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专题 18.15 平行四边形全章专项复习【5 大考点 14 种题型】
【人教版】
【考点1 平行四边形】..............................................................................................................................................2
【题型1 由平行四边形的性质求值】......................................................................................................................3
【题型2 由平行四边形的性质证明结论】................................................................................................................7
【题型3 平行四边形的判定】..................................................................................................................................11
【题型4 平行四边形的判定与性质的综合应用】.................................................................................................16
【考点2 菱形】........................................................................................................................................................23
【题型5 菱形性质的应用】....................................................................................................................................24
【题型6 菱形性质与判定的综合应用】................................................................................................................28
【题型7 菱形中的动点问题】................................................................................................................................34
【考点3 矩形】........................................................................................................................................................41
【题型8 矩形的性质与判定的综合应用】...........................................................................................................42
【题型9 矩形中的折叠问题】................................................................................................................................47
【考点4 正方形】....................................................................................................................................................54
【题型10 正方形性质的应用】..............................................................................................................................55
【题型11 几种特殊平行四边形的综合】..............................................................................................................60
【考点5 三角形的中位线、直角三角形斜边中线】...........................................................................................70
【题型12 与三角形中位线有关的求解问题】.......................................................................................................70
【题型13 与三角形中位线有关的证明问题】.......................................................................................................74
【题型14 直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半】.....................................................................................79
【考点1 平行四边形】
1.平行四边形的性质
性质 数学语言 图示
边 平行四边形的对
四边形 是平行四边形，
边相等
角 平行四边形的对
四边形 是平行四边形，
角相等
对角线 平行四边形的对
四边形 是平行四边形，
角线互相平分【拓展延伸】
（1）证明平行四边形的性质时，一般通过作对角线把四边形转化为三角形来解答.
（2）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了理论依据.
（3）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形.
