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专题18.15 矩形（直通中考）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·湖南·统考中考真题）一技术人员用刻度尺（单位： ）测量某三角形部件的尺寸．如图
所示，已知 ，点D为边 的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，矩形 的对角线相交于点 ，下列结论一定正确的是
（ ）
A． 平分 B． C． D．
3．（2023·上海·统考中考真题）在四边形 中， ．下列说法能使四边形
为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图．在 中， ， ， ，
，点 是 边的中点，则 （ ）
A． B． C．2 D．15．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在矩形 中，点E为 延长线上一点，F为 的中
点，以B为圆心， 长为半径的圆弧过 与 的交点G，连接 ．若 ， ，则
（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
6．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 ，然后向左扭
动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是（ ）
A．四边形 由矩形变为平行四边形 B．对角线 的长度减小
C．四边形 的面积不变 D．四边形 的周长不变
7．（2023·河北·统考中考真题）如图，在 中， ，点M是斜边 的中点，以 为
边作正方形 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．12 D．16
8．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，
径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合右图，其大意是：今有圆形材质，直径 为25寸，
要做成方形板材，使其厚度 达到7寸．则 的长是（ ）A． 寸 B．25寸 C．24寸 D．7寸
9．（2022·山东济南·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于 的长为
半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，
以下结论错误的是（ ）
A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB
10．（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，
点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中
一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（
）
A．当 时，四边形ABMP为矩形
B．当 时，四边形CDPM为平行四边形
C．当 时，
D．当 时， 或6s二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023下·福建福州·八年级统考期中）在 中， ，则 边上的中
线 ．
12．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图， 为 斜边 上的中线， 为 的中点．若
， ，则 ．
13．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）矩形 的对角线 ， 相交于点 ，点 在矩形
边上，连接 ．若 ， ，则 ．
14．（2022下·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）如图，矩形 的对角线相交于点O，过点O
的直线交 ， 于点E，F，若 ， ，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，在 和 中， ， 、 、
分别为 、 、 的中点，若 ，则 ．
16．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ，点 ，
分别在 ， 上，将 沿直线 翻折，点 的对应点 恰好落在 上，连接 ，若
，则 的长为 ．17．（2022·山东潍坊·中考真题）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸
的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为 ．
18．（2022·四川自贡·统考中考真题）如图，矩形 中， ， 是 的中点，线段
在边 上左右滑动；若 ，则 的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·广西·统考中考真题）如图，在 中， ， ．
（1）在斜边 上求作线段 ，使 ，连接 ；
（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）若 ，求 的长．
20．（8分）（2023·山东青岛·统考中考真题）如图，在 中， 的平分线交 于点E，的平分线交 于点F，点G，H分别是 和 的中点．
（1）求证： ；
（2）连接 ．若 ，请判断四边形 的形状，并证明你的结论．
21．（10分）（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，在平行四边形 中， 为线段 的中点，
连接 ， ，延长 ， 交于点 ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求四边形 的面积．
22．（10分）（2022·四川巴中·统考中考真题）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长
交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG．
（1）求证： ABE≌ FCE；
（2）若AD=△2AB，求△证：四边形DEFG是矩形．23．（10分）（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，连接CE并
延长，交DA的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△BEC．
（2）若CD＝4，∠F＝30°，求CF的长．
24．（12分）（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，将矩形纸片 折叠，使点B与点D重合，
点A落在点P处，折痕为 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．参考答案：
1．B
【分析】由图求得 的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
解：由图可知 ，
在 中， ，点D为边 的中点，
,
故选：B．
【点拨】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质．
2．C
【分析】根据矩形的对角线相等，以及矩形与菱形性质的区别判断即可．
解：由矩形 的对角线相交于点 ，
根据矩形的对角线相等，
可得 ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的性质．
3．C
【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．
解：A： ，
为平行四边形而非矩形
故A不符合题意
B： ，为平行四边形而非矩形
故B不符合题意
C：
∴ ∥
四边形 为矩形
故C符合题意
D：
不是平行四边形也不是矩形
故D不符合题意
故选：C ．
【点拨】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上
知识并灵活运用是解题的关键．
4．A
【分析】根据勾股定理可先求得 的长度，根据直角三角形的斜边上的中线与斜边的数量关系，可
求得 的长度，根据三角形的中位线定理可求得答案．
解：∵ ，
∴ 为直角三角形．
∴ ．
∵点 为 的斜边 的中点，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．故选：A．
【点拨】本题主要考查勾股定理、直角三角形的性质、三角形的中位线定理，牢记勾股定理、直角三
角形的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）、三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于
三角形的第三边，并且等于第三边的一半）是解题的关键．
5．C
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得 ，在 中，利用勾股定理即可求解.
