八下期末真题百题大通关（184题42题型）（提升版）教师版_初中数学_八年级数学下册（人教版）_期末专项复习-U276_2025版

八下期末真题百题大通关（184 题 42 题型）（提升版） 题型一 求二次根式中的参数 题型二十二 三角形中位线 题型二 二次根式有意义的条件 题型二十三 证明四边形是菱形 题型三 利用二次根式的性质化简 题型二十四 根据菱形的性质与判定求解 题型四 最简二次根式与同类二次根式 题型二十五 根据正方形的性质求解 题型五 二次根式的混合运算 题型二十六 正方形折叠问题 题型六 化简求值 题型二十七 利用平移的性质求解与证明 题型七 分母有理化 题型二十八 正方形折叠问题 题型八 比较二次根式的大小 题型二十九 证明四边形是正方形 题型九 二次根式的应用 题型三十 根据正方形的性质与判定求解与证明 题型十 勾股定理与网格问题 题型三十一 中点四边形 题型十一 勾股定理与折叠问题 题型三十二 （特殊）平行四边形的动点问题 题型十二 勾股定理的证明方法 题型三十三 四边形其他综合问题 题型十三 以弦图为背景的计算题 题型三十四 变量与函数 题型十四 勾股定理的应用 题型三十五 函数的图象 题型十五 勾股定理的逆定理 题型三十六 正比例函数 题型十六 利用平行四边形的性质求解 题型三十七 一次函数 题型十七 利用平行四边形的性质证明 题型三十八 一次函数与方程、不等式 题型十八 证明四边形是平行四边形 题型三十九 选择方案 题型十九 利用平行四边形的判定与性质求解 题型四十 平均数、中位数、众数 题型二十 利用平行四边形性质和判定证明 题型四十一 求方差 题型二十一 平行四边形性质和判定的应用 题型四十二 数据分析中的决策问题 第十六章 二次根式 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程： ． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程： ； ②代数式 的值能否等于7？若能，求出 的值；若不能，请说明理由．【答案】(1) ，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【知识点】运用完全平方公式进行运算、求二次根式中的参数 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设 ，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程 ， 解这个方程，得 ． 经检验， 是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得 ， 即 解得： ， 检验： 时，方程左边 右边， ∴ 不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式 的值等于7，即 ， 移项，得 ， 两边同时平方，得 ， 化简，得 ， 两边同时平方，得 ， ∴该方程无解， ∴代数式 的值不能等于7． 2．（23-24八年级下·全国·期末）若式子 有意义，则x的取值范围是（ ） A． B． C． 且 D． 且 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件分析得出答案，正确把握相关定义是解题关键． 【详解】解：由题意可得： ，且 ， ∴ 且 ， 故选：D． 3．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数 ，（其中 为连续的整数），则称无理数的“臻美区间”为 ，如 ，所以 的“臻美区间”为 ． (1)无理数 的“臻美区间”是______． (2)若一个无理数的“臻美区间”为 ，且满足 ，其中 是关于 的二元一次 方程 的一组正整数解，求 的值． (3)实数 满足如下关系式： ，求 的算 术平方根的“臻美区间”． 【答案】(1) (2)37 (3) 【知识点】二元一次方程的解、二次根式有意义的条件、无理数的大小估算、利用算术平方根的非负性解 题 【分析】（1）先估算 的大小，然后再估算 的大小，然后根据无理数的“臻美区间”进行解答即 可； （2）先根据已知条件，求出满足题意的 ， 的值，从而求出 ， ，然后根据二元一次方程解的定义， 把 、 、 和 的值分别代入 ，求出 即可； （3）先根据二次根式的非负性，求出 ，从而得到 ，再根据偶次方的非负性，列出关于 ， 的两个含有字母参数 的二元 一次方程，从而求出 的值，然后估算 的算术平方根的大小，求出 的“臻美区间”即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 无理数 的“臻美区间”是 ， 故答案为： ； （2）解： 、 为连续的整数， 是关于 ， 的二元一次方程 的一组正整数解， 是正整数， ，一个无理数的“臻美区间”为 ， ， ， 当 ，即 时， 不存在，舍去； 当 ，即 时， 不满足不等式 ，舍去； 当 ，即 时， 满足不等式 ，则 ； 当 ，即 时， 不存在，舍去； 满足题意的 ， 的值为 ， ，则 ； （3）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ①， ②， ① ②得 ，则 ，即 ，解得 ， ，即 ， 的算术平方根的“臻美区间”为 ． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算和新定义，涉及二元一次方程的解、非负数的性质-算术平方根、二 次根式有意义的条件、非负数的性质-偶次方、估算无理数的大小等知识，解题关键是熟练掌握正确估算无 理数的大小和理解新定义的含义． 4．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若关于x的方程 存在整数解，则正整数m的 所有取值的和为 ． 【答案】15 【知识点】二次根式有意义的条件、无理方程 【分析】本题考查了方程的整数解问题，由题意 ，令 ，则 ，可得，由m是正整数， 且 整数，推出 时， ， 时， ，由此即可解决问题．解决本题巧妙运用整数的特点及在分数计算中整数的倍数关系求解，令 从而使得用 表示 的代数式不含根式是解题的关键． 【详解】解：由题意 ，令 ，则 ， ∴ ， ∵m是正整数， 且 整数， ∴ 时， ， 时， ， ∴正整数m的所有取值的和为15， 故答案为：15． 5．（23-24八年级下·河南安阳·期末） 为自然数，且 是大于0小于4的整数，那么 的值可能是 ．（写出一个即可） 【答案】9或14或17（写出一个即可） 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了对二次根式的定义的应用，根据二次根式的定义求出 ，在此范围内要使 是整数， 只能是2或9或14或17或18，求出即可． 【详解】解： 要使 有意义， 必须 ， 即 ， 是整数， 只能是2或9或14或17或18，对应的 的值是4或3或2或1或0， ∵ 是大于0小于4的整数 只能是9或14或17， 故答案为：9或14或17． 6．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，点 满足 ．(1)求点A的坐标． (2)如图，将线段 沿x轴向右平移6个单位长度后得到线段 （点O与点B对应），在线段 上取点 ，当 时，求D点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】坐标与图形、二次根式有意义的条件 【分析】此题考查的是二次根式的条件、坐标与图形的变化等知识， （1）根据二次根式的非负性质可得答案； （2）设 的坐标为 , 由平移可得 ，然后三角形和平行四边形的面积公式可得答案. 【详解】（1） ， ， ， ∴ ； （2）设 的坐标为 , 由平移可得 , ， ， ， ， ， ∵ , ， ， ． 7．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知 ， 为实数， ，那么 的值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简【分析】本题主要考查利用二次根式的性质化简．根据已知条件分情况讨论，当 ， 或 ， 时，直接利用二次根式的性质化简，再整体代入 即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴分情况讨论， 当 ， 时， ∴ ； 当 ， 时， ∴ ， 综上， 的值为 ． 故选：D． 8．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如果 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的意义，熟练掌握二次根式是解题的关键．根据 得到 ，即可得到答案． 【详解】解： ， ， 解得 ， 故选D． 9．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像 ，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复 合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如： ， 再如： ， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若 ，且 为正整数，求 的值．【答案】(1) (2) (3) 或 ． 【知识点】复合二次根式的化简、利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合 、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为： （2） ； 故答案为： （3）∵ ∴ ， ∴ ，， ∴ 又∵ 、n为正整数， ∴ ，或者 ， ∴当 时， ； 当 时， ． ∴k的值为： 或 ． 10．（23-24八年级下·贵州安顺·期末）阅读理解：若 ， ，由 ，得 ， 当且仅当 时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值． 例如：已知 ，求式子 的最小值． 解：令 ， ，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题：(1)当 时，当且仅当 ______时，式子 的最小值为______（直接写出答案）； (2)如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆 周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ 【答案】(1) ， (2)长为10米，宽为5米时，所用的篱笆最短，最短篱笆为20米 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）根据材料提供的信息解答即可． （2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为 米，则平行于墙的一边为 米，则 ， ，所以所用篱笆的长为 米，再根据材料提供的信息求出 的最小值即可． 【详解】（1）解：令 ， ，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6， 故答案为：6． （2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为 米， 则 ， ∴ ， ∴所用篱笆的长为 米， ∵ ，当且仅当 时， 的值最小，最小值为20， ∴ 或 （舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米． 11．（23-24八年级下·云南德宏·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义对各选项判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中 ，不是最简二次根式，故不符合要求； B中 ，不是最简二次根式，故不符合要求； C中 ，是最简二次根式，故符合要求； D中 ，不是最简二次根式，故不符合要求； 故选：C． 12．（23-24八年级下·山东威海·期末）若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 的平方根是 （ ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类二次根式、求一个数的平方根 【分析】本题考查了同类二次根式、平方根，根据同类二次根式的定义得出 、 的值，从而得出 的值， 再求平方根即可得出答案． 【详解】解：∵ 与最简二次根式 是同类二次根式， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的平方根是 ， 故选：B． 13．（23-24八年级下·河北张家口·期末）将式子 （a为正整数）化为最简二次根式后，可以与 合并．写出一个符合条件a的值 ． 【答案】3（答案不唯一） 【知识点】同类二次根式、最简二次根式的判断 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 可以为 ， ， ， ， ∴ 或 或 或 ， 解得： 或 或 或 ， 故答案为： ．14．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）如果两个最简二次根式 与 是同类二次根式，那么 使 有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】同类二次根式、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题 的关键． 先根据同类二次根式的定义列方程求出a的值，代入 ，再根据二次根式的定义列出不等式求解即 可． 【详解】解：∵最简根式 与 是同类二次根式， ∴ ，解得： ， ∵ 有意义， ∴ ，即 ，解得： ． 故答案为： ． 15．（23-24八年级下·云南红河·期末）计算： ． 【答案】0 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算零指数幂，负整数指数幂，二次根据式的乘法，并运用完全 平方公式计算，最后算加减法即可． 【详解】解： ． 16．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ； (2) 【知识点】二次根式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2） 17．（23-24八年级下·山东济宁·期末）计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的加减运算、二次根式的混 合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算． （1）原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果； （2）先利用完全平方公式和平方差公式进行计算，化为最简二次根式，合并即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（23-24八年级下·全国·期末）计算：(1) ； (2) ． 【答案】(1) ； (2) ． 【知识点】二次根式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法、除法和利用完全平方公式展开，再计算加减即可． （2）先化简二次根式，再计算加减，最后做二次根式乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知 ，求下列式子的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值，化简求值、异分母分式加减法、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分式的加法、完全平方公式，正确对所求的式子进行变形是关 键． （1）首先把所求的式子利用完全平方公式变形，然后代入数值计算即可求解． （2）首先把已知的式子进行变形，变形成 的形式，然后代入数值计算即可求解； 【详解】（1）解：∵ ， ∴； （2）解： ． 20．（23-24八年级下·江苏南京·期末）（1） ， ，求代数式 的值． （2）先化简，再求值． ，其中 ， ． 【答案】（1） （2） ， 【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、运用平方差公式 进行运算 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，平方差公式等知识点，能灵活运用二次根式的运算法则进 行计算是解题的关键． （1）先求出 和 的值，再把 变成 ，最后代入求出答案即可； （2）先根据二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则对原式进行化简，然后求出 的值，再代入 原式即可求出答案． 【详解】解：（1） ， ， ， ， ；（2） ， ， ， 当 ， 时， ， 原式 ． 21．（23-24八年级下·陕西西安·期末）先化简，再求值： ，其中 【答案】 ； 【知识点】分式加减乘除混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查分式的混合运算和二次根式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化 简，再把 代入进行计算即可 【详解】解： ； 当 时，原式 22．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知 ，先化简再求的值． 【答案】 ， 【知识点】二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，先根据非负数的性质求出 ，再根据二次 根式乘除法法则把所给代数式化简，再把 代入计算即可． 【详解】解：由题意得 ， 解得 ， 原式 ， 当 ， 时， 原式 23．（23-24八年级下·河南许昌·期末）已知 ，求 的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．将 代入式子即可得到答案． 【详解】解： ， . 24．（23-24八年级下·广东广州·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子， 这样的式子我们可以将其进一步化简， ， ，这种化 简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：(1)化简： ______； ______； (2)矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长； (3)当 时，化简： ． 【答案】(1) ， (2) (3) 【知识点】异分母分式加减法、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 按照二次根式的混合运算法则求解即可 （1）根据分母有理化的步骤进行计算即可． （2）首先求出矩形的另外一边长，再按矩形的周长公式计算即可． （3）把各分母先有理化再进行加减运算． 【详解】（1）解： ， （2）矩形的另外一边长为： 矩形的周长为： ． ∴（3）当 时25．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）阅读材料： 像 两个含有二次根式的代数式相 乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如， 与 、 与 、 与 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时， 利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算： ． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）原式的分子和分母都乘以 解答即可； （2）先将每一项分母有理化，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 26．（23-24八年级下·山东威海·期末）计算下列各题： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 【答案】(1)(2) (3) (4) 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、二次根式的乘除混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可得出答案； （2）先根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （3）将式子变形为 ，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出 答案； （4）先将分母有理化，再计算加减即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 27．（23-24八年级下·江西上饶·期末）【阅读理解】阅读下列材料，然后解答下列问题． 像 ， ， ，两个含有二次根式的代数式相 乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如： 与 ， 与 ， 与 等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中 的根号，请回答下列问题： (1)化简： ； (2)计算： ； (3)计算： ． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的加减法运算，分母有理化，解答的关键是理解清楚分母有理化的方法． （1）利用分母有理化的方法进行运算即可； （2）利用分母有理化的方法进行运算即可； （3）对各分母进行分母有理化运算，从而可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解： ． 28．（23-24八年级下·安徽六安·期末）阅读下面问题： ； ； ； (1)直接写出：① 的值为 ；② 的值为 ； (2)试求 的值． 【答案】(1)① ；② (2)44 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、数字类规律探索，二次根式的混合运算，得出规律，熟练掌 握运算法则是解此题的关键． （1）根据题目中的例子，计算即可得出答案； （2）根据题目中的例子得出 ，结合规律代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：① ； ② ； 故答案为： ； ；（2）解： ， ， ， ， …， ， ∴ ． 29．（23-24八年级下·广西崇左·期末）阅读下面的材料，然后解答问题： ， ， ① ② ． ③ 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 还可以用以下方法化简： ． ④ (1)化简： =______， =______； (2)参照 式化简： ； ③ (3)参照 式化简： ． ④【答案】(1) ， ； (2) ； (3) ． 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查二次根式的分母有理化． （1）参照 式化简即可； （2）参照 式化简即可； ①② （3）参照 式化简即可． ③ ④ 【详解】（1）解： ； 故答案为： ， ； （2） ； （3） ． 30．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）像 ， ，两个含有二次根式的代 数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如 与 ， 与 等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：① ．② ． (2)计算 (3)已知 ， ， ，试比较a，b，c的大小，并说明理 由． 【答案】(1)① ，② (2) (3) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据 ，再计算求解即可；②根据 ，再计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）由题意得 ，同理： ， ，则 ，进而可得 ． 【详解】（1）解：① ， 故答案为： ； ②解： ， 故答案为： ； （2）解： ． （3）解： ；理由如下； ∵ ， ∴ ， 同理： ， ， ∴ ， ∴ ．31．（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得 很好的效果，例如，比较 和 的大小，我们可以把 和 分别平方， ， ，则 ， 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较 ， 大小， （填写 ， 或者 ） (2)猜想 ， 之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2) ，证明见解析 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、比较二次根式的大 小 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是 解题的关键： （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ； 故答案为： ； （2）解：猜想 ，理由如下： ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 32．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在一个矩形中放入面积分别为 和 的两张正方形纸片， 两张正方形纸片不重叠，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的应用【分析】本题考查了二次根式的应用，分别得出两个正方形的边长，进而即可求解． 【详解】解：解：依题意，两个正方形的边长分别为： 和 ， 则阴影部分的面积为 ， 故答案为： ． 33．（23-24八年级下·陕西安康·期末）在一个长为 ，宽为 的长方体塑料容器中装满水，然 后将这个塑料容器内的一部分水倒入一个高为 的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容 器中的水面下降了 ．求圆柱形玻璃容器的底面半径． 【答案】圆柱形玻璃容器的底面半径为 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的应用，由题意得，从塑料容器中倒出的水的体积为 ，设圆柱形 玻璃容器的底面半径为r，利用圆柱的体积公式列方程求解即可． 【详解】解：从塑料容器中倒出的水的体积为： ， 设圆柱形玻璃容器的底面半径为r， 根据题意得 ， 解得 ． 答：圆柱形玻璃容器的底面半径为 ． 34．（23-24八年级下·陕西安康·期末）快递公司为顾客的快递提供纸箱包装服务，现有三款长方体包装纸 箱的高相同，底面规格如表： 型 长 宽 号 小 号 中 号 大 号 已知甲、乙两件长方体礼品底面都是正方形，底面积分别为 ， ，两件礼品的高都小于包装纸 箱的高．若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底 面型号的纸箱?【答案】从节约材料的角度考虑，应选择中号底面型号的纸箱． 