（4）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形
面积的 ；相邻两个三角形周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值.
【规律方法】
（1）平行四边形的邻角互补；
（2）若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积.
2.平行四边形的判定方法
判定方法 数学语言 图形
两组对边分别平行的四边
形是平行四边形.（定
义） 四边形 是平行四边形.
两组对边分别相等的四边
边
形是平行四边形.
四边形 是平行四边形.
一组对边平行且相等的四 （或 ），
边形是平行四边形.
四边形 是平行四边形.
两组对角分别相等的四边
角 ，
形是平行四边形.
四边形 是平行四边形.
对角线互相平分的四边形
对角线
是平行四边形.
四边形 是平行四边形.
【题型1 由平行四边形的性质求值】
【例1】（24-25八年级·全国·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=60°，
过BC的中点E作EF⊥AB 于点 F，延长FE交DC的延长线于点 G，则DE的长为（ ）．A．❑√19 B．2❑√19 C．8 D．2❑√5
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用平行四边形的性质成为解题的
关键．
由平行四边形的性质可得CD=AB=6,BC=AD=8,AB∥CD，进而得到∠GCE=∠B=60°；再根据
1
中点的定义可得CE=BE=4；然后说明∠G=90°，易得CG= CE=2；再运用勾股定理求得EG=2❑√3，
2
最后再运用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=6,BC=AD=8,AB∥CD,
∴∠GCE=∠B=60°,
∵E是BC的中点,
∴CE=BE=4,
∵EF⊥AB,
∴EF⊥DG,
∴∠G=90°，
1
∴CG= CE=2，
2
∴EG=❑√CE2−CG2=2❑√3,DG=CD+CG=6+2=8，
DE=❑√EG2+DG2=❑√(2❑√3) 2+82=2❑√19．
故选 B．
【变式1-1】（24-25八年级·安徽黄山·期末）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，
AD=AE=BE，∠D=114°，则∠BAC的度数是 ．【答案】22°
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握平行四边形的性质
及等腰三角形的性质是关键；设∠BAC=α；由等腰三角形的性质及三角形外角的性质得∠BEC=2α，
由平行四边形的性质及已知，BE=BC，则有∠BCE=∠DAC=2α，则∠BAD=3α，再由平行线性质
即可求解．
【详解】解：设∠BAC=α；
∵AD=AE=BE，
∴∠EBA=∠BAC=α，
∴∠BEC=∠EBA+∠BAC=2α；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，AD∥BC，AB∥CD，
∴BE=BC，∠DAC=∠BCE，
∴∠BCE=∠BEC=∠DAC=2α，
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=3α；
∵AB∥CD，
∴∠D+∠BAD=180°，
即114°+3α=180°，
∴α=22°，
即∠BAC=22°．
故答案为：22°．
【变式1-2】（24-25八年级·全国·期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若
∠EAF=60°，CF=2cm，CE=3cm，求▱ABCD的周长和面积．
112❑√3
【答案】周长是20cm，面积是 cm2
9【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的特征，勾股定理等；由平行四边形的性质得
AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，由平行线的性质得∠B=∠D=60°，∠BAE=∠DAF=30°，设
DF=x，由直角三角形的特征得AD=2x，由勾股定理得AF=❑√AD2−DF2 =❑√3x，由AD=BE+EC
8
可求x= ，即可求解；掌握平行四边形的性质，直角三角形的特征，勾股定理是解题的关键．
3
【详解】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AEC=90°，∠AFD=∠AFC=90°，
∵∠EAF=60°，
∴∠C=120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，
∴∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°，
∴∠B=∠D=60°，
∴∠BAE=∠DAF=30°，
设DF=x，则AD=2x，
∴ AF=❑√AD2−DF2 =❑√(2x) 2−x2 =❑√3x，
∵CF=2，CE=3，
∴AB=CD=x+2，
x+2
∴BE= ，
2
∵AD=BE+EC，
x+2
∴2x= +3，
2
8
解得：x= ，
3
16 8 14
∴AD=BC=2x= ，AB=CD= +2= ，
3 3 3
8
∴ AF= ❑√3，
3
(16 14)
∴▱ABCD的周长是：2 + =20（cm），
3 314 8 112
面积是：CD⋅AF = × ❑√3 = ❑√3（cm2）．
3 3 9
【变式1-3】（24-25八年级·全国·期末）如图， ▱ABCD的对角线相交于点O， 且AD≠CD， 过点O
作OM⊥AC， 交AD于点M．如果△CDM的周长为18， 那么▱ABCD的周长是 ．
【答案】36
【分析】本题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形与
线段垂直平分线的性质．
由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，又由OM⊥AC，可得AM=CM，然后由△CDM的周长
为18，求得平行四边形ABCD的周长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵OM⊥AC，
∴OM垂直平分线段AC，
∴AM=CM，
∵△CDM的周长为18，
∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=18，
∴平行四边形ABCD的周长是：2×18=36．
故答案为：36．
【题型2 由平行四边形的性质证明结论】
【例2】（24-25八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，
交BC于点M，CF平分∠BCD交BD于点F．
(1)若∠ABC=70°，求∠AMB的度数；
(2)求证：AE=CF．【答案】(1)55°
(2)见解析
