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第 03 讲 等比数列及前 n 项和
一、单选题
1．设 是正项等比数列， 为其前 项和，已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由等比中项得 ，再利用 和等比数列的通项公式计算 ，即可
得到 的值.
【详解】因为 是正项等比数列，所以 ， ，
由等比中项得 ，解得 ，
所以 解得 ， ，
所以 .故选：B.
2．已知等比数列{an}的各项均为正数，数列{bn}满足bn=lnan，b=18，b=12，则数列
3 6
{bn}前n项和的最大值等于（ ）
A．126 B．130 C．132 D．134
【答案】C
【分析】由等比数列通项公式求得 后可得 ，得 是等差数列，求出 的解后可
得 取最大值时的 值，再计算可得．
【详解】由已知 ， ，所以 的公比为 ， ， ，
， ，
， 是等差数列，公差为 ，
，则 ，
所以 的前 项和的最大值为 故选：C．
3．在数列 中， （ 为非零常数），且其前n项和 ，则实数 的值
为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】依题意可得 是以 为公比的等比数列，再根据 求出 的
通项公式，即可得到方程组，解得即可.
【详解】解：若 ，则 ，又 ，显然不满足条件，
所以 ，又 （ 为非零常数），所以 ，即 是以 为公比的等比数
列，当 时 ，即 ，
当 时 ，所以
又 ，所以 ，解得 ．故选：D
4．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用 与 关系求得通项关系，判断数列 为等比数列即可求得.
【详解】当 时， ，∴ ，当 时， ，两式相减可得
，∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，∴ ．
故选:D．
5．已知等比数列 的各项均为正数，且 ，则 的最大值为
（ ）
A．9 B．8 C．3 D．27
【答案】D
【分析】设等比数列 的公比为 ，由已知求出 、 ，则
转化为求指数的最值可得答案.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则由 得，解得 ， ，
所以 ，
当且仅当 或 时 的最大值为 .故选：D.
6．已知数列 的前 项和为 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据 作差可得 ，再由 ，即可得到
是以 为首项， 为公比的等比数列，从而求出 的通项公式，再根据等比数列求和公
式计算可得.
【详解】解：因为 ， ，当 时 ，
当 时 ，所以 ，即 ，所以 ，
又 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，
所以 .故选：A
7．设等比数列 中，前n项和为 ，已知 ， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用等比数列的性质、等比中项的性质进行求解.
【详解】因为 ，且 也成等比数列，
因为 ， ，所以 ，所以8，-1，S-S 成等比数列，所以8(S-S)=1，
9 6 9 6
即 ，所以 .故B，C，D错误.
故选：A.
二、填空题
8．在等比数列 中， ， ，且 ，则数列 有
______项．
【答案】12
【分析】由题意及等比数列的性质可求出 ，所以 ，
即可求出列 的项数.
【详解】由题意及等比数列的性质得 ，
即 ，则 ，
故 有12项．故答案为：12.
9．毕达哥拉斯树是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的
图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被成为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”.毕
达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为 的正方形的一边作为斜边，向外做等腰直角三角
形，再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得到 个新的小正方形，实现了
一次生长，再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，设第 次生长得到
的小正方形的个数为 ，则数列 的前 项和 ___________.
【答案】 ##
【分析】分析可知数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和
公式可求得 .
【详解】由题意可得 且 ，所以，数列 为等比数列，且该数列的首项和
公比均为 ，因此， .故答案为： .
10．在《庄子•天下》中提到“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比
数列的思想，体现了古人的智慧．如图，正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边
的中点E，F，G，H，作第二个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，
K，L，作第三个正方形IJKL，依此方法一直继续下去，记第一个正方形ABCD的面积为 ，第二个正方形EFGH的面积为 ，…，第n个正方形的面积为 ，则前5个正方形的面积
之和为________．
【答案】31
【分析】根据题意，可知面积的规律是首项为16，公比为 的等比数列，再求和即可.
【详解】 ， ,所以 .
设前5个正方形的面积之和为 ， .故答案为：31.
三、解答题
11．设 是首项为1的等比数列，数列 满足 .已知 ， ， 成等差数列.
(1)求 和 的通项公式；
(2)求 的前n项和 ， 的前n项和 ；
(3)证明： .
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)证明见解析
【分析】（1）由等差数列的性质列方程求得公比 得通项公式 ，代入已知式可得 ；
（2）由等比数列前 项和公式求得 ，用错位相减法求得和 ；
（3）用作差法证明不等式．（1） 是首项为1的等比数列，设其公比为 ，因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）由（1）可得 ，
，①
，②
① ②得 ，
所以 ；
（3）因为 ，
所以 .