【知识点】二次根式的应用、无理数的大小估算 【分析】本题考查了二次根式的应用，无理数的估算，解题的关键是掌握相关的知识．先根据甲、乙两件 礼品的底面积分别求出底面边长，然后与三款包装纸箱的尺寸比较，即可求解． 【详解】解： 甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为 ， ， 甲礼品的底面边长为 ，乙礼品的底面边长为 ． ， ， ， 小号包装纸箱长度尺寸不够，大号包装纸箱长度尺寸偏大，中号包装纸箱长、宽尺寸适中， 从节约材料的角度考虑，应选择中号底面型号的纸箱． 35．（23-24八年级下·广东东莞·期末）我们已经学过一个三角形已知底边长为a，高为h，则这个三角形 的面积为 ，古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积 的公式，即如果一个三角形的三边长分别为 ，则有下列面积公式． 海伦公式： ，其中 秦九韶公式： ． (1)一个三角形的三边长分别为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积； (2)一个三角形的三边长分别为 ， ， ，任选以上一个公式求这个三角形的面积． 【答案】(1) ； (2) ． 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）先由题意得出 ，再根据海伦公式计算即可得出答案； （2）先求出 ， ， ，再由秦九韶公式即可得出答案．【详解】（1）解：由题意得： ， 由海伦公式，得 ； （2）解：∵ ， ， ， ∴ ， ， ， 由秦九韶公式，得 ． 36．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）阅读下面材料： 将边长分别为a， ， ， ，……的正方形面积分别记为 ， ， ， ，……． 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为 的正方形边长是 ； (2)猜想 的结果，并证明你的猜想； (3)令 ， ， ，…， ，且 ，求T的值． 【答案】(1) (2) ，证明见解析 (3) 【知识点】数字类规律探索、二次根式的应用、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的运算中的规律探究，解题的关键是得到 ： （1）根据题意，抽象概括出面积记为 的正方形边长即可； （2）根据已有等式，推导出 的结果，利用平方差公式法因式分解计算求证即可； （3）利用（2）中点的结论，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将边长分别为a， ， ， ，……的正方形面积分别记为 ， ， ， ，…… ∴面积记为 的正方形边长为 ； 故答案为： ；（2）猜想 ，证明如下： ∵ ， ∴ ； （3）∵ ， ∴ ． 37．（23-24八年级下·四川达州·期末）阅读以下材料：如果两个正数 ，即 ，由完全平方式 的非负数性质可得： （当 即 时，取等号）， （当且仅当 时取等号） 结论：对任意两个正数 ，都有 ；上述不等式当且仅当 时等号成立．当这两个正数 的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数 的和的最小值． 例如：当 为正数时，两数 和 均为正数，且 （常数），则有 当且仅 当 即 时取等号 当 时， 有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： (1)已知 为正数，即 ，则当 时， 取到最小值，最小值为 ； (2)当 均为正数，即 时，求函数 的最小值； (3)如图，四边形 的对角线 相交于点 的面积分别是4和9，求四边形 面积的最小值． 【答案】(1)1，2 (2)3. (3) 【知识点】二次根式的应用、利用二次根式的性质化简 【分析】此题考查了二次根式性质和运算的应用，掌握题目提供的结论是解题的关键． （1）对任意两个正数 ，都有 ；上述不等式当且仅当 时等号成立．据此即可进行解答； （2）把函数变形为 ，根据题意进行解答即可； （3）设 ，则 ，得到 ，根据四边形 面积 ，即可得到答案． 【详解】（1）解；当 时， ， 当且仅当 即 时取等号 当 时， 有最小值，最小值为2. 故答案为：1，2 （2）当 时，函数 ， ∵ 当且仅当 即 ，即 时取等号， 当 时， 有最小值，最小值为3. （3）设 ， 由题意可知， ， 则则 ， ∴四边形 面积 ， 当且仅当 时，等号成立， ∴四边形 面积的最小值为 ． 第十七章 勾股定理 38．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在 格点上， 为 的高，则 的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题、用勾股定理解三角形 【分析】根据题意利用割补法求得 的面积，利用勾股定理算出 的长，再利用等面积法即可求得 的长． 【详解】由题可得： ， ， ∴ ， 解得： ， 故选：D． 39．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小 正方形的边长都为1， 的顶点都在格点上．(1) 的长为____________， 的长为____________． (2)在正方形网格中，画出以 为公共边与 全等的所有三角形． 【答案】(1) ， (2)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、画轴对称图形 【分析】此题考查了勾股定理求线段长度，作轴对称图形， （1）根据勾股定理计算可得线段长度； （2）根据轴对称作图即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为 ； ． （2）如图， ， ， 即为所求． ． 40．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，长方形纸片 中， ， ，将它沿对角线 折 叠，使点 落在点 处，则 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题、二次根式的混合运算 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的判定和性质，二次根式的运算：折叠加平行，得到 ，设 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵长方形纸片 ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵折叠， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则： ， 在 中，由勾股定理，得： ， 解得： ， ∴ ； 故答案为： ． 41．（23-24八年级下·甘肃白银·期末）如图，在长方形 中， 是 的中点，将 沿 翻折得 到 ， 交 于点 ，延长 ， 相交于点 ，若 ， ，求 的长． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，连结 ，由E是 的中点，可证明 ，即知 ，设 ，在 中，可得 ，即 可解得答案． 【详解】解：如图，连接 ， 由折叠得， ，是 的中点， ， ∴ 在长方形 中， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， 在 中， ， ， 解得 ， 的长为 ． 42．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代 数学家赵爽根据弦图，利用面积进行证明． 定理表述 （1）请根据图①中的直角三角形叙述勾股定理．（用文字或符号语言） 尝试证明 （2）以图①中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底， 为高的直角梯形（如图②），请你利 用图②，验证勾股定理． 拓展延伸 （3）利用图中②的直角梯形，我们可以证明 ，请将证明步骤补充完整． ∵ ， ______， 在直角梯形 中， ______ （填“＜”或“＞”或“＝”），即______， ， ∴ 【答案】（1）解答见解析部分；（2）证明见解析部分；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角梯形的性质等知识，解题的关键是正确寻 找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题． （1）根据勾股定理解答即可； （2）证明 ，推出 是直角三角形．再结合 ，可得结论； （3）根据 ，构建不等式，解决问题即可． 【详解】（1）解：直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方，如果直角边为 ，斜边为 ，那 么 ． （2）证明：在 和 中， ∴ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形． ∵ ， ∴ ， 即 ， 整理得 ． （3）解：∵ ， ， ， 又∵在直角梯形 中有 ，即 ，， 故答案为： ． 43．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，是 个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正 方形的面积是 ，小正方形的面积是 ，若用 表示直角三角形的两条直角边（ ），请观察图案， 下列式子不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】以弦图为背景的计算题、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，由图可得 ， ，即可判断 ；进 而由完全平方公式可得 ， 即可判断 ；正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图形可得， ， ，故 正确； ∴ ，故 正确； ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故 正确； ∵ ， ∴ ，故 错误； 故选： ． 44．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它 为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，若图中大正方形 的面积为34，直角三角形较短的直角边长 为3，则中间小正方形 的面积为 ．【答案】4 【知识点】以弦图为背景的计算题、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了勾股弦图、正方形的性质等知识点理解勾股定理的内容成为解题的关键． 根据大正方形的面积可得 ，再运用勾股定理可得 ，进而得到 ，最后求小正方形的 面积即可． 【详解】解：∵大正方形 的面积为34， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴中间小正方形 的面积为 ． 故答案为4． 45．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）综合与实践 长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究．如图①底面为正方形 的 长方体盒子， ， ， ．该小组把长方体的两侧面 ， 剪下来，沿着 和 剪开，得到四个全等的直角三角形，拼成如图②所示的“弦图”． 【探究一】 （1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为 ，小正方形 的面积为16．求大正方形 的面积； 【探究二】 （2）根据图②的“弦图”证明勾股定理（写出推理过程）； 【探究三】 （3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不 计），设所用彩色条的长度为l，探究l的最小值（用含有a，b的式子表示），该小组探究如下：将长方体盒子侧面 ， 展开成图③所示的平面图形，连接 ，在 中， ，即l的最小值为 ．上述探究结果是否正确？若不正 确，画图并求出l的最小值． 【答案】（1） ；（2）见解析；（3）不正确； 【知识点】以弦图为背景的计算题、求最短路径(勾股定理的应用)、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，勾股定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握勾股 定理． （1）根据小正方形面积求出 ，再根据含 直角三角形的性质求出 ，再根据勾股定 理求出 ，最后根据正方形面积公式求出结果即可； （2）根据正方形面积公式表示出小正方形 的面积为 ，用大正方形面积减去4个直角三角形面积表 示出小正方形面积为 ，即可证明勾股定理； （3）将长方体盒子侧面 ， 展开成平面图形，求出此时 ，然后再比较大小即可． 【详解】解：（1）∵小正方形 的面积为16， ∴ ， ∵每个直角三角形较小锐角为 ， ∴ ， ∴根据勾股定理得： ， ∴大正方形 的边长为 ， ∴大正方形 的面积为： ． （2）∵小正方形 的边长为c， ∴小正方形 的面积为 ， ∵大正方形 的边长为 ， ∴大正方形 的面积为： ， ∵四个全等的直角三角形的面积为： ； ∴小正方形 的面积可以表示为： ， ∴ ； （3）不正确；理由如下： 将长方体盒子侧面 ， 展开成平面图形，如图所示：连接 ，在 中， ， ∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即l的最小值为 ． 46．（23-24八年级下·陕西安康·期末）2023年8月18日， 世界机器人大会在北京亦庄召开．某科技 公司展示了首款人形通用机器人 ．乐乐爸爸是机器人研发工程师，其中一次机器人 的跑步测试方案 如下：在滑梯上的乐乐从滑梯顶端D处沿着 方向滑下，同时机器人 从乐乐对面的A处向B处跑去， 恰好在点B处与乐乐相遇，并且机器人 的跑步速度与乐乐的下滑速度相同．已知滑梯的高度 米， 滑梯底部与机器人 的出发点之间的距离 米．请问，机器人 跑步多少米与乐乐相遇？ 【答案】5米 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设机器人 跑步x米与乐乐相遇，在 中，利用勾股定理构 建关于x的方程求解即可． 【详解】解：设机器人 跑步x米与乐乐相遇，则 米， 米， ∵机器人 的跑步速度与乐乐的下滑速度相同， ∴ 米， 在 中， ，∴ ， ∴ ， 解得 ， ∴机器人 跑步5米与乐乐相遇． 47．（23-24八年级下·广东潮州·期末）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘 测，得到如下记录表： 测量示意 图 ①测得水平距离 的长为 米． 边的长 测量数据 ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为 米． 度 ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为 米． 实践探究小组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高 度 ．请完成以下任务． (1)已知：如图，在 中， ．求线段 的长． (2)如果小明想要风筝沿 方向再上升 米， 长度不变，则他应该再放出多少米线？ 【答案】(1) 米 (2)8米 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）由勾股定理得， ，根据 ，计算求解即可； （2）风筝沿 方向再上升 米，则 ，由勾股定理得， ，则他应该 再放出 米线，计算求解即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得， ， ∴ （米）， ∴线段 的长为 米． （2）解：风筝沿 方向再上升 米，则 ， 由勾股定理得， ， ∵ ，∴他应该再放出8米线． 48．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央， 出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽 丈，芦苇 生长在 的中点O处，高出水面的部分 尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面 平齐，即 ， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度 ； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现 代符号语言可以表示为：若已知水池宽 ， 芦苇高出水面的部分 ，则水池的深度 可以通过公式 计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2)见解析 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为 尺，在 中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度 ，则得芦苇高度为 ，由题意有： ；由勾股定 理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为 尺， 由题意有： 尺； 为 中点，且 丈 尺， (尺)； 在 中，由勾股定理得： ， 即 ， 解得： ； 即 尺； 答：水池的深度 为12尺； （2）证明：水池深度 ，则芦苇高度为 ，由题意有： ； 为 中点，且 ， ； 在 中，由勾股定理得： ， 即 ， 整理得： ； 表明刘徽解法是正确的． 49．（23-24八年级下·河南开封·期末）如图，一艘轮船向正东方向航行，在 处测得灯塔 在 的北偏东 方向，航行40海里到达 处，此时测得灯塔 在 的北偏东 方向上． (1)直接写出 的度数； (2)小刚想知道轮船行驶到 处时，该轮船距灯塔 的距离，他过 做 于点 ．请帮小刚画出图形 并求 的长． 【答案】(1) (2) 的长为 海里，图见解析 【知识点】与方向角有关的计算题、解决航海问题(勾股定理的应用)、三角形内角和定理的应用、含30度 角的直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理、含 角的直角三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点 并灵活运用，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键． （1）由题意得出 ， ， ， ，求出 ， 的度数， 再利用三角形内角和定理计算即可得出答案； （2）根据题意画出图即可，由题意得出 海里，根据含 角的直角三角形的性质得出 的长， 再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ； （2）解：如图，过 做 于点 ，则 ，由题意得： 海里， 由（1）可得 ， ， ∴ 海里， ∴ 海里， ∴ 海里， ∴ 的长为 海里． 50．（23-24八年级下·重庆巴南·期末）某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮， 经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东 方向和东南方向各修一步道，从 A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测 得 米．（参考数据： ） (1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米） (2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择 路线，小明决定 选择 路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？ 【答案】(1)A、C两地之间距离为1930米 (2)小华先到达C地 【知识点】求河宽(勾股定理的应用)、与方向角有关的计算题、根据等角对等边求边长、含30度角的直角 三角形 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，含30度直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，方位角等知 识，构造直角三角形是解题的关键． （1）连接 ，过D作 于E；分别在 ， 中利用勾股定理求出 ，即可求得结果； （2）设两人速度为1，由（1）的计算可得 的长；由题意得 是等腰直角三角形，由（1）的 结论及勾股定理求得 ，即可求得 ；比较即可谁先到达C地． 【详解】（1）解：如图，连接 ，过D作 于E； 由题意得： ； 在 中，则 ， ， 由勾股定理得： ， 米； 则 米； 在 中， ， 则 米，由勾股定理得： 米， (米)； （2）解：由（1）的计算知， 米， 米； 由题意得 分别在东南方向、西南方向，则 ， ， 即 是等腰直角三角形， 由勾股定理得： ， 米， 米； ， ，即小华的路程更小， 又∵两人速度相同， 所以小华先到达C地．51．（23-24八年级下·福建南平·期末）如图， 、 是两条公路， ，沿公路 方向离点O 为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路 方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为 圆心， 长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假 设重型运输卡车沿着道路 方向行驶的速度为18千米/小时． (1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离； (2)求卡车沿道路 方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间． 【答案】(1)卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为 ． (2)卡车沿道路 方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为 ． 【知识点】含30度角的直角三角形、判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、三线合一 【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，三线合一定理，含30度角的直角三角形的性质： （1）过点 作 于 ，可知点 到射线 的最短距离为线段 的长度； 的长度为对学校的 噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离； （2）如详解图形所示，当 时，则卡车在 段对学校 有影响，根据勾股定理可求得 的长度． 【详解】（1）解：如图所示，过点 作 于 ，可知点 到射线 的最短距离为线段 的长 度． ∴ 的长度为对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离． ∵ ， ， ∴ ．答：卡车 对学校 的噪声影响最大时，卡车 与学校 的距离为 ． （2）解：如图所示，在 上取两点C、D，连接 ，当 时，则卡车在 段对学 校 有影响． ∵ ， ， ∴ ． 由（1）知 ， ∴ ． ∴ ． ∴影响时间为： ． 答：卡车沿道路 方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为 ． 52．（23-24八年级下·山东滨州·期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如 图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切 割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理． (1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）． 如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决：如图2，圆柱的高为 ，底面半径为 ，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短 路径是多少厘米？（结果可保留 ） 【答案】(1)见解析 (2)从点A爬到点B的最短路径是 厘米 【知识点】勾股定理的证明方法、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（1）利用阴影部分的面积=大正方形面积-4直角三角形面积额即可得答案； （2）画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案． 本题考查勾股定理证明和求最短路径； 【详解】（1）∵阴影部分的面积=大正方形面积－4个直角三角形面积，∴ ∴ ∴ （2）画出圆柱侧面展开图： 根据底面半径为 ，得出 ∵圆柱的高为 ， ∴ ∴从点A爬到点B的最短路径是 厘米 53．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在笔直的公路 旁有一座山，为方便运输货物，现要从公 路 上的点 处开凿隧道修通一条公路到点 处，已知点 与公路上的停靠站 的距离为 ，与公路 上的另一停靠站 的距离为 ，停靠站 ， 之间的距离为 ，且 ． (1)判断 是什么三角形？并说明理由； (2)求修通的公路 的长． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析； (2)修通的公路 的长是 ． 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】（ ）根据勾股定理的逆定理，由 得到 是直角三角形； （ ）利用的面积公式可得 ，从而求出 的长； 本题考查了勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关 键． 【详解】（1）解：直角三角形，理由， ∵ ， ， ， ∴ ，∴ ， ∴ 是直角三角形； （2）解：由（ ）得： 是直角三角形； ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴修通的公路 的长是 ． 54．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，直角坐标系中，每个小正方形方格的边长都为1． (1)求四边形 的面积； (2)求四边形 的周长； (3)证明 为直角． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、在网格中判断直角三角形、二次根式的加减运算、坐标与图形 【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理及其逆定理，二次根式的加法运算： （1）分割法求面积即可； （2）勾股定理求出边长，周长公式进行计算即可； （3）勾股定理求出边长，逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：设四边形 的面积为S，由图可知： ． （2）设四边形 的周长为C，则 ，由勾股定理得； （3）连接 ∵ ，又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 为直角． 55．