解：∵矩形 中，
∴ ，
∵F为 的中点， ，
∴ ，
在 中， ，
故选：C.
【点拨】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中
线的长等于斜边的一半”是解题的关键.
6．C
【分析】根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可．
解：A、因为矩形框架 向左扭动， ， ，但 不再为直角，所以四边形变
成平行四边形，故A正确，不符合题意；
B、向左扭动框架， 的长度减小，故B正确，不符合题意；
C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C错误，符合题意；
D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，不符合题意，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质、四边形的不稳定性，弄清图形变化前后的
变量和不变量是解答此题的关键．
7．B
【分析】根据正方形的面积可求得 的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边 的长，利用勾
股定理求得 的长，根据三角形的面积公式即可求解．
解：∵ ，∴ ，
∵ 中，点M是斜边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的
一半”是解题的关键．
8．C
【分析】根据矩形的性质，勾股定理求解．
解：由题意知，四边形 是矩形，
在 中，
故选：C．
【点拨】本题考查矩形的性质，勾股定理；由矩形的性质得出直角三角形是解题的关键．
9．D
【分析】根据作图过程可得， 是 的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明 ，
可得 再根据勾股定理可得AB的长，即可判定得出结论．
解：A，根据作图过程可得， 是 的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
B，如图，由矩形的性质可以证明 ，
∵ 是 的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
C，
在 中
故此选项不符合题意．
D，
故此选项符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，解决本题的关
键是掌握基本作图方法．
10．D【分析】计算AP和BM的长，得到AP≠BM，判断选项A；计算PD和CM的长，得到PD≠CM，判断
选项B；按PM=CD，且PM与CD不平行，或PM=CD，且PM∥CD分类讨论判断选项C和D．
解：由题意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°，
A、当 时，AP=10-t=6 cm，BM=4 cm，AP≠BM，则四边形ABMP不是矩形，该选项不符合题意；
B、当 时，PD=5 cm，CM=8-5=3 cm，PD≠CM，则四边形CDPM不是平行四边形，该选项不符合
题意；
作CE⊥AD于点E，则∠CEA=∠A=∠B=90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴BC=AE=8 cm，
∴DE=2 cm，
当PM=CD，且PM与CD不平行时，作MF⊥AD于点F，CE⊥AD于点E，
∴四边形CEFM是矩形，
∴FM=CE；
∴Rt PFM≌Rt DEC（HL），
∴PF△=DE=2，E△F=CM=8-t，
∴AP=10-4-（8-t）=10-t，
解得t=6 s；
当PM=CD，且PM∥CD时，∴四边形CDPM是平行四边形，
∴DP=CM，
∴t=8-t，
解得t=4 s；
综上，当PM=CD时，t=4s或6s；选项C不符合题意；选项D符合题意；
故选：D．
【点拨】此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确地作出解题
所需要的辅助线，应注意分类讨论，求出所有符合条件的t的值．
11．5
【分析】先利用勾股定理求出 的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即
可
解：在 中， ，
∴ ，
∴ 边上的中线 ，
故答案为：5．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半是解题的关键．
12．3
【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出 ，然后利用勾股定理即可得出 ，最后利用三
角形中位线定理即可求解．
解：∵在 中， 为 斜边 上的中线， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，∴
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握直角三角形中斜边上的中线等于
斜边的一半是解题的关键．
13． 或
【分析】根据题意画出图形，分点 在 上和 上两种情况讨论即可求解．
解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
如图所示，当 点在 上时，
∵ ，
∴
如图所示，当点 在 上时，
∵ ，
∴ ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，分类讨论是解题的关键．
14．6
【分析】结合矩形的性质证明 ，可得 与 的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为 的面积进行求解即可．
解：∵四边形 是矩形， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
【点拨】本题考查矩形的性质、全等三家形的判定与性质，根据证明三角形全等，将阴影部分的面积
转化为矩形面积的一半是解题的关键．
15．1
【分析】由直角三角形斜边中线的性质得出AB=2DE，再由三角形中位线的性质可得FG的长；
解：∵Rt ABC中，点E是AB的中点，DE=1，
∴AB=2DE△=2，
∵点F、G分别是AC、BC中点，
∴ ，
故答案为：1
【点拨】本题考查了直角三角形的性质及三角形中位线的性质等知识；熟练掌握中位线定理是解题的
关键．
16．7.5
【分析】在 中，利用勾股定理求出 的长，然后根据 得出 ，再根据折叠的性质可得 ．根据 求得 的长．
解：在 中，
，
， ，
．
，
，
，
．
．
．
．
将 沿直线 翻折，点 的对应点 恰好落在 上，
．
．
故答案为：7.5．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是在直角三角形中根据 通过
推理论证得到 是斜边上的中线．
17．
【分析】判定 AB′D′是等腰直角三角形，即可得出AB′= AD，再根据AB′= AB，再计算即可得到结
△
论．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=∠DAB=90°，
由操作一可知：∠DAB′=∠D′AB′=45°，∠AD′B′=∠D=90°，AD=AD′，
∴ AB′D′是等腰直角三角形，
∴△AD=AD′= B′D′，由勾股定理得AB′= AD，
又由操作二可知：AB′=AB，
∴ AD=AB，
∴ = ，
∴A 纸的长AB与宽AD的比值为 ．
4
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质以及折叠变换的运用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知
