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18.2.1 矩形的性质与判定
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
注意：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一
个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
矩形的性质
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
注意：
（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全
全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对
角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为
从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，
矩形的对角线互相平分且相等.
题型1：理解矩形的性质
1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A ． 两 组 对 边 分 别 相 等 B ． 对 角 线 相 等 C ． 两 组 对 边 分 别 平 行D．对角线互相平分
【分析】利用平行四边形的性质和矩形的性质可求解．
【解答】解：矩形的性质有两组对边平行且相等，对角线互相平分且相等，平行四边形的
性质有两组对边平行且相等，对角线互相平分，
故选：B．
【变式1-1】矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，3），则点D坐标为 （﹣
3 ， 3 ） ．
【分析】先在坐标系内描出 A，B，C三点的坐标，然后根据矩形的性质写出 D点坐
标．
【解答】解：在矩形ABCD中A（﹣3，2），C（0，3），B（0，2）．
∴点D的横坐标为﹣3，纵坐标为3．
∴点D的坐标为（﹣3，3）．
故答案为：（﹣3，3）．
【变式1-2】∠A和∠C是矩形ABCD的一组对角，则：①∠A与∠C相等；②∠A与∠C
互补；③∠A是直角；④∠C是直角，以上结论中，正确的有 ①②③④ ．
【分析】本题根据矩形的性质即可求解．
【解答】解：矩形四个角都为直角．∴①∠A与∠C相等；②∠A与∠C互补；③∠A
是直角；④∠C是直角，故①②③④都正确．
故答案为：①②③④．
题型2：利用矩形的性质判定三角形全等
2.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移
到点C，得到△DCE．求证：△ACD≌△EDC．【分析】由矩形的性质得出AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，由
平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，得出AD＝EC，
由SAS即可得出结论；
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，
由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，
∴AD＝EC，
在△ACD和△EDC中， ，
∴△ACD≌△EDC（SAS）；
【变式2-1】已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE
＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．
【分析】由题意可证△AEF≌△ECD，可得 AE＝CD，由矩形的周长为 16，可得 2
（AE+DE+CD）＝16，可求AE的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°
∵EF⊥CE
∴∠CEF＝90°
∴∠CED+∠AEF＝90°
∵∠CED+∠DCE＝90°
∴∠DCE＝∠AEF
∵CE＝EF，∠A＝∠D，∠DCE＝∠AEF
∴△AEF≌△DCE
∴AE＝DC
由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16 且DE＝2
∴2AE＝6∴AE＝3
【变式2-2】如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．求证：AE＝BE．
【分析】利用矩形的性质证得△ADE≌△BCE后即可证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°，
∵E为CD边上的中点，
∴DE＝CE，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE＝BE．
题型3：矩形的性质与求角度
3.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于（
）
A．70° B．60° C．80° D．45°
【分析】由矩形的性质可得∠EAG＝∠DAB＝90°，CD∥AB，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．
∴∠FGA＝∠DAB＝90°，CD∥AB，
∴∠DGA＝∠BAG＝20°，
∴∠DGF＝90°﹣∠DGA＝90°﹣20°＝70°．
故选：A．
【变式3-1】用两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，一把直尺压住射线 OB交射线
OA于点M，另一把直尺压住射线 OA交第一把直尺于点P，作射线OP．若∠BOP＝
28°，则∠AMP的大小为（ ）A．46° B．52° C．56° D．62°
【分析】由长方形直尺可得MP∥OB，再根据作图过程可知OP平分∠AOB，进而可得
∠AMP的度数．
【解答】解：∵OP平分∠AOB，
∴∠MOB＝2∠BOP＝56°，
由长方形直尺可知：MP∥OB，
∴∠AMP＝∠MOB＝56°，
故选：C．
【变式3-2】如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若
∠E＝70°，则∠BAC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】连接BD，交AC于O，由矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OC＝ AC，OB＝
OD＝ BD，AC＝DB，则OA＝OB，得∠BAC＝∠OBA，再证BE＝BD，由等腰三角形
的性质得∠BDE＝∠E＝70°，则∠DBE＝50°，即可求解．