【分析】(1)根据平行四边形的性质可得∠BAD=180°−∠ABC=110°，根据AM平分∠BAD可得
∠DAM=55°，根据AD∥BC可得∠AMB=55°；
1
(2)根据平行四边形的性质可得∠BAD=∠BCD，根据角平分线的定义可知∠DCF= ∠BCD，
2
1
∠BAE= ∠BAD，得到∠BAE=∠DCF，再根据平行四边形的性质可得∠ABE=∠CDF，利用ASA
2
可证△ABE≅△CDF，根据全等三角形对应边相等可证AE=CF．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，
∴∠BAD=180°−70°=110°，
又∵AE平分∠BAD，
1
∴∠DAM=∠BAM= ∠BAD=55°
2
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AMB=∠DAM=55°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，
又∵CF平分∠BCD，AE平分∠BAD，
1 1
∴∠DCF= ∠BCD，∠BAE= ∠BAD，
2 2
∴∠BAE=∠DCF，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
{∠ABE=∠DCF
)
AB=CD ，
∠BAE=∠DCF
∴△ABE≅△CDF，
∴AE=CF．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分；全等三角形的对应角相等、对应边
相等．
【变式2-1】（24-25八年级·陕西西安·期中）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD、BC上，且
AE=CF，连接EF，AC交于点O．求证：OE=OF．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，利用AAS证得
△AEO≌△CFO（AAS）后即可证得结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
在△AEO和△CFO中，
{∠AOE=∠COF
)
∠AEO=∠CFO
AE=CF
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE=OF．
【变式2-2】（24-25八年级·陕西汉中·期末）如图，在▱ABCD中，连接AC，延长AC至点E，延长CA
至点F，使AE=CF，连接DF、BE．求证：∠F=∠E．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，由四边形ABCD是平行四边形，得到
AD=BC，AD∥BC，进一步得到∠DAF=∠BCE，由AE=CF，得到AF=CE，证明
△DAF≌△BCE，即可得到∠F=∠E，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠DAF=∠BCE，
∵AE=CF，
∴AF=CE，
{
AD=BC
)
∵ ∠DAF=∠BCE ，
AF=CE
∴△DAF≌△BCE(SAS)，
∴∠F=∠E．
【变式2-3】（24-25八年级·海南省直辖县级单位·期末）如图1，在平行四边形ABCD中，
BE=DF，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．
(1)求证：△ABE≌△ADF
(2)连接BD，BD与AC交于点O，求证：AC⊥BD．
(3)若AB=5，AC=6，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)24
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知
识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得∠B=∠D，再由AE⊥BC，AF⊥CD，可得
∠AEB=∠AFD=90°，再证明△ABE≌△ADF即可；
（2）由全等的性质可得AB=AD，从而得出平行四边形ABCD是菱形，最后由菱形的性质可得结论；
1
（3）由菱形的性质得AO= AC=3，BD=2BO，BD⊥AC，再由勾股定理得BO=4，最后利用菱形
2
的性质求出面积即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
在△ABE和△ADF中，
{
∠B=∠D
)
BE=DF ，
∠AEB=∠AFD
∴△ABE≌△ADF(ASA)；
（2）证明：由（1）得△ABE≌△ADF，
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；
（3）解：∵平行四边形ABCD是菱形，
1
∴AO= AC=3，BD=2BO，BD⊥AC，
2
在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO=❑√AB2−AO2=❑√52−32=4，
∴BD=2BO=2×4=8，
1 1
∴S = AC·BD= ×6×8=24．
四边形ABCD 2 2
【题型3 平行四边形的判定】
【例3】（24-25八年级·贵州毕节·期末）四边形 ABCD中AB∥CD，∠ABC=∠ADC．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)E是BC上一点，连接DE，F在DE上，连接AF、CF，AF=CF，∠DAF=∠DFC，求证：
CE=FD；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质．
（1）依据题意，由AB∥CD，从而∠ABC+∠BCD=180°，又有∠ABC=∠ADC，进而∠ADC+∠BCD=180°，故有AD∥BC，从而可以得出结论；
（2）依据题意，分别作FG⊥AD于点G，CH⊥DE于点H，由题意先证明△AFG≌△FCH，再证
△ECH≌△DFG，进而可以得出结论．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）证明：分别作FG⊥AD于点G，CH⊥DE于点H，则∠AGF=∠FHC=90°，
∵∠DAF=∠DFC，∠AGF=∠FHC=90°，AF=FC，
∴△AFG≌△FCH(AAS)，
∴FG=CH，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠GDF=∠HEC，
又∵∠DGF=∠EHC=90°，
∴△ECH≌△DFG(AAS)．
∴CE=FD．
【变式3-1】（24-25八年级·贵州毕节·期末）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．
(1)如图1，若AB=CD，∠BAC=∠DCA，求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)在（1）的条件下，将对角线AC绕点O顺时针旋转一个角度a(0
