文档内容
专题04 正方形的判定与性质重难点题型专训（15大题型+15道提优训练）
题型一 正方形的性质理解
题型二 根据正方形的性质求角度
题型三 根据正方形的性质求线段长
题型四 根据正方形的性质求面积
题型五 正方形折叠问题
题型六 根据正方形的性质证明
题型七 证明四边形是正方形
题型八 根据正方形的性质与判定求角度
题型九 根据正方形的性质与判定求线段长
题型十 根据正方形的性质与判定求面积
题型十一 根据正方形的性质与判定证明
题型十二 中点四边形
题型十三 （特殊）平行四边形的动点问题
题型十四 四边形中的线段最值问题
题型十五 四边形的其他综合问题
知识点1：正方形的概念与性质
1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
2.性质：
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分
成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
知识点2：正方形的判定
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线相等的菱形是正方形；（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。
注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形
（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。
【经典例题一 正方形的性质理解】
【例1】（24-25九年级上·贵州毕节·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角互补
C．对角线互相平分 D．对角线相等
【答案】A
【分析】本题主要考查了矩形、正方形的性质，根据正方形和矩形的性质逐项分析可得结论．
【详解】解：A、正方形的对角线相等且互相垂直，矩形的对角线只相等但不垂直，正方形具有而矩形不
一定具有的性质是对角线互相垂直，故A选项符合题意；
B、正方形和矩形的对角都互补，故B选项不符合题意；
C、正方形和矩形的对角线都互相平分，故C选项不符合题意；
D、正方形和矩形的对角线都相等，故D选项不符合题意；
故选：A．
1．（24-25九年级上·广东河源·期中）已知4个完全相同的正方形的面积之和为100，则正方形的对角线长
为（ ）
A．2 B．5 C． D．10
【答案】C
【分析】设每个正方形的边长为 ，则面积为 ，依题意得 ，由此解出 即可得出正方形的对角
线长．此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的面积公式，正方形的对角线与边长的
关式是解决问题的关键．
【详解】解：设每个正方形的边长为 ，则面积为 ，个完全相同的正方形的面积之和为100，
，
解得： （负值已舍去），
正方形的对角线长为 ．
故选：C．
2．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是正方形，点B的坐标
为 ．
（1）若直线 恰好经过点B，则 ；
（2）若直线 将正方形分成面积相等的两部分，则 ．
【答案】 2
【分析】本题主要考查了一次函数的性质、正方形的性质等知识点，掌握将正方形分成面积相等的两部分
的直线必过正方形中心成为解题的关键．
（1）直接将点B的坐标为 代入 求得m的值即可；
（2）由直线 将正方形分成面积相等的两部分，则该直线过正方形中心 ，然后代入
求得m的值即可．
【详解】解：（1）接将点B的坐标为 代入 得：
，解得： ．故答案为： ．
（2）∵直线 恰好把正方形 分成面积相等的两部分，
∴直线必经过正方形的中心，
∵点B的坐标为 ，
∴正方形中心的坐标为 ，代入直线 中，得：
，解得： ．
故答案为：2．
3．（23-24八年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边
形”．
(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“宁美四边形”的是
___________（填序号）；
(2)如图，在正方形 中， 为 上一点，连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，连
、 ．求证：四边形 是“宁美四边形”；
【答案】(1)④
(2)见解析
【分析】（1）由“宁美四边形”的定义，正方形的性质即可得出结论；
（2）证 ，得 ，再由 ，结合 “宁美四边形”的定义即可得出结论；
【详解】（1）解： 平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂
直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，
正方形是“宁美四边形”，
故答案为：④．
（2）证明： 四边形 是正方形，
，
，，
，
，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
四边形 是“宁美四边形”；
【点睛】本题考查了新定义“宁美四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平
行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻
找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
【经典例题二 根据正方形的性质求角度】
【例2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点 在正方形 的内部，且 是等边三角形，
连接BD，DE，则 （ ）
A． B． C．30° D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据正方形与等边三角形
的性质得出 ， ，进而求得 ，即可求解．
【详解】解：∵点 在正方形 内部，且 是等边三角形， 是正方形的对角线，
∴ ， ，∴ ，
∴
故选C．
1．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，四边形 是正方形，以 为边作等边三角形 ，
与 相交于点 ，则 的度数是 ．
【答案】60°/60度
【分析】首先证明出 ，得到 ，然后根据正方形的性质和等边三角形
的性质得到 ， ， ， ，求出 ，
，然后根据三角形内角和定理和等边对等角得到
，进而利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解： 四边形 是正方形．
， ．
又∵
．
四边形 是正方形
∴ ，
∵ 是等边三角形
∴ ，
∴ ，
∴，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质、三角形全等的性质和判定，
解题的关键是掌握以上知识点．
2．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形 为正方形，点 是 延长线上一点，且
，连接 ，交 于点 ，则 的度数为
【答案】
【分析】此题考查了正方形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
根据正方形的性质，可得 ，又由 ，根据等边对等角和三角形外角的性质，可得
，进一步即可求得 的度数．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在 中， ，以 为边向外作正方形
，对角线 与 交于点 ，若 ，求 的度数．【答案】75°
【分析】本题考查正方形的性质，多边形的内角和．由正方形的性质得到 ，进而根据四边形
的内角和为 即可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
【经典例题三 根据正方形的性质求线段长】
【例3】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，正方形 的一条边 与等腰 的一条边 在
同一直线上， 分别交 于点G， ．已知 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过E作 于M，根据等腰三角形的性质得到 ，根据勾股定理得到
，根据正方形的性质得到 ， ，
根据全等三角形的性质得到 ， ， ， ，
根据三角形的面积公式得到 ，根据勾股定理得到【详解】解：过E作 于M，
，
，
，
四边形 是正方形，
， ，
在 与 中，
，
，
， ，
在 与 中，
，
，
， ，
，
，
，
，，
，
故选：A
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握
全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
1．（24-25九年级上·海南儋州·期末）如图，在边长为 的正方形 中，点 是 上一点，点 是
CD延长线上一点，连接 ， 平分 交CD于点 ．若 ，则 的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握正方形的性质，证明三角
形全等是解题的关键．
根据正方形的性质可得 ，则有 ， ，再证明
，得到 ，设 ，则 ，
，在 中，运用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
解得， ，
∴ ，
故选：D ．
2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，边长为3的正方形 中， 为 边上一点，且 ，
是对角线 上的一个动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，最短路径问题，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．连
接 、 ，根据正方形的性质可证出 ，得到 ，利用勾股定理求出 的长，
再利用两点之间线段最短性质即可得出 的最小值．【详解】解：如图，连接 、 ，
边长为3的正方形 ，
， ， ，
又 ，
，
，
，
，
在 中， ，
由两点之间线段最短性质得， ，
，
的最小值为 ．
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，边长为6的正方形 中，M为对角线 上的一点，连接
并延长交 于点P．若 ，求 的长．
【答案】
【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出 ，根据全等三角形的性质可得，继而得到 ，再根据等腰三角形的性质可得 ，从而可得