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，求 的度数． 【答案】 ． 【知识点】含30度角的直角三角形、利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理．直角三角形 角所对的直角边等于斜边 的一半，先求出边 的长度，再利用勾股定理逆定理判断出 为直角三角形． 【详解】解： ， ， ， 设 ，则 ， 又 ， ， 或 （舍去），， ， 又 ， ， ， ， ， 是直角三角形， ． 第十八章 平行四边形 56．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在 中， ， ， 是 边上任意一 点，连接 ，以 ， 为邻边作 ，连接 ，则 长的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】垂线段最短、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】设 ， 交于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，勾股定理求得 ，等面积法求得 ，根据垂线段最短，当点 与点 ，重合时， 最小，进而求得 的最小值，即可求解． 【详解】解：设 ， 交于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，如图所示， 在平行四边形 中， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， 在 中， ， ，， 当点 与点 重合时， 最小， 的最小值为 ． 故选： ． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三线合一、勾股定理解直角三角形、 垂线段最短，解题关键是利用等面积法求解． 57．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，在 中， ，点E是 中点，作 于 点F，已知 ， ，则 的长为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题 的关键． 通过计算 、 的长度，利用三角形面积公式求得 ，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接 ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 是 中点， ， ， ， ，即 ， ∴ ， 故答案为： ． 58．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，平移图形 ，与图形 可以拼成一个平行四边形，则图中 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，四边形的内角和，如图，把 拼在一起，得到平行四边形 ，则 ，由平行四边形的性质得 ，进而四边形的内角和为 得到 ，据此解答即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，把 拼在一起，得到平行四边形 ，则 ， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∵四边形的内角和为 ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 59．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在 中，对角线 ， 交于点 ， ， ，垂足分别为E，F． (1)求证： ； (2)若 ，求 的长；(3)若 ， ，当 时，求 的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)8 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性 质求解 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行四边 形的性质，三角形全等和勾股定理． （1）由平行四边形的性质得到 ，由 ， ，可得 ， ，证明 ，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据 求出 的长度，然后根据勾股定理求出 的长度，即可根据平行四边形对角线互相平 分求出 的长度； （3）根据题意可求出 ，根据平行四边形的性质可求出 、 ，然后根据勾股定理求出 ，最后根 据平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明 ： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ； （2）解：∵ ， ， 在 中， ， 四边形 是平行四边形， ； （3）解： ， ， 四边形 是平行四边形， ， ，∵ ， ， ． 60．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在平行四边形 中， ，在 取一点E，使得 ，连接 ． (1)用尺规完成以下基本作图：作 的角平分线交 于点F，交 于点O；（保留作图痕迹，不写作 法和结论） (2)根据 （1）中作图，经过学习小组讨论发现 ，请你证明学习小组发现的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形和平行线的性质是解题的关键． （1）根据作角平分线的基本作图画图； （2）根据平行四边形的性质及平行线的性质证明． 【详解】（1）解：所作图形，如图： ； （2）证明：∵ ， ∴ ， ∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ∴ ，∴ ． 即 ． ∵在 中， ． ∴ ． 61．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，在 中，连接 ，延长 至点E，延长 至点 F，使 ，连接 ．求证： ． 【答案】证明见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，由四边形 是平行四边形，得到 ， ，进一步得到 ，由 ，得到 ，证明 ，即 可得到 ，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 62．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图，在平行四边形 中， ，求证：【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质等，由平行四边形的性质得 ， ，由 可判定 ，由全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， 在 和 中 ， ， ∴ ． 63．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图， 、 为 的对角线 上的两点，请你添加一个 条件，使得 ． (1)你添加的条件是________； (2)根据你添加的条件和题目的已知条件，求证： ． 【答案】(1) （答案不唯一） (2)见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、全等的性质 和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质， 证明三角形全等是解题的关键． （1）由题意添加条件即可；（2）由平行四边形的性质得 ，则 ，再证明 ，即 可得出结论． 【详解】（1）解：添加条件： ， 故答案为： （答案不唯一）； （2）证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． 64．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ，分别过点 ， 作 ， ，垂足分别为 ， ， 平分 ． (1)当 时，求 的大小； (2)求证： ． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识. （1）利用三角形内角和定理求出 ，利用角平分线的定义求出 ，再利用平行线的性质解决问 题即可. （2）运用 可证 , 可得 . 【详解】（1）解：∵ , ∴ , ∵ , ∴ , ∵ 平分 , ∴ ,∵四边形 是平行四边形， ∴ , ∴ ； （2）证明: ∵四边形 是平行四边形, ∴ , , ∴ ， ∵ , ∴ , 在 和 中, ， ∴ , ∴ . 65．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图， 中，D是 边上任意一点，F是 中点，过点C作 交 的延长线于点E，连接 ， ． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)若 ， ， ，求 的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三 角形、证明四边形是平行四边形 【分析】（1）根据平行线的性质得到 ．根据全等三角形的判定和性质得到 ，于是得到四边形 是平行四边形； （2）过点 作 于点 ．根据等腰三角形的性质求得 ，在 中， ， ，求得 ， ，据此计算即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ． ∵ 是 中点， ，在 与 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形； （2）解：过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质， 勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 66．（23-24八年级下·云南文山·期末）如图， 是线段 的中点，且 ，点 在线段 上， 交 于点 ， ． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)已知 ，连接 ，若 平分 ，求 的长．【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】根据等角对等边证明边相等、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是 解题关键， （1）证明 且 即可证明结论； （2）利用平行四边形性质得出 即可求出结论． 【详解】（1）证明： 是线段 的中点， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形； （2）解：由（1）知，四边形 是平行四边形， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ． 67．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，点O是 内一点，连接 ，并将 的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形 ． (1)求证：四边形 是平行四边形． (2)如果 ， ， ，求 的长． 【答案】(1)见解析(2) 的长是 ． 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是平行四边形、用勾股定理解三角形、含30度角的直 角三角形 【分析】此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解 题的关键． （1）由D，E，F，H分别是 的中点，根据三角形中位线定理得 ，且 ，即可证明四边形 是平行四边形； （2）作 于点G，因为 ，利用等腰三角形的性质，直角三角形 的性质结合勾股定理求得 ， ，再根据三角形中位线定理求得即可． 【详解】（1）证明：∵D，E，F，H分别是 的中点， ∴ ，且 ， ，且 ， ∴ ，且 ， ∴四边形 是平行四边形； （2）解：作 于点G，则 ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的长是 ． 68．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形 中， ，且 、 的角平分线 、 分别交 于点 、 ．若 ，则 的长为 ．【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，解答本题的关 键是判断出 ．根据平行线的性质得 ，由 平分 得 ，等量代换得 ，根据等腰三角形的性质得到 ，同理 ，根 据已知条件得到四边形 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到 ， ，即可得到 结论． 【详解】解： ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 69．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图在平面直角坐标系中， 点的坐标分 、 ． 且 满足 ，现将线段 向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到 ，连接 ．(1)求 的值． (2)点P是线段 上的一个动点（不与 重合），请找出 之间的关系，并证明． (3)点Q是线段 上的动点，是否存在 使四边形 面积最大，如果存在，求出点Q的坐标；如果不 存在，请说明理由． 【答案】(1) ， ； (2) ，证明见解析 (3)存在， 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、利用平行四边形的判定与性质求解、由平移方式 确定点的坐标 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、平移的性质、坐标与图形等知识． （1）根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算即可得； （2）过点P作 ，利用平行线的性质得到 ，则 ，即可得到答案； （3）求出 点的坐标分 、 ，则 ， ，得到点R的坐标为 ，点S的坐 标为 ， ，四边形 是平行四边形，则 ，作 于点H，则 ，当点 运动到 点R时， 取得最大值，即最大值为 的长度，即 ，进一步即可求出答案． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ； （2） ，理由如下： 如图所示，过点P作 ， ∵ 则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ；（3）存在，点Q的坐标为 ，理由如下： 由（1）可知， 点的坐标分 、 ． ∴ ， ∵线段 向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到 ， ∴点R的坐标为 ，点S的坐标为 ， ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， 作 于点H，则 ∵点Q是线段 上的动点， ∴当点 运动到点R时， 取得最大值，即最大值为 的长度，即 ， 此时 ，即 的最大值为 ， ∵四边形 的面积 ， ∴四边形 的面积最大值为 ， 此时点Q的坐标为 ； 70．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，在等边 中， 、 两点分别在边 、 上，连接 ，以 为边向右作等边 ，连接 ． 【初步发现】（1）求证： 为等边三角形； 【深入探究】（2）求证：四边形 为平行四边形； 【拓展延伸】（3）若 ，求四边形 的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、利用平行四边 形性质和判定证明 【分析】（ ）根据等边三角形得 和 ，以及 和 ，则 ，可证 ，有 ， ，再证 ，即可得出结论； （ ）由等边三角形得 和 ，则 ，可得 ，进一步得 ，即可得出结论； （ ）过 作 于 ，则 ，由（ ）可知， ，求得 ，结合等边 三角形求得 和 ，利用勾股定理得 ，然后用面积公式即可求解． 【详解】证明：（1）∵ 是等边三角形， ∴ ， ， ∵ 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形； （2）由（ ）可知， 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形； （3）如图，过 作 于 ，则 ， 由（ ）可知， ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ∴ ． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定定理、平行四边形的判 定定理、勾股定理、含 角的直角三角形的性质，解题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 71．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在 中，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ， ． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)若 平分 ， ，求 的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2) ． 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （ ）由平行四边形的性质和中点的性质可得 ，即可得结论； （ ）由角平分线的定义和平行线的性质可证 ，即可求解；【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ． ∵点 ， 分别是 ， 的中点， ∴ ， ， ∴ ． 又∵ ， ∴四边形 是平行四边形； （2）解：∵ 平分 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的周长为 ． 72．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在平行四边形 中，点E、F分别是边 的中点． (1)求证： ； (2)若 ，求平行四边形 的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们 之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． （1）根据平行四边形 的对边平行得出 ，又 ，利用有一组对边平行且相等的四边 形为平行四边形证得四边形 为平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证得结论； （2）根据平行四边形的性质和平行四边形的周长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形， ，即 ， 又 点 ， 分别是边 ， 的中点，， ， ， 四边形 为平行四边形， ； （2）解： 四边形 是平行四边形， ， ， 点 ， 分别是边 ， 的中点， ， 平行四边形 的周长 ． 73．（23-24八年级下·广东茂名·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了 的折纸活动， 是 边上的一动点， 是 边上的一动点，将 沿直线 折叠，使点 落在 边上的点 处，点 的对应点为点 ，连接 ． (1)【观察发现】如图1，若 ， ， ，求 的长； (2)【操作探究】如图2，当点 落在 的延长线上时，求证：四边形 为平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、折叠问题 【分析】（1）由折叠的性质可得 ，则 ，由三角形外角性质得 ， 所以 ，再利用勾股定理得 ，然后由 ， 求得 ，即可求解． （2）根据折叠的性质先证 ，再证 即可证明四边形 为平行四边形． 【详解】（1）解：由折叠知 ， ． ． ， ．． 由勾股定理得， ， ． ． ． ． （2）证明：由折叠知 ， ， ． ， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ， ∴ ， ， ，点 在 延长线上， ， ， ． ， ， 四边形 是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾 股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键． 74．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点， 图中 ， ， ， 都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．(1)如图1， 是 上一点，在线段 上找一点 ，使 ；连接 ，作一点 ，使四边形 为平行四边形； (2)在图2中作 的垂直平分线，分别交 ， 于 ， ；将四边形 沿 翻折，点 的对应 点为点 ，画出翻折后的四边形 ． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、画轴对称图形 【分析】本题考查作图 轴对称变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运 用所学知识解决问题． （1）如图1中，连接 ， 交于点 ，连接 ，延长 交 一点 ，连接 ，延长 交网格线 一点 ，连接 ，四边形 即为所求； （2）取格点 ，作直线 交 于点 ，交 一点 ，连接 ，取格点 ，连接 ，取格点 ， ，连接 交 于点 ，连接 ，四边形 即为所求． 【详解】（1）解：如图所示： 点 ，四边形 即为所求； （2）解：如图所示： 直线 ，四边形 即为所求． 75．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在 中，E，F分别为 ， 上两点，且 ， 连接 ， 分别与对角线 交于点G，H．(1)求证：四边形 为平行四边形： (2)若 ， ，求点G到 的距离． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、含30度角的直角三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）、点到直线的距离 【分析】（1）由平行四边形的性质得 ， ，而 ，则 ，所以 ， ，则四边形 为平行四边形； （2）作 于点 ，由 ，得 ，由 ，得 ，可根据“ ”证明 ，得 ，因为 ，所以 ，即可得解． 【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形， ， ， ， 分别为 ， 上两点，且 ， ， ， ， 四边形 为平行四边形． （2）解：作 于点 ，则 ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ，， ， 点 到 的距离是2． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中 角所对的 直角边等于斜边的一半，点到直线的距离等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 76．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）综合实践：“构图法”计算图形面积． 提出问题： 在 中， 的长度分别为． ，求 的面积．素材准备：三 张 的网格纸． 分析问题：如果运用三角形面积公式 （a为底边，h为对应的高）求解，由于三角形的三条边均 为无理数，高h的计算较为复杂．进一步观察发现： ， ， ．若把 放到图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），且 的三个 顶点恰好都在小正方形的顶点（格点），这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出 的面积． 种借助网格计算面积的方法我们称为“构图法”． 解决问题： （1）在图1中，已知点A的位置（点A是格点）．请分别画线段： （点 B、C也是格点）． 则可以计算出 的面积为______． （2）已知以格点M、N、P、Q为顶点的平行四边形的面积为5，在图2中已经作出格点 M、N． ①在图2中作出格点 P、Q的位置（作出一种得可）； ②这样的平行四边形共有______个． （3）若 的边长分别为： ．求 的面积． 【答案】（1）图见解析， 的面积为3．（2）① 图见解析；② 7 （3） 【知识点】利用网格求三角形面积、平行四边形性质和判定的应用、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查本作图—应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质，分割法求几何图形面 积，熟练掌握勾股定理，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）取格点 ，画出 ，利用分割法即可求解 的面积；（2）① 根据平行四边形的面积公式，构造底边为5，高为1的平行四边形即可，② 通过取不同的格点， 结合利用割补法，图象的翻转，即可找到所有满足条件的平行四边形； （3）通过构造小矩形长为 ，宽为 的矩形网格图，然后取格点 ，使得 ， ， ，再利用割补法即可求解； 【详解】解：（1）取格点 ，画出 ，如图所示， ， 故 的面积为3． （2）① 取格点 ，依次连接M、N、P、Q，构成平行四边形 ， 平行四边形 的底边为5，高为1， 平行四边形 的面积为5. ② 这样的平行四边形共有7个，除了第①中的平行四边形外，还有以下6种情况， ， ，， ． （3）在备用图中，设矩形网格图中，小矩形长为 ，宽为 ，取格点 ，如图所示， ， ， ， 符合题意， 的面积为： ， 的面积 ．77．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在 中，点E，F在对角线 上，且 连接 ， ． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)若 求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、等边对等角、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据平行四边形的对边相等可得 ，对边平行可得 ，再根据两直线平行， 内错角相等可得 ，然后利用“边角边”证明 ，故可得出结论； （2）根据平行四边形的性质得 ，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题． 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是 得出 ，再由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）证明：在 中， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形； （2）解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ∴ ．78．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形 中， 为 上一点，连接 ，点 、 分别是 、 的中点，连接 ，则 的长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定以及性质，平行四边形的判定和性质，先证明 ，且 ，再证明四边形 是平行四边形，由平行四边形的性质即可得出 ． 