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18.2.1 矩形的性质与判定
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
注意：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一
个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
矩形的性质
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
注意：
（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全
全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对
角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为
从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，
矩形的对角线互相平分且相等.
题型1：理解矩形的性质
1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A ． 两 组 对 边 分 别 相 等 B ． 对 角 线 相 等 C ． 两 组 对 边 分 别 平 行D．对角线互相平分
【变式1-1】矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，3），则点D坐标为
．
【变式1-2】∠A和∠C是矩形ABCD的一组对角，则：①∠A与∠C相等；②∠A与∠C
互补；③∠A是直角；④∠C是直角，以上结论中，正确的有 ．
题型2：利用矩形的性质判定三角形全等
2.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移
到点C，得到△DCE．求证：△ACD≌△EDC．
【变式2-1】已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE
＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．
【变式2-2】如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．求证：AE＝BE．题型3：矩形的性质与求角度
3.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于（
）
A．70° B．60° C．80°
D．45°
【变式3-1】用两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，一
把直尺压住射线OB交射线OA于点M，另一把直尺压住射线
OA交第一把直尺于点 P，作射线 OP．若∠BOP＝28°，则
∠AMP的大小为（ ）
A．46° B．52°
C．56° D．62°
【变式3-2】如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若
∠E＝70°，则∠BAC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
题型4：矩形的性质与求线段
4.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长
为（ ）
A．4 B．4 C．3
D．5
【变式4-1】如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若
MN＝3，则BD＝ ．【变式4-2】如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD
＝8，则四边形ABPE的周长是 ．
题型5：矩形性质综合
5.如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于
E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【变式5-1】如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的
边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM为平行四边形．
（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，则DM的长为 ．
【变式5-2】如图，已知矩形ABCD，延长CB至点E，使得BE＝BC，对角线AC，BD交于点F，连结EF．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）若BC＝4，CD＝8，求EF的长．
直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
注意：
（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三
角形不可使用.
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方
和等于斜边的平方；③直角三角形中 30° 所对的直角边等于斜边的一半 .
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
题型6：直角三角形斜边中线等于斜边的一半
6.直角三角形的两条直角边分别为 5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（
）
A．6 B．6.5 C．10 D．13
【变式6-1】如图，在△AEC、△BED中，∠AEC＝∠BED＝90°，AC、BD相交于点O，且
O是AC、BD的中点．求证：四边形ABCD是矩形．
【变式6-2】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．
（1）求证：△MEF是等腰三角形；
（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．【变式6-3】如图，BD是△ABC的角平分线，点E在边AB上，且DE∥BC，AE＝BE．
（1）若BE＝5，求DE的长；
（2）求证：AB＝BC．
矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形（对角线互相平分且相等）.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
注意：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四
边形是矩形.
题型7：矩形的判定（三直角）
7.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角
∠CAM的平分线，CE∥AD，交AN于点E．求证：四边形ADCE是矩形．【变式7-1】如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求
证：四边形EFGH是矩形．
【变式7-2】如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF，CN，DM分别是∠DAB，∠ABC，
∠BCD，∠CDA的角平分线，且相交于点 O，K，H，G，求证：四边形HGOK是矩
形．
题型8：矩形的判定（平行四边形+一个直角）
8.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点，当∠BAC＝90°时，想
一想，四边形AEDF是什么特殊的四边形？证明你的结论．【变式8-1】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC的
外角，DE∥AB交AE于点E．试说明四边形ADCE是矩形．
【变式8-2】如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，求证：
四边形EFGH是矩形．
题型9：矩形的判定（平行四边形+对角线相等）
9.如图，在 ABCD中对角线AC，BD相交于点O，∠1＝∠2，试判断四边形ABCD的
形状，并证明你的结论．
▱
【变式9-1】如图，已知 ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相
交于O，连接AE，CF．
▱
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形．【变式9-2】如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝
2MO．
求证：四边形AMCN是矩形．
【变式9-3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．
（1）若DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，求证：AE＝CF；
（2）若DO＝ AC，求证：四边形ABCD为矩形．
题型10：矩形的判定综合
10.如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接
AF，BF．
▱
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠ADE＝60°，若AD＝3，求DE的长度．【变式10-1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行
线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE＝1，菱形ABCD的周长是4 ，求菱形ABCD的面积．
【变式10-2】如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝
CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．
【变式10-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AB，垂足为
B，BE＝CD，连接CE，DE．
（1）求证：四边形CDBE为矩形；
（2）若AC＝1，∠A＝60°，求DE的长．