12．已知公差为正的等差数列 的前 项和为 ，若 构成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差、等比数列性质列方程组求解 ，再代入等差数列通项公式运
算求解；（2）利用定义判断 为等比数列，并确定其首项与公比，代入等比数列的前
项和公式运算整理即可．
（1）由 为正项等差数列， ，得 ，则 ，
又 构成等比数列，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），所以 ；
（2）由（1）知 ，所以 ，
又因为 ，
所以 是以2为首项，4为公比的等比数列，
所以数列 的前 项和
一、单选题
1．数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ，结合条件即可求出通项公式，注意验证 是否成立
【详解】当 时， ，当 时， ，所以
，而 ，
所以数列 从第二项起是以5为首项，6为公比的等比数列，所以 ，
故选：C．
2．已知正项等比数列 的前n项和为 ，前n项积为 ，满足 ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等比数列的通项公式与求和公式求出公比q，进而即可求解
【详解】设公比为q（显然 ），
由 得 ，
即 ，得 或 （舍去），
所以 递增且 ，所以 最小值为 ．故选：C
3．已知数列 满足 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先变形递推公式为 ，判断数列 是等比数列，再利用累乘法求
数列 的通项公式，再利用二次函数的性质求数列的最小值.
【详解】∵ ， ， ，∴ ， ，
∴数列 是首项为 ，公比为4的等比数列，∴ ．
当 时， ，
∵n＝1时， ，∴ ． ，
∴当n＝3或n＝4时， 取得最小值，最小值为 .故选:D
4．在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，
然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，得到
如图所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】设第n个正三角形的边长为 ，根据已知条件可得 ，由等比数列的定义
写出通项公式并求 ，即可得最小的正三角形的面积.
【详解】设第n个正三角形的边长为 ，则 ，由勾股定理知 ，
所以 ，又 ，则 ，
所以 是首项为243，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ，
所以 ，故最小的正三角形的面积为 .故选：A
5．若等比数列 中的 ， 是方程 的两个根，则
等于（ ）
A． B．1011
C． D．1012
【答案】C
【分析】利用韦达定理、等比数列的性质以及对数的运算性质进行求解.
【详解】因为等比数列 中的 ， 是方程 的两个根，
所以 ，根据等比数列性质知，
，
因为 ，于是 ，
则 =
= .故A，B，D错误.故选：C.
6．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的，明万历十二年(公元1584
年)，他写成《律学新说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在1和2之
间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为
M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是（ ）
A．插入的第8个数为 B．插入的第5个数是插入的第1个数的
倍
C． D．
【答案】D【分析】设该等比数列为 ,公比为q,利用通项公式求出 .
对于A：利用通项公式直接求出 ，即可判断；对于B：利用通项公式直接求出
，即可判断；
对于C：先求出 ，利用分析法证明；对于D：由 ，利用放缩法证
明出 ，即可得到 ，即可判断.
【详解】设该等比数列为 ,公比为q,则 ,故 .
对于A：插入的第8个数为 .故A正确；
对于B：插入的第5个数为 ，插入的第1个数为 ，所以
.故B正确；
对于C： .
要证 ，即证 ，即证 ，即证 ，即证 ，
而 成立，故C正确；
对于D： .
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，即
，所以 ,故D错误.故选：D
7．已知 ，数列 满足 ，且对一切 ，有 ，则（ ）
A． 是等差数列 B． 是等比数列
C． 是等比数列 D． 是等比数列
【答案】D
【分析】根据函数解析式列出数列递推关系式，再结合等差数列和等比数列的定义逐项验
证选项可得出答案.
【详解】由题意知 ，所以 ，所以 ，，所以 是等比数列，且 ,
所以 ，选项A，B，C错误，选项D正确.故选：D．
二、填空题
8．提丟斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是1766年由
德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，
即数列 ：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n颗行星与太阳
的平均距离（以天文单位A．U.为单位）.现将数列 的各项乘以10后再减4得数列 ，
可以发现 从第3项起，每一项是前一项的2倍，则 ______， ______.
【答案】
【分析】由题意可写出数列 的前面几项，确定数列从第二项起是等比数列，由此可求
得其通项公式；继而可得 的通项公式，求得 .
【详解】数列 各项乘10再减4得到数列 ：0，3，6，12，24，48，96，192，…，
故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：； ；
9．数列 是以a为首项、q为公比的等比数列，数列 满足
，数列 满足 ，若
为等比数列，则 __________．
【答案】2
【分析】讨论 时，求出 ， 的表达式，利用等比数列性质判断不合题意，当 时，
求出 的表达式，利用等比数列性质可求得a,q的值，可得答案.
