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专题 17.5 勾股定理全章七类必考压轴题
【人教版】
必考点1 勾股定理与网格问题
1．（2022春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）小兵在学习了勾股定理的赵爽弦图后，尝试用小正方形
做类似的图形，经过尝试后，得到如图：长方形ABCD内部嵌入了6个全等的正方形，其中点M，N，P，
Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB＝23，BC＝32，则小正方形的边长为 _____．
2．（2022秋·浙江·八年级期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中．每个小正方形的顶点称为格点.
以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E,F,G,H
都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图1所示的格点弦图中，
正方形ABCD的边长为√26，此时正方形EFGH的面积为52．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长
为√26时，正方形EFGH的面积的所有可能值是________(不包括52)．
3．（2022秋·山东东营·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那
么这个正方形的边长是 ____.4．（2022春·全国·八年级统考期末）图中的虚线网格是等边三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1
的等边三角形.
(1)边长为1的等边三角形的高=____;
(2)图①中的 ▱ABCD的对角线AC的长=____;
(3)图②中的四边形EFGH的面积=____.
5．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）问题背景：在 ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为√5，
√10，√13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道△题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的
边长为1），再在网格中画出格点 ABC（即 ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这
样不需求 ABC的高，而借用网格△就能计算出△它的面积．
（1）请你△将 ABC的面积直接填写在横线上： ；
思维拓展： △
（2）我们把上述求 ABC面积的方法叫做构图法．若 ABC三边的长分别为√5a，2√2a，√17a（a＞
0），请利用图②的△正方形网格（每个小正方形的边长为△a）画出相应的 ABC，并求出它的面积．
探索创新： △
（3）若 ABC三边的长分别为 （m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构
√m2+16n2,√9m2+4n2,2√4m2+n2
△
图法求出这三角形的面积．
6．（2022秋·全国·八年级期中）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多
边形称为“格点多边形”．（1）在图1中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形（一种情况即
可）；
（2）直接写出图2中 FGH的面积是 ；
（3）在图3中画一个△格点正方形，使其面积等于17．
7．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在8×4的正方形网格中，按△ABC的形状要求，分别找
出格点C，且使BC=5，并且直接写出对应三角形的面积．
必考点2 勾股定理与折叠问题
1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在ΔABC中，AB=AC，点D在线段AC上，现将ΔABC
沿着BD翻折后得到ΔA′BD，A′B交AC于点E，A′D//BC且A′D=BC，若BD=2√6，则ΔABC的面
积为__________．
2．（2022秋·浙江·八年级期末）△ABC中，AB=4√2，AC=6，∠A=45°，折叠△ABC，使点C落在AB边上的点D处，折痕EF交AC于点E，当点D由B向A连续移动过程中，点E经过的路径长记为m，则
BC=________，m=________．
3．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，点
E为AB的中点，D为BC边上的一动点，把△ACD沿AD折叠，点C落在点F处，当△AEF为直角三角
形时，CD的长为__________．
4．（2022春·辽宁沈阳·八年级统考期末）在△ABC中，∠BAC=90°,∠C=30°,AB=3，点D为AC的
中点，点E在BC边上，将△CDE沿着DE翻折，使点C落在点F处，当FE⊥AC时，FE=________．
5．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市宝安中学（集团）统考期末）如图，将长方形纸片ABCD沿MN折叠，
使点A落在BC边上点A′处，点D的对应点为D′，连接A′D′交边CD于点E，连接CD′，若AB=9，
AD=6，A′点为BC的中点，则线段ED′的长为________．
6．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）在△ABC中，AB=25，AC=10√5，AP垂直直线BC于点P．
(1)当BC=25时，求AP的长；(2)当AP=20时，
①求BC的长；
②将△ACP沿直线AC翻折后得到△ACQ，连接BQ，请直接写出△BCQ的周长为___________．
必考点3 以弦图为背景的计算
1．（2022春·浙江·八年级期末）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了
以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定
理．在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AC=a,AB=b(a<b)．如图所示作矩形HFPQ，延长CB交HF于点
a
G．若正方形BCDE的面积等于矩形BEFG面积的3倍，则 的值为（ ）
b
√2 √2 √5−1 3−√5
A． B． C． D．
4 2 2 2
2．（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中
就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用
其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D，E，F，
G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )
A．121 B．110 C．100 D．90
3．（2022秋·全国·八年级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形
ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形
ACHI的面积为S，正方形BCGF的面积为S，矩形AKJD的面积为S，矩形KJEB的面积为S，下列结论
1 2 3 4
中：①BI⊥CD；②S∶S ACD＝2∶1；③S－S＝S－S； ④SS＝SS，正确的结论有（ ）
1 △ 1 4 3 2 1 4 3 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022秋·江苏·八年级期中）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其
中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为__．
5．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕
达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽
