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专题 17.5 勾股定理全章七类必考压轴题
【人教版】
必考点1 勾股定理与网格问题
1．（2022春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）小兵在学习了勾股定理的赵爽弦图后，尝试用小正方形
做类似的图形，经过尝试后，得到如图：长方形ABCD内部嵌入了6个全等的正方形，其中点M，N，P，
Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB＝23，BC＝32，则小正方形的边长为 _____．
2．（2022秋·浙江·八年级期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中．每个小正方形的顶点称为格点.
以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E,F,G,H
都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图1所示的格点弦图中，
正方形ABCD的边长为√26，此时正方形EFGH的面积为52．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长
为√26时，正方形EFGH的面积的所有可能值是________(不包括52)．
3．（2022秋·山东东营·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那
么这个正方形的边长是 ____.4．（2022春·全国·八年级统考期末）图中的虚线网格是等边三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1
的等边三角形.
(1)边长为1的等边三角形的高=____;
(2)图①中的 ▱ABCD的对角线AC的长=____;
(3)图②中的四边形EFGH的面积=____.
5．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）问题背景：在 ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为√5，
√10，√13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道△题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的
边长为1），再在网格中画出格点 ABC（即 ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这
样不需求 ABC的高，而借用网格△就能计算出△它的面积．
（1）请你△将 ABC的面积直接填写在横线上： ；
思维拓展： △
（2）我们把上述求 ABC面积的方法叫做构图法．若 ABC三边的长分别为√5a，2√2a，√17a（a＞
0），请利用图②的△正方形网格（每个小正方形的边长为△a）画出相应的 ABC，并求出它的面积．
探索创新： △
（3）若 ABC三边的长分别为 （m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构
√m2+16n2,√9m2+4n2,2√4m2+n2
△
图法求出这三角形的面积．
6．（2022秋·全国·八年级期中）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多
边形称为“格点多边形”．（1）在图1中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形（一种情况即
可）；
（2）直接写出图2中 FGH的面积是 ；
（3）在图3中画一个△格点正方形，使其面积等于17．
7．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在8×4的正方形网格中，按△ABC的形状要求，分别找
出格点C，且使BC=5，并且直接写出对应三角形的面积．
必考点2 勾股定理与折叠问题
1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在ΔABC中，AB=AC，点D在线段AC上，现将ΔABC
沿着BD翻折后得到ΔA′BD，A′B交AC于点E，A′D//BC且A′D=BC，若BD=2√6，则ΔABC的面
积为__________．
2．（2022秋·浙江·八年级期末）△ABC中，AB=4√2，AC=6，∠A=45°，折叠△ABC，使点C落在AB边上的点D处，折痕EF交AC于点E，当点D由B向A连续移动过程中，点E经过的路径长记为m，则
BC=________，m=________．
3．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，点
E为AB的中点，D为BC边上的一动点，把△ACD沿AD折叠，点C落在点F处，当△AEF为直角三角
形时，CD的长为__________．
4．（2022春·辽宁沈阳·八年级统考期末）在△ABC中，∠BAC=90°,∠C=30°,AB=3，点D为AC的
中点，点E在BC边上，将△CDE沿着DE翻折，使点C落在点F处，当FE⊥AC时，FE=________．
5．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市宝安中学（集团）统考期末）如图，将长方形纸片ABCD沿MN折叠，
使点A落在BC边上点A′处，点D的对应点为D′，连接A′D′交边CD于点E，连接CD′，若AB=9，
AD=6，A′点为BC的中点，则线段ED′的长为________．
6．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）在△ABC中，AB=25，AC=10√5，AP垂直直线BC于点P．
(1)当BC=25时，求AP的长；(2)当AP=20时，
①求BC的长；
②将△ACP沿直线AC翻折后得到△ACQ，连接BQ，请直接写出△BCQ的周长为___________．
必考点3 以弦图为背景的计算
1．（2022春·浙江·八年级期末）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了
以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定
理．在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AC=a,AB=b(a