【详解】解：∵点 、 分别是 、 的中点， ∴ ，且 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， 故选：B． 79．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，四边形 是平行四边形， ， ， 是 的中位线，G为 上一动点，H为 上一动点，点G以 的速度从C点向B点运动，同 时点H以 的速度从D点向C点运动，用 表示时间 ．当t为何值时，四边形 是平 行四边形？ 【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据题意 得出点G和点H分别同时运动到 的中点时，四边形 是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：若四边形 是平行四边形，则 ， ， ∵ 是 的中位线， ∴ ， ∴ ， 此时点G和点H分别同时运动到 的中点， ∵四边形 是平行四边形， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴点G运动到 的中点所需时间 ， 同理，点H运动到 的中点所需时间 ， ∴ 时，点G和点H分别同时运动到 的中点， ∴ 时，四边形 是平行四边形． 80．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点E为平行四边形 的边 上的一点，连接 并延长， 使 ，连接 并延长，使 ，连接 ．H为 的中点，连接 ， ． (1)求证：四边形 为平行四边形； (2)连接 ，交 于点O，若 ， ，求 的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是平行四边形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行 四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质得 ， ，再证 是 的中位线，得 ， ， 证出 ， ，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）连接 、 、 ，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形， ， ， ．， ， 是 的中位线， ， ． 为 的中点， ， ， ． ， ． ∴四边形 是平行四边形； （2）解：连接 、 、 ， ， ， ， ． ∵ ， ． ∴四边形 是平行四边形， ， ． ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 81．（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出 的长和 的度数； 作 ；在射线 上找一点D，使 ；测出 的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接 ， ；分别取 ，的中点D，E，测出 的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量 的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组 通过测量 的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见 解析；③全等三角形对应边相等 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、平行四边形性质和判定的应用、三角形中位线的实际应用 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 为平行四边形， ∴ ， ∴“圆周率”小组通过测量 的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为 ， 的中点， ∴ 为 的中位线， ∴ ， ∴“智慧”小组通过测量 的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第 三边的一半； （2）①如图，②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接 ，并分别延长 至点D， 至点E，使 ， ，最后量出 的距离就是 的距离； ③在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平 行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 82．（23-24八年级下·广西南宁·期末）【综合与实践】 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 任务 皮尺 皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点 间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测量 工具 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可 测角仪 及的P， Q两点，可测得 的大小． 小明的测量及求解过程（1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得 ； （2）分别在 上用皮尺测得 ，测得 ． 测量 过程 由测量可知： ∵ ， ， 求解 ∴点M是 的中点， 点N是 的中点， 过程 ∴ 是 的______ ∵ ， ∴ ______ ． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两 点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示， 测量次数不超过3次）． 【答案】(1)见解析 (2)三角形的中位线等于第三边的一半 (3)示意图见解析， 【知识点】三角形中位线的实际应用、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，含30度直角三角的特征． （1）根据三角形中位线的性质即可解答； （2）三角形的中位线等于第三边的一半； （3）用测角仪在点A处测出 ，在射线 上找一点G，用测角仪测出 ，然后用皮尺 测量出 ，利用含30度直角三角的特征即可解答． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴点M是 的中点， 点N是 的中点，∴ 是 的中位线， ∵ ， ∴ ． （2）解：由（1）可知小明测出水池A，B两点间的距离， 依据是：三角形的中位线等于第三边的一半； （3）解：如图， ， ． 83．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ，过点 作 ，垂足为点 ，若 ，则 度． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握矩形的 性质．根据矩形的性质可得到 ，推出 ，根据三角形的外角性质和 ， 可得 ，由 ，即可求解． 【详解】解： 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： ． 84．（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形 中， 分别是 上的点， 分别是 的中点， ， ，则线段 的长为 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线等知识，正确作出辅助线是解题关键．连 接 ，利用勾股定理解得 的值，然后根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：连接 ，如下图， ∵四边形 是矩形， ， ， ∴ ， ， ∴在 中， ， ∵ 分别是 的中点， ∴ ． 故答案为： ． 85．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，点 是矩形 的对角线 上一点，过点 作 ， 分别交 ， 于点 ， ，连接 ， ．若 ， ，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】9 【知识点】根据矩形的性质求面积、二次根式的乘法 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的面积等知识．先作辅助线，然后根据矩形的性质可得到两个矩形面积相等． 【详解】解：作 于点M，交 于点N，如图所示： 则四边形 ， ， ， 都是矩形， ∴ ， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴图中阴影部分的面积为 ， 故答案为：9． 86．（23-24八年级下·吉林长春·期末）【知识回顾】 我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等 于第三边的一半． 【定理证明】 将下列的定理证明过程补充完整： 已知：如图①，在 中，点D、E分别是 与 的中点． 求证： ， ． 证明： 【定理应用】 (1)如图②，在 中，对角线 、 相交于点O， 的平分线与边 相交于点E，点F是 的中点，若 ， ，则 ； (2)如图③，将矩形 的边 绕点A旋转一定的角度 ，得到线段 ，连结 ，点 E，F分别是 和 的中点，连结 ， ， ，已知 ， ，则 的面积的最大值 为 ． 【答案】(1)1(2)12 【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求面积 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 ， ， ，得到 ，根据 角平分线的定义得到 ，求得 ，得到 ，得到 ，根据三角形中位线定理得到 ； （2）根据三角形中位线定理得到 ， ，由 的面积 点D到 的距离 点D到 的距离，得到当点D到 的距离最大时， 的面积有最大值，求得将线段 绕点B 旋转 时，点D到 的距离最大，即为 ，根据三角形的面积公式即可得到结论， 本题考查了，平行四边形的性质，三角形的中位线，矩形的性质，旋转的性质，解题的关键是：熟练掌握 相关性质定理． 【详解】（1）解：（1）在平行四边形 中， ， ， ， ∴ ， ∵DE平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵F是 的中点，O是 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ， 故答案为：1； （2） （2）∵点E，F分别是 和 的中点， ∴ ， ， ∵ 的面积 点D到 的距离 点D到 的距离， ∴当点D到 的距离最大时， 的面积有最大值， ∴将线段 绕点B旋转 时，点D到 的距离最大，即为 ， 如图，∴ 的面积的最大值为： ， 故答案为：12． 87．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形 中， ，分别过点 ， 作 ， 于点 ， ，连结 ， ． (1)求证：四边形 为平行四边形； (2)分别取 ， 的中点 ， ，连结 ， ．若 ，求四边形 的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与 性质、含 角的直角三角形的性质、勾股定 理等 知识点， （1）先利用矩形的性质以及已知条件得到 、 ，再根据全等三角形 的性质可 得 ，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）先根据矩形的性质得到 ，即 ，再由勾股定理可得 ；再根据直角三角形 的性质可得 ，进而求得 ，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明： 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形 为平行四边形． （2）解： 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的中点 ， ； 同理可得： ， 四边形 的面积为 ． 88．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在 中， ， 是 的中位线， 连接 ． 求证： (1) ； (2) . 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】证明四边形是矩形、利用矩形的性质证明、与三角形中位线有关的证明【分析】此题考查了矩形的判定和性质、三角形中位线性质定理等知识，证明四边形 是矩形是解题 的关键． （1）根据 是 的中位线得到 ，证明四边形 是平行四边形，再由 即可证明四边形 是矩形，根据矩形的性质即可得到结论； （2）根据中位线的性质得到 ，分别表示出矩形和直角三角形的面积即可证明结论． 【详解】（1）∵ 是 的中位线， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， 又∵ ， ∴平行四边形 是矩形， ∴ ． （2）∵ 是 的中位线， ∴ ， ∵平行四边形 是矩形， ∴ ∵ ∴ 89．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）在矩形 中，点E，F分别是 ， 上的动点，连接 ， 将 沿 折叠，使点A落在点P处，连接 ，若 ， ，则 的小值为 ． 【答案】 / 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查矩形与折叠、勾股定理、线段最值问题，由题意得，点A、点P关于 对称，可得当 点B、P、F三点共线时， 的最小，此时，点P在对角线 上，利用勾股定理求得 ，由折叠 的性质得， ，再利用 求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得， ， 则当 ，即点B、P、F三点共线时， 的最小，此时，点P在对角线 上， ∵ ， ， ∴ ， 由折叠的性质得， ， ∴ ， 故答案为： ． 90．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，在矩形 中， ，点E是 上一点，连接 ， 将 沿着 折叠，点B恰好落在 上的点F处， ． (1)求 的长； (2)求 的长． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查矩形性质，矩形与折叠问题，勾股定理等． （1）根据矩形性质得 ，继而利用折叠性质得 ，再利用勾股定理即可得 到本题答案； （2）先得到 ，再利用勾股定理列式计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形 是矩形， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵将 沿着 折叠，点B恰好落在 上的点F处， ∴ ， ∴ ， ∴ 的长为3；（2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ∴ 的长为 ． 91．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图已知矩形 中 ， ，在边 上取一点 E，将 折叠使点D恰好落在 边上的点F，求 的长． 【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握 勾股定理，找准对应边．设 的长为x，由将 折叠使点D恰好落在 边上的点F可得 ，所以 ， ；在 中由勾股定理得： ， 已知 的长可求出 的长，又 ，在 中由勾股定理可得： ，即： ，将求出的 的值代入该方程求出x的值，即求出了 的长． 【详解】解：∵四边形 是长方形， ， ， 根据题意得： ， ， ， ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得： ， 即 ， ， ， 在 中，由勾股定理可得： ，即 ， ， ， 即 ． 92．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图1，在矩形 中，点 在 轴正半轴上，点 在 轴正半轴 上，点 在第一象限， ， ． (1)直接写出点 的坐标： ； (2)如图2，点 在 边上，连接 ，将 沿 折叠，点 恰好与线段 上的点 重合，求线段 的长度； (3)如图3， 是直线 上一点且在 下方， 交线段 于点 ．若 在第一象限，且 ，求点 的坐标． 【答案】(1) (2)线段 的长度为3 (3)点 的坐标为 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、坐标与图形 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识 点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由矩形的性质即可得出答案； （2）由勾股定理得出 ，由折叠的性质得出 ，从而得 出 ，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）设点 ，过点 作 ，交y轴于点 ，交 于点 ，证明 ， 得出 ，求出 ，从而得出 ，求出 的值即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形 是矩形， ， ， ∴ ； 故答案为： ； （2）解：∵ ， ，∴ ， ∵将 沿 折叠，点 恰好与线段 上的点 重合， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， 解得 ， ∴线段 的长度为3； （3）解：设点 ， 如图，过点 作 ，交y轴于点 ，交 于点 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴点 的坐标为 ． 93．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图， 为 的中位线，点F在 上，且 ，若 ， ，则 的长为 ．【答案】1 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位 线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得 ，再根据直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半可得 ，最后根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：∵ 为 的中位线， ， ∴ ，点 是 的中点， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：1． 94．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在 中， ， 是 的平分线，且 ， ， 是 的中点，则 的长为 ． 【答案】 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及直角三角形斜边上的中线定理，解题的关键是 熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质．根据等腰三角形“三线合一”的性质可得， ， ，根据勾股定理求出 的长度，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解： ， 是 的平分线， ， ， 根据勾股定理可得： ， 是 的中点，， 故答案为： ． 95．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在 中， ， 交于点O， 于E， 交 于F，求证：四边形 是矩形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是矩形、利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或 者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行四边形的判定和性质；熟练掌握矩形的判定，证明三 角形全等是解决问题的关键． 由 证明 ，得出对应边相等 ，证出四边形 为平行四边形，再由 求 出 ，根据矩形的判定得出即可． 【详解】证明： 四边形 是平行四边形， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 四边形 为平行四边形， ， ， 四边形 为矩形． 96．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中， ，D为 中点，四边形 是平行四 边形， ， 相交于点O．(1)求证：四边形 是矩形； (2)若 ， ，求 的长度． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】证明四边形是矩形、与三角形中位线有关的求解问题、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）先根据四边形 是平行四边形和D 为 中点判定四边形 是平行四边形，再结 合 ，推出 ，即可得出结论； （2）根据 和矩形的对角线相等且互相平分，得出 为等边三角形，即可求出 的长， 从而得到矩形 的长． 【详解】（1）证明：∵ 四边形 是平行四边形， ∴ ， . ∵D 为 中点， ∴ ， ∴ ， ， ∴四边形 是平行四边形. ∵ ，D 为 中点， ∴ ，即 ， ∴ 是矩形. （2）∵ 四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等边三角形. ∵ ， ∴ ∴ . 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理等知 识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 97．（23-24八年级下·全国·期末）如果， 是 斜边上的中线，延长 到点 ，使 ， 连接 ， ．四边形 是矩形吗？请说明理由．【答案】见解析 【知识点】证明四边形是矩形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定定理，熟记矩形的判定定理内容是解此题的关键． 由 是 斜边上的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得 ，又由 ，即可证得四边形 是平行四边形， ，则可证得四边形 是矩形． 【详解】解：四边形 是矩形． 理由： 是 斜边上的中线， ， ， ∴四边形 是平行四边形，且 ， ∴四边形 是矩形． 98．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，四边形 为平行四边形， ，点E在 的延 长线上，且 ，连接 ． (1)求证：四边形 是矩形； (2)若 ，求四边形 的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明四边形是矩形、利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，证明四边形 是矩形 是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到 ， ，证明四边形 是平行四边形，又由 即可证明四边形 是矩形； （2）求出 ，求出 ， ，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴ ∴四边形 是矩形； （2）∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∴四边形 的面积 99．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图， ， 为 上一点．小明利用直尺和圆规完成了以 下作图：连接 ，分别以点 ， 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于 ， 两点，作直线 ， 交 于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)当 时，在 上取一点 ，使 ，连接 ．若 ，求 的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 的度数为 ． 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、证明四边形是平行四边形、全等的性质和ASA（AAS）综合 （ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）由作图过程可知，直线 为线段 的垂直平分线，则可得 ，证明 可得 结合平行四边形的判定可得结论． （2）由题意可得四边形 为矩形，则 进而可得 则 则． 本题考查作图-基本作图、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判 定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）证明：由作图过程可知，直线 为线段 的垂直平分线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形． （2）解：∵ ， ∴平行四边形 为矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 100．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形 中，过点D作 于点E， 点F在边 上，且 ，连接 ． (1)求证：四边形 是矩形； (2)若 平分 ， ， ，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形 的性质与判定求线段长 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，角平分 线的定义等知识，熟练掌握矩形和等腰三角形的判定是解答的关键． （1）先证明四边形 是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得证； （2）先证明 ，由平行四边形的性质，得到 ，再利用勾股定理进行求解即可．【详解】（1）证明：∵平行四边形 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形； （2）∵平行四边形 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 由（1）知：四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， 在 中， ． 101．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形 中， ， 与 相交于点O，且 O是 的中点． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)若 是等边三角形，且 ，求四边形 的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边三角形的性质、证明四边形是平行四边形、根据矩形的性质与判定求面积、全等的性质和 ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、矩形的判定 与性质等知识点，掌握矩形的判定与性质成为解题的关键．