为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该
定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；
②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2
的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．
(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图
形中面积关系满足S +S =S 的有______个；
1 2 3
(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别
为S 、S ，直角三角形面积为S ，请判断S 、S 、S 的关系______．
1 2 3 1 2 3
必考点4 勾股定理的证明方法
1．（2022秋·江苏南京·八年级南京市第二十九中学校考期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC
＝b，AB＝c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学
家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了
2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
（1）请利用这个图形证明勾股定理；
（2）请利用这个图形说明a2＋b2≥2ab，并说明等号成立的条件；
（3）请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，
该长方形的面积最大？最大面积是多少？2．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）(1)我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成
四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成丁一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽
弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2＋b2＝c2，称为
勾股定理.
1
证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，，又可表示为S＝4× ab＋(b－a)2，
2
1
∴4× ab＋(b－a)2＝c2.
2
∴______________
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
(2)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请
你帮助小明完成验证的过程.
(3)如图3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你添加适当的辅助线，证明结论a2＋b2＝c2.
3．（2022·山东潍坊·八年级统考期中）公元3世纪初，我国学家赵爽证明勾定理的图形称为“弦图”．
1876年美国总统Garfeild用图1（点C、点B、点C′三点共线）进行了勾股定理的证明．△ACB与△BC′B′
是一样的直角三角板，两直角边长为a，b，斜边是c．请用此图1证明勾股定理．
拓展应用l：如图2，以△ABC的边AB和边AC为边长分别向外作正方形ABFH和正方形ACED，过点
F、E分别作BC的垂线段FM、EN，则FM、EN、BC的数量关系是怎样？直接写出结论 ．
拓展应用2：如图3，在两平行线m、n之间有一正方形ABCD，已知点A和点C分别在直线m、n上，过
点D作直线l∥n∥m，已知l、n之间距离为1，l、m之间距离为2．则正方形的面积是 ．4．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，
人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个
新的证法．证法如下：
把两个全等的直角三角形（Rt△ACB≅Rt△DAE）如图1放置，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE点E
在边AC上，现设Rt△ACB两直角边长分别为CB=a、CA=b，斜边长为AB=c，请用a、b、c分别表示
出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理
（1）请根据上述图形的面积关系证明勾股定理
（2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两
点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=25千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为
千米．
（3）在（2）的背景下，若AB=40千米，AD=25千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得
PC=PD，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离．
（4）借助上面的思考过程，当 时，求代数式 的最小值．
1<x<11 √x2−2x+5+√x2−22x+130
5．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕
达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽
为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该
定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；
②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2
的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．
(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图
形中面积关系满足S +S =S 的有______个；
1 2 3
(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别
为S 、S ，直角三角形面积为S ，请判断S 、S 、S 的关系______．
1 2 3 1 2 3
必考点5 立体几何中求最短路径
1．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，一长方体木块长AB=6，宽BC=5，高BB =2， 一直
1
蚂蚁从木块点A处，沿木块表面爬行到点C 位置最短路径的长度为（ ）
1A．√89 B．√85 C．√125 D．√80
2．（2022秋·江苏·八年级期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个
棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒
子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行
3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是
______cm
3．（2022秋·陕西西安·八年级校考期末）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B在棱上，点B离点
C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是______．
2
4．（2022秋·陕西西安·八年级校考期末）如图，圆柱底面半径为 cm，高为9cm，点A，B分别是圆柱
π
两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这
根棉线的长度最短为___________cm．5．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）在一个长6+2√2米，宽为4米的长方形草地上，