，然后利用勾股定理、含 角的直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解： 边长为6的正方形 ，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵
，
∴
解得 ，
∶
，
∴
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含 角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识
点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．
【经典例题四 根据正方形的性质求面积】
【例4】（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）如图，正方形 是小明用木条制作的一个学具，在取放学
具时，学具发生了形变，此时 ，则形变后四边形 的面积是原正方形 面积的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，含 角直角三角形的性质．正确添加辅助线是
解题的关键．
过点 作 于点 ，则可得四边形 为菱形， ，设 ，
则 ，即可计算菱形 的面积，继而求解．
【详解】解：过点 作 于点 ，
∵四边形 是正方形，∴ ，
由题意可得 ，
∴四边形 为菱形，
∴ ，
设
∵
∴
∴ ，
而 ，
∴ ，
故选：A．
1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图， 中， ， ， ．分别以 ，
， 为边在 的同侧作正方形 ， ， ，四块阴影部分的面积分别为 ， ， ，
．则 等于（ ）A．64 B．60 C．56 D．52
【答案】B
【分析】本题考查以直角三角形三边为边长的正方形构成图形的面积，正方形的性质，全等三角形的性质
与判定，熟练掌握相关定理，证明全等三角形，将阴影面积转化为 是解题关键．
过 点作 的垂线交于点 ，利用全等三角形的性质与判定，通过证明 ，依此
即可求解．
【详解】过 点作 的垂线交于点 ，连接 ，
因为四边形 ， ， 是正方形，
， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
2．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，正方形 的对角线相交于点 ，以点 为顶点的正方形
的两边 ， 分别交正方形 的两边AB， 于点 ， ，记 的面积为 ，
的面积为 ，若正方形的边长 ， ，则 的大小为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定；由四边形 是正方形，四边形
是正方形，可证明 ，即得 ，而 ，可知，故 ．
【详解】解： 四边形 是正方形，
， ，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
3、（24-25八年级上·重庆巴南·阶段练习）四边形 和四边形 都是正方形、 、 、 三点在
同一直线上．(1)如图1，点 在线段 上，点 在线段 上，延长 ， 分别交 ， 于点 ， ，连接 ，
， ．
①若 ，求三角形 的面积；
②若正方形 和正方形 的边长分别为 ，且 ， ，记三角形 的面积
为 ，四边形 的面积为 ，用含有 ， 的代数式表示 ，并求出 的值；
(2)如图2，点 ， 分别在线段 ， 的延长线上，连接 ，记正方形 和正方形 的面积
分别为 ， ．若 ， ，则直接写出 的面积．（用含 ， 的代数式表示）
【答案】(1)①18；②11．
(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方
公式以及整体思想成为解题的关键．
（1）①先说明 ，然后运用三角形面积公式求解即可；②结合①可得 ，则
、 ，则 ，整理后得到 ，然后代入计算
即可；
（2）设正方形 的边长为a，则小正方形 的边长为 ， 的面积
，由题意可得 ，由 可得
，整理得 ，然后求解即可．
【详解】（1）解：①∵四边形 和四边形 都是正方形，
∴ ，四边形 是矩形，
∴ ，即
∴ ，
∴ ，
∴三角形 的面积为 ；②∵若正方形 和正方形 的边长分别为 ，
∴结合①可得 ，则 ，
∵ ，
∴
．
（2）解：设正方形 的边长为a，则小正方形 的边长为 ， 的面积
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，解得：
．
∴ 的面积为 ．【经典例题五 正方形折叠问题】
【例5】（24-25九年级上·重庆·期末）如图，已知正方形 的边长为 ，点 是正方形 的边
上的一点，点 关于 的对称点为 ，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，折叠变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理；延长 交CD于
，连接BM，根据正方形的性质得到 ， ，由折叠的性质得到
，通过 ，于是得到 ．由等腰三角形的性质得到
，由余角的性质得到 ，于是求得 ，得 ，
，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，延长 交CD于 ，连接BM，
四边形 是正方形，
， ，
点 关于直线 的对称点为 ，
，
在 与 中，
，，
，
，
， ，
，
，
正方形 的边长为 ，
，
设 ，
，
即 ，
解得：x=1．
故答案为： ．
1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，将正方形 折叠，使点A与 的三等分点E重合，折痕
为 ，设梯形 的面积为 ，梯形 的面积为 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】分 ，或 两种情况讨论，连接 ，设正方形边长为 ，设
，则 ，设 ，则 ，在 、 、 中运用勾股定理及翻折的性质，求得 ，最后运用梯形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵ 为边 的三等分点，
∴ ，或 ，
如图，当 时，连接 ，设正方形边长为 ，
由翻折知 ， ，
设 ，则 ，设 ，则 ，
∵正方形 ，
∴ ， ,
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 、 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵梯形 面积为 ，梯形 面积为 ，且 ,
∴ ；
如图，当 时，同理， ；
综上， ，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、勾股定理、梯形的面积公式，求解的关键是利用勾股定
理及翻折的性质建立等式．
2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形 的边长是4，点 在边 上， ，点
是边 上不与点 重合的一个动点，把 沿 折叠，点 落在 处．若 恰为等腰三角形，
则 的长为 ．
【答案】4或 / 或4
【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形
的定义分三种情况分别进行解答即可．
【详解】解： 如图1所示：当 时，过 点作 ，则 ，当 时， ，
∵ ， ，
∴ ，
由翻折的性质，得 ，
，
，
，
；
如图2所示：当 时，则 ；
当 时，
∵ ， ，
点 、 在 的垂直平分线上，
垂直平分 ，
由折叠可知点 与点 重合，不符合题意，舍去．
综上所述， 的长为4或 ．
故答案为：4或 ．
3．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，将正方形 折叠，使点B落在 边的中点Q处，点A
落在P处，折痕为 ．已知 长为 ．(1)求线段 的长；
(2)线段 的长．
【答案】(1)16
(2)6
【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理：
（1）根据正方形的性质可得 ，据此可解；
（2）由折叠的性质得 ，利用勾股定理解 即可．
【详解】（1）解： 正方形 中， ， ，
，
；
（2）解： 由（1）知 ，
点Q为 的中点，
，
由折叠的性质得 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得 ，
即线段 的长为6．【经典例题六 根据正方形的性质证明】
【例6】（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，已知四边形 为正方形， ， 为对角线
上一个动点，连接 ．过点 作 ，交 于点 ，以 ， 为邻边作矩形 ，连接
．
(1)求证：矩形 是正方形（提示：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．
(2)探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) 的值为定值，
【分析】本题考查了正方形的性质与判定和矩形的性质，关键是结合图形得出三角形全等．
（1）作出辅助线，得到 ，然后再判断 ，得到 ，则有 ，
即可判断矩形 为正方形；
（2）由四边形 为正方形，四边形 是正方形可知 ， ，故可得
，得到 ，即可判断 ，为定值．
【详解】（1）证明：如图所示，过 作 于 点，过 作 于 点，
四边形 为正方形，
，
， ，
，
，
四边形 为矩形，
，
，即 ，
是正方形 对角线的交点，
，
在 和 中，，
，
，
矩形 为正方形．
（2）解： 的值为定值，
矩形 为正方形，
， ，
四边形 是正方形，
， ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，
，
是定值．
1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）（1）【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为
直角．如图1，在正方形 中，点E，F分别在边 ， 上，连接 ， ， ，并延长 到点
G，使 ，连接 ．若 ，则 ， ， 之间的数量关系为 ；
（2）【类比探究】如图2，当点E在线段 的延长线上，且 时，试探究 ， 、 之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】如图3，在 中， ，D，E在 上， ，若 的面积
为 ， ，请求出 的面积．
【答案】（1） （2） ，理由见详解（3）
【分析】（1）由 可判定 ，由全等三角形的性质得 ， ， 同理可
证 ，由全等三角形的性质得 ，即可求解；
（2）在 上截取 ，连接 、 ，由 可判定 ，由全等三角形的性质得