【解答】解：连接BD，交AC于O，如图：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，AC＝DB，
∴OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∵BE＝AC，
∴BE＝BD，
∴∠BDE＝∠E＝70°，
∴∠DBE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BAC＝∠OBA＝90°﹣40°＝50°，
故选：C．
题型4：矩形的性质与求线段
4.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长
为（ ）
A．4 B．4 C．3 D．5
【分析】由矩形对角线性质可得 AO＝BO，又∠AOB＝60°，可证△OAB为等边三角
形，得DC＝AB，即可得解．
【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝ ＝4，
即△OAB为等腰三角形，
又∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形．
故AB＝BO＝4，
∴DC＝AB＝4．
故选：B．
【变式4-1】如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若
MN＝3，则BD＝ 1 2 ．【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质BD＝2BO进行求解．
【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴BO＝2MN＝6．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2BO＝12．
故答案为12．
【变式4-2】如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD
＝8，则四边形ABPE的周长是 1 8 ．
【分析】由矩形的性质得出∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，由勾股定理求出
AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出BP，证明PE是△ACD的中位线，由三角形
中位线定理得出PE＝ CD＝3，四边形ABPE的周长＝AB+BP+PE+AE，即可得出结
果．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，
∴AC＝ ＝10，
∴BP＝ AC＝5，
∵P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点，
∴AE＝ AD＝4，PE是△ACD的中位线，
∴PE＝ CD＝3，
∴四边形ABPE的周长＝AB+BP+PE+AE＝6+5+3+4＝18；
故答案为：18．
题型5：矩形性质综合
5.如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】由矩形的性质可证明S△PEB ＝S△PFD ，即可求解．
【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．如图：
则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC ＝S△ABC ，S△AMP ＝S△AEP ，S△PBE ＝S△PBN ，S△PFD ＝S△PDM ，S△PFC ＝S△PCN ，
∴S△DFP ＝S△PBE ＝ ×1×3＝ ，
∴S阴 ＝ + ＝3，
故选：A．
【变式5-1】如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的
边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM为平行四边形．
（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，则DM的长为 ．
【分析】（1）在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，可得AD∥BC，AO＝CO，可
以证明△AOM≌△CON可得AM＝CN，进而证明四边形ANCM为平行四边形；
（2）根据MN⊥AC，可得四边形ANCM为菱形；根据AD＝4，AB＝2，AM＝AN＝NC
＝AD﹣DM，即可在Rt△ABN中，根据勾股定理，求出DM的长．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形；
（2）解：在矩形ABCD中，AD＝BC，
由（1）知：AM＝CN，
∴DM＝BN，
∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，
∴平行四边形ANCM为菱形，
∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，
在Rt△ABN中，根据勾股定理，得
AN2＝AB2+BN2，
∴（4﹣DM）2＝22+DM2，
解得DM＝ ．
故答案为 ．
【变式5-2】如图，已知矩形ABCD，延长CB至点E，使得BE＝BC，对角线AC，BD交于
点F，连结EF．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）若BC＝4，CD＝8，求EF的长．
【分析】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝BE，可得结论；
（2）由矩形的性质可得FB＝FC＝FD，可证FG是△BCD的中位线，在Rt△EFG中，
由勾股定理可求EF的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝BE，∴AD∥BE，AD＝BE，
∴四边形AEBD是平行四边形；
（2）过点F作FG⊥BC于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴FB＝FC＝FD，
∴G是BC的中点，
∴FG是△BCD的中位线，
∴ ．
在Rt△EFG中，FG＝4，EG＝6，
∴ ．
直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
注意：
（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三
角形不可使用.
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方
和等于斜边的平方；③直角三角形中 30° 所对的直角边等于斜边的一半 .