如图推放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图的高是√2米的等腰直角
三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是___________．
6．（2022秋·江苏·八年级期末）如图①，长方体长AB为8 cm，宽BC为6 cm，高BF为4 cm．在该长体
的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
(1)蚂蚁从点A爬行到点G，且经过棱EF上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长．
(2)设该长方体上底面对角线EG、FH相交于点O（如图②），则OE＝OF＝OG＝OH＝5 cm．
①蚂蚁从点B爬行到点O的最短路径的长为 cm；
②当点P在BC边上，设BP长为a cm，求蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长（用含a的代数式表示）．
必考点6 勾股定理的实际应用
1．（2022春·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路
程是________．2．（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期中）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝
160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H
分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
3．（2022秋·重庆·八年级校联考期末）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，在A
处有一所中学，AP=120米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消
防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
（1）学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，则影响时间是多长？
4．（2022秋·陕西西安·八年级西安市第八十五中学校考期中）【问题探究】
1
(1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使EF= AE，并说明理由；
2
1
(2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求 AM+MC的最小值；
2【问题解决】
(3)如图③，A、B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离
为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每
千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最
小值，请确定中转站M的位置,并求出AM的长．(结果保留根号)
5．（2022春·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD为某街心公园的平面图，经测量
AB=BC=AD=100米，CD=100√3米，且∠B=90°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）若BA为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置
来监控道路BA的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控
到的道路长度为多少？
6．（2022秋·陕西宝鸡·八年级校考阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千
米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域 B 处，在沿海城市 A 的正南方向 240
千米，其中心风力为12 级，每远离台风中心 25 千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以
1
20 千米/时的速度沿 BC 方向移动．已知 AD⊥BC 且AD= AB，且台风中心的风力不变，若城市所受
2
风力达到或超过 4 级，则称受台风影响．试问：（1）A 城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
必考点7 勾股定理及其逆定理的综合
1．（1）如图1，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边上的中线．求中线AD的取值范围；（提
示：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE）
（2）如图2，在△ABC中，∠A=90°，D是BC边的中点，∠EDF=90°，DE交AB于点E，DF交AC
于点F，连接EF，求证：BE2+CF2=EF2；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠A=90°，∠D=120°，E为AD中点，F、G分别边AB、CD上，且
EF⊥EG，若AF=4，DG=2√3，求GF长．
2．如图，已知△ACB和△ECF中，∠ACB=∠ECF=90°，AC=BC，CE=CF，连接AE.BF交于点
O．(1)求证：△ACE≌△BCF；
(2)求∠AOB的度数；
(3)连接 ， ，求证 ．
BE AF BE2+AF2=2(AC2+CE2)
3．已知△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，点D在线段BC上，∠DAE＝∠BAC=90°，连接CE，请写出：
①BD和CE之间的位置和数量关系为 、 ；
②BD、CD和AE之间的数量关系为 ．
（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，连接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD于点F，AE＝4，
AC＝√7，求线段BE的长；
（3）如图3，点D是等边△ABC外一点，∠ADC＝75°，若CD＝3，AD=√2，则BD的长为 ，请
简要写出解答过程．
4．如图1，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB,CE=CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边
DE上．
（1）证明∠ECA=∠DAB；
（2）猜想AE,AB,AD之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若AE=4,AC=√80，点F是AD的中点，求CF的长．
5．如图①，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D．点P为线段
CD上一点（不与端点C．D重合）．PE⊥PA、PB与BC的延长线交于点E，与AC交于点F，连接
AE、AP、BP．（1）求证：AP=BP．
（2）求∠EAP的度数．
（3）探究线段BC．PD之间的数量关系，并证明．
6．如图，在△ABC中，∠A=90°，D是BC的中点，过点D的直线DF、DE交直线AC、AB于点F、E，
且DE⊥DF，连接EF．
（1）如图1，求证：EF2=BE2+CF2；
（2）如图2，若∠C=30°，AB=6，AF=√3，请直接写出线段EF的长度．（不必写过程）
7．【图形定义】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)【性质探究】如图1，四边形ABCD是垂美四边形，试探究两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量
关系，并证明你的结论；
(2)【拓展应用】如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC和AB为直角边向外作等腰Rt△ACD和
等腰Rt△ABE，连接DE，若AC=4，AB=5，求DE的长．