， ， 同理可证 ，由全等三角形的性质得 ，即可求解；
（3）将 逆时针旋转 至 ，连接 ，作 交于 ，由 可判定 ，
由全等三角形的性质得 ，由三角形的面积及等腰三角形的性质得 ，设 ，则有
，由勾股定理得 ，化为 ，即可求解．
【详解】（1）解： 四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
在 和 中
，
（ ），
，，
，
，
，
在 和 中
，
（ ），
，
，
；
故答案为： ；
（2） ，
理由如下：
在 上截取 ，连接 、 ，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
在 和 中
，
（ ），
，
，，
，
，
，
在 和 中
，
（ ），
，
，
故 ；
（3）解： ， ，
将 逆时针旋转 至 ，连接 ，作 交于 ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中
，
（ ），
，
，，
的面积为 ，
，
，
，
，
，
设 ，
，
，
，
，
，
解得： ，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的性质，旋转的性
质等；掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的性质、旋转的性质及
“半角”典型解法，能构建全等三角形并熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键．
2．（24-25九年级上·四川广安·期末）如图， 是正方形 的边 上一点，将 绕点 逆时针旋
转一定角度后得到 ，连接 ．(1)旋转角为_____度．；
(2)请判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)90
(2)等腰直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）根据图形和已知即可得出答案．
（2）根据旋转的性质得出 ， ，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵四边形 是正方形，
∴
∵旋转角的度数等于 的度数，即 ，
故答案为：90；
（2）解： 是等腰直角三角形．
∵ 是正方形，
∴ ，
∵ 绕点A逆时针旋转 后能够与 重合．
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形．
3．（24-25九年级上·青海西宁·期末）综合与实践
【问题提出】
如图，在正方形 中，点M，N分别在边 ， 上，且 ．求证： ．
【思路梳理】
我们可以利用本学期学习的旋转变换，将三条线段 ， ， 转化到同一个三角形中．（将下列分
析过程补充完整）
（1）证明：将 绕点A顺时针旋转 得到 ，
________ ________，，
，
正方形 ，
，
，
， ， 三点共线
只需再证________ ________（________），
可得 ，
，
；
【类比引申】
（2）如图，在四边形 中， ， ，点M，N分别在边 ， 上，且
，则结论 是否仍然成立？并说明理由；
【联想拓展】
（3）如图，在 中， ， ，点D，E在 边上，且 ，则 ， ，
满足的数量关系是________．
【答案】（1） ， ， ；（2）成立，理由见解析；（3）【分析】（1）将 绕点 顺时针旋转 得到 ，可使 与 重合，证出
，根据全等三角形的性质得出 ，即可得出答案；
（2）把 绕点 逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，证出 ，根据全等三
角形的性质得出 ，即可得出答案；
（3）把 旋转到 的位置，连接 ，证明 ，则 ，
， 是直角三角形，根据勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
，
， ， ， ，
正方形 ，
，
，
， ， 三点共线，
只需再证明 ，
可得 ，
，
，
故答案为： ；
（2）解：结论 仍然成立，
理由如下：
，
把 绕点 逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，如图2，
，
， ，，
，
，
，
，
， ， 三点共线，
在 和 中，
，
，
，
；
（3）解： ；
理由是：如图3,把 旋转到 的位置，连接 ,
则 ，
，
，
，
，
在 和 中，
，，
， ，
，
是直角三角形，
，
，
故答案为： ．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，含30度角的直角三
角形的性质，勾股定理作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
【经典例题七 证明四边形是正方形】
【例7】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在 中， ， 为 中点，过点 作
，交 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接， ， ．
(1)判断四边形 的形状，并说明理由．
(2)当 满足条件_______时，四边形 是正方形．
【答案】(1)菱形，理由见解析
(2) 或 或
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定等知识，
（1）由 得 ，证明 得 ，则四边形 是平行四边
形，再结合 ，即可得证；
（2）当 时，四边形 是正方形，由 ，点 与点 重合，则
，所以当 或 时，四边形 是正方形，于是得到问题的答案；
证明 是解题的关键．
【详解】（1）解：四边形 是菱形．理由：∵ ，
∴ ，
∵ 为 中点， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ， ，交 的延长线于点 ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）∵四边形 是菱形，
∴当 时，四边形 是正方形，
∵ ，
∴点 与点 重合，
∴ ，
则
即当 或 或 时，四边形 是正方形．
故答案为： 或 或 ．
1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在学习了特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了深
入研究，他们发现了一种构造菱形的方法．请你根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空：(1)如图，在 中， 平分 ，过点 作 交 于点 ．用尺规在线段 的左侧作
，射线 交 于点 ．
(2)已知：在 中， 平分 ，过点 作 交 于点 ， ，射线 交
于点 ．求证：四边形 是菱形．
证明： ，
① ．
又 ，
四边形 是 ② ．
平分 ，
．
又 ，
③ ．
．
④ ．
四边形 是菱形．
进一步思考，当 是直角三角形， 时，请写出你的结论：四边形 是 ⑤ ．
【答案】(1)见解析
(2) ，平行四边形； ； ；正方形
【分析】本题考查了作一个角等于已知角，菱形的判定，正方形的判定．
（1）根据角的作法作图即可；
（2）根据平行四边形的性质和角平分线的定义，得到 ，即可证明四边形 是菱形，进而根
据有一个角是直角的菱形是正方形，得出结论．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）证明： ，
．
又 ，
四边形 是平行四边形．平分 ，
．
又 ，
．
．
．
四边形 是菱形．
当 是直角三角形， 时，
同理可得四边形 是菱形，当 时，
四边形 是正方形
故答案为： ，平行四边形； ； ；正方形．
2．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，已知在 中， ， ．
(1)尺规作图：以点 为圆心， 的长为半径画弧．再以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧在 上方
交于点 ，连接 ， ， （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：四边形 是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图和正方形的判定．
根据要求用尺规作图画出图形；
根据作图可证 ，根据全等三角形的性质可知 ，根据同旁内角互补
两直线平行可证四边形 是平行四边形，再根据 、 可证 四边形 是正方形．
【详解】（1）解：如图即为所求；（2）证明：由作图可知， ， ，
，
．
．
，
，
，
．
，
四边形 是平行四边形，
， ，
四边形 是正方形．
3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践
探究活动．
定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
【概念理解】如图①，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形
．判断四边形 的形状： 筝形（填“是”或“不是”）；
【性质探究】如图②，已知四边形 纸片是筝形，连结 ，BD相交于点O．
请补充结论1，再从不同角度写一个正确的结论2．结论1：筝形的内角和为 ．结论2： ．
【拓展应用】如图③，AD是锐角 的高，将 沿边AB翻折后得到 ，将 沿边 翻
折后得到 ，延长 ， 交于点G．
（1）求证：四边形 是筝形；
（2）若 ， ， ， ，求CD的长．
【答案】【概念理解】：是；【性质探究】： ，
(任选一个即可，答案不唯一)；【拓
展应用】：（1）证明见解答过程；（2）
【分析】【概念理解】根据题意得 ,即可得解；
【性质探究】如图 ，根据折叠性质可证明 ,可得
,再利用等腰三角形的三线合一的性质即可得到结论；
【拓展应用】(1)先证 ,再根据“筝形”的定义判断即可；(2)由折叠性质可证四边形 是
正方形，设 ,根据勾股定理即可求解．
【详解】【概念理解】解：由折叠性质得： ，
四边形 是“筝形”，
故答案为：是；
【性质探究】解：如图 ，
筝形是四边形，
筝形的内角和为 ，
在 和 中
，
，
,,
故答案为： ， (任选一个即可，
答案不唯一)；
【拓展应用】(1)证明：如图 ，连接 ，
,
和 是直角三角形，
在 和 中，
,
,
,
四边形 是四边形是“筝形”
(2)解：由折叠性质可得： , , , ,
,
,
,
四边形 是正方形，
,
设 ,则 ,
在 中， ,,解得： ,
．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟
练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解决此题的关键.