（1）根据平行线的性质可得 ，再证明 可得 人然后根据一组对边平 行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质可得 、 ，再结合等边三角形的性质可得 是矩形；再 根据勾股定理求得 ，最后根据矩形的面积公式即可解答． 【详解】（1）证明： ， ． 又 ， ， ， ． 又 ， 四边形 是平行四边形． （2）解： 四边形 是平行四边形， ， ． 是等边三角形，且 ， ， ， 是矩形， ， ， ， 四边形 的面积 ． 102．（23-24八年级下·吉林长春·期末）在菱形 中， ，则 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求角度、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，利用菱形性质得出 ， 利用等边对等角得出 ，然后结合三角形内角和定理求解即可，熟练掌握知识点的应用是解 题的关键． 【详解】∵四边形 是菱形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 故答案为： ． 103．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在菱形 中， ， ，对角线 与 相交于点 ．将边 沿 方向平移到 ，连接 ．当点 是 的中点时，四边形 的面积为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用平移的性质 求解 【分析】由菱形的性质得 ， ， ， ，再证明 是等边三角形， 得 ，则 ，进而由勾股定理得 ，然后证明四边形 是平行四边形，即可解 决问题． 【详解】解：∵四边形 是菱形， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵点 是 的中点， ∴ ， ∵将边 沿 方向平移到 ， ∴ ， ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴四边形 的面积为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平移的性质、平行四边形的判定与性质以及 勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和平移的性质是解题的关键． 104．（23-24八年级下·全国·期末）如图，平行四边形 的两条对角线相交于点O，且 ．(1)求证：平行四边形 是菱形； (2)求平行四边形 的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明四边形是菱形、利用菱形的性质求面积、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理的逆定理： （1）根据勾股定理的逆定理证明 ，则可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明； （2）根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ， ∴ 是直角三角形，且 ，即 ， ∴平行四边形 是菱形； （2）解；∵平行四边形 是菱形， ∴ ， ∴ ． 105．（23-24八年级下·全国·期末）如图，菱形 中，E，F分别是 ， 上的点，且 ． 求证： ． 【答案】见解析 【知识点】利用菱形的性质证明、等边对等角、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】根据菱形的性质，先证明 ，结合等边对等角解答即可． 本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形 是菱形， ∴ ， 在 和 中，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 106．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，四边形 是平行四边形，对角线 交于点F， ，延长 到点C，使 ，延长 到点D，使 ，连接 和 ． (1)求证：四边形 是菱形； (2)若 ，求 与 间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练 掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先由对角线互相平分的四边形 是平行四边形，再由矩形的性质得出 ，即可得出结论； （2）由矩形的性质得出 ，由菱形的性质得出 ，由勾 股定理求出 ，则 ，设 与 间的距离为 ，然后由菱形的面积公式即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵ ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∴四边形 是菱形； （2）解：∵四边形 是矩形， ∴ ，∵四边形 是菱形， ∴ ， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， ∴ ， 设 与 间的距离为 ∵ ． ∴ ． 107．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图 ，在矩形纸片 中， ， ，折叠纸 片使点 落在边 上的点 处，折痕为 ，过点 作 交 于点 ，连接 ． (1)求证：四边形 为菱形； (2)当点 在 边上移动时，折痕的端点 ， 也随之移动， 当点 与点 重合时（如图 ），求菱形 的边长； 若限定 ， 分别在边 ， 上移动，求出点 在边 上移动的最大距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) ； ． 【知识点】证明四边形是菱形、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、等边对等角 【分析】（ ）由折叠的性质得出 ， ， ，由平行线的性质得出 ，证出 ，得出 ，因此 ，即可得出结论； （ ） 由矩形的性质得出 ， ， ，由对称的性质得出 ，在 中，由勾股定理求出 ，得出 ；在 中， 由勾股定理得出方程，解方程得出 即可； 当点 与点 重合时，点 离点 最近，由 知，此时 ；当点 与点 重合时，点 离点 最远，此时四边形 为正方形， ，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵折叠纸片使点 落在边 上的点 处，折痕为 ， ∴点 与点 关于直线 对称，∴ ， ， ； 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 为菱形； （2）解： ∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ， ∵点 与点 关于直线 对称， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， 在 中， ， ， ∴ ， 解得 ， ∴菱形 的边长为 ； 当点 与点 重合时， 如图 ，点 离点 最近， 由 知，此时 ； 当点 与点 重合时， 如图 ，点 离点 最远， 此时四边形 为正方形， ， ∴点 在边 上移动的最大距离为 ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定 理，正方形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 108．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图所示，E，F分别在 和 上，，则 ． 【答案】80 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、多边形内角和问题、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的 性质和判定 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四边形内 角和，平行线的判定与性质，根据已知可判定出四边形 为菱形，得到 ， ， 根据平行线性质，等边对等角可得到 ，根据等边三角形的判定与性质可得 ，利用四边形内角和求出 ，利用平行线性质即可求出结果． 【详解】解： ， 四边形 为菱形， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， 同理 ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：80． 109．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）将两张同样宽度的纸片按如图方式叠放在一起，记重叠部分为四 边形 ，若 ，则四边形 的周长为 ．【答案】12 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，作 于R， 于S，根据题意先证出四边形 是平行四边形，再由 推出 ，得平行四边形 是菱形，再根据勾股定理求出 即可 【详解】解：作 于R， 于S，连接 交于点 由题意知： , ∴四边形 是平行四边形, ∵两个矩形等宽， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴平行四边形 是菱形， ∴四边形 的周长为 ， 故答案为：12． 110．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿图中的虚线 剪下， 已知 ，再将剪下的纸片展开，则得到一个新的四边形，它的面积是 ．【答案】 【知识点】折叠问题、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，根据菱形的性质求出对角线的长度，再 根据菱形的面积计算公式计算即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，所得四边形的对角线互相垂直且平分， ∴得到的新的四边形为菱形，其边长 ， 为对角线的一半， ∵ ， ， ∴ ， ∴菱形的对角线长分别为 和 ， ∴它的面积为 ， 故答案为： ． 111．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，已知点 分别是 的边 上的中点，且 ， (1)求证：四边形 是菱形； (2)若 ，求菱形 的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、证明四边形是菱形、斜边的中线等于斜边的一半、与三角形中 位线有关的求解问题 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，再根据菱形的判定方法即可求解； （2）如图所示，连接 交 于点 ，在 中，根据勾股定理可得 ，根据点 是中 点可得 是 的中位线，可算出 ，再根据菱形的面积的计算公式即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， 在 中， ，点 是 边的中点 ∴ ， 同理 ， ∴ ， ∴四边形 是菱形； （2）解：如图所示，连接 交 于点 ， 在 中， ， ， ∴ ， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ∴ 是 的中位线， ∴ ， ∴ ∴菱形 的面积为 ． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 中位线的判定和性质等知识的综合，掌握平行四边形的性质，菱形的判定和性质是解题的关键． 112．（22-23八年级下·贵州安顺·期中）如图，以正方形 的边 向外作等边三角形 ，则 的度数是 ． 【答案】15 【知识点】根据正方形的性质求角度、等边三角形的性质、等边对等角 【分析】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，根据正方形的性质及等边三角形的性质可求解 ，再根据等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理可求 解． 【详解】解：∵四边形 为正方形， ∴ ， ∵ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：15． 113．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，正方形 ，E，F分别是 ， 的中点， ， 相交 于点G，连接 ，若 ，则 的长为 ． 【答案】2 【知识点】根据正方形的性质求线段长、斜边的中线等于斜边的一半、全等的性质和ASA（AAS）综合 （ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题 的关键． 延长 、 相交于H，先证明 ，得到 ，从而得到 ，再证明 ，得到 ，从而得 到 ，即可由直角三角形的性质得出 ，即可求解． 【详解】解：延长 、 相交于H，如图， ∵正方形 ， ∴ ， ，∴ ， ∵E，F分别是 ， 的中点， ∴ ， ， ∴ ， 在 与 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 与 中， ， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴ ， 故答案为：2． 114．（23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图，在正方形 的边 上连接等腰直角三角形，然后在等 腰直角三角形的直角边上连接正方形，无限重复上述过程，如果第一个正方形 的边长为 ，那么第 个正方形的面积为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的定义、根据正方形的性质求面积、用勾股定理解三角形、图形类规律探索 【分析】本题利用了等腰直角三角形的性质，直角边长是斜边长的 倍，及正方形的面积公式求解，观察图形，分别求得每个正方形的边长，从而发现规律，根据其规律解题即可找到第 个正方形的边长为 是解题的关键． 【详解】可以发现，第一个正方形的边长为 ， 第 个正方形的边长为 ， 第 个正方形的边长为 第 个正方形的边长为 ， ∴第 个正方形的面积 ， 故答案为： ． 115．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，在边长为8的正方形纸片 中，E是边 上的一点， ，连接 ，将正方形纸片折叠，使点D落在线段 上的点G处，折痕为 ，则 的长为 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、正方形折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理、正方形的性质．根据四边形 是边长为8的正方形纸片， ，可得 ，由翻折可得 ，在 和 中， 根据勾股定理即可求出 的长． 【详解】解：∵四边形 是边长为8的正方形纸片， ， 由翻折可知：在 和 中， 解得 ． 故答案为： ． 116．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，将正方形纸片 沿 折叠，使点 落在边 上，对 应点为点 ，点 落在点 处，若 ， ，则折痕 的长为 . 【答案】 【知识点】正方形折叠问题 【分析】本题主要考查了图形的翻折变换，作 ，垂足为F，连接 ，根据图形折叠的性质得出 ，先证明 ，再证明 ，然后利用勾股定理的知识求出 的长． 【详解】解：作 ，垂足为F，连接 ， ∵将正方形纸片 折叠，使得点D落在边 上的 点，折痕为 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中 ， ∴ ， ∴ ， 又∵在 中， ，∴根据勾股定理得： ． 故答案为： ． 117．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图，正方形 中， ，E为边 上一点， ， 连接 ， ． 点 为线段 上一个动点， ，将 沿线段 折叠，得到 ，连接 ． (1)求 ， 的长； (2)当点 落在线段 上，求 的长； (3)连接 ，若 为等腰三角形，求 的值及 ． 【答案】(1) ， ； (2) (3) 的值 面积为 或 ，面积为4． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、正方形折叠 问题 【分析】（1）利用正方形的性质和勾股定理解答即可； （2）利用折叠的性质得到 ，利用三角形的面积公式和正方形的性质得到 正方形 的面积，进而求得 ，再利用勾股定理解答即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答∶①当CF=FD时，连接 ，利用正方形的性质和全 等三角形的判定与性质得到 为等边三角形，则 ，利用折叠的性质解答即可；②当 时利用等腰三角形的性质和正方形的性质得到 为等边三角形，则 ， ，利用折叠的性质解答即可；③不存在 的情形，综上即可得出结论． 【详解】（1）解： 正方形 中， ，E为边 上一点， ， ， ， ， ； （2）当点F落在线段 上，如图，则 ， ， ． ．E为边 上一点， ， ， ， ， ； （3）①当CF=FD时，连接BF，如图， ，．将 沿线段 折叠，得到 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ； 过F作 于N，交 于M， 则 ， 四边形 为矩形， ， ， 为等腰三角形， ， 由折叠的性质得∶ ， ， 的面积 ； ②当 时，如图， ， ， ， 为等边三角形，， ， ， ， 作 于M， 于N，如图所示∶ 则 ， 由折叠的性质得∶ ， ， 为等边三角形， ， 在 中， ， ， 的面积 ； ③不存在 的情形， 综上，若 为等腰三角形， 的值 面积为 或 ，面积为4． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角 三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 118．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，四边形 是正方形，以点 为坐标原点， 分别 在 轴， 轴上，点 在 边上，点 的坐标为 ，点 在 边的延长线上， ，连接 ， 过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 和 ，且 ．(1)求证： 垂直平分 ； (2)求正方形 的边长； (3)求点 的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的判定、根据正方形的性质证明、中点坐标 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，坐标与图形， 熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据： ， ，即可得证； （2）证明 ， 得出 ，进而根据 ， ，即可求 解； （3）根据中点坐标公式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ∴ ∴ 垂直平分 ； （2）解：在正方形 中， ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ∵点 的坐标为 ， ∴ ， ∵ ∴ （3）解：∵ ， ∴ ∴ 又点 的坐标为 ， 是 的中点 ∴ 119．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中， ， 是 边上的中线， 是 的中点，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ． (1)求证：四边形 是菱形； (2)当 满足什么条件时，四边形 是正方形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当 时，四边形 是正方形，理由见解析 【知识点】证明四边形是正方形、证明四边形是菱形、斜边的中线等于斜边的一半、全等的性质和ASA （AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ，由直角三角形的性质可得 ，由菱形的判定可证四边形 是菱形； （2）由等腰三角形的性质可得 ，即可证四边形 是正方形． 【详解】（1）证明： ， ， ，且 ， ， ， 是 的中线， ， ，且 四边形 是平行四边形，且 ， 四边形 是菱形； （2）解：当 时，四边形 是正方形， 理由如下： ， 是中线， ，且四边形 是菱形， 四边形 是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质和等腰三 角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 120．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在 中， ，过点 的直线 ， 为 边上一点．(1)请过点 作 ，交直线 于 ，垂足为 ，（保留作图痕迹，不要求写作法），则 与 的数量关系为 ； (2)当 在 中点时，连接 和 ，判断四边形 的形状，并说明理由； (3)若 为 中点，则当 为多少度时，四边形 是正方形？ 【答案】(1)见解析， (2)四边形 是菱形，理由见解析过程 (3)当 时，四边形 是正方形，理由见解析过程 【知识点】证明四边形是正方形、证明四边形是菱形、利用平行四边形性质和判定证明、等腰三角形的性 质和判定 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的 判定，正方形的判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）先证四边形 是平行四边形，可得 ； （2）先证四边形 是平行四边形，由直角三角形的性质可得 ，可证四边形 是菱形； （3）通过证明 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得 ，可证菱形 是 正方形． 【详解】（1）如图所示： 为所求， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 故答案为： ； （2）四边形 是菱形，理由如下： 由（1）知，四边形 是平行四边形， ， 为 中点， ，， ， 四边形 是平行四边形， ， 为 中点， ， 四边形 是菱形． （3）当 时，四边形 是正方形， 理由如下： ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 为 中点， ， 菱形 是正方形． 121．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图1， 中，点 是 边上的一个动点，过点 作直线 ，设 交 的平分线于点 ，交 的平分线于点 ． (1)线段 与 的位置关系是______；（只写结果，不写证明过程） (2)探究：线段 与 的数量关系，并加以证明； (3)如图2，当点 运动到何处时，四边形 是矩形，并说明理由； (4)在（3）的前提下，直接写出 满足什么条件时，四边形 是正方形． 【答案】(1) (2)结论： ．证明见解析部分 (3)O运动到 中点时，四边形 是矩形．证明见解析部分 (4)当 时，矩形 是正方形．证明见解析部分 【知识点】三角形角平分线的定义、证明四边形是正方形、证明四边形是矩形、根据等角对等边证明边相 等 【分析】（1）由角平分线的定义可求解； （2）由角平分线的性质和平行线的性质可得 ，可得 ； （3）利用矩形的判定可求解； （4）利用正方形的判定可求解．【详解】（1）解：结论： ． 理由如下： 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， 故答案为： ； （2）结论： ． 理由如下 为 的平分线， 为 的平分线， ， ， ， ， ； （3）O运动到 中点时，四边形 是矩形． 理由如下： 为中点， ，且 ， ∴四边形 平行四边形，且 ， ∴四边形 为矩形， ∴当点O运动到 中点时，四边形 为矩形． （4）当 时，矩形 是正方形． 理由如下： ， ， ， ∴矩形 是正方形． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定，正方形的判定，熟 练运用这些性质和判定进行推理是本题的关键． 122．（23-24八年级下·福建宁德·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，则 的度数是 °．【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的判定和性质、根据正方形的性质与判定 求角度 【分析】如图，作 ， 于 ，连接 ，证明四边形 是正方形，则 ， ，证明 是等边三角形，则 ， ，根据 ，求解作答即可． 【详解】解：如图，作 ， 于 ，连接 ， ∴四边形 是矩形， ∵ ， ∴四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形 内角和定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质， 三角形内角和定理是解题的关键． 123．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，在四边形 中， ， ， ， ，则对角线 的长为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合 （ASA或者AAS）、化为最简二次根式 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形 的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．如图，作 于 ， 于 ，则四边形 是矩形，证明 ，则 ， ，可得四边形 是正方形，则 ，设 ，则 ， ，由 ，可求 ，则 ，由勾股定理得， ，计算求解 即可． 【详解】解：如图，作 于 ， 于 ，则四边形 是矩形， ∴ ，即 ， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴四边形 是正方形， ∴ ， 设 ，则 ， ， ∴ ， 解得， ， ∴ ， 由勾股定理得， ， 故答案为： ． 124．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，P是正方形 对角线 上的一点，直线m，n经过点 P且 ，若四边形 与四边形 的面积分别是 ， ，那么四边形 与四边形 的面积之和是 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质与判定求面积、根据矩形的性质与判定求面积、全等的性质和ASA（AAS）综 合（ASA或者AAS）【分析】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，过点P作 于点M， 的延长线与 相交于点R，过点P作 于点N， 的延长线与 相交于 点S，证明四边形 的面积 正方形 的面积 ， ，得到 ，四边形 的面积 正方形 的面积 ， ，则 ，则四边形 与四边形 的面积之和 矩形 和矩形 的 面积之和，即可得到答案． 