文档内容
专题 21.3 根与系数的关系
◆ 思想方法
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每
一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并
非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：
1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；
2. 按同一标准划分（同一性）；
3. 逐级分类（逐级性）。
◆ 知识点总
结
一、一元二次方程的根与系数的关系
b c
x x x x
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是 x 1 ，x 2，那么 1 2 a ， 1 2 a .
注意：它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得
的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
◆ 典例分析
【典例1】已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0有两个实数根x ，x ．
1 2
（1）若 ，求 的值；
|x )+|x )=2❑√2 k
1 2
（2）当k取哪些整数时，x ，x 均为整数；
1 2
（3）当k取哪些有理数时，x ，x 均为整数．
1 2
【思路点拨】
（1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可；
2
（2）根据根与系数的关系可得若x +x =− 为整数，可得整数k=±1,±2，然后结合两根之积、解方程
1 2 k
分别验证即可；1
（3）显然，当k=−1时，符合题意；由两根之积可得k应该是整数的倒数，不妨设k= ，则方程可变形
m
为 ，即为 ，再结合整数的意义即可解答．
x2+2mx+m−2=0 (x+m) 2=m2−m+2
【解题过程】
解：（1）∵Δ=22−4k(1−2k)=4−4k+8k2=8 ( k2− 1 k+ 1) =8 ( k− 1) 2 + 7 >0，
2 2 4 2
∴不论k为何值，关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0都有两个实数根x ，x ，
1 2
∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0有两个实数根x ，x ，
1 2
2 1−2k
∴x +x =− ,x x = ，
1 2 k 1 2 k
分两种情况：①若两根同号，由 可得： ，或 ，
|x )+|x )=2❑√2 x +x =2❑√2 x +x =−2❑√2
1 2 1 2 1 2
2 ❑√2
当x +x =2❑√2时，则− =2❑√2，解得k=− ；
1 2 k 2
2 ❑√2
当x +x =−2❑√2时，则− =−2❑√2，解得k= ；
1 2 k 2
②若两根异号，由 可得： ，
|x )+|x )=2❑√2 (x −x ) 2=8
1 2 1 2
即 ，
(x +x ) 2−4x x =8
1 2 1 2
( 2) 2 1−2k
∴ − −4× =8，
k k
解得：k=1，
❑√2
综上，k的值为1或 ± ；
2
（2）∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0有两个实数根x ，x ，
1 2
2 1−2k
∴x +x =− ,x x = ，
1 2 k 1 2 k
若x ，x 均为整数，
1 2
2
则x +x =− 为整数，
1 2 k
∴整数k=±1,±2，
1−2k
当k=±2时，x x = 不是整数，故应该舍去；
1 2 k当k=1时，此时方程为x2+2x−1=0，方程的两个根不是整数，故舍去；
当k=−1时，此时方程为−x2+2x+3=0，方程的两个根为x =−1,x =3，都是整数，符合题意；
1 2
综上，当k取−1时，x ，x 均为整数；
1 2
（3）显然，当k=−1时，符合题意；
1−2k 1
当k为有理数时，由于x x = = −2为整数，
1 2 k k
1
∴k应该是整数的倒数，不妨设k= (m≠0)，m为整数，
m
则方程kx2+2x+1−2k=0即为x2+2mx+m−2=0，
配方得： ，
(x+m) 2=m2−m+2
即 ，
x=−m±❑√m2−m+2
1
当m=2即k= 时，方程的两根为x =0,x =−4，都是整数，符合题意；
2 1 2
1 2 7
当m≠2时，m2−m+2=(m− ) + 不是完全平方数，故不存在其它整数m的值使上式成立；
2 4
1
综上，k=−1或 ．
2
◆ 学霸必刷
1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程 有两个根 和 ，且
ax2+bx+c=0(a≠0) x x
1 2
10 n>0 a2≥a x (x+1) 2+a2−a=0 x =m−2
1
x =n−2．
2
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程
x2−8cx−9d=0的解，c、d是方程x2−8ax−9b=0的解，则a+b+c+d的值为 ．
5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4．求|a)+|b)+|c)的
最小值
6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x的一元二次方程整理成 （ ，a、
a(x+ ℎ) 2+k＝0 a≠0
h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方
程”．已知关于x的一元二次方程 （ ）与方程 是“同源二次方程”，且
ax2+bx+c=0 a≠0 (x+1) 2−2=0