【经典例题八 根据正方形的性质与判定求角度】
【例8】（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，将正方形 绕点A顺时针旋转 ，得到正方形
， 的延长线交 于点H，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四
边形的内角和定理计算即可．
【详解】根据旋转的性质，得∠BAE=38°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA=45°，∠ABH=135°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴∠E=90°，
∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°，
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键．
1．（23-24八年级下·福建宁德·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，
则 的度数是 °．
【答案】
【分析】如图，作 ， 于 ，连接 ，证明四边形 是正方形，则 ，
，证明 是等边三角形，则 ，
，根据 ，求解作答即可．
【详解】解：如图，作 ， 于 ，连接 ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形
内角和定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键．
2．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，已知 ， 为线段 上一动点．
将 沿 翻折至 ，延长 交射线 于点 ．
(1)如图1，当 为 的中点时，求出 的长．
(2)如图2，延长 交 于点 ，连接 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）连接 ，由折叠性质可知 ， ， ，证明
，作 于T，设 ，则 ， ，在 中由勾股定理
得方程，于是得到结论；
（2）如图2，作 交延长线与K，由条件可知四边形 为正方形，证明 ，
根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：如图1．连接 ，由折叠性质可知 ，
， ，
， ，
，
∵当 P 为 AB 的中点
∴
∴
，
，，
作 于T，设 ，则 ， ，
在 中由勾股定理得 ，
解得： ，
；
（2）解：如图2，作 交延长线与K，由条件可知四边形 为正方形，
，
∴ ， ，
，
，
，
，
．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠
的性质，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
3．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，
CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若AB=AD，求∠ADE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)135°
【分析】（1）先由两组对边平行证明四边形OCED是平行四边形，再由OD=OC证明四边形OCED是菱形；
（2）先证矩形ABCD是正方形，再由正方形的性质得∠BDC=∠ACD= ，再由平行线的性质得
∠EDC=∠ACD=45°，由此可解．
【详解】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，
∴OD=OC．
∴四边形OCED是菱形．
（2）解：∵矩形ABCD中，AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠BDC=∠ACD= ．
∵DE∥AC，
∴∠EDC=∠ACD=45°，
∴∠ADE=90°+45°=135°．
【点睛】本题考查菱形的判定、正方形的判定与性质以及平行线的性质，由正方形的性质得出
∠BDC=∠ACD= 是解题的关键．
【经典例题九 根据正方形的性质与判定求线段长】
【例9】（24-25九年级上·重庆巫山·期末）如图， 为正方形 内一点， ， ，
，将 绕点 按顺时针方向旋转90°，得到 ．延长 交 于点 ，连接DE．则DE
的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方
形的判定与性质是解答本题的关键．由旋转得， ，可
得出四边形 为正方形，可得 5．在 中，由勾股定理得，
，则 ．在 中，由勾股定理得，
，进而可得答案．
【详解】解：由旋转得 ，
四边形 为矩形，
四边形 为正方形，
在 中，由勾股定理得， ，
在 中，由勾股定理得， ．
故选：B．
1．（24-25九年级上·河南·期末）如图，在四边形 中， ， ，以 为腰作等腰直
角三角形 ，顶点 恰好落在 边上，若 ，则 的长是（ ）A． B． C．2 D．1
【答案】A
【分析】过点 作 于 ，过点 作 于 ，交 的延长线于 ，则 ，
易证得四边形 是矩形，然后利用 可证得 ，则 ，于是证得四边形
是正方形，则 ，再证明 和 是等腰直角三角形，则 ， ，最后根据
勾股定理即可得解．
【详解】解：如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ，交 的延长线于 ，则
，
，
， ，
四边形 是矩形，
，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
，
，
矩形 是正方形，
，
，
，
和 是等腰直角三角形，
， ，
，
，由勾股定理得： ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，垂直于同
一直线的两直线平行，两直线平行内错角相等，三角形的内角和定理，等角对等边，勾股定理等知识点，
正确作出辅助线，构造 和 全等是解题的关键．
2．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图， 为正方形 内一点， ， ， ，
将 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到 ．延长 交 于点 ，连接 ， 的长为
．
【答案】
【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方
形的判定与性质是解答本题的关键．由旋转得， ，可
得出四边形 为正方形，可得 5．在 中，由勾股定理得，
，则 ．在 中，由勾股定理得，
，进而可得答案．
【详解】解：由旋转得 ，
四边形 为矩形，
四边形 为正方形，
在 中，由勾股定理得， ，在 中，由勾股定理得， ．
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·吉林松原·阶段练习）【教材呈现】
如图是某数学教材中平行四边形的性质章节中的部分内容．
探究如图，在 中，连接 ， ，并设它们相交于点 ， 与 ，
与 有什么关系?
（1）如图 ，在 中， 与 之间的数量关系为______， 与 之间的数量关系为______；
【性质应用】
（2）如图 ， 的对角线 ， 相交于点 ， 过点 且与 ， 分别相交于点 ， ，
连接 ， ．
求证：四边形 是平行四边形；
若 ， ， 的周长是 ， ，则 的长是______．
【答案】（ ） ；（ ） 见解析； ．
【分析】（ ）根据平行四边形的性质即可求解；
（ ） 由四边形 是平行四边形，得 ， ，则 ， ，
然后证明 即可；
先证明四边形 是矩形，又 则四边形 是正方形，根据正方形的性质得
， ，设 ，则 ，再由勾股定理即可求解；
本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（ ）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
故答案为：∴ ；
（ ） 证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
解：由 得，四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ 的周长是 ，即 ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【经典例题十 根据正方形的性质与判定求面积】【例10】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点 是正方形 的对角线 上的一点，连接 ，
过点 作 ，垂足为 ，若 ， ，则正方形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判断和性质，勾股定理，过点 作
于，由正方形的性质可得 ， ，即可得四边形 是矩形，进而得到四
边形 是正方形，得到 ，再利用勾股定理求出 可得 ，即可求解，正确作出
辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 于 ，则 ，
∵四边形 是正方形， 是对角线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴正方形 的面积为 ，
故选： ．1．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，语文中的汉语拼音书写是由等距离、等长度的四线三
格平行横线组成，已知相邻两条平行线间的距离都是1，正方形 的四个顶点分别在四条直线上，则
正方形 的面积为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，过点D作 ，垂
足为 ，延长 交 于点E，易证 ，根据正方形的性质可证 ，得到 ，
由 ，利用勾股定理得出 ，再根据正方形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图，过点D作 ，垂足为 ，延长 交 于点E，
， ，，
已知相邻两条平行线间的距离都是1，四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
正方形 面积是 ，
故选：D．
2．（2024·吉林长春·一模）如图，将矩形纸片 沿过点D的直线折叠，使点A落在 边
上的点F处，折痕为 ，连接 ，再将 沿直线 折叠，使点B落在 上的点G处，若
，则 （阴影部分）的面积为 ．
【答案】
【分析】该题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点；
证明 ，由勾股定理算出 ，根据阴影部分面积为 即可求解；
【详解】由折叠可得： ，
是矩形，
，
是正方形，，
，
则 （阴影部分）的面积 ，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在 中， ， 为 边的中点，四边形
是平行四边形， 、 相交于点 ．
(1)求证：四边形 是矩形．
(2)若 ， 时，求 的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质：
（1）三线合一，得到 ， ，先证明四边形 是平行四边形，再根据有一个角是直
角的平行四边形为矩形，即可得证；
（2）先证明四边形 是正方形，再利用分割法求面积即可．
【详解】（1） 在 中， ， 是 的中点，
，即 ， ，
又 四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 是矩形；
（2） 四边形 是矩形， ，即 ，
四边形 是正方形，，
．
【经典例题十一 根据正方形的性质与判定证明】
【例11】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点E为正方形 外一点， ，
将 旋转得到 ， 的延长线交 于H点．
(1) 绕点 逆时针方向旋转 得到 ；
(2)试判定四边形 的形状，并说明理由；
(3)已知 ， ，求 的长．
【答案】(1)A，
(2)四边形 是正方形，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据旋转的定义和图形进行解答即可；
（2）由旋转的性质可得 ，由正方形的判定可证四边形
是正方形；
（3）连接 ，利用勾股定理可求 ，再利用勾股定理可求 的长．
【详解】（1）解：由题意可知， 绕点A逆时针方向旋转 得到 ；
故答案为：A，
（2）解：四边形 是正方形，理由如下：
根据旋转： ，