【详解】解：过点P作 于点M， 的延长线与 相交于点R，过点P作 于点N， 的延长线与 相交于点S， ∵P是正方形 对角线 上的一点， ∴ ， ， ∴四边形 、 都是矩形， ， ， ∴ ， ∴四边形 是正方形， ∴ ∵直线m，n经过点P且 ， ∴ ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， ∴四边形 的面积 正方形 的面积 ∴ ， 同理可证， 是正方形， ， 则四边形 的面积 正方形 的面积 ， ， ∴四边形 与四边形 的面积之和 矩形 和矩形 的面积之和，即四边形 与四 边形 的面积之和故答案为： 125．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）四边形 为正方形，点 为线段 上一点，连接 ，过点 作 ，交射线 于点 ，以 为邻边作矩形 ，连接 ． (1)如图1，求证：矩形 是正方形； (2)若 ， ，求 的长度； (3)当线段 与正方形 的某条边的夹角是 时，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 或 【知识点】全等三角形综合问题、利用矩形的性质证明、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（ ）作 于 ， 于 ，证明 ，得到 ，根据正方 形的判定定理证明即可； （ ）由正方形的性质可得 ， ， ， ， ，由“ ”可证 ，可得 ； （ ）分两种情况：当 与 的夹角为 时，当 与 的夹角为 时，分别画出图形求出结果即 可； 【详解】（1）证明：如图 ，作 于 ， 于 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ，在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴矩形 是正方形； （2）解：∵四边形 是正方形， ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）解： 当 与 的夹角为 时，如图 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ②当 与 的夹角为 时，如图 ， 过 作 于 点，过 作 于 点，∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 为正方形， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， 综上所述： 或 ． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握知识点的应用 及分类讨论思想是解题的关键． 126．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）【问题情境】 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形 中，点 为对角线 上一动 点，连接 ，过点 作 ，交射线 于点 ，以 ， 为边作矩形 ． 【特例探究】 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，当 时，点 与点 重合，此时 可以证明矩形 是正方形． 【探究发现】(1)博学小组发现，如图2，当 时，点 落在 边上，此时，过点 作 于点 ， 于点 ，通过证明 ，进而可以证明出矩形 是正方形，请你帮助博学小组完成 证明． (2)奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，当 时，点 落在 的延长线上． ①此时矩形 还是正方形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． ②当 ，且 时，直接写出 的长． 【答案】(1)见解析； (2)①矩形 还是正方形，理由见解析；② 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质 和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了正方形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，矩形的判定与性质，勾股定理，等 腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形性质与判定是解题关键． （1）利用正方形性质得出 ， ，证明 ，得出 ，由正方 形判定定理解答即可； （2）①过点 作 ， ，垂足分别为 ，利用（1）中方法解答即可； ②求出 ，过点 作 于点 ，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解： 四边形 是正方形， ， 平分 ， ， ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， 四边形 是矩形， 四边形 是正方形； （2）①矩形 还是正方形，理由如下： 如图，过点 作 ， ，垂足分别为 ， ， 四边形 是正方形，， 平分 ， ， ， ， ， ， 矩形 是正方形． ② 四边形 是正方形， ， ， ， 过点 作 于点 ，则 是等腰直角三角形 ， ， ， ， ， ． 127．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）顺次连接某四边形各边中点得到一个相邻两边分别为 ， 的四边形，则原四边形两条对角线长度之和为（ ） A．20 B．18 C．36 D．无法确定 【答案】B 【知识点】中点四边形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 连接 、 ，根据三角形中位线定理求得 ， ，即可计算． 【详解】解：如图，连接 、 ， ∵ 、 分别是 、 的中点， ∴ ， ∵ 、 分别是 、 的中点， ，， 同理 ， ∵顺次连接某四边形各边中点得到一个相邻两边分别为 ， 的四边形， ∴ ， 故选：B． 128．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图①，在四边形 中， ， 是对角线 的中点， 是 的中点， 是 的中点．求证： ． 【应用】如图②，连结图①中的 ，并取 中点 ，连结 、 ． （1）若 ，则四边形 的周长为 ． （2）图③，若 ，且 ，则四边形 的面积为 ． 【答案】见解析；（1）①四边形 的周长为 ；（2） 【知识点】中点四边形、与三角形中位线有关的证明、与三角形中位线有关的求解问题、等腰三角形的性 质和判定 【分析】运用三角形中位线定理和等腰三角形性质即可证得结论； （1）运用三角形中位线定理可得 ， ，再由 ，可得 ，即可得出答案； （2）由（1）得 ，得出四边形 是菱形，再证得 ，得出四边形 是正方形，即可求得答案． 【详解】证明：如图①， 、 、 分别是 、 、 的中点， 、 分别是 、 的中位线，， ， ， ， ． （1）如图②， 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点， ， ， ， ， 四边形 的周长为16； （2）：如图③， 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是菱形， ，， ， 菱形 是正方形， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，菱形和正方形的判定和 性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 129．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形 的四边中点E，F，G，H依 次连接起来得到的四边形 是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接 ． 结合小敏的思路作答： （1）若只改变图1中四边形 的形状（如图2），则四边形 还是平行四边形吗？请说明理由； 参考小敏思考问题的方法，解决以下问题： （2）如图2，在（1）的条件下，若连接 ， ．当 与 满足什么关系时，四边形 是正方 形．直接写出结论． 【答案】（1）是，理由见解析；（2） 且 【知识点】与三角形中位线有关的证明、中点四边形 【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形 的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）结论：四边形 还是平行四边形．连接 ．根据中位线定理证明 ， 即可； （2）利用（1）的结论，可知需要满足 而且 ，由此可知当 与 满足 且 即可． 【详解】解：（1）结论：四边形 还是平行四边形． 理由：如图2，连接 ．、 分别是 、 中点 ， ， 同理： ， ， ， ， 四边形 是平行四边形． （2）结论：当 且 时，四边形 是正方形． 理由：如图3中，由（1）四边形 是平行四边形 、 是 、 中点 同理： 平行四边形 是菱形． ， ， ， ， ， ， 四边形 是正方形． 130．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿 以 的 速度匀速运动到点B，点F运动时， 的面积 随时间 的变化关系图象如图（2），则菱形 的面积为 ．（1） （2） 【答案】 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了四边形的动点问题，菱形的性质，勾股定理等知识，设点A到 的距离为h，根 据动点函数图像求出h， 过点D作 交 的延长线与点E，则 ， 利用勾股定理求出 ，由菱形的性质得出 ，利用勾股定理求出 ，最后计算菱形 的面积即可． 【详解】解：设点A到 的距离为h， 由点F的运动轨迹和速度可知 ， ，且 ， 解得： ， 过点D作 交 的延长线与点E， 则 ， ∴ ， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， 即 ， 解得： ， ∴ ， 故答案为：131．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图 ．在四边形 中， ， ， ， ， ，点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位长度的速度运动．点 从点 出发，沿 方向以每秒 个单位长度的速度向终点 运动． 、 两点同时出发，当点 到达点 时，点 也随之 停止运动．设点 运动时间为 秒． (1)求线段 的长 （用含 的代数式表示）． (2)当以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形时，求 的值． (3)如图 ，若点 为 边上一点，且 ，当 是以 为腰的等腰三角形时，直接写出 的值． 【答案】(1) (2) 或 (3)当 是以 为腰的等腰三角形时， 的值为 或 或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、（特殊）平行 四边形的动点问题 【分析】（1）点 运动到 点时，共用了 ， 总共运动了 ，分两种情况讨论：当 时，当 时，进行计算即可求解； （2）若四边形 为平行四边形，则 ，根据题意得 ，分两种情况讨论：当 时，当 时，进行计算即可求解； （3）过点 作 于点 ，根据矩形的判定与性质以及勾股定理求出 ，根据等腰三角形的性 质得，当 ，则 ，进行计算即可；当 ，过点 作 ，则 ， ，在 中，根据勾股定理得 进行计算即可． 【详解】（1）解：点 运动到 点时，共用了 ， 总共运动了 ， 当 时， ， 当 时， ，综上， ； （2）若四边形 为平行四边形，则 ， 由（2）得， ， 根据题意得， ， 当 时，解得： ， 当 时，解得： ， 综上，当以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形时， 或 ． （3）过点 作 于点 ， ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， 当 时， 则 ， ， 解得： ， 当 ，如图所示，过点 作 ， 则四边形 是矩形，， ， ， 在 中，根据勾股定理得 ，即 ， 解得： 或 ； 综上，当 是以 为腰的等腰三角形时， 的值为 或 或 ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质性质，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的 关键是掌握这些知识点． 132．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形ABCD中， ， ， ， ， ，动点P从A点开始沿 边以 的速度向点D运动，动点Q从点C开始沿 边以 的速度向点B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动 点也随之停止运动．设运动的时间为 ． (1)当t为何值时，四边形 是矩形； (2)当t为何值时，四边形 是平行四边形； (3)问：四边形 是否可以为菱形？若能，求出此时的t值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质，注意掌握 数形结合思想与方程思想的应用是解答本题的关键． （1）在四边形 中， ， ，可得当 时，四边形 是矩形，即可得到方 程 ，解此方程即可得到最后答案； （2）在四边形 中， ，当 时，四边形 是平行四边形，列方程解方程即可； （3）由四边形 是菱形，则四边形 是平行四边形，根据（2）中求解的答案，分析看此时能否 为菱形，求出 ，即可得到 不可能为菱形． 【详解】（1）解：根据题意得： ， ， ∵ ， ，∴ ， ∵在四边形 中， ， ∴当 时，四边形 是矩形， ∴ 解得 ∴当 时，四边形 是矩形； （2）当 时，四边形 是平行四边形， ∴ 解得： ， ∴当 时，四边形 是平行四边形； （3）若四边形 是菱形，则四边形 是平行四边形，根据（2）得， ∴ ． 过点D作 于点R， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ， ， ∴四边形P 不可能是菱形． 133．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在 中， ， ， ， ．过点D作 ，垂足为E，动点P从点D出发沿 方向以 的速度向点A运动，动 点Q同时从点B出发，以 的速度沿射线 运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点 P，Q运动的时间为 ． (1)当 时，求t的值； (2)连接 ，设四边形 的面积为 ，求S与t之间的函数关系式；(3)当点P关于直线 的对称点恰好在直线 上时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)2或6 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、利用平行四边形的性质求解、等边三角形的判定和性质、含 30度角的直角三角形 【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定可知： ，列方程可解答； （2）根据梯形面积公式可解答； （3）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质可求解． 【详解】（1）解： 四边形 是平行四边形， ， 当 时，四边形 是平行四边形， ， ， ； （2）解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， 如图2，当点 的对称点在线段 上时，， ， 是等边三角形， ， ， ； 如图3，当点 的对称点在线段 的延长线上时， ， ， 点 的对称点在线段 的延长线上， ， ， ， ， ， ， ， 综上， 的值是2或6． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质 等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 134．（23-24八年级下·陕西西安·期末）【问题提出】（1）如图1，在 中， ， ． 若 ，求 的长． 【问题解决】（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四 边形 休闲广场．已知 ， ， 米，在对角线 上有一个凉亭 ，测得 米．按规划要求，需过凉亭 修建一条笔直的小路 ，使得点 ， 分别在边 ，上，连接 ， ，其中四边形 为健身休闲区，其他区域为景观绿化区．按此要求修建的这 个健身休闲区（四边形 ）是否存在最小面积？若存在，求出最小面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ；（2）存在最小面积，四边形 的最小面积为 平方米． 【知识点】四边形其他综合问题、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）由 可得 ，根据 ，可得 ，最后根据勾股定理即可求 解； （2）先证明 ，得到 ， ， 米，过点 作 交于点 ，过点 作 交于点 ，得到 ，由 ，可得当 ， 时， 和 最小，此时 最小，由勾股定理求出 ，即可求解． 【详解】解：（1） ， ， ， ， ， ，即 ， ； （2）存在最小面积， ， ， ， ， 又 ， ， ， 米， 过点 作 交于点 ，过点 作 交于点 ， ， ， ， ，当 ， 时， 和 最小，即 ，此时 最小， 由勾股定理可得： ，即 ， 米， 平方米， 存在最小面积，四边形 的最小面积为 平方米． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含 角的直角三角形的性 质，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 135．（23-24八年级下·青海西宁·期末）小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探 究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂 美四边形． 【概念理解】 （1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是_______．（填写相应的序号） 【类比学习】 （2）如图1，若 ， ，则 _____； 【性质探究】 （3）探究垂美四边形的四条边 之间的数量关系：（将下列探究过程补充完整） 在 中 在 中 在 中 在 中 __________ __________【问题解决】 （4）如图2，在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，且 ，垂足为 ．若 ， ，则 的长为__________． 【答案】（1）③④（2） （3） 或 （4） 【知识点】四边形其他综合问题、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据垂美四边形的特征，对角线互相垂直，去判定，在①平行四边形②矩形③菱形④正方 形中，只有菱形，正方形的对角线互相垂直，解答即可． （2）根据图形面积的计算，得到垂美四边形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可． （3）分别求和，得到 解答即可． （4）根据点 ， 分别是边 ， 的中点，且 ， ，得到 ， ， ，结合 ，根据结论（3）列式计算即可． 本题考查了特殊四边形的对角线性质，勾股定理，三角形中位线定理，图形面积分割法计算，熟练掌握勾 股定理，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵垂美四边形的特征，对角线互相垂直， ∴①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，只有菱形，正方形的对角线互相垂直， 故答案为：③④． （2）解：根据题意，得 , ∵ ， ， ∴ ， 故答案为： ． （3）解：∵在 中 ， 在 中 ， 在 中 ， 在 中 ，∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： 或 ． （4）解：∵点 ， 分别是边 ， 的中点，且 ， ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得 （舍去）， 故答案为： ． 136．（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图1，在矩形 中， ，E是 边上的一个 动点（点E不与B、C重合）， ，垂足为点F，过点D作 ，交 的延长线于点G． (1)若 ， ①求证：四边形 是菱形；②求四边形 的周长； (2)如图2， 于点M， 于点N，探究： ①当 为何值时，四边形 是正方形； ②点E在 边上的运动过程中，四边形 的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积； 若变化，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②12； (2)①当 时，四边形 是正方形；②不发生变化，理由见解析 【知识点】证明四边形是菱形、根据正方形的性质证明、四边形其他综合问题 【分析】本题主要考查平行四边形性质，全等三角形的性质，矩形的性质，正方形的性质等知识； （1）①由两组对边平行的四边形是平行四边形可证四边形 是平行四边形，再证 ，可 得 ，即可得结论； ②由全等三角形的性质和矩形的性质可得 ，由勾股定理可求 的长，可求 ，即可求解； （2）①由题意可证四边形 是矩形．由正方形的性质可得 ，可得 ，可得 ，即可求解； ②由 ，可得结论． 【详解】（1）证明：①∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴四边形 是平行四边形， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是菱形； ②在矩形 中， ， ∵ ， ∴ ， ∴在 中， ， ∴ ， ∴四边形 的周长 ； （2）①∵ ， ∴ ． ∵ ． ∴ ． ∴四边形 是矩形． 要使四边形 是正方形，必须 ． ∵ ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ． ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ 是等腰直角三角形，∴ ， ∴ ， ∴当 时，四边形 是正方形； ②点E在 边上的运动过程中，四边形 的面积不发生变化， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是矩形． ∴ ， 即点E在 边上的运动过程中，四边形 的面积为定值20． 137．（23-24八年级下·江西赣州·期末）【提出问题】 如图，在人教版八年级下册数学教材第18章平行四边形的复习题中有这样一道题： 求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的 ．（此空不填） 小红在探究该问题时从特殊的平行四边形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题： 【探究问题】（1）①在正方形 中，设其边长为a，则对角线 和a的数量关系有： ； ②在菱形 中，设其边长为a，则对角线 和a的数量关系有： ； ③在矩形 中，设 ，则对角线 和a，b 的数量关系有： ； 【解决问题】（2）如图1，在 中，设 ，猜想对角线 和a，b的数量关系有： 并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形 中， ，点M为 的中点，求 的长． 【答案】（1）① ；② ；③ ；（2） ，证明见解析；（3） 【知识点】四边形其他综合问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA （AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）①由四边形 是正方形，得 ，运用勾股定理求出 ，即可得到结果；②由四边形 是菱形，得 ，在 中，由 ，得到 ，即可得到结果；③由四边形 是矩形，得 ，运用勾股定理求出 ，即可得到结果； （2）分别过点A，D作 ， ，垂足分别为E，F．证明 ，运用勾股定 理求出 ，即可解答； （3）连接 ，延长 至点N，使 ，连接 ．证明四边形 是平行四边形，由（1） 得 ，运用勾股定理求出 ，即可解答． 【详解】解：（1）①如图， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ； ②如图， 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， ； ③如图，四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ； （2） 证明：如图，分别过点A，D作 ， ，垂足分别为E，F． ∴ ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ． ∴ ∴ ． ∴ ， 设 ， ，则 ， ． 在 中， 在 中， ∴ ． ∵在 中， ， ∴ ． ∴ ； （3）如图，连接 ，延长 至点N，使 ，连接 ．又 ， ∴四边形 是平行四边形． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾 股定理，本题的关键是构造直角三角形，运用勾股定理解题． 第十九章 一次函数 138．（23-24八年级下·河北唐山·期末）下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（ ） A．圆的面积公式 中， 是 的函数 B．同一物质，物体的体积是质量的函数 C．光线照到平面镜上，入射角为 ，反射角为 ，则 是 的函数 D．表达式 中 是 的函数 【答案】D 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量 与 ，对于 的每一个确 定的值， 都有唯一的值与其对应，那么就说 是 的函数， 是自变量，据此即可判断求解，掌握函数 的定义是解题的关键． 【详解】解： 、圆的面积公式 中， 是 的函数，该选项正确，不合题意； 、同一物质，物体的体积是质量的函数，该选项正确，不合题意； 、光线照到平面镜上，入射角为 ，反射角为 ，则 是 的函数，该选项正确，不合题意； 、表达式 中，给定一个 的值，有两个 的值与之对应，所以 不是 的函数，该选项 错误，符合题意； 故选： ． 139．（23-24八年级下·山东临沂·期末）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．已知函数 ，则它的“Y函数”解析式为 ． 【答案】 【知识点】函数解析式、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与图形变换—轴对称，函数的解析式，设原图像上的一点为 ，两个函数的 图象关于y轴对称，得到互为“Y函数”的函数上一点坐标为 ，代入函数解析式即可求解． 【详解】解：设函数 的图像上的一点为 ， 则关于y轴对称的点为 ， 将点 代入 ， 得 ， 故答案为： ． 140．（23-24八年级下·云南红河·期末）在函数 中，自变量 的取值范围是（ ） A． B． C． 且 D． 【答案】C 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式的非负性，分式的分母不为 是解题的关键． 