方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x 、x ，则b－2c＝ ，ax +x x +ax 的最大值是
1 2 1 1 2 2
．
7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知xy+x+ y=44，x2y+x y2=484，求x3+ y3．
8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程x2+3x−5=0的两根分别为x 、x ．
1 2
1 1
（1）求 + 的值；
x −1 x −1
1 2
（2）求 的值．
3x2+6x +x2
1 1 2
9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于x的方程x2−2mx+m2−n=0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于x的一元二次方程x2+2x−m2−m=0．
（1）若α和β分别是该方程的两个根，且αβ=−2，求m的值；
（2）当m=1，2，3，⋅⋅⋅，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α 、β ，α 、β ，⋅⋅⋅，
1 1 2 2
1 1 1 1 1 1
α 、β ，求 + + + +⋯+ + 的值．
2024 2024 α β α β α β
1 1 2 2 2024 2024
11．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知α、β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不
相等的实数根
（1）直接写出m的取值范围
1 1
（2）若满足 + =−1，求m的值．
α β
（3）若α>2，求证：β>2；
12．（22-23九年级·浙江·自主招生）已知方程x2+4x+1=0的两根是α、β．
（1）求|α−β|的值；
√α √β
（2）求❑ +❑ 的值；
β α
（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：
．
x3+ y3=(x+ y)(x2+ y2−xy)13．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有实数根．
（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；
（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．
14．（22-23九年级下·浙江·自主招生）设 为整数，关于 的方程 有两
m x (m2+m−2)x2−(7m+2)x+12=0
个整数实根．
（1）求m的值．
（2）设△ABC的三边长a,b,c满足c=4❑√2,m2+a2m−12a=0,m2+b2m−12b=0．求△ABC的面积．
15．（22-23九年级上·湖南常德·期中）阅读材料：
b c
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x ，x ，则x +x =− ，x x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，
∴ ， ，则 ．
m+n=1 mn=−1 m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程x2−3x−1=0的两个根为x ，x ，则x +x =___________，x x =
1 2 1 2 1 2
___________．n m
（2）类比应用：已知一元二次方程x2−3x−1=0的两根分别为m、n，求 + 的值．
m n
1 1
（3）思维拓展：已知实数s、t满足s2−3s−1=0，t2−3t−1=0，且s≠t，求 − 的值．
s t
16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n=0或
px+q=0时，多项式A=(mx+n)(px+q)=mpx2+(mq+np)x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A
的零点．
（1）已知多项式(3x+1)(x−2)，则此多项式的零点为__________；
a
（2）已知多项式B=(x−1)(bx+c)=ax2−(a−1)x− 有一个零点为1，求多项式B的另一个零点；
2
( 5)( 3)
（3）小聪继续研究(x−3)(x−1)，x(x−4)及 x− x− 等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两
2 2
个点关于直线x=2对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式
M=(2ax+b)(cx−5c)=bx2−4cx−2a−4是“2系多项式”，求a与c的值．
17．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）x ，x 是关于x的一元二次方程x2−2(k+1)x+k2+2=0的
1 2
两实根，且 ，求 的值．
(x +1)⋅(x +1)=8 k
1 2
（2）已知： ， 是一元二次方程 的两个实数根，设 ， ，…，
α β(α>β) x2−x−1=0 s =α+β s =α2+β2
1 2．根据根的定义，有 ， ，将两式相加，得 ，
s =αn+βn α2−α−1=0 β2−β−1=0 (α2+β2)−(α+β)−2=0
n
于是，得s −s −2=0．
2 1
根据以上信息，解答下列问题：
①直接写出s ，s 的值．
1 2
②经计算可得：s =4，s =7，s =11，当n≥3时，请猜想s ，s ，s 之间满足的数量关系，并给出证
3 4 5 n n−1 n−2
明．
18．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程x2−(m+2)x+4m=0有两个实数根x ,x ，其中
1 2
x