∵四边形 是正方形，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
又∵ ，
∴矩形 是正方形．
（3）连接 ，
∵ ，
在 中， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
在 中， ，又 ，
∴ ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质
等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
1．（2025·山东临沂·一模）【问题情境】
如图 1 ，在矩形 中，E 是边 上的一点，过点 D 作 ，过点 D 作 ， 过点
A 作 ，且 ．
【基础探究】
（1）判断图 1 中四边形 的形状，并说明理由；
【深入探究】（2）如图 2 ，当 E 在 延长线上时，其他条件不变，请写出 ， ， 之间的数量关系， 并
证明；
【拓展迁移】
（3）如图 3 ，在（2）的条件下，连接 ， ，当 E 在 延长线上的位置发生改变时，判 断
的大小是否发生变化，请说明理由．
【答案】（1）四边形 是正方形，见解析；（2） ，见解析；（3） ，不
发生变化，见解析
【分析】（1） ， ， ， 证明 ， ，可得
，可得矩形 是正方形．
（2）证明四边形 是矩形，结合 ， 可得四边形 是正方形 ，可得 ，
进一步可得结论；
（3）过点B作 于点P ，在 上截取 ，连接 ，证明 ，可得
， ， ，证明 ，可得
，证明 ，进一步可得结论．
【详解】解：（1）四边形 是正方形 ，
理由： ∵四边形 是矩形，
∴ ，
又∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即 ，又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 是正方形．
（2） ，
理由： ， ， ，
∴四边形 是矩形，
由（1）得 ，
∴ ， ，
∴四边形 是正方形 ，
∴ ，
∴ ；
（3） ，理由如下：
过点B作 于点P ，在 上截取 ，连接 ，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，四边形 为正方形，
∴ ， ， ，
同理可得： ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，作出合适的
辅助线是解本题的关键．
2．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图1，菱形 中， ，点E为对角线 上一动点，连
接 ．
(1) 与 的等量关系是______；
(2)如图2，将线段 绕点E逆时针旋转，使点E的对应点F落在直线 上
①问： 与 有怎样的等量关系？并说明理由．
②当 时，如图3，延长 交 的延长线于G，求证： ．
【答案】(1) ；
(2)① ，理由见解析；②见解析．
【分析】对于（1），根据菱形的性质可知 ，再根据“边角边”证明
，可得答案；
对于（2），延长 交 于点G，可得 ，由（1）可知 ，再根据
旋转得 ，即可得 ，然后根据三角形外角的性质得
；
对于（3），根据题意可知四边形 是正方形，可得 ，由
（2）①可知 ， 再根据 ，可得 ，然后根据直角三角形的两个
锐角互余得 ，得出 ，进而得出 ，可知
是线段 的垂直平分线，接下来根据线段垂直平分线的性质得 ，再根据“斜边，直角边”证明 ，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案．
【详解】（1）∵四边形 是菱形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）①延长 交 于点G，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ．
由（1）可知 ，
∴ ．
根据旋转得 ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的外角，
∴ ；
②连接 ，
∵四边形 是菱形，且 ，
∴ 是正方形，
∴ ．
由（2）①可知 ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，直
角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，点E为正方形 对角线 上一点，连接 ， ．过
点E作 ，交边 于点F，以 ， 为邻边作矩形 ．
(1)求证：矩形 是正方形；
(2)连接 ，若正方形 的边长为9， ，求正方形 的边长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点E作 于点M， 于点N，先根据正方形的性质证明四边形 是矩
形，进一步证明 ，可得 ，再根据正方形的判定，即可证得答案；
（2）连接 ，先证明 ，可证明 ，并求得 的长，进一步证明 ，
并求得 的长，再利用勾股定理可求得 的长，最后在 中，根据勾股定理即可求得答案．
【详解】（1）证明：过点E作 于点M， 于点N，
四边形 是正方形，， ，
四边形 是矩形，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
矩形 是正方形；
（2）解：连接 ，
四边形 和 都是正方形，
， ， ， ，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
，，
， ，
，
正方形 的边长为 ．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，构
造全等三角形是解题的关键．
【经典例题十二 中点四边形】
【例12】（23-24九年级下·内蒙古包头·阶段练习）如图，在任意四边形 中，M，N，P，Q分别是
的中点．以下结论：①当 时，四边形 为正方形；②当 时，四边
形 为菱形；③当 时，四边形 为矩形；④四边形 一定为平行四边形．其中正
确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定
理是解题的关键．连接 ，根据三角形中位线定理得到 ，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：连接 交于点O，
∵M，N，P，Q是各边中点，
，
，
∴四边 一定为平行四边形，④说法正确；
时，四边形 不一定为正方形，①说法错误；
时 ，
四边形 为菱形，②说法正确；
时， ，
四边形 为矩形，③说法正确；
故选：C．
1．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形 边 、 、 、
的中点，则下列命题中：①若 ，则四边形 为矩形；②若 ，则四边形 为
菱形；③若四边形 是平行四边形，则 与 互相平分；④若四边形 是正方形，则 与
互相垂直且相等．其中是真命题的序号是 ．
【答案】④
【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，
先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线 时，中点四边形是菱形，当对角线
时，中点四边形是矩形，当对角线 ，且 时，中点四边形是正方形，再逐一分析各选项即可．
【详解】解：∵点 E、F、G、H分别是四边形 边边 、 、 、 的中点，
∴ ， ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
①当 时，则 ， 则四边形 为菱形，①说法错误；
②当 时，则 ， 则四边形 为矩形，②说法错误；
③四边形 一定是平行四边形， 与 不一定互相平分，③说法错误；
④当四边形 是正方形时， 与 互相垂直且相等，④说法正确；
故答案为：④．
2．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图， ， ， ， 分别是四边形 各边的中点，顺次连接
， ， ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)当四边形 的对角线 ， 满足______时，四边形 是正方形．
【答案】(1)见解析
(2) ，
【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行四边形和正方形的判定，解题的关键是掌握以上知
识点．
（1）连接 ，首先根据三角形中位线的性质得到 ，且 ， ，且 ，
进而得到 ，且 ，即可证明出四边形 是平行四边形；
（2）连接 ， ，同理可得， ， ，进而得到当 时， ，证明出
平行四边形 是菱形，然后由 推理得到 ，进而证明出菱形 是正方形．
【详解】（1）解：如图所示，连接∵点 是 的中点，点 是 的中点，
∴ ，且 ，
∵点 是 的中点，点 是 的中点，
∴ ，且 ，
∴ ，且
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：当 ，且 时，四边形 是正方形．
理由如下：
如图所示，连接 ，
∵由（1）得，
同理可得， ，
∴当 时，
∴平行四边形 是菱形
当 时，
∵
∴
∵
∴
∴菱形 是正方形．3．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形 的四边中点E，F，G，H依
次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：连接 ．
结合小敏的思路作答：
（1）若只改变图1中四边形 的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由；
参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接 ，BD．当 与BD满足什么关系时，四边形EFGH是正方
形．直接写出结论．
【答案】（1）是，理由见解析；（2） 且
【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形
的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）结论：四边形 还是平行四边形．连接 ．根据中位线定理证明 ， 即可；
（2）利用（1）的结论，可知需要满足 而且 ，由此可知当 与BD满足 且
即可．
【详解】解：（1）结论：四边形 还是平行四边形．
理由：如图2，连接 ．
、 分别是 、 中点， ，
同理： ， ，
， ，
四边形 是平行四边形．
（2）结论：当 且 时，四边形 是正方形．
理由：如图3中，由（1）四边形 是平行四边形
、 是 、 中点
同理：
平行四边形 是菱形．
， ，
，
，
，
，
四边形 是正方形．
【经典例题十三 （特殊）平行四边形的动点问题】
【例13】（新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题）如图，
在正方形 中， ， 是 上的一点且 ，连接 ，动点 从 点出发，沿着路径 以 的速度运动，运动到 点停止，设点 的运动时间为 秒，当 和
全等时， 的值是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、动点问题．当 和 全等时，
一定为直角三角形，点 在AB上时，不能构成三角形；点 在CD上时构成的不是直角三角形，
此时两个三角形不能全等；当点 在 上时，此时点 运动的路程为 ，根据运动的速度可以求出运
动的时间；当点 在AD上时，此时点 运动的路程为 ，根据运动的速度求出运动的时间即可．
【详解】解： 中 ，
当 和 全等时， 一定为直角三角形，
当点 在AB上时，不能构成三角形；
当点 在CD上时，如下图所示，
构成的不是直角三角形，此时 和 不全等；
当点 在 上时，如下图所示，
，
则有 ，此时点 运动的路程为 ，
运动的时间为 ；
当点 在AD上时，如下图所示，
，
，
此时点 运动的路程为 ，
运动的时间为 ，
综上所述，当 和 全等时， 的值是 或 ．
故选：D ．
1．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图，在矩形 中， ，点P从点A向点D以
的速度运动，点Q以 的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点
P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运
动时间为 ．
【答案】 或 ；
【分析】本题考查了矩形的判定，根据四边形是 矩形得到 ， ，根据运动表
示出 、 ，结合矩形的判定得到当 时以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形列式求解