利用二次根式的非负性，分式的分母不为 得出不等式求解即可． 【详解】解：由函数 ， 可得： ， 解得： 且 ， 故选：C． 141．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，线段 的长为 ，点C是线段 上一动点（点C不与 A，B重合），分别以 ， 为边，在 同侧作正方形．设线段 的长为 ，两正方形的面积和 为 ．(1)写出两正方形的面积和 关于线段 的长 的函数解析式及自变量的取值范围； (2)当 时，求此时两正方形的面积和S． 【答案】(1) (2)10 【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围、求自变量的值或函数值 【分析】此题考查了应用函数概念解决实际问题的能力，关键是能根据题意准确列出函数解析式，并能进 行相关的计算． （1）分别用x表示出两个正方形的面积，即可得出结果； （2）按照（1）结果代入x的值进行计算，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ． 自变量x的取值范围是 ． （2）解：当 时， ． ∴当 时，此时两正方形的面积和S为10． 142．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图1，是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是 一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变 的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度 （即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（单位： ）随 的长度x（单位： ）的变化规律如图2所示． (1)指出图中点P坐标的实际意义； (2)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围：(3)直接写出B，D之间距离的变化范围． 【答案】(1)当 的长度为 时，千斤顶的高度为 ； (2) (3)大于等于 ，小于等于 ． 【知识点】化为最简二次根式、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、用关系式表示变量间的 关系 【分析】（1）根据题意可得点P的坐标的实际意义为当 的长度为 时，千斤顶的高度为 ； （2）连接 交 于O，当 时， ，由菱形的性质得到 ，则由勾股定理得到 ，当 时，则 ，由勾股定理得 ，则 ； （3）根据（2）所求分别求出当 和 时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，点P的坐标的实际意义为当 的长度为 时，千斤顶的高度为 ； （2）解：如图所示，连接 交 于O， 当 时， ， ∵四边形 是菱形， ∴ ， 在 中，由勾股定理得 ； 由于菱形的边长不发生变化， ∴ 是定值， 当 时，则 ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ，即 ； （3）解：在 中，当 时， ；当 时，； ∴B，D之间距离的变化范围为大于等于 ，小于等于 ． 【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，菱形的性质和勾股定理，正确读懂函数图 象是解题的关键． 143．（23-24八年级下·山西长治·期末）下列选项中， 不是 函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量 每取一个值， 都有唯一确定的值与之对应，则 叫 的函数，据此即可得判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解： 、自变量 每取一个值， 都有唯一确定的值和它对应， ∴ 是 函数，该选项不合题意； 、自变量 每取一个值， 有两个值和它对应， ∴ 不是 函数，该选项符合题意； 、自变量 每取一个值， 都有唯一确定的值和它对应， ∴ 是 函数，该选项不合题意； 、自变量 每取一个值， 都有唯一确定的值和它对应， ∴ 是 函数，该选项不合题意； 故选： ． 144．（23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图，向高为 的圆柱形水杯中注水，已知水杯底面圆半径为 ， 那么注水量与水深的函数关系的图象是（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题主要考查了函数的图象的知识点，根据圆柱形水杯是均匀的物体，随着水的深度变高，需要 的注水量也是均匀升高，判断函数为正比例函数关系式，正确理解函数的图象是解题的关键． 【详解】由于圆柱形水杯是均匀的物体，随着水的深度变高，需要的注水量也是均匀升高的，可知， 只有选项 适合均匀升高这个条件， 故选： ． 145．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图1， 地在 地的正东方向，某一时刻，乙车从 地开往 地， 1小时后，甲车从 地开往 地，当甲车到达 地的同时乙车也到达 地．如图2，横轴 （小时）表示两 车的行驶时间（从乙车出发的时刻开始计时），纵轴 （千米）表示两车与 地的距离． (1) ， 两地相距多少千米？ (2) 和 两条线段分别表示两车距 地的距离 （千米）与行驶时间 （小时）之间的关系，请问哪一条 线段表示甲车？ (3)求两车相遇时距 地多少千米？ 【答案】(1)400千米 (2)线段 (3) 千米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关 键． （1）由函数图象可知， 、 两地相距400千米； （2）由于乙车比甲车先出发1小时，则当 时甲车距离A地的距离为0，据此结合函数图象可得答 案；（3）设两车相遇时距A地 千米， 由函数图象可知，甲车的速度为 ，乙车的速度为 ， 再根据时间 路程 速度列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知， ， 两地相距400千米； （2）解： 乙车从 地开往 地，1小时后，甲车从 地开往 地， 乙车比甲车先出发1小时，则当 时甲车距离 地的距离为0， 线段 表示甲车距 地的距离与行驶时间的关系； （3）解：设两车相遇时距 地 千米， 由函数图象可知，甲车的速度为 ，乙车的速度为 ， ，解得 ， 答：两车相遇时距 地 千米． 146．（23-24八年级下·河南南阳·期末）小强在学习菱形时遇到了这样一个问题：如图①，菱形 中， ， ，点 是 上的动点，点 是 的中点，连接 、 ，当 是等腰三角形 时，求线段 的长度．小强分析尝试结合学习函数的经验探究此问题．请将下面的探究过程补充完整： 根据点 在 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 ， ， 的长度，得到下表对应值． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 1. 1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 5 8 5 8 5 4 3 2 2 5. 4. 3. 3. 3. 3. 4. 5. 0 2 6 2 2 6 2 0 (1) 的值是 ． (2)将线段 的长度作为自变量 ， ， 的长度都是关于 的函数，分别记为 ， ，并在坐标系中 画出了 的函数图象，如图②所示，请在同一平面直角坐标系中描点，并画出 的函数图象． (3)观察图象，可知函数 有最小值，请你利用学习过的几何知识，直接写出 的最小值．（写出准确值）(4)在点 从 移动到 的过程中，当 时，直接写出 的长度． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3) 的最小值为 (4) 【知识点】用描点法画函数图象、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱 形的性质求线段长 【分析】（1）设 交于点 ，根据菱形的性质可得 ，从而可得当 时，则点 与点 重合，由此即可得； （2）利用描点法画出函数图象即可得； （3）设 交于点 ，连接 ，根据垂线段最短可得当 时， 的值最小，先根据直角三 角形的性质可得 ，再根据等腰三角形的三线合一可得 ，然后根据三角形中位线定 理求解即可得； （4）先利用菱形的性质可得 ，再根据表格的数值求解即可得． 【详解】（1）解：如图，设 交于点 ， ∵在菱形 中， ， ， ∴ ， 当 时，则点 与点 重合， ∴此时 ， ∴ ， 故答案为：3． （2）解：利用描点法画出 的函数图象如下：（3）解：如图，设 交于点 ，连接 ， 由垂线段最短可知，当 时， 的值最小， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ∵点 为 的中点， ∴ ， ∴ （等腰三角形的三线合一）， ∴ 是 的中位线， ∴ ， 即 的最小值为 ． （4）解：如图，设 交于点 ， ∵在菱形 中， ， ，∴ ， ， ∴ ， ∵点 为 的中点， ∴ ， 由表格可知，当 时， 或 （舍去）， 所以 的长度为 ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、画函数图象、直角三角形的性质、等腰三角形的三线合一、三角形中位 线定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 147．（23-24八年级下·全国·期末）如图 ，点 从 的顶点 出发，沿 匀速运动到点 ， 图 是点 运动时，线段 的长度 随时间 变化的关系图象，其中 为曲线部分的最低点，则 的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，根据图象可知点 在BC上运动时，此时 不断增大， 而从 向 运动时， 先变小后变大，从而可求出线段长度解答，读懂图象，从函数图象中获取信息是 解题的关键． 【详解】根据题意观察图象可得 ， 当点 在 上运动时， 时， 有最小值， 观察图象可得， 的最小值为 ， 即 时， ， 又∵ ， 因点 从点 运动到点 ，根据函数的对称性可得 ， ∴ 的面积是 ， 故选： ． 148．（23-24八年级下·北京平谷·期末）如果函数 是正比例函数，那么（ ） A． 或 B． C． D．【答案】C 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的概念，根据正比例函数定义可得 且 ，再解即可，解题 关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数 的定义条件是： 为常数且 ，自变量次数为 ． 【详解】解：∵函数 是正比例函数， ∴ 且 ， 解得： ， 故选： ． 149．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）将 的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每 个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是 1，正方形 的顶点都在格点上，若直线 与正方形 有两个公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】分别确定点A和点C的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k的取值范围． 本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是求得点A和点C的坐标． 【详解】解：由题意得：点A的坐标为 ，点C的坐标为 ， 当正比例函数 经过点A时， ， 当经过点C时， ， 解得 ， ∵直线 与正方形 有两个公共点， ∴k的取值范围是 ， 故答案为： ． 150．（23-24八年级下·广东东莞·期末）2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小明同学 在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每 记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 15 30 45 60 75 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出y关于t的函数解析式； (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下一天的漏水量． 【答案】(1)见解析； (2) ； (3) 【知识点】用描点法画函数图象、正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题考查的是在坐标系内描点，利用待定系数法求解函数的解析式，求解函数的函数值，熟悉利 用待定系数法求解正比例函数是解析式是解本题的关键． （1）根据表格信息，在平面直角坐标系内描出各点连线即可； （2）根据图象得，y是关于t的正比例函数，再利用待定系数法求解函数的解析式即可； （3）把 代入函数的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示．（2）根据图象得，y是关于t的正比例函数， 设函数解析式为 ． 把 代入 ，得 ． 解得 ． ∴y关于t的函数解析式为 ． （3）当 时， ． 答：估计这种漏水状态下一天的漏水量有 ． 151．（23-24八年级下·广东广州·期末）关于函数 （k为常数），下列说法不正确的是（ ） A．当 时，该函数是一次函数 B．若点 ， 在该函数图象上，且 ，则 C．若该函数图象不经过第四象限，则 D．该函数图象恒过点 【答案】C 【知识点】识别一次函数、已知函数经过的象限求参数范围、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的定义，一次函数的性质等； A.由一次函数的定义得即可判断； B.将点 ， 代入解析式，由 ，即可判断； C.当 时，当 时，即可判断； D.解析式化为 ，当 时，即可判断； 理解一次函数定义及性质是解题的关键． 【详解】解：A.由一次函数的定义得，结论正确，不符合题意； B. ， ， ， ，解得： ，结论正确，不符合题意；C.当 时， ， ，此时不经过第四象限；当 时， 函数图象不经过第四象限， ，解得 ； ，结论错误，符合题意； D. ，当 时， ， ， 函数图象恒过点 ，结论正确，不符合题意； 故选：C． 152．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）当 时，函数 是一次函数． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查一次函数及求平方根，由一次函数的定义知x的指数为1，由此列方程即可求解． 【详解】解： 函数 是一次函数， ， ， ， 153．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）已知一次函数 （k，b是常数，且 ）． (1)若 ，此函数的图象过下列哪个点 ； A． B． C． D． (2)若该函数的图象经过 ， 两点， ①当 时，求函数值y的取值范围． ②当 时，对于x的每一个值，函数 的值都大于函数 的值，则t的取值范围为 【答案】(1)D (2)① ；② 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质． （1）把 代入 得 ，即可判断此函数的图象过点 ； （2）①先用待定系数法求出一次函数解析式，由 ，y随x的增大而减小，即可求解； ②根据①的结论，结合函数 的值都大于函数 的值，列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：若 ，即当 时， ， ∴此函数的图象过点 ， 故答案为：D； （2）解：将 ， 两点，代入 得 ，解得 ， 所以一次函数为 ， ①∵ ， ，y随x的增大而减小， 当 时， ， ∴当 时， ， 即当 时，y的取值范围为 ； ②当 时 ， ， ∵函数 的值都大于函数 的值， ∴ ， 解得 ， 故答案为： ． 154．（23-24八年级下·广东江门·期末）已知 分别是 的三条边长， 为斜边长， ， 我们把关于 的形如 的一次函数称为“勾股一次函数”，若点 在“勾股一次函数”图象 上，且 的面积为9，则 的值为 ． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、列一次函数解析式并求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，完全平方公式的变形运用，掌握以上知识的综合运用是 解题的关键． 根据一次函数的性质可得 ，根据勾股定理可得 ， ，根据完全平方公式的变 形运算即可求解． 【详解】解：根据题意，点 在“勾股一次函数” 的图象上， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ 是直角 的三边， 为斜边， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得， （负值舍去），故答案为： ． 155．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）两个一次函数 与 ，它们在同一直角坐标系 中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象逐项判断m、n的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的m、n的正负一 致，即为正确选项； 【详解】解：A、由 的图象可知， ， 即 ；由 的图象可知， ， ，两结论相矛 盾，故本选项错误，不符合题意； B、由 的图象可知， ， 即 ；由 的图象可知， ， ，两结论一致，故本选项正 确，符合题意； C、由 的图象可知， ， 即 ；由 的图象可知， ， ，两结论相矛盾，故本选 项错误，不符合题意； D、由 的图象可知， ， 即 ；由 的图象可知， ， ，两结论相矛盾，故本选 项错误，不符合题意； 故选：B． 156．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知一次函数 的图象不经过第四象限． (1)求 的取值范围； (2)当 时，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)在（2）的情况下，当 时，根据图象求出 的取值范围．【答案】(1) 的取值范围是 (2)图见详解 (3) 的取值范围是 【知识点】求一次函数自变量或函数值、已知函数经过的象限求参数范围、画一次函数图象 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意不等式组即可求解； （2）根据 ，求出一次函数解析式，然后画函数图像即可． （3）将 和 分别代入 中，分别求出 的值，即可求出 的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数 的图象不经过第四象限， ∴ ， 解得 ， ∴ 的取值范围是 ． （2）解：当 时，一次函数解析式为 即 ， 在图上画上该函数的图象如下： （3）解：将 和 分别代入 中， 可分别得出 和 ， ∴当 时， 的取值范围 ． 157．（23-24八年级下·山西长治·期末）(阅读与思考)阅读下列材料，完成相应任务． 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，高斯函数 也常应用于生活、生产的各个领域，高斯函数也叫取整函数，其符号 表示不超过 的最大整数，如： ， ， ．我们规定函数 ． 任务： (1)求当 时，因变量 的值______； (2)在所给的平面直角坐标系中补全函数 的图象；(先填写下表，再描点、连线) (3)根据作出的函数图象写出函数值 的取值范围； (4)根据作出的函数图象写出函数的两条性质． 【答案】(1) ； (2)补全表格、图象见解析； (3) ； (4)见解析．（答案不唯一） 【知识点】求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息、画一次函数图象、判断一次函数的增减性 【分析】（ ）根据定义即可求解； （ ）根据定义填好表格，再根据表格中的数值补全函数图象即可； （ ）根据函数图象即可求解； （ ）根据函数图象即可写出两条性质即可； 本题考查了函数的新定义，画一次函数图象，一次函数的性质，理解函数的新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴ ，故答案为： ； （2）解：填表如下： 补全函数图象如下： （3）解：由函数图象可得，函数值 的取值范围为 ； （4）解：由函数图象可得函数的两条性质：①当 时， 随 的增大而增大；②当 取整数时， 的值取最小 ． 158．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在直角坐标系中画出一次函数 的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当 时，y的取值范围是 ； (3)将直线 沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式．【答案】(1)4 (2) (3) 或 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各 点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【详解】（1）解：一次函数 的图象如图： 令 ，解得 ，令 ，则 ， ∴直线与x轴交点坐标为 ，与y轴交点坐标为 ， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ， 故答案为：4； （2）解：由图可知，当 时，y的取值范围为 ， 故答案为： ； （3）解：将直线 沿y轴平移3个单位长度得 ，即 或 ． 159．（23-24八年级下·吉林·期末）已知 关于 的一次函数 ． (1)若 随 的增大而减小，求 的取值范围； (2)若 ，当 时，直接写出 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一次函数增减性求参数【分析】该题主要考查了一次函数的定义，一次函数的增减性，解题的关键是理解题意． （1）根据一次函数的图象及性质可得 ，解不等式即可； （2）由 得： ，当 时， ，当 时， ，根据 随 的增大而增大，进 而可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， ； （2）解：∵ ， ， 当 时， ， 当 时， ， ∵ 随 的增大而增大， ∴当 时，求 的取值范围为： ． 160．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）学习函数时，王老师带领同学们探索了函数 的图象和 性质，部分过程如下：自变量 的取值范围是全体实数， 与 的几组对应值如下表所示： … 0 1 2 3 4 … … 3 2 1 0 1 2 3 4 5 … 根据表格中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分． (1)请补全该函数的图象； (2)观察该函数图象，写出该函数的一条性质： ________； (3)已知函数 （其中 为常量），当自变量的取值范围是 时，该函数的最大值为 ， 请求出满足条件的 的值． 【答案】(1)见解析 (2)对称轴是 （答案不唯一） (3) 的值为 【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题主要考查了一次函数性质、一次函数的图象等知识点，掌握数形结合是解题的关键．（1）根据表格数据，画出函数图象即可； （2）根据函数图象，写出一条性质即可； （3）在自变量 范围内，分 、 两种情况分别利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：补全函数图象如下： （2）解：函数图象的对称轴是 （答案不唯一） （3）解：①若 ，即 ，当 时，函数取最大值， ∴ ，即 （舍去）． ②若 ，即 ，当 时，函数取最大值， ∴ ，即 ，解得 ，符合题意． 综上，满足条件的 的值为 ． 161．（23-24八年级下·河北张家口·期末）已知y关于x的函数 ． (1)若该函数是正比例函数，求k的值； (2)若 ． ①写出该函数图象经过的象限； ②若点 ， 在该函数的图象上，且 ，比较 与 的大小关系． 【答案】(1) (2)①该函数图象经过第一、三、四象限；② 【知识点】正比例函数的定义、求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限、比较一次函 数值的大小 【分析】本题考查了正比例函数的定义、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的性质． （1）根据正比例函数的定义即可求得 的值； （2）①当 时， ，根据一次函数的系数及常数项即可判断该函数图象经过的象限；②由 ，可知 随 增大而增大，结合 可得结论． 【详解】（1）解：∵函数 是正比例函数， ∴ 且 ，即 且 ，∴ ； （2）①当 时， ， ∴该函数图象经过第一、三、四象限； ②∵ ， ∴ 随 增大而增大， 则当 时， ． 162．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知直线L： 交x轴于点A，交y轴于点 ， 点 ， ，…在直线L上点 ， ， ，…在x轴的正半轴上，若 ， ， ，…均 为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则点 的坐标为 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数的规律探究问题、等腰三角形 的定义 【分析】本题考查数字规律型、一次函数图象与性质、等腰直角三角形的性质，根据题意求得 ，根 据等腰三角形的性质可得 ，即 ，从而求得 ，进而求得 ， ， 总结出规律，即可求解． 【详解】解：∵ 交y轴于点 ， ∴ ， ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵若 ， ， ，…均为等腰直角三角形， ∴ ， ， ⋯， ∴ ，∴点 的坐标为 ， 故答案为： ． 163．（23-24八年级下·四川成都·期末）一次函数 与 的图象如图所示，则下列说法中正 确的是（ ） A． B． C．当 时， D． 【答案】D 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知直线与坐标轴交点 求方程的解、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数图象和性质，根据一次函数图象所过象限，与坐标轴交点情况，一次函数与一 元一次不等式，以及一次函数与一元一次方程关系，对选项逐项判断，即可解题． 【详解】解：由图知， 过一、二、四象限， ， 故选项A不正确，不符合题意； 由图知， ， ， ， 故选项B不正确，不符合题意； 由图知，当 时， ， 故选项C不正确，不符合题意； 由图知， 与 的交点横坐标为 ， 的解为 ， 成立， 故选项D正确，符合题意； 故选：D． 164．（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与y轴交于点A， 与x轴交于点B，另一条直线经过点A和点 ，且与x轴交于点D．