，
5
在Rt△ADN中，
由勾股定理，得AN=❑√AD2−DN2=❑
√
52−
(24) 2
=
7
，
5 5
14
∴AE=2AN= ，
5
14
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形的性质斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形的中位线以及
勾股定理等知识，理解和掌握这些知识是解决问题的前提和关键．