即可得到答案；
【详解】解：∵四边形是 矩形，
∴ ， ，∵ ，点P从点A向点D以 的速度运动，点Q以 的速度从点C出发，在B，C两点
之间做往返运动，
∴ ， 或 ，
∵以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
故答案为： 或 ．
2．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发
向点 运动，运动到点 停止，同时，点 从点 出发向点 运动，运动到点 即停止，点 、 的速度
都是 ，连接 、 、 ，设点 、 运动的时间为 ．
(1)当 为何值时，四边形 是矩形；
(2)当 为何值时，四边形 是菱形；
(3)分别求出（2）中菱形 的周长和面积．
【答案】(1)
(2)
(3)周长为 ，面积为
【分析】（1）由矩形的性质可得 ，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案；
（2）由菱形的性质可得 ，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案；
（3）先利用 的值求出 的长，然后根据 和 即可求出菱形 的周长和面积．
【详解】（1）解： 四边形 是矩形，
，
即： ，
解得： ，
答：当 时，四边形 是矩形；
（2）解：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形；
四边形 是菱形，
，
即： ，
解得： ，
答：当 时，四边形 是菱形；
（3）解：当 时， ，
菱形 的周长为： ，
菱形 的面积为： ．
【点睛】本题主要考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，菱形的性质，解一元一次方程，
代数式求值，多边形的周长，利用菱形的性质求面积等知识点，利用各种图形的性质建立方程解决问题是
解题的关键．
3．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，点P从点A出发，
以 的速度沿 向终点D运动，同时，点Q从点C出发，以 的速度沿 向终点B运动，设运
动时间为 ．(1)当 时，判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)当 时，求四边形 的面积 与运动时间 的函数关系；
(3)四边形 可能为菱形吗？若可能，请求出t的值；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)四边形 是平行四边形，见解析；
(2)
(3)可能， ．
【分析】（1）由矩形的性质可得出 ，再得出 ，即可得出四边形 是平行四边形．
（2）得出 ，再根据四边形的面积代入求解即可．
（3）由菱形的性质得出 ，利用勾股定理求出 ，再根据 代入求出t值即可．
【详解】（1）解：四边形 是矩形，
∴ ，
∵点P从点A出发，以 的速度沿 向终点D运动，同时，点Q从点C出发，以 的速度沿
向终点B运动，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：∵ ，
∴ ；
（3）解：四边形 可能为菱形．
∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴ ，∵ ， ，
∴
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了四边形的动点问题，平行四边形的判定，矩形的性质和菱形的性质，勾股定理等
知识，利用t值表示出各边是解题的关键
【经典例题十四 四边形中的线段最值问题】
【例14】（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知正方形 的边长为3，点M在 上， ，
点N是 上的一个动点，那么 的最小值是（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，根据点B与点D关于直线 对称，可知
的长即为 的最小值是解答此题的关键．由正方形的对称性可知点B与D关于直线 对称，
连接 交 于 点， 即为所求，在 中利用勾股定理即可求出 的长即可．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴点B与D关于直线 对称，连接 交 于 点，连接 ，
则 ，
，
当B、N、M三点共线时， 取得最小值，
则 即为所求的点，
则 的长即为 的最小值，
∵四边形 是正方形，
∴ 是线段 的垂直平分线，
又 ，
在 中， ，
故 的最小值是 ．
故选：C．
1．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）如上图所示，矩形 ， ， ，点 是边 上的
一个动点，点 是对角线 上一个动点，连接 ， ，则 的最小值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】B
【分析】作点 关于 的对称点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，即可得到 的最
小值为 ，再解直角三角形即可解答．【详解】解：作点 关于 的对称点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，如图：
由对称性可得 ，
，
当 ， ， 三点共线，且 时，即点 在点 处，点 在点 处时， 的值最小．
， ，
， ，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查矩形的性质和线段和最小值问题，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的
关键在于作出适当的辅助线．
2．（24-25八年级下·湖北荆门·期中）如图，在矩形 中， ， ， ， 分别是 和
上的两个动点， 为 的中点，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是解题的关键．
作点 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ，过点 作 的垂线，交的延长线于点 ，推得当 ， ， ， 在同一条直线上时，所求的 最小，最小值即
为 的长，根据矩形的性质可得 ，求得 ，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边
的平方即可求解．
【详解】解：作点 关于AB的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ，
则 ，
∴当 ， ， ， 在同一条直线上时，所求的 最小，最小值即为 的长．
过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，
∴ ，
∵ 为 的中点， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的最小值是 ．
故答案为： ．
3．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是
这样一个问题：
如图1，在正方形 中，点 、 分别在边 、 上，且 ，垂足为 ．那么 与 相
等吗？
（1）直接判断： （填“ ”或“ ” ；
在“问题情境”的基础上，继续探索：
问题探究：
（2）如图2，在正方形 中，点 、 、 分别在边 、 和 上，且 ，垂足为 ．
那么 与 相等吗？证明你的结论；问题拓展：
（3）如图3，点 在边 上，且 ，垂足为 ，当 在正方形 的对角线 上时，连接
，将 沿着 翻折，点 落在点 处．
①四边形 是正方形吗？请说明理由；
②若 ，点 在 上， ，直接写出 的最小值为 ．
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3）①是，理由见解析；②
【分析】（1）证明 即可得出结论；
（2）过点 作 ，证明 ，由此可得 ；
（3）①如图3，连接 ，证明 ，所以 ， ；由折叠可知，
， ，由四边形内角和和平角的定义可得 ，所以 ，则
，所以四边形 是菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得
结论；
②作 交 的延长线于点 ，作 于点 ，可证明 ，由此可得
；易证 是等腰直角三角形，所以 ，则 ，可得
，则 ；作 关于 的对称点 ，则 ，可得
，求出 的值即可得出结论．
【详解】解：（1） ，
，
，
四边形 是正方形，
， ，，
，
在 和 中，
，
，
．
故答案为： ；
（2） ，理由如下：
如图2，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，
，
，
四边形 是正方形，
， ， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）①如图3，连接 ，由（2）的结论可知， ，
四边形 是正方形， 是正方形的对角线，
， ，
，
，
， ，
由折叠可知， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是菱形，
，
菱形 是正方形；
②如图4，作 交 的延长线于点 ，作 于点 ，
，
由上知四边形 是正方形，
， ， ，
，，
，
， ；
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
如图4，作 关于 的对称点 ，则 ，过点 作 交 延长线于点 ，
则 是等腰直角三角形，
，即当 ， ， 三点共线时， 最小，最小值为
的长．
，
，
，
，
，
，
，即 的最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，
等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角
形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
【经典例题十五 四边形的其他综合问题】
【例15】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的
探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形 ， ，像这样两条对角线
互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
【概念理解】
在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________．
【性质探究】
通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空．
性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系
如图1， ，由勾股定理可知，
中， ， 中， ，
同理 ， ，
则 ，
即 _________．
性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系
_________．【问题解决】
（1）如图1，若 ， ，则 _________．若 ， ，则四边形 的面
积 _________；
（2）如图2， ， 是 的中线， ，垂足为O， ，设 ，用含a的代数式表
示 _________；
（3）如图3，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和 ．连接
．求证：四边形 为垂美四边形．
【答案】【概念理解】菱形，正方形；【性质探究】 ， ；【问题解决】（1）13，40；
（2） ；（3）证明见解析
【分析】本题考查勾股定理，四边形面积求解，全等三角形判定及性质，正方形性质等．
根据题意可得为菱形和正方形；
根据题意可得 和 ；
（1）根据题意可得 ， ；
（2）先证明四边形 为垂美四边形，继而得到 ，即可得到本题答案；
（3）连接 ，设 与 交于点 ， 与 交于点 ，先证明 和△ 全等，继而利
用全等性质得到本题答案．
【详解】解：【概念理解】根据题意可得为菱形和正方形，
故答案为：菱形，正方形；【性质探究】根据题意可得：
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
【问题解决】（1）∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为：13，40；