【详解】当 时， ，
，
则 ， ， ，
因为 为等比数列，所以 ，即 ，
即 ，此时无解；当 时， ，
，
因为 为等比数列，所以 ， ，
则 ， ，所以 ．故答案为：2
10．已知函数 （k为常数， 且 ）．下列条件中，能使数列 为等
比数列的是______（填序号）．
①数列 是首项为2，公比为2的等比数列；
②数列 是首项为4，公差为2的等差数列；
③数列 是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．
【答案】②
【分析】由题意先求出 的通项公式，再由等比数列的定义即可判断①②③；
【详解】①中， ，即 ，得 ，
∵ 常数，∴数列 不是等比数列；
②中， ，即 ，得 ，且 ，
∵ ，且 为非零常数，∴数列 是以 为首项、 为公比的等比数列；
③中， ，即 ，得 ，
∵ 常数，∴数列 不是等比数列．故答案为：②.
三、解答题
11．已知公差为 的等差数列 和公比 的等比数列 中， ，
.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)令 ，抽去数列 的第3项､第6项､第9项､.....第 项､....，余下的项
的顺序不变，构成一个新数列 ，求数列 的前2023项和 .
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由题意，列出关于公差 与公比 的方程组，求解方程组，然后根据等差、
等比数列的通项公式即可得答案；
（2）由（1）可得 ，然后分 和 进行讨论，利用分组
求和法及等比数列的前n项和公式即可求解.
（1）
由题意， ，整理得 ，解得 或 ，
因为公比 ，所以 ，则 ，
所以 ， ；
（2）
由（1）可得 ，
当 时，
，
当 时，
，
故 .
12．若数列 的前 项和 满足： .
(1)证明：数列 为等比数列并求出通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 对 恒成立，求实数 的
取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）利用 求得 的递推关系，再由等比数列的定义证明，由等比数列通项公式得结论；
（2）由裂项相消法求得和 ，确定 的取值范围，然后解相应不等式可得．
（1）
，①
当 ，
当 ，②
①－②： ，即：
又 对 都成立，所以 是等比数列，
；
（2）
，
对 都成立
或 ，
实数 的取值范围为 ．
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题（文））已知等比数列 的前3项和为168， ，则
（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】设等比数列 的公比为 ，易得 ，根据题意求出首项与公比，再根据
等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列 的公比为 ，
若 ，则 ，与题意矛盾，
所以 ，
则 ，解得 ，
所以 .故选：D.
2．（2021·浙江·高考真题）已知 ，函数 .若
成等比数列，则平面上点 的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
【答案】C
【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方
程.
【详解】由题意得 ，即 ，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以 或 ，
其中 为双曲线， 为直线.故选：C.
3．（2021·全国·高考真题（文））记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】根据题目条件可得 ， ， 成等比数列，从而求出 ，进一步
求出答案.
【详解】∵ 为等比数列 的前n项和，
∴ ， ， 成等比数列∴ ，
∴ ，∴ .故选：A.
二、填空题
4．（2013·重庆·高考真题（理））已知 是等差数列， ，公差 ， 为其前n
项和，若 ， ， 成等比数列，则 ________．
【答案】
【分析】根据 ， ， 成等比数列以及 列出关于 的方程，解出 ，再根据
计算答案即可
【详解】因为 ， ， 成等比数列
，即
解得 或 （舍）
故答案为：
三、解答题
5．（2022·全国·高考真题（理））记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到
，从而得证；
（2）由（1）及等比中项的性质求出 ，即可得到 的通项公式与前 项和，再根据二
次函数的性质计算可得．
（1）
解：因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，所以 是以 为公差的等差数列．
（2）
解：由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时 ．
6．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项
和为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取
值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前 项和公式化简条件，求出 ，再求 ；
(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求 的范围.
（1）
因为 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
（2）
因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，
，
，由已知方程 的判别式大于等于0，
所以 ，
所以 对于任意的 恒成立，
所以 对于任意的 恒成立，
当 时， ，
当 时，由 ，可得
当 时， ，
又
所以
7．（2022·全国·高考真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）设数列 的公差为 ，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得 ，即可解出．
（1）设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，
所以原命题得证．
（2）由（1）知， ，所以 ，即 ，
亦即 ，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合
中的元素个数为 ．
8．（2022·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且
．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；(3)求 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得 ，进而由并项求和可得
，再结合错位相减法可得解.
（1）
设 公差为d， 公比为 ，则 ，
由 可得 （ 舍去），
所以 ；
（2）
证明：因为 所以要证 ，
即证 ，即证 ，
即证 ，
而 显然成立，所以 ；
（3）
因为
，
所以
，
设
所以 ，
则 ，作差得
，
所以 ，
所以 .