(1)求直线 的解析式； (2)求 的面积． 【答案】(1) (2)75 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解答 本题的关键是明确题意，用数形结合的思想解答． （1）先直线 的解析式求出A点坐标，再根据点A与点C的坐标即可求得直线 的解析式； （2）根据直线 的解析式求得点B的坐标，根据直线 的解析式求得点D的坐标，再根据点A的坐标 即可求得 的面积． 【详解】（1）∵直线 与y轴交于点A， 当 时， ， ∴ ． 设直线 的解析式为 ， ∵直线 过 ， ， ∴ ， 解得 ∴直线 的解析式为 ； （2）∵直线 与x轴交于点B， 当 时， ， ∴ ， ∵直线 与x交于点D， 当 时， ， ∴ ， ∴ ，∵ ， ∴ 的面积 ． 165．（23-24八年级下·广西河池·期末）综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数 的图象． (1)列表： x … 0 1 2 … y … 3 m n 3 … 表格中 _____________， _____________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1：_____________； 结论2：_____________； (4)写出关于 的方程 的解，并简单说明此方程的解是如何得到的． 【答案】(1)1；1 (2)见解析 (3)函数 有最小值，最小值为 ；函数 的图象关于直线 对称 (4) ，理由见解析 【知识点】画一次函数图象、利用图象法解一元一次方程 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的 意义是解题的关键． （1）分别把 和 代入函数解析式，即可求解； （2）根据表格选取点 ，点 作射线，选取点 ，点 作射线，即可解答； （3）观察（2）中的函数图象，从最小值，对称性，增减性等方面总结即可； （4）画出函数 和 的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解．【详解】（1）解： ； 故答案为：1；1 （2）解：如图， （3）解：根据题意得： 结论1：函数 有最小值，最小值为 ； 结论21：函数 的图象关于直线 对称； （4）解：方程 的解为： ，理由如下： 画出函数 和 的图象，如图所示： 函数 和 的图象交点坐标分别为 ， ∴关于 的方程 的解为： ． 166．（23-24八年级下·云南红河·期末）一次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A． B． C．y随x增大而增大 D．当 时， 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、判断一次函数的增减性、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由一次函数的图象得出一次函数的图象与坐标轴交点坐标， 即可求出解析式，及函数的增减性采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得：一次函数的图象与坐标轴交点坐标为 ， ，解得： ， 一次函数的解析式为： ， y随x增大而减小，当 时， ， 选项A，B，C错误，选项D正确， 故选：D． 167．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，直线 与 轴相交于点 ，与直线 相交于点 ． (1)填空： ①线段 的长度为 ； ②方程组 的解为 ；(2)结合图形直接写出 的解集； (3)求 的面积． 【答案】(1)① ；② (2) (3) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集、求直线围成的图形 面积、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①解方程得到 ， ，得 ，根据勾股定理得 ，代入 数据计算即可； ②根据一次函数与二元一次方程组的关系即可得到结论； （2）根据图形可知，两函数图象的交点 ，再结合图形可得结论； （3）利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：①在 中， 当 时， ；当 时， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴线段 的长度为 ， 故答案为： ； ②∵直线 与直线 交于点 ， ∴方程组 的解为 ， 故答案为： ； （2）∵直线 与直线 交于点 ，直线 与 轴交于点 ， 当 时，直线 的图象在直线 的下方且在 轴的上方， ∴ 的解集为 ； （3）∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ，∴ 的面积为 ． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理，一次函数 与二元一次方程组的关系，利用图象解不等式，三角形的面积等知识点，掌握一次函数的图象与性质，利 用图象解不等式及求三角形的面积是解题的关键． 168．（23-24八年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象经过 点 和 ， (1)求该一次函数的解析式； (2)在所给的坐标系中画出该一次函数的图象，若点P是该一次函数的图象与函数 的图象的交点， 求点P的坐标． 【答案】(1) (2)作图见解析； 【知识点】求一次函数解析式、画一次函数图象、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点与二元一次方程组得解，熟练掌握利用 待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键； （1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）先描出点A、点B，再连线画图象即可，联立 并求解，即可求出交点坐标． 【详解】（1）解： 一次函数 的图象经过点 和 ， ， 解得 ， 该一次函数的解析式为 ；（2）解：作图如下： 联立 ， 解得 ， 点P是该一次函数的图象与函数 的图象的交点， ． 169．（23-24八年级下·福建泉州·期末）（1）知识再现： 如图1，在 中， ，顶点C在直线l上．过点A、B分别作 于点D， 于点E，求证： ． （2）活动探究： 我们知道，在平面直角坐标系中，点 的位置与n的取值有关．小明同学想研究点N的位置 是否均在某一个函数图象上，于是联想到课本中的方法：①研究函数图象性质的方法，即列表、描点、连 线、验证；②类比解方程组的消元法，即设 ， ，用消元法可求得y与x的关系，即可以 知道点N在什么函数的图象上． 请你任选上述一种方法判断：对于m取任意一实数，相应的点 是否在某一个函数图象上？ 请说明你的判断理由． （3）拓展应用： 如图2，在直角坐标系中，点 轴于点A, 轴于点C,P是线段 上的一个动点，第一 象限内的点Q是直线 与直线 的交点，点R在平面内．若以A、P、Q、R，为顶 点的四边形是以 为对角线的正方形，求a的值．【答案】（1）见解析；（2）符合点M在直线 上；（3） 或 【知识点】求一次函数解析式、图象法解二元一次方程组、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者 AAS）、等腰三角形的定义 【分析】（1）利用“ ”证明即可； （2）方法一：画出图象，根据图象即可发现这些点在同一直线上，利用待定系数法求解即可； 方法二：设 ， ，用消元法可求y与x的表达式； （3）求得Q点坐标，可得点 在直线 上，分两种情况：通过证得三角形全等，得 出关于a的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明： ， ， ． 在 与 中， ， ． （2）解：点 在 的图象上． 方法一： 列表： … 0 1 2 3.5 … … 0 1 2.5 … … …描点：如图 连线：如图 通过描点观察发现这些点在同一直线上， 设一次函数的解析式为 ，取点 和点 代入 ， 得 ，解得 ， 所以y和x的函数关系式为 ， 验证：当 时， ， 所以符合点M在直线 上． 方法二： ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴y和x的函数关系式为 ． ∴符合点M在直线 上． （3）解：由 ，得 ， 所以点 ． 由题可知以A、P、Q、R为顶点的四边形是以 为对角线正方形有两种情形． （1）情形一： 点Q在线段 下方，如图，因为四边形 是正方形，所以 ， 过Q作直线 轴于点M，交线段 与点N，同理（1）得 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ； （2）情形二： 点Q在线段 上方，如图，因为四边形 是正方形，所以 ， 过Q作直线 轴于点M，交 所在直线于点N， 同理（1）得 ， 所以 ，因为 ， 所以 ，所以 ． 综上 或 ． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程、求一次函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三 角形的性质、作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 170．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）某乐队举行专场音乐会，为学校师生提供了两种优惠方案，教师 票每张100元，学生票每张50元．方案一：购买一张教师票赠送1张学生票；方案二：按总价的 付款． 新星学校有4名教师与 名学生购票听音乐会，若付款总金额为 （元）． (1)分别写出两种方案中 与 的函数关系式； (2)至少有多少名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜？ 【答案】(1)方案一中 与 的函数关系式为 ，方案二中 与 的函数关系式为(2)至少有13名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，正确理解两种优惠方案是解题关键． （1）方案一：根据付款总金额 4名教师的费用 名学生的费用即可得；方案二：根据付款总金额 （4名教师的费用 名学生的费用）即可得； （2）结合（1）的答案，根据选择方案二的购票方案比方案一便宜建立一元一次不等式，解不等式求出 的最小正整数解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：方案一： ， 方案二： ， 答：方案一中 与 的函数关系式为 ，方案二中 与 的函数关系式为 ． （2）解：由题意得： ， 解得 ， ∵ 为正整数， ∴ 的最小值为13， 答：至少有13名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜． 171．（24-25八年级上·四川成都·期末）2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉 和橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元． (1)请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？ (2)该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其 中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是 多少？ 【答案】(1)香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元 (2)总利润的最大值是 元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系， 正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元，根据“购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千 克香蕉和2千克橙子共需28元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进 千克橙子， 利用总利润＝每千克香蕉的销售利润×购进香蕉的数量+每千克橙子的销售利润×购进橙子的数量，可找出 w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【详解】（1）解：设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元， 根据题意得： ， 解得： ． 答：香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元； （2）设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进 千克橙子， 根据题意得： ， 即 ， ∵ ， ∴w随m的增大而减小， 又∵ ， ∴当 时，w取得最大值，最大值为 （元）． 答：总利润的最大值是 元． 172．（23-24八年级下·云南红河·期末）文化赋能乡村振兴，某县以文明实践引领乡村治理，在群众聚集 地打造文化墙，以文化人、以文惠民、以文兴城，该县现欲购买 、 两种绘画工具用于打造文化手绘墙． 已知每件 种工具的单价比每件 种工具便宜 元，用 元购买 种工具的数量和用 元购买 种工具 的数量相同． (1)求 、 两种工具的单价各是多少元． (2)该县计划购买 、 两种工具共 件，且 种工具的数量不大于 种工具数量的 倍，请你帮忙设计出 最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 【答案】(1) 种工具的单价是 元，则 种工具的单价是 元 (2)最省钱的购买方案是购进 种工具 件，购进 种工具 件，最低购买费用为 元． 【知识点】分式方程的经济问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，利用一次函数的增减性求最值，读懂题意，列 方程和不等式是解决问题的关键． （1）设 种工具的单价是 元，则 种工具的单价是 元，根据题意，列分式方程，解方程即可； （2）根据题意，列一元一次不等式，再根据一次函数的增减性进行求解即可． 【详解】（1）解：设 种工具的单价是 元，则 种工具的单价是 元，根据题意得， 解得： 经检验， 是原方程的解且符合题意， 则 种工具的单价是： 元，答： 种工具的单价是 元，则 种工具的单价是 元 （2）解：设够买 种工具 件，则购买 种工具 件，根据题意得， 解得： ， 设购买费用为 元，根据题意得， ∵ ∴ 随 的增大而减小, ∴ 时， 取的最小值，此时 元， 购进 种工具 件， 答：最省钱的购买方案是购进 种工具 件，购进 种工具 件，最低购买费用为 元． 第二十章 数据的分析 173．（23-24八年级下·重庆巫山·期末）已知a，b，c，d的平均数是6，则 的平均 数是 【答案】13 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】本题考查平均数以及和差倍半平均数，掌握平均数计算公式是解题关键．先根据a，b，c，d的平 均数是6，求出 ，再用平均数定义求 转化为 整体代入即可． 【详解】解∵a，b，c，d的平均数是6， ∴ ， ∴ ， ， ， ． 故答案为：13． 174.（23-24八年级下·福建泉州·期末）某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占 、 物理占 计算，若小安物理得分为 分，综合得分为 分，则小安数学得分是 分． 【答案】【知识点】 利用加权平均数求未知数据的值 【分析】本题考查了加权平均数，设小安数学得分为 分，根据加权平均数的计算公式可得 ，解之即可求解，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：设小安数学得分为 分， 则 ， 解得 ， ∴小安数学得分是 分， 故答案为： ． 175．（23-24八年级下·全国·期末）某居民小区共有800户家庭，有关部门准备对小区的自来水管网系统 进行改造．为此，需了解该小区的自来水的用水情况，该部门通过随机抽样，调查了其中的30户家庭，已 知这30户家庭共有87人． (1)这30户家庭平均每户多少人？（精确到0.1人） (2)这30户家庭的月用水量如下表所示，求这30户家庭的人均日用水量．（一个月按30天计算，精确到 0.001吨） 月用水量 4 6 7 12 14 15 16 18 20 25 28 （吨） 户数 1 2 3 3 2 5 3 4 4 2 1 (3)根据上述数据，试估计该小区的日用水量．（精确到0.1吨） 【答案】(1)这30户家庭平均每户 人 (2)这30户家庭人均日用水量约为 吨； (3)该小区的日用水量约为 吨． 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求加权平均数 【分析】本题考查了平均数的计算，生活中常遇到的估算问题，通常采用样本估计总体的方法． （1）根据数据直接解答，用30户家庭的总人数除以30； （2）先求出这30户家庭的月用水的总量，则人日用水量为用水总量 ； （3）用样本平均数估计总体平均数． 【详解】（1）解：这30户家庭平均每户人数为 （人）； （2）解： ， 这30户家庭人均日用水量约为 吨； （3）解： 该小区的日用水量约为 吨． 176．（23-24八年级下·河南商丘·期末）某校期末评价成绩是由完成作业、半期检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩 分以上（含 分），则评为“优秀”．下表是小王和小李两位同学的成绩 记录： 完成作业 半期检测 期末考试 小王 小李 (1)若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小王的期末评价成绩； (2)若将完成作业、半期检测、期末考试三项成绩按 的比例来确定期末评价成绩．小李在期末考试中 至少考多少分才能达到优秀？ 【答案】(1)小王的期末评价成绩为 分； (2)小李在期末考试中至少考 分才能达到优秀． 【知识点】求一组数据的平均数、求加权平均数 【分析】（ ）直接利用算术平均数的定义求解可得； （ ）根据加权平均数的定义计算可得； 本题考查了算术平均数，加权平均数和一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）小王的期末评价成绩为 （分）， ∴小王的期末评价成绩为 分； （2）小李在期末考试中考 分才能达到优秀， 根据题意得： ， 解得： ， 答：小李在期末考试中至少考 分才能达到优秀． 177．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船计划成功发射，激发 了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进 行了测试．现从七、八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：68，70，72，73，78，82，83，84，85，85、89，92，93，96，98； 八年级：56，69，73，77，79，82，85，88，88，88，90，90，93，93，94； 【数据分析】 平均 年级 中位数 众数 数 七年级 83 a 85 八年级 83 88 b 根据以上信息，解答下列问题：(1) ______， ______； (2)请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)测试成绩在 分的学生可以获得奖励，若该校七年级有600名学生，八年级有660名学生，估 计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为多少？ 【答案】(1) (2)八年级的成绩较好，理由见解析 (3)估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为380人 【知识点】求中位数、求众数、由样本所占百分比估计总体的数量、运用中位数做决策 【分析】本题考查求中位数和众数，利用样本估计总体： （1）根据中位数和众数的确定方法，求出 的值即可； （2）利用中位数和众数进行分析即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：七年级位于中间位置的数据为： ， ∴ ， 八年级出现次数最多的数据为： ， ∴ ； 故答案为： ； （2）解：八年级的成绩较好，理由如下： 两个年级的平均数相同，八年级的中位数和众数均比七年级高，所以八年级的成绩较好． （3）解： （人）； 答：估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为380人． 178．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期末）2024年巴黎奥运会，即第33届夏季奥林匹克运动会，是由法国 巴黎举办的国际性奥林匹克赛事．本届奥运会将于2024年7月26日开幕，8月11日闭幕，在奥运会来临 之际，某校七、八年级开展了一次“奥运知识”竞赛，对学生的竞赛成绩按10分制进行评分，成绩（单位： 分）均为不低于6的整数，为了解这次竞赛活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩 作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：已知八年级10名学生竞赛成绩的中位数为 ．请 根据以上信息，完成下列问题： 成 绩 6 7 8 9 10 / 分 人 1 2 a b 2 数 八年级10名学生竞赛成绩统计表(1) ， ， (2)样本中，七年级竞赛成绩为7分的学生数是 ，七年级竞赛成绩的众数为 ； (3)若该校七、八年级共640人，八年级的人数是七年级人数的 还多10人，请你估计该校七、八年级一 共约有多少人的成绩为10分． 【答案】(1)2；3 (2)1；8 (3)128人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、 利用中位数求未知数据的值、其他问题(一元一次方程的 应用)、求众数 【分析】本题考查扇形统计图，统计表，中位数，众数，总数，明确相关概念的定义，能从统计图中获取 信息是解题的关键． （1）根据八年级10名学生活动成绩的中位数为 分，可知成绩由低到高排列第5位的成绩为8分，第6 位的成绩为9分，由此可确定的值； （2）将七年级活动成绩为7分的比例乘以10即可得到成绩为7分的学生数；根据众数的定义可知七年级 活动成绩的众数； （3）根据题意列式分别求出七、八年级人数，再结合统计表和扇形统计图分别求出七、八年级10分的人 数，再相加即可； 【详解】（1）解：八年级10名学生活动成绩的中位数为 分， ∴成绩由低到高排列第5位的成绩为8分，第6位的成绩为9分， ， ， 即 ， 故答案为：2，3； （2）解： ， ， ∴七年级活动成绩为7分的学生数是1； ∵七年级活动成绩中8分出现的次数最多， ∴七年级活动成绩的众数为8分， 故答案为：1，8；（3）解：设七年级学生 人， ， 解得 ， （人）， ∴七年级人数为：350人，八年级人数为：290人． 七年级成绩为10分人数： （人）， 八年级成绩为10分人数： （人）， 七、八年级成绩为10分总人数： （人）． 179．（23-24八年级下·安徽黄山·期末） 年 月 日是第十六个世界海洋日．世界海洋日的设立是为 了提醒公众对海洋环境的认识，呼吁全球行动保护海洋环境，为此， 我校举行了海洋知识竞赛．竞赛结 束后，随机在八年级抽取 名学生的成绩，并将他们的成绩（满分 分）进行整理、描述和分析，按成 绩分为如下 组， 组： ， 组： ， 组： ， 组： ， 组： ，下面给出了部分信息． 信息 ：随机抽取的八年级学生竞赛成绩频数分布直方图如下图所示： 信息 ：八年级学生在 这一组的 位同学的竞赛成绩是： ． 信息 ：八年级学生在 这一组的 位同学的竞赛成绩是： . 信息 ：八年级成绩的平均分、中位数、众数（注：众数在 这一组里）如表： 平均 中位 众 分 数 数 请根据以上信息，解决以下问题： (1)补全频数分布直方图； (2)表中 ， ；(3)请计算八年级学生在 这一组的 位同学竞赛成绩的方差； (4)已知该校参加知识竞赛的学生共有 人，试估计该校成绩在 组的人数． 【答案】(1)频数分布直方图见解析； (2) ， ； (3) ； (4)估计该校成绩在 组的人数有 人． 【知识点】频数分布直方图、求方差、求中位数、求众数 【分析】（ ）先计算 组 人数，然后补全即可； （ ）根据中位数和众数的定义即可求解； （ ）根据方差公式求解即可， （ ）八年级成绩在 组人数比乘以 即可求解； 本题考查频数分布直方图，中位数，众数的意义，掌握中位数、众数的意义，理解频数分布直方图的意义 是解题的关键． 【详解】（1）解： 组： 人数为： （人）， 补全频数分布直方图， （2）解：中位数为第 个和第 个同学成绩的平均数， 根据题意可知中位数为 组 ，第 个和第 个同学成绩的平均数 ， ∴ ， ∵众数在 这一组里， ∴ 出现 次，次数最多， ∴ ， 故答案为： ， ； （3）八年级学生在 这一组的 位同学竞赛成绩为 ， ， ， ， ， ， 平均数为 ，∴方差为： ； （4）解：估计该校成绩在 组的人数有 （人） 答：估计该校成绩在 组的人数有 人． 180．（23-24八年级下·河南新乡·期末）为迎接中考体育测试．本学期九年级学生共进行了五次体育模拟 测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完 整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 第二 第四 次数 第一次 第三次 第五次 次 次 成绩 （分） 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式．计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： (1) 的值是 ； (2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由； (3)如果甲再测试 次，第六次模拟测试成绩为 分，与前 次相比，甲 次模拟测试成绩的方差 ． （填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】(1) (2)乙的体育成绩更好，理由见解析 (3)变小 【知识点】求一组数据的平均数、求方差、运用方差做决策、 利用方差求未知数据的值 【分析】本题考查平均数、方差， （1）根据乙同学的方差计算过程可以确定五次测试成绩，根据甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分 相同列方程可得 的值； （2）利用方差作比较可得结论； （3）求出甲 次模拟测试成绩的方差，然后与前 次模拟测试成绩的方差作比较即可； 解题的关键是牢记方差和平均数定义及计算公式． 【详解】（1）由题意得： ， 解得： ，故答案为： ； （2）乙的体育成绩更好，理由： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ，即两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定， ∴乙的体育成绩更好； （3）∵甲第六次模拟测试成绩为 分， 又∵甲前 次模拟测试成绩的平均成绩为 分， ∴甲 次模拟测试成绩的平均成绩为： ， 则甲 次模拟测试成绩的方差