（2）∵ ， 是 的中线，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 为垂美四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，整理得： ，
故答案为： ；
（3）证明：连接 ，设 与 交于点 ， 与 交于点 ，
，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，∴ ， ，
∴ ，即 ，
在 和△ 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为垂美四边形；
1．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）小明在学习了平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究
产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________．
(2)【性质探究】通过探究，小明发现了垂美四边形的一些性质：垂美四边形 的面积S与对角线
的数量关系为：_________．(3)【问题解决】如图2，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和 ．连
接 ，已知 ．求证：四边形 为垂美四边形，并求出它的面积．
(4)【学以致用】（3）中 的长为_______．
【答案】(1)菱形、正方形
(2)
(3)证明见解析，面积为
(4)
【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；
（2）四边形 的面积= 的面积+ 的面积 ；
（3）根据正方形的性质可证得 和 全等，得出 ，由 得出
，再根据对顶角相等得到 ，于是有 ，从而得出
，根据垂美四边形的定义得出四边形 为垂美四边形，根据垂美四边形的面积等于两对角线
乘积的一半即可得出结果．
（4）勾股定理求出 ，设 ，双勾股定理求出 的值，进而求出 的长，再用勾股定理进行求
解即可．
【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形，正方
形，
一定是垂美四边形的是菱形，正方形，
故答案为：菱形，正方形；
（2）如图1所示：
∵四边形 的面积 的面积 的面积∴ ；
故答案为： ；
（3）证明：连接 ， ，设 与 交于点 ， 与 交于点 ，
四边形 是正方形，
， ，
四边形 是正方形，
， ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
四边形 为垂美四边形；四边形 是正方形，
， ，
，
，
点 、 、 在一条直线上，
在 中， ， ，
由勾股定理得 ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
∵ ，
，
四边形 为垂美四边形，
四边形 的面积是 ．
（4）∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则： ，
∴ ，即： ，
解得： ，则
∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、
勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
2．（24-25九年级上·江西九江·期中）【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按
照图1所示的方式放置．如图1，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点，
且这两个正方形的边长相等，四边形 为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点 旋转．
【问题发现】
（1）①线段 ， 之间的数量关系是________．
②在①的基础上，连接 ，则线段 ， ， 之间的数量关系是________．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形 的中心 是矩形 的一个顶点， 与边 相交点 ， 与边 相交
于点 ，连接 ，延长 交 于点 ，连接 ， ，矩形 可绕点 旋转．判断线段 ，
， 之间的数量关系并证明．
【拓展应用】
（3）如图3，在 中， ， ， ，直角 的顶点 在边 的中点处，它
的两条边 和 分别与直线 ， 相交于点 ， ， 可绕点 旋转．当 时，请直接写
出线段 的长．
【答案】（1）① ，② ，理由见解析；（2） ，证明见解析；
（3） 或 ．
【分析】（1）①证明 ，由全等三角形的性质即可得到 ，从而可得 ；②由①的结论及勾股定理即可得到三线段 间的数量关系；
（2）由矩形的性质可证明 ，则有 ；再由矩形的性质及线段垂直平分线
的性质可得 ；在 中，由勾股定理及等量代换可得
；
（3）分两种情况：点E在边 上；点E在 延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决．
【详解】（1）解：①∵四边形 、四边形 均为正方形，
∴ ， ， ，
∴ ；
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ；
②在 中， ，
而 ， ，
∴ ；
（2）解：三线段 间的数量关系为： ；
证明如下：
∵四边形 、四边形 均为矩形，矩形 的中心为O，
∴ ， ， ，
∴ ；
在 与 中，
，
∴ ，∴ ；
∵ ，
∴ ；
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ；
（3）解：①当点E在边 上时；
由（2）的结论知： ；
另一方面，在 中，由勾股定理得： ，
即 ；
设 ，则 ，而 ，
∴ ，
解得： ，
即 ；
②当点E在 延长线上时，如图；
把 补成矩形 ，延长 交 延长线于点P，连接 ，
与（2）证法相同，同样有 ，
另一方面，在 中，由勾股定理得： ，
即 ；
设 ，则 ，而 ，
∴ ，
解得： ，
即 ；
综上， 的长为 或 ．【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段
垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键．
3．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，取一张矩形纸进行折叠，具体操作过程如下：
(1)【操作发现】
操作一：对折矩形 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展开；
操作二：在 上选一点 ，沿 折叠，使点 落在矩形内部点 处，把纸片展开，连接 ， ，
．
根据以上操作，当点 在 上时：
①则图1中 _____°；
②若 ， ，则 _____ ．
(2)【迁移探究】
如果将矩形纸片换成边长为 的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片 按照（1）中
的方式操作，并延长 交 于点 ，连接 ．如图2，当点 在 上时， _____°，
_____；
(3)【拓展应用】
如图3，改变点 在 上的位置（点 不与点 ， 重合），正方形的边长仍为 ，仍然按（1）中的
方式操作，延长 交 于点 ，连接 ，当 时，请直接写出 的长_____．【答案】(1)①30；②
(2)15，
(3) 或
【分析】（1）①根据折叠的性质，得 ，取 的中点 ，连接 ，根据直角三角形斜边中线
等于斜边的一半得到 ，可证 为等边三角形，进而可结果；
②由 ，得到 ，求得 ，根据全等三角形的判定和
性质定理得到 ，求得 ；
（2）根据折叠的性质，可证 即可求解；
（3）由（2）可得 ，分两种情况：当点 在点 的下方时，当点 在点 的上方时，设
，分别表示出 ，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：① 对折矩形 ，使 与 重合，得到折痕 ，沿 折叠，使点 落在矩形
内部点 处，
如图1，取 的中点 ，连接 ，
为等边三角形，故答案为：30；
② ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2） 四边形 是正方形，
由折叠性质得： ，
同法（1）可得： ，
在 中， ，
根据勾股定理： ，，
即 ，
解得 (负值舍去)，
在 中， ，
根据勾股定理： ，即 ，
故答案为： ；
（3）解：当点 在点 的下方时，如图3.1，
，
由(2)可知， ，
设 ，
即 ，
解得 ，当点 在点 的上方时，如图3.2，
由(2)可知， ，
设 ，
即 ，
解得 ，
综上所述， 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性
质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握相关知识并灵活应用是解题的关
键．1．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，正方形 的顶点 、 分别落在直角坐标系的 轴、 轴
上， 、 则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题
的关键．
由“ ”可证 ，可得 ， ，可求解．
【详解】解：过点 作 轴于 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：D ．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．如图，正
方形 与正方形 是由四个全等的直角三角形拼成的，连结 ．若 ， ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由正方形和全等三我的性质求得 ， ， ，再由勾股定理求得
， ，即可求解．
【详解】解：∵正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
由题意，得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故选：B．
3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在正方形 中，点 是 上一点，点 是 延长线上
一点，连接 ， ， ．点 是 的中点，连接 ， ，若 ， ，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ，先证明 得到 ，进而可得 ，利用等腰
三角形性质和直角三角形斜边上的中线性质证得 ，证明 ，得 ，
，利用三角形的内角和定理可求得 ，利用三线合一得到
，进而得到 即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
四边形 为正方形，
， ， ，
在 和 中，，
∴ ，
，
，
，
即 ，
为 中点，
，
， 为 中点，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
， ， 为 中点，
，
，
，
，
，故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上
的中线性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关性质的联系与运用是解答的关键．
4．（23-24八年级下·天津西青·期中）如图，四边形 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当 时，平行四边形 是菱形
B．当 时，平行四边形 是矩形
C．当 时，平行四边形 是菱形
D．当 且 时，平行四边形 是正方形
【答案】A
【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定方法，解决本题的关键是根据矩形、菱形、正方形的
判定方法进行判断．
【详解】解：如下图所示，
A选项：在 中，当 时， 与 一定不垂直，
平行四边形 一定不是菱形，
故A选项错误，符合题意；
B选项：当 时，平行四边形 是矩形，
故B选项正确，不符合题意；
C选项：当 时，平行四边形 是菱形，
故C选项正确，不符合题意；
D选项：当 且 时，平行四边形 是正方形，
故D选项正确，不符合题意．
故选：A．
5．（24-25九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，在正方形 中，点 ， 分别在 ， 边上，且， ，连接 平分 ，过点 作 于点 ，连接 ，若正方形
的边长为4，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，先证明