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
题型6：直角三角形斜边中线等于斜边的一半
6.直角三角形的两条直角边分别为 5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（
）
A．6 B．6.5 C．10 D．13
【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半即可求解．
【解答】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，
∴斜边＝ ＝13，
∴此直角三角形斜边上的中线的长＝ ＝6.5．
故选：B．
【变式6-1】如图，在△AEC、△BED中，∠AEC＝∠BED＝90°，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点．求证：四边形ABCD是矩形．
【分析】连接 EO，首先根据O为BD和AC的中点，在Rt△AEC中EO＝ AC，在
Rt△EBD中，EO＝ BD，进而得到AC＝BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形
可证出结论．
【解答】证明：连接EO，
∵O是AC、BD的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EO＝ BD，
在Rt△AEC中，∵O为AC中点，
∴EO＝ AC，
∴AC＝BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【变式6-2】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．
（1）求证：△MEF是等腰三角形；
（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 EM＝MC＝ BC，
MF＝MB＝ BC，然后根据根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等边对等角求出∠ABC＝∠MFB，∠ACB＝∠MEC，再根据三角形的内角和
定理求出∠BMF，∠EMC，然后利用平角等于180°列式计算得出∠EMF．
【解答】（1）证明：∵CF⊥AB于F，M为BC的中点，
∴ME＝ BC，
同理MF＝ BC，
∴EM＝FM，
∴△MEF是等腰三角形；
（2）解：∵MF＝MB，
∴∠ABC＝∠MFB＝50°，
同理∠ACB＝∠MEC＝60°，
∴∠BMF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∠EMC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠FME＝180°﹣80°﹣60°＝40°．
【变式6-3】如图，BD是△ABC的角平分线，点E在边AB上，且DE∥BC，AE＝BE．
（1）若BE＝5，求DE的长；
（2）求证：AB＝BC．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到
∠BDE＝∠DBC，求得∠EBD＝∠EDB，根据等腰三角形的判定定理得到DE＝BE＝5；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ADE，根据三角形的内角和定理得到∠ADB＝
90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）解：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴DE＝BE＝5；
（2）证明：由（1）知，BE＝DE，
∵AE＝BE，
∴∠A＝∠ADE，
∵∠EBD＝∠EDB，∠A+∠ABD+∠ADE+∠BDE＝180°，
∴∠ADE+∠BDE＝ ×180°＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴AB＝BC．
矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形（对角线互相平分且相等）.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
注意：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四
边形是矩形.
题型7：矩形的判定（三直角）
7.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角
∠CAM的平分线，CE∥AD，交AN于点E．求证：四边形ADCE是矩形．【分析】由在△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边的中线，可得 AD⊥BC，∠BAD＝
∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE＝90°，又由CE⊥AN，
即可证得：四边形ADCE为矩形．
【解答】证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN，
∴∠DAE＝90°，
∵CE∥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
【变式7-1】如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求
证：四边形EFGH是矩形．
【分析】利用三个内角等于90°的四边形是矩形，即可证明．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD，
∴∠HBC＝ ∠ABC，∠HCB＝ ∠BCD，
∴∠HBC+∠HCB＝ （∠ABC+∠BCD）＝ ×180°＝90°，
∴∠H＝90°，
同理∠HEF＝∠F＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
【变式7-2】如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF，CN，DM分别是∠DAB，∠ABC，
∠BCD，∠CDA的角平分线，且相交于点 O，K，H，G，求证：四边形HGOK是矩
形．
【分析】首先根据平行四边形的性质可得∠DAB+∠ABC＝180°，再根据角平分线的性
质可得∠GAB+∠GBA＝ （∠DAB+∠ABC）＝ ×180°＝90°，然后同理可得：∠OKH
＝90°，∠KHG＝90°，∠HGO＝90°，根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形
GHKL是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°．
∵AE，BF分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠GAB+∠GBA＝ （∠DAB+∠ABC）＝ ×180°＝90°．
∴∠GOK＝90°，
同理：∠OKH＝90°，∠KHG＝90°，
∴∠HGO＝90°，∴四边形KHGO是矩形．
题型8：矩形的判定（平行四边形+一个直角）
8.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点，当∠BAC＝90°时，想
一想，四边形AEDF是什么特殊的四边形？证明你的结论．
【分析】根据三角形的中位线定理得到四边形 AEDF的两边分别平行，根据平行四边形
的定义，可知四边形AEDF是平行四边形，又∠BAC＝90°，根据矩形的定义，可知四边
形AEDF是矩形；
【解答】解：∵D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是矩形；
【变式8-1】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC的
外角，DE∥AB交AE于点E．试说明四边形ADCE是矩形．
【分析】首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，进而得到AE∥CD，即
可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形 ADCE是平行
四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．
【解答】证明：如图所示：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠FAE＝∠EAC，
∵∠B+∠ACB＝∠FAE+∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，
∴AE∥CD，
又∵DE∥AB，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE平行且等于BD，
又∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠ADC＝90°，
∴AE平行且等于CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
即四边形ADCE是矩形．
【变式8-2】如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，求证：
四边形EFGH是矩形．
【分析】首先根据已知条件“EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG”推知四边形EFGH是平行
四边形，然后由AC⊥BD可以证得平行四边形EFGH是矩形．
【解答】证明：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
∴EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG，
∴四边形EFGH是矩形．
题型9：矩形的判定（平行四边形+对角线相等）9.如图，在 ABCD中对角线AC，BD相交于点O，∠1＝∠2，试判断四边形ABCD的
形状，并证明你的结论．
▱
【分析】先由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得出 AC
＝2OC，BDE＝2OB，再由∠1＝∠2，根据等角对等边得出OC＝OB，那么AC＝BD，
根据对角线相等的平行四边形是矩形得出 ABCD是矩形．
【解答】解：四边形ABCD是矩形，理由如下：
▱
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OC，BDE＝2OB，
∵∠1＝∠2，
∴OC＝OB，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形．
【变式9-1】如图，已知 ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相
▱
交于O，连接AE，CF．
▱
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形．
【分析】（1）只要证明四边形AECF是平行四边形即可解决问题；
（2）只要证明AC＝EF即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝CE，AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF．
（2）∵∠FOC＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE，
∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴OA＝OC，OE＝OF，
∴AC＝EF，
∴四边形AECF是矩形．
【变式9-2】如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝
2MO．
求证：四边形AMCN是矩形．
【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，可得OM＝ON，可证四边形
AMCN是平行四边形，通过证明MN＝AC，可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵MO＝NO，
∴MN＝2MO，
∵AC＝2MO，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
【变式9-3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．
（1）若DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，求证：AE＝CF；
（2）若DO＝ AC，求证：四边形ABCD为矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出 AD＝CB，AD∥BC，证明△DEA≌△BFC
（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF；
（2）根据平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，由矩形的判定方法解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEA＝∠BFC＝90°，
在△DEA与△BFC中，
，
∴△DEA≌△BFC（AAS），
∴AE＝CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝ BD，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
题型10：矩形的判定综合
10.如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接
AF，BF．
▱
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠ADE＝60°，若AD＝3，求DE的长度．【分析】（1）由平行四边形的性质得到 DC∥AB，DC＝AB，进而得到 DF＝BE且
DF∥BE，根据平行四边形的判定得到四边形DFBE是平行四边形，由DE⊥AB可得结
论；
（2）根据直角三角形的边角关系可求DE的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE且DF∥BE，
∴四边形DFBE是平行四边形．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形DFBE是矩形；
（2）解：∵∠ADE＝60°，DE⊥AB，
∴∠DAE＝30°，
又∵AD＝3，
∴DE＝ AD＝ ，
【变式10-1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行
线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE＝1，菱形ABCD的周长是4 ，求菱形ABCD的面积．
【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且
有一内角为90度即可；
（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°．
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∵菱形ABCD的周长是4 ，
∴CD＝ ，
∴OC＝ ＝2，
∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，
∴菱形ABCD的面积为： AC•BD＝ ×4×2＝4．
【变式10-2】如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝
CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．
【分析】（1）证出∠A＝90°即可得到结论；
（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，
由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，
，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，
∴x2+32＝（9﹣x）2，
解得：x＝4，
∴AQ的长是4．
设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出 y＝
15．
在Rt△CDQ中，CQ＝ ＝5 ．
【变式10-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AB，垂足为
B，BE＝CD，连接CE，DE．
（1）求证：四边形CDBE为矩形；
（2）若AC＝1，∠A＝60°，求DE的长．
【分析】（1）先求出四边形CDBE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；
（2）求出AB长，再根据勾股定理求出BC，即可求出DE．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AB，
∴∠CDB＝90°，CD∥BE，
∵CD＝BE，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∵∠CDB＝90°，
∴四边形CDBE是矩形；
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，由勾股定理得：BC＝ ＝ ，
∵四边形CDBE是矩形，
∴DE＝BC＝ ．