识解决问题．
18．
【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截
取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由
勾股定理求出HG'的长，即可求解．
解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取
EF=1，此时GE+CF的值最小，
∴G'E=GE，AG=AG'，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC=2
∴CH∥EF，
∵CH=EF=1，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，
∴AG=AG'=1
∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴ ，
即 的最小值为 ．
故答案为：
【点拨】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF
最小时E，F位置是解题关键．
19．（1）图见详解；（2）
【分析】（1）以A为圆心， 长为半径画弧，交 于点O，则问题可求解；
（2）根据含30度直角三角形的性质可得 ，则有 ，进而问题可求解．
（1）解：所作线段 如图所示：
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即点O为 的中点，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．
20．（1）见分析；（2）矩形，证明见分析
【分析】（1）由平行四边形的性质得出 ， ， ， ，证出
， ，由 证明 ，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出 ， ，证出 ，由已知得出 ，
，即可证出四边形 是平行四边形．
（1）解：证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∵ 和 的平分线 、 分别交 、 于点E、F，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
（2）证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点G、H分别为 、 的中点，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形
∵ ，G为 的中点，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟
练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
21．（1）证明，见分析；（2）【分析】（1）根据平行四边形的性质，得 ，根据平行线的性质，得 ，
；再根据 为线段 的中点，全等三角形的判定，则 ，根据矩形的判定，
即可；
（2）过点 作 于点 ，根据勾股定理，求出 的长，再根据四边形 的面积等于
，即可．
解：（1）∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 为线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 是矩形．
（2）过点 作 于点 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 的面积等于 ，
∵ ， ，
∵点 是对角线的中心，
∴ ，∴ ，
∴平行四边形 的面积为： ．
【点拨】本题考查矩形，平行四边形，全等三角形的知识，解题的关键是矩形的判定和性质，平行四
边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
22．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）由平行四边形的性质推出∠EAB=∠CFE，利用AAS即可判定 ABE≌ FCE；
（2）先证明四边形DEFG是平行四边形， △ △
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，再证明DF=EG，即可证明四边形DEFG是矩形．
∴AB CD，
∴∠EAB=∠CFE，
又∵E为BC的中点，
∴EC=EB，
∴在 ABE和 FCE中，
△ △
，
∴ ABE≌ FCE（AAS）；
（△2）证明△：∵ ABE≌ FCE，
∴AB=CF， △ △
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∴DC=CF，
又∵CE=CG，∴四边形DEFG是平行四边形，
∵E为BC的中点，CE=CG，
∴BC=EG，
又∵AD=BC=EG=2AB，DF=CD+CF=2CD=2AB，
∴DF=EG，
∴平行四边形DEFG是矩形．
【点拨】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平
行四边形的判定与性质，证明 ABE≌ FCE是解题的关键．
23．（1）见分析；（2）△8 △
【分析】（1）先根据矩形性质得出 ，然后证得∠F＝∠BCE，再根据AAS即可证明：
△AEF≌△BEC．
（2）根据矩形的性质得出∠D＝90°，然后根据∠F＝30°得出CF＝2CD即可解答．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∴∠F＝∠BCE，
∵E是AB中点，
∴AE＝EB，
∵∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（AAS）．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵CD＝4，∠F＝30°，
∴CF＝2CD＝2×4＝8，
即CF的长为8．
【点拨】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形，解题的关键是准
确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（1）证明见分析；（2） cm
【分析】（1）利用ASA证明即可；
（2）过点E作EG⊥BC交于点G，求出FG的长，设AE=xcm，用x表示出DE的长，在Rt△PED中，
由勾股定理求得答案．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，
由折叠知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，
∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC，
∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,
∴∠PDE=∠CDF，
在△PDE和△CDF中，
,
∴ （ASA）；
（2）如图，过点E作EG⊥BC交于点G，
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=EG=4cm，
又∵EF=5cm，∴ cm,
设AE=xcm，
∴EP=xcm，
由 知，EP=CF=xcm，
∴DE=GC=GF+FC=3+x，
在Rt△PED中， ,
即 ，
解得， ，
∴BC=BG+GC= （cm）．【点拨】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的
性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．