得出 ， ，根据三角形中位线定理得出 ，分别在
， 中利用勾股定理求出 ， ，即可求解．
【详解】解：如图，延长 交 于点H．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，正方形的边长为4，
∴ ， ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
6．（2025·江西九江·模拟预测）如图，在 中， ， ， 是射线 上一点，将
沿 折叠，得到 ，连接 ．当 为直角三角形时， 的度数为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分类讨论．
分两种情况：当 时，当 时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判
定与性质求解即可．
【详解】解：当 时，
，
，
由折叠可得： ， ，
，
四边形 是矩形，
，矩形 是正方形，
；
当 时，
， ，
，
由折叠可知， ， ，
，
点 、 、 共线，
，
综上所述， 的度数为 或 ．
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠可得， ；故答案为： 或 或 ．
7．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在 中， ， ，分别以
的三边为边向外作三个正方形 ，连接 ．过点C作 的垂线 ，垂足为J，分
别交 H于点I，K．若 ，则四边形 的面积是 ．
【答案】320
【分析】本题考查勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形
是解题的关键．作 交 的延长线于点M，作 于点N，依次证明 ，
， ， ，设 ，根据全等三角形的性质
表示出相关线段的长度，最后用勾股定理解 求出x的值，即可求解．
【详解】解：如图，作 交 的延长线于点M，作 于点N，， ，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ；
同理，可证 ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ；
在 和 中，，
，
；
设 ，则 ，
，
，
，
，
在 中， ，
，
解得 ，
，
，
四边形 的面积 ，
故答案为：320．
8．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，正方形 的边长为4，点 和 分别为边 和
的中点，点 在 上， 交 于 ，且 ，点 和 分别是 和 上的动点，且
．当 时，线段 的长度为 ．
【答案】【分析】首先求出 ，然后证明出四边形 ， ， ， 是矩形，
得到 ，然后设 ，则 ，勾股定理表示出 ， ，然后根据
列方程求解即可．
【详解】∵正方形 的边长为4，点 和 分别为边 和 的中点，
∴
∵ 交 于 ，且 ，
∴四边形 ， ， ， 是矩形，
∴
∴ ，
∴设 ，则
∴ ，
∵
∴
∴
∴ ．
∴当 时，线段 的长度为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，一元一次方程的应用等知识，解题的
关键是掌握以上知识点．
9．（24-25九年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，在边长为5的正方形 中，M为 上一点，且
，N为边 上一动点，连接 ，点B关于 对称，对应点为P，连接 ，则
的最小值为 ．
【答案】【分析】根据 可得P在以点M为圆心，2为半径的圆上，取 的中点，以点B为坐标原点，
所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系，设点 ，则
，进而得出 ，根据两点之间线段最短
可知，当E，P，C共线时， 最小，可得答案．
【详解】解：∵点B关于直线 对称，对应点为P，
∴
∴P在以点M为圆心，2为半径的圆上．
设圆与 交于B，F两点，取 的中点E，连接 ，
则 ．
∵四边形 是正方形，
∴ ．
以点B为坐标原点，分别以 所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系，
则 ，
设点 ，则 ，
即 ，
∴ ，
∴ ，即 ．
连接 ，在 中， ，
根据勾股定理，得 ，
∴ ，
当E，P，C共线时， 最小，最小值为 ．
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，正方形的性质，平面直角坐标内点的坐标，作出辅助
线得出最小值时点P的位置是解题的关键．
10．（24-25九年级上·河南郑州·期末）已知正方形 的边长为4，点 为线段 上的动点（不与点
重合），点 关于直线 的对称点为点 ，连接 ， ， ， ，当 是以 为腰的等腰
三角形时， 的值为 ．
【答案】 或
【分析】根据题意分三种情况画出图形并进行讨论，第一种情况是当 ，且点P在射线 上时，
过点E作 的垂线，分别交 于点M，N，求出 的长，并证明 是含有 角的直角三角
形，即可求出 的长，即 的长；第二种情况是当 ，且点E在 的垂直平分线上时，证
为等边三角形，求出 ，即可求出 的长．
【详解】解：①如图，当 ，且点P在射线 上时，过点E作 的垂线，分别交 于点
M，N，
由题意知， 为等边三角形，∴ ，
，
，
在四边形 中，
，
，
，
∴在 中，
，
；
②如图，当 ，且点E在 的垂直平分线上，也在 的垂直平分线上，
，
又 ，
为等边三角形，
，
，
在 中， ，
∴ ，
解得 ．
综上所述， 的值为 或
故答案为： 或 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的
性质， 度所对的直角边是斜边的一半等，解题关键是能够根据题意画出分情况讨论的图形，并结合等腰
三角形的性质等进行解答．
11．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在正方形 中，点E在 上，延长 到点F，使
，连接 ．若 ，求 的长．
【答案】
【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，明确题意、灵活利
用相关知识是解答本题的关键．
根据正方形的性质和全等三角形的性质可以得到 、 的长以及 的度数，然后根据勾股定理即可
得到 的长即可．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
12．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图1，在 中，点D在 的延长线上，点O是 边
上的一个动点，过点O作直线 ，设 交 的平分线于点E，交 的平分线于点F．(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，连接 、 ，当点 运动到何处时，四边形 是矩形，并说明理由；
(3)在（2）的前提下 满足时，四边形 是正方形？（直接写出答案，无需证明）
【答案】(1)见解析
(2)当点O在边 上运动到 中点时，四边形 是矩形，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据角平分线的性质得到 ， ，根据平行线 得到
， ，从而利用等腰三角形说明 ，从而得到结论；
（2）当O为中点时 ，结合(1)可得四边形为平行四边形，然后根据 得出矩形；
（3）当 时，可得 ，对角线互相垂直的矩形是正方形．
【详解】（1）解： 平分 ， 平分 ，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
．
（2）解：当点O在边 上运动到 中点时，四边形 是矩形．
， ，
四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
，即 ，
四边形 是矩形．
（3）解：在（2）前提下，当 的 时，四边形 是正方形．
， ，
，矩形 是正方形．
【点睛】本题综合考查了平行线性质，等腰三角形的判定，平行四边形、矩形、正方形的性质与判定等知
识，熟练掌握它们的性质和判定是解决问题的关键．
13．（24-25九年级下·江西南昌·阶段练习）追本溯源
题（1）来自于课本中的习题，请你完成填空，并完成题（2）：
（1）如图1，把一个长方形纸片 按如图方式折一下，得到四边形 是___________；（填“特殊
的四边形”的名称）
拓展应用
（2）如图2，将图（1）中的长方形纸片过点 的直线折叠，使得点 恰好落在 上的 处， 为折痕．
若 ，求 ．
【答案】（1）正方形；（2） ．
【分析】（1）由长方形的性质得 ，由折叠的性质得 ， ，进而可
证明四边形 是正方形；
（2）先证明 和 为等腰三角形，在 中，求出 ，在Rt 中，求出
，进而可求出 的长．
【详解】解：（1）∵四边形 是长方形，
∴ ．
由折叠的性质得， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴四边形 是正方形．
故答案为：正方形；
（2） 四边形 为正方形，．
，
，
．
又 沿着直线 翻折到 ，
，
．
和 为等腰三角形．
又 四边形 是长方形，
，
．
在 中， ，
，
在 中， ，
．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，掌握折叠的
性质是解答本题的关键．
14．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，正方形 中，点E、F分别在边 、 上，且
．
(1)求 的度数；
(2)求证： ．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）由正方形得到 ，然后由 得到 ，进而
利用三角形内角和定理求解即可；
（2）如图所示，延长 到H，使得 ，连接 ，证明 得到 ，
，再证明 得到 ，再根据线段之间的关系即可证明结论．
【详解】（1）∵四边形 是正方形
∴
∵
∴
∴ ；
（2）证明：如图所示，延长 到H，使得 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等知识，正确作出
辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．（24-25九年级下·山西长治·期中）综合与实践
在综合与实践课上，赵老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
操作一：对折正方形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：在 上选一点P，沿 折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平．连接 并延长交
于点Q，连接 ．
(1)数学思考：
如图1，当点M在 上时， 与 的数量关系是_______．
(2)拓展再探：
如图2，当改变点P在 上的位置（点P不与点A，D重合），使点M不在 上时，判断（1）中
与 的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)迁移应用：
在（2）的探究中，连接 ，已知正方形纸片 的边长为6，当 的周长最小时， 的长为多
少？
【答案】(1) ；
(2)成立，理由见解析；
(3)当 的周长最小时， 的长为【分析】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识：
（1）由折叠得 ，证明 ，得到 ，再根据平角定义和
三角形内角和定理可得结论；
（2）方法同（1）；
（3） 的周长表示为 ， ，当 取最小值时， 的周长最小，设 ，则
，由勾股定理列方程求解即可
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
由折叠得， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：成立，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
由折叠得， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由折叠得， ，
∴ 的周长为 ，
当 取最小值时， 的周长最小，
∵点 的轨迹是以点 为圆心， 的长为半径的圆弧；
以点 为圆心， 的长为半径画圆，当点D，M，B共线时， 最小，
设 ，则 ，
由折叠得， ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴
