专题 18.15 平行四边形全章专项复习【5 大考点 14 种题型】
【人教版】
【考点1 平行四边形】..............................................................................................................................................1
【题型1 由平行四边形的性质求值】......................................................................................................................3
【题型2 由平行四边形的性质证明结论】................................................................................................................4
【题型3 平行四边形的判定】....................................................................................................................................5
【题型4 平行四边形的判定与性质的综合应用】...................................................................................................6
【考点2 菱形】..........................................................................................................................................................7
【题型5 菱形性质的应用】......................................................................................................................................8
【题型6 菱形性质与判定的综合应用】..................................................................................................................9
【题型7 菱形中的动点问题】................................................................................................................................10
【考点3 矩形】........................................................................................................................................................12
【题型8 矩形的性质与判定的综合应用】...........................................................................................................13
【题型9 矩形中的折叠问题】................................................................................................................................14
【考点4 正方形】....................................................................................................................................................16
【题型10 正方形性质的应用】..............................................................................................................................17
【题型11 几种特殊平行四边形的综合】..............................................................................................................18
【考点5 三角形的中位线、直角三角形斜边中线】...........................................................................................20
【题型12 与三角形中位线有关的求解问题】.......................................................................................................20
【题型13 与三角形中位线有关的证明问题】.......................................................................................................21
【题型14 直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半】.....................................................................................22
【考点1 平行四边形】
1.平行四边形的性质
性质 数学语言 图示
边 平行四边形的对
四边形 是平行四边形，
边相等
角 平行四边形的对
四边形 是平行四边形，
角相等
对角线 平行四边形的对
四边形 是平行四边形，
角线互相平分【拓展延伸】
（1）证明平行四边形的性质时，一般通过作对角线把四边形转化为三角形来解答.
（2）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了理论依据.
（3）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形.
（4）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形
面积的 ；相邻两个三角形周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值.
【规律方法】
（1）平行四边形的邻角互补；
（2）若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积.
2.平行四边形的判定方法
判定方法 数学语言 图形
两组对边分别平行的四边
形是平行四边形.（定
义） 四边形 是平行四边形.
两组对边分别相等的四边
边
形是平行四边形.
四边形 是平行四边形.
一组对边平行且相等的四 （或 ），
边形是平行四边形.
四边形 是平行四边形.
两组对角分别相等的四边
角 ，
形是平行四边形.
四边形 是平行四边形.
对角线互相平分的四边形
对角线
是平行四边形.
四边形 是平行四边形.
【题型1 由平行四边形的性质求值】
【例1】（24-25八年级·全国·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=60°，
过BC的中点E作EF⊥AB 于点 F，延长FE交DC的延长线于点 G，则DE的长为（ ）．A．❑√19 B．2❑√19 C．8 D．2❑√5
【变式1-1】（24-25八年级·安徽黄山·期末）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，
AD=AE=BE，∠D=114°，则∠BAC的度数是 ．
【变式1-2】（24-25八年级·全国·期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若
∠EAF=60°，CF=2cm，CE=3cm，求▱ABCD的周长和面积．
【变式1-3】（24-25八年级·全国·期末）如图， ▱ABCD的对角线相交于点O， 且AD≠CD， 过点O
作OM⊥AC， 交AD于点M．如果△CDM的周长为18， 那么▱ABCD的周长是 ．
【题型2 由平行四边形的性质证明结论】
【例2】（24-25八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，
交BC于点M，CF平分∠BCD交BD于点F．(1)若∠ABC=70°，求∠AMB的度数；
(2)求证：AE=CF．
【变式2-1】（24-25八年级·陕西西安·期中）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD、BC上，且
AE=CF，连接EF，AC交于点O．求证：OE=OF．
【变式2-2】（24-25八年级·陕西汉中·期末）如图，在▱ABCD中，连接AC，延长AC至点E，延长CA
至点F，使AE=CF，连接DF、BE．求证：∠F=∠E．
【变式2-3】（24-25八年级·海南省直辖县级单位·期末）如图1，在平行四边形ABCD中，
BE=DF，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．
(1)求证：△ABE≌△ADF
(2)连接BD，BD与AC交于点O，求证：AC⊥BD．
(3)若AB=5，AC=6，求平行四边形ABCD的面积．
【题型3 平行四边形的判定】
【例3】（24-25八年级·贵州毕节·期末）四边形 ABCD中AB∥CD，∠ABC=∠ADC．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)E是BC上一点，连接DE，F在DE上，连接AF、CF，AF=CF，∠DAF=∠DFC，求证：
CE=FD；
【变式3-1】（24-25八年级·贵州毕节·期末）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．
(1)如图1，若AB=CD，∠BAC=∠DCA，求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)在（1）的条件下，将对角线AC绕点O顺时针旋转一个角度a(0<a≤90°)，分别交AD，BC于点
E，F（如图2），求证：四边形BEDF是平行四边形；
(3)如图3，若AC⊥BD，AC=5，BD=12，求AD+BC的最小值．
【变式3-2】（24-25八年级·云南红河·期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB
延长线上，连接ED，且ED=AD，过A作AF⊥AB交ED的延长线于点F，连接BF,CF,CE．
(1)求证：四边形BECF为平行四边形；
(2)若AB=4，求四边形BECF的周长．
【变式3-3】（24-25八年级·全国·期末）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE
平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．
(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；(2)若AB=10，AC=4，求BF的长．
【题型4 平行四边形的判定与性质的综合应用】
【例4】（24-25八年级·云南昭通·期末）如图在平面直角坐标系中，M,N点的坐标分M(m,0)、N(n,0)．
且m,n满足|m+2)+❑√n−4=0，现将线段MN向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到RS，连接
MR,NS．
(1)求m,n的值．
(2)点P是线段NS上的一个动点（不与N,S重合），请找出∠NOP，∠SRP,∠OPR之间的关系，并证
明．
(3)点Q是线段MR上的动点，是否存在Q使四边形OQSN面积最大，如果存在，求出点Q的坐标；如果不
存在，请说明理由．
【变式4-1】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB,DC边
上的中点，连接DE、BF、AF．
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形．
(2)若AF平分∠DAB,BC=3，求EB的长．
【变式4-2】（24-25八年级·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，在等边△ABC中，D、E两点分别在边
BC、AC上，连接BE,AD, BD=CE，以AD为边向右作等边△ADF，连接EF,CF．【初步发现】（1）求证：△CEF为等边三角形；
【深入探究】（2）求证：四边形BDFE为平行四边形；
【拓展延伸】（3）若AE=2,EF=4，求四边形BDFE的面积．
【变式4-3】（24-25八年级·河北廊坊·期末）如图，在▱ABCD中，G，H分别是AC的三等分点，
GE∥BC交AB于点E，HF∥AD交CD于点F．
(1)求证：△AEG≌△CFH；
(2)若EG=2，∠ACB=60°，∠BAC=45°，求AC的长．
【考点2 菱形】
1.菱形：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形.
【注意】（1）菱形必须具备两个条件：①是平行四边形；②是有一组邻边相等.这两个条件缺一不可.
（2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法.
2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性
质，总结见下表.
性质 数学语言 图形
四边形 是菱形，
边 菱形的四条边都相等
.
四边形 是菱形，
菱形的两条对角巷互相
,
对角线 垂直，并且每一条对角
线平分一组对角
对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴
【注意】
（1）菱形的两条对称轴分别是两条对角线所在直线.
（2）菱形的两条对角线互相垂直，且把菱形分成四个全等的直角三角形.把菱形的性质与勾股定理相联
系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线一半的平方和.
（3）如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形.3.菱形的面积
公式由来 文字语言 数学语言 图示
菱形是平行
菱形的面积=底×高.
四边形.
菱形的面
积公式 菱形的对角 菱形的面积=对角线
线互相垂直 长的乘积的一半
【拓展】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.
【题型5 菱形性质的应用】
【例5】（24-25八年级·河北唐山·期末）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN
，MN与AC交于点O，连接BO，若∠OBC=65∘，则∠DAC的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【变式5-1】（24-25八年级·广东湛江·期末）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，DE⊥BC于点E，
交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为
．
【变式5-2】（24-25八年级·重庆沙坪坝·期中）如图，菱形ABCD，对角线AC与BD交于点O，
4
CE⊥AB于点E，F为线段AE上一点，若AC=6,BD=8,AF= AE，则线段EF的长度为
9
【变式5-3】（24-25八年级·四川宜宾·期末）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的
垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．(1)求证：AM=DM；
(2)若菱形ABCD的周长是16，求DF的长．
【题型6 菱形性质与判定的综合应用】
【方法总结】通常解决菱形性质与判定的综合题时,首先应判定相应的四边形是菱形,然后再根据菱形的性
质进行下一步的证明.
【例6】（24-25八年级·湖南益阳·期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线BD的垂直平分线分
别交BD、AD、BC于点O、E、F，
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若∠AEB=62°，求∠BDF的度数．
【变式6-1】（24-25八年级·江苏南京·期中）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，
∠ABC的平分线交AD于点F．若AB=5，AD=10,BF=8，则▱ABCD的面积为 ．
【变式6-2】（24-25八年级·山东德州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，
连接CD，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE、CE相交于点E．(1)判断四边形CEBD的形状并说明理由；
(2)过点D作DF⊥CE于点F，交CB于点G，连接EG．若AB=10，CF=3，求DG的长．
【变式6-3】（24-25八年级·甘肃武威·期末）如图是一张对边平行的纸片，点A，C分别在平行边上，连
接AC．
(1)求作：菱形ABCD，使点A，D落在纸片的同一边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)证明：四边形ABCD是菱形．
(3)在（1）的条件下，AC，BD交于点O，若BC=6，OC=3，求菱形ABCD的面积．
【题型7 菱形中的动点问题】
【方法总结】解决动点问题的思路:
1.动中求静:在运动变化中探索问题的不变性.
2.动静互化:抓住“静”的瞬间,找出导致图形发生改变的特殊时刻,同时在变化过程中寻找不变性及变化规
律.
【例7】（24-25八年级·黑龙江鸡西·期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，四边形ABCO是
菱形，点A的坐标为(−3,4)，点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接
BM．
(1)菱形ABCO的边长为 ；(2)求直线AC的解析式；
(3)动点P从点A出发，沿折线ABC以1个单位长度/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S，点
P的运动时间为t秒．
①求S与t之间的函数关系式；
②在点P的运动过程中，当S=3时，请直接写出t的值．
【变式7-1】（24-25八年级·山东济南·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，
AB=18cm，CD=28cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以
3cm/s的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当四边形PBCQ是平行四边形时，求t的值；
(2)当t=________时，四边形APQD是矩形；若AD=16cm且点Q的移动速度不变，要使四边形APQD能
够成为正方形，则P点移动速度是________cm/s；
(3)在点P、Q运动过程中，若四边形PBQD能够成为菱形，求AD的长度．
【变式7-2】（24-25八年级·广西钦州·期中）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的
一动点，且∠ADC=120°，则MA+MB+MD的最小值是 ．
【变式7-3】（24-25八年级·江苏扬州·期末）如图，在矩形ABCD中，点F是BC上一点，且CF=2BF，
CE⊥AF，垂足为点E，∠BCE=30°．
(1)求证：AE=EF+CF；
(2)若AD=6cm，点P是AD上一动点，以1cm/s的速度从点A运动到点D，问：点P运动多少秒四边形AFCP是菱形？请说明理由．
【考点3 矩形】
1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
【注意】（1）矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.
（2）矩形必须具备两个条件：①是平行四边形；②有一个角是直角.这两个条件缺一不可.
（3）矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的方法.
2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质
（见下表）.
性质 数学语言 图形
矩形的四个角都是直 四边形 是矩形，
角
角
四边形 是矩形，
对角线 矩形的对角线相等
对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴
【注意】
（1）矩形的性质可归结为三个方面.①边：矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直.②角：矩形的四个角都
是直角.③对角线：矩形的对角线互相平分且相等.
（2）矩形的两条对称轴分别是两对对边中点连线所在的直线，对称轴的交点就是对角线的交点.
（3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，这四个三角形的面积相等.
3. 直角三角形斜边上中线的性质
性质 数学语言 主要应用 图示
如图所示，在
中 ，
直角三角形斜边
证 明 线 段 倍
上的中线等于斜
分、相等关系
边的一半
( 或
)
【拓展】该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角
形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形.
4.矩形的判定
判定方法 数学语言 图形
在 中，
有一个角是直角的平行四
，
边形是矩形（定义）
角
是矩形.
有三个角是直角的四边形
在四边形 中，
是矩形，
四边形 是矩形.
在 中，
对角线相等的平行四边形
对角线 ，
是矩形
是矩形
【题型8 矩形的性质与判定的综合应用】
【例8】（24-25八年级·辽宁大连·期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在边BC上，连接
AE，BD交于点F，∠BFE=2∠DBC．
(1)如图1，若AB=BC=AE，则∠DBC的度数为______°
(2)如图2，若∠ABC=90°，AF=5，四边形ABCD的周长为28，求四边形ABCD的面积．
【变式8-1】（24-25八年级·江苏南通·期末）如图，AM∥BN，C为BN上一点．小明利用直尺和圆规完
1
成了以下作图：连接AC，分别以点A，C为圆心，大于 AC长为半径作弧，两弧交于P，Q两点，作直
2
线PQ，交AC于点O，连接BO并延长交AM于点D，连接CD．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)当∠ABC=90°时，在BN上取一点E，使BE=AC，连接DE．若∠BED=75°，求∠DBC的度数．
【变式8-2】（24-25八年级·浙江杭州·期中）如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，AO=CO=10，BO=DO，且AB=12，BC=16．(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若∠ADF:∠FDC=3:2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数．
【变式8-3】（24-25八年级·河南郑州·期末）如图1，四边形ABCD中，点E，点F在对角线AC上，
AF=CE，连接DE，BF，DE=BF，DE∥BF．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)如图2，连接BD交AC于点O，连接BE，若BE平分∠ABD，AC=BD=2AB，BC=6，求△BEC的
面积．
【题型9 矩形中的折叠问题】
【方法总结】解决与矩形相关的折叠问题,主要是利用折叠的性质“折叠前后的图形能够完全重合,折叠前
后的图形对应边相等,对应角相等”.解答此类问题,往往通过图形间的折叠,找出折叠部分与原图形之间线段
或角的联系,从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系.
【例9】（24-25八年级·河南南阳·期末）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙
无重叠的四边形EFGH，EH=3cm，EF=4cm，则矩形ABCD的周长为（ ）
A．18cm B．18.4cm C．19.6cm D．20cm
【变式9-1】（24-25八年级·浙江宁波·期中）如图1，在矩形ABCD中，点P是BC上的点，△ABP沿AP
折叠B点的对应点是M点，延长PM交直线AD于点E．(1)求证：EA=EP；
(2)Q是AD上的点，QD=BP；△CDQ沿CQ折叠D点的对应点是N点，且P、M、N、Q在同一直线上．
AB
①如图2，若M、N互相重合，求 的值；
AD
②若AB=4,MN=4，求BP的长．（自己画草图）
【变式9-2】（24-25八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，
AB＝2❑√3，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为 时，△AB'D是直角三角形．
【变式9-3】（24-25八年级·天津滨海新·期末）如图，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸
片，O为坐标原点，点A(15,0)．点C(0,9)，在边AB上任取一点D，将△AOD沿OD翻折，使点A落在
BC边上，记为点E．
(1)OA的长=______，OE的长=________，CE的长=________，AD的长=________；
(2)设点P在x轴上，且OP=EP，求点P的坐标．
【考点4 正方形】
1.正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
【注意】（1）正方形必须具备三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角.这三个条件缺
一不可.
（2）正方形的四条边都相等，说明正方形时特殊的菱形；正方形的各个角都是直角，说明正方形时特殊
的矩形.即正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形.
2.正方形的性质
正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质.
元素 性质
边 对边平行，四条边都相等
角 四个角都是直角
对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
对称性 是轴对称图形，有四条对称轴
【注意】
（1）矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图所示.
（2）正方形的面积=边长的平方=两条对角线长乘积的一半.
（3）正方形被两条对角线分成四个全等的等腰直角三角形，因此，在正方形中解决问题时常用到等腰三
角形和直角三角形的性质.
3.正方形的判定
1.先证明是矩形，再从矩形出发：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是
正方形.
2.先证明是菱形，再从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方
形.
【注意】（1）由上面的判定方法可以得到判定一个四边形为正方形的一般顺序为：先判定四边形是平行
四边形，再判定该平行四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形.
【题型10 正方形性质的应用】
【方法总结】关于利用正方形的性质进行计算的技巧:
(1)求角:利用正方形的四个角为直角,一条对角线与一边的夹角为45°进行推导计算.
(2)求线段的长:利用正方形的四条边相等,对角线相等且互相垂直平分进行计算.
【例10】（24-25八年级·江苏南京·期中）如图，在正方形ABCD内作等边三角形AED，连接BE，CE，
则∠EBC的度数为（ ）A．15° B．20° C．22.5° D．30°
【变式10-1】（24-25八年级·山东威海·期末）如图，正方形OABC中，点O为原点，点A，C分别在x
轴，y轴正半轴上，对角线AC，BO交于点D，作以下操作：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BO，AB于点E，F两点；
1
②分别以E、F为圆心，以大于 EF的长为半径作弧，两弧交于点G；
2
③作射线BG，交AC于点M，交OA于点N．
若点N的坐标为(2,0)，则点M的坐标为 ．
【变式10-2】（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形
理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积
之和是b平方米，这条小路一共占地（ ）平方米．
A．a+1.5b B．a+2b C．a+2.5b D．a+3b
【变式10-3】（24-25八年级·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一
点，过点P作PM⊥AD于点M，PN⊥AB于点N．(1)求证：四边形PMAN是正方形；
(2)若E是AM上一点，且∠EPA=15°，写出∠MEP的度数．
【题型11 几种特殊平行四边形的综合】
【例11】（24-25八年级·河北唐山·期末）在矩形ABCD中，AB=6,BC=8，G，H分别是AD，BC中
点，，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，
运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
(1)当0≤t<5，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外），说明理由．
(2)若四边形EGFH为矩形，t的值为 ；
(3)若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，则t
的值为 ．
【变式11-1】（24-25八年级·河北邢台·期末）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，E是BC边上
的一个动点（点E不与B、C重合），DF⊥AE，垂足为点F，过点D作DG ∥ AE，交BC的延长线于
点G．
(1)若DF=AB，①求证：四边形AEGD是菱形；②求四边形CDFE的周长；
(2)如图2，AM⊥DG于点M，EN⊥DG于点N，探究：
①当CE为何值时，四边形AFDM是正方形；
②点E在BC边上的运动过程中，四边形AENM的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；
若变化，请说明理由．
【变式11-2】（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形
OABC为矩形，A(0,5)，C(26,0)．点E是OC的中点，动点M在线段AB上以每秒2个单位长度的速度由
点A向点B运动（到点B时停止）．设动点M的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形MOEB是平行四边形？
(2)若四边形MOEB是平行四边形，请判断四边形MAOE的形状，并说明理由；
(3)在线段AB上是否存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若
不存在，请说明理由．
【变式11-3】（24-25八年级·湖南株洲·期中）如图，在菱形ABCD中，AB=10，菱形ABCD的面积为
60，点E从点B出发沿折线B−C−D向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形
其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH．
(1)求菱形ABCD的高．
(2)如图1，点G在AC上.求证：FA=FG．
(3)若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长．【考点5 三角形的中位线、直角三角形斜边中线】
【题型12 与三角形中位线有关的求解问题】
【例12】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，
AC的中点，连接DE，DC，BE，DC与BE相交于点O．若DE=❑√2，BE⊥CD，则四边形BCED的周
长为 ．
【变式12-1】（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，在矩形ABCD中，P,Q分别是BC,DC上的点，
E、F分别是AP、PQ的中点，BC=12，DQ=5，则线段EF的长为 ．
【变式12-2】（24-25八年级·广东汕头·期末）如图，△ABC中，AB=6cm，AC=4cm，点E是BC的中
点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，求线段DE的值．
【变式12-3】（24-25八年级·河南郑州·期中）如图，在正方形ABCD中，AB=4，E，F分别为边AB,BC
的中点，连接AF,DE，点G，H分别为DE,AF的中点，连接GH，则GH的长为【题型13 与三角形中位线有关的证明问题】
【例13】（24-25八年级·陕西渭南·期末）【问题背景】
如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E是AB边的中点，点F是AD边的中点，连接EF并延长
到点G，EF=FG，连接DG．
【初步探究】
（1）如图1，求证：四边形BEGD是平行四边形；
【拓展延伸】
（2）如图2，连接DE、BF、CG，若AC=BF、CD=DF，在不添加任何辅助线的情况下，探究
BD、EG、AD、CG之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【变式13-1】（24-25八年级·陕西汉中·期末）如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是
OB、OC的中点，连接DE、EF、FG、DG．求证：EG与DF互相平分
【变式13-2】（24-25八年级·福建厦门·期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，G，H分别是AD，
BC的中点，E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G，E，H，F．(1)求证：四边形GEHF是平行四边形；
(2)求证：当平行四边形ABCD满足AB⊥BD时，四边形GEHF是菱形．
【变式13-3】（24-25八年级·河北保定·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，
AC=BD，点M、P、N分别是边AB、BC、CD的中点，连接MN，交BD于点E，交AC于点F，Q是
MN的中点，连接PQ．
(1)求证：PQ⊥MN；
(2)判断△OEF的形状，并说明理由．
【题型14 直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半】
【例14】（24-25八年级·甘肃张掖·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线
MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
(1)求证：CE=AD；
(2)当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
【变式14-1】（2024·安徽·模拟预测）如图，矩形ABCD中，点E在AD边上，BE平分∠ABC，F，G分
别是BE，CE的中点，AF=2❑√2，DG=❑√5，则FG的值为（ ）
A．❑√5 B．2❑√2 C．2❑√3 D．3【变式14-2】（2024·浙江宁波·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的
中点，点E，F分别在边AC，BC上，AE=1，将△ADE，△BDF分别沿DE，DF翻折使得A与A′重合，
B与B′重合，若A′E∥B′F，则BF= ．
【变式14-3】（2024·湖南·模拟预测）【问题背景】
已知，在正方形ABCD中，BD为正方形的对角线，O为BD的中点，点E为射线OB上一个动点（不与点
B,O重合），分别过点B,D向直线CE作垂线，垂足分别为点M,N，连接OM,ON．
【猜想感知】
（1）如图①，当点E在线段OB上时，判断△OMN的形状，并说明理由；
【类比探讨】
（2）如图②，当点E在线段OB的延长线上时，试探究线段BM,OM,DN之间的数量关系；
【问题解决】
（3）若，求线段的长．
