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专题 21.3 平行四边形二十二大必考点
【人教版】
【考点1 格点中利用无刻度直尺作平行四边形】................................................................................................1
【考点2 利用平行四边形的判定与性质求面积】................................................................................................3
【考点3 利用平行四边形的判定与性质求长度】................................................................................................4
【考点4 利用平行四边形的判定与性质求角度】................................................................................................5
【考点5 利用平行四边形的判定与性质求最值】................................................................................................6
【考点6 利用动点判断平行四边形】...................................................................................................................7
【考点7 平行四边形的判定与性质的实际应用】................................................................................................9
【考点8 根据矩形的判定与性质求线段长】.....................................................................................................10
【考点9 根据矩形的判定与性质求角度】.........................................................................................................11
【考点10 根据矩形的判定与性质求面积】.........................................................................................................12
【考点11 矩形与折叠问题】.................................................................................................................................14
【考点12 根据菱形的判定与性质求线段长】.....................................................................................................15
【考点13 根据菱形的判定与性质求角度】.........................................................................................................16
【考点14 根据菱形的判定与性质求面积】.........................................................................................................18
【考点15 根据正方形的判定与性质求线段长】.................................................................................................20
【考点16 根据正方形的判定与性质求角度】.....................................................................................................21
【考点17 根据正方形的判定与性质求面积】.....................................................................................................23
【考点18 中点四边形】.........................................................................................................................................24
【考点19 特殊四边形的证明】.............................................................................................................................26
【考点20 特殊四边形的动点问题】.....................................................................................................................28
【考点21 特殊四边形的最值问题】.....................................................................................................................29
【考点22 特殊四边形的存在性问题】.................................................................................................................31
【考点1 格点中利用无刻度直尺作平行四边形】
【例1】（2022春·吉林长春·八年级校考期末）如图，在6×6网格中，每个小正方形的边长为1，点A, B在
格点上．请根据条件画出符合要求的图形．(1)在图甲中画出以点A为顶点且一边长为√5的平行四边形．要求：各顶点均在格点上．
(2)在图乙中画出线段AB的中点O．
要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．
【变式1-1】（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期末）如图，每个小正方形的边长都是1，A、B、C
、D均在网格的格点上．
(1)∠BCD是直角吗？请证明你的判断．
(2)找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等．
【变式1-2】（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在10×10的正方形网格中（每个正方形的边长
为1），点A和点B都在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按以下要求作图．(1)图1中，以AB为边作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为6；
(2)图2中，以AB为对角线作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为10．
【考点2 利用平行四边形的判定与性质求面积】
【例2】（2022春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，F是□ ABCD的边CD上的点，Q是BF
中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若S =2cm2，S =8cm2，则阴影
△APD △BQC
部分的面积为（ ）cm2．
A．24 B．17 C．18 D．10
【变式2-1】（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=60°，
AC=4．作出△ABC共于点A成中心对称的△AB′C′，其中点B对应点为B′，点C对应点为C′，则四边
形CB′C′B的面积是（ ）
A．128 B．64√3 C．64 D．32√3
【变式2-2】（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，分别以直角三角形的三边向外作等边三角形，然
后将较小的两个等边△AFG和△BDE放在最大的等边△ABC内（如图），DE与FG交于点P，连结AP，
FE．欲求△GEC的面积，只需要知道下列哪个三角形的面积即可（ ）
A．△APG B．△ADP C．△DFP D．△FEG【变式2-3】（2022春·全国·八年级专题练习）如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，
GH∥AB，且CG=3BG，S =1.5，则S = __．
▱BEPG ▱AEPH
【考点3 利用平行四边形的判定与性质求长度】
【例3】（2022·辽宁丹东·校考一模）如图，在▱ABCD中，∠BAD=120°，连接BD，作AE∥BD交
CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF=1，则AB的长是（ ）
A．2 B．1 C．3 D．√2
【变式3-1】（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2√2，点P为BC上
一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ 、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是______，连接PQ，当PQ取得
最小值时，四边形APCQ的周长为_____．
【变式3-2】（2022·广东佛山·石门中学校考一模）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点，将
△CDE沿DE折叠，得到△FDE，连接BF，CF，∠BFC=90°，若EF∥AB，AB=4√3，EF=10，则
AE的长为 _____．【变式3-3】（2022春·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，点E为BC
延长线上一点，连接AC、AE，AE交CD于点H，∠DCE的平分线交AE于点G．若AB=2AD=10，点H
为CD的中点，HE=6，则AC的长为（ ）
A．9 B．√97 C．10 D．3√10
【考点4 利用平行四边形的判定与性质求角度】
【例4】（2022春·湖北武汉·八年级校考期末）如图，AB=13，点D为AB上一动点，CD⊥AB于D，
CD=8，点E在线段CD上，CE=3，连接BE．当BE+AC最小时，∠ACD的度数为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【变式4-1】（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，在△ABC的BC边的同侧分别作等边△ABD，等边
△BCF和等边△ACE，AB＝3，AC＝4，BC＝5，求∠DFE的度数．【变式4-2】（2022秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD
交于点O，且AO＝OC．
(1)求证：
①△AOE≌△COF；
②四边形ABCD为平行四边形；
(2)过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的
度数．
【变式4-3】（2022春·甘肃定西·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，点
E是BC边上一点，连接EO并延长交AD边于点F、交CD延长线于点G．OE=OF，AD=BC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）若∠A=62°，∠G=40°，求∠BEG的度数．
【考点5 利用平行四边形的判定与性质求最值】
【例5】（2022春·四川成都·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中有A(0,3)，D(5,0)两点．将直
线l ：y=x向上平移2个单位长度得到直线l ，点B在直线l 上，过点B作直线l 的垂线，垂足为点C，连接
1 2 2 1AB，BC，CD，则折线ABCD的长AB+BC+CD的最小值为______．
【变式5-1】（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=12，
AD=10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP=CQ，连结CP、QD，则PC+QD的最小值为（ ）
A．22 B．24 C．25 D．26
【变式5-2】（2022春·河北保定·八年级统考期末）如图，已知▱ABCD的顶点A、C分别在直线x=1和
x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式5-3】（2022秋·全国·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知四边形AMNB各顶点坐标分别是：
A(0,−2)，B(2,2),M(3,a),N(3,b)，且MN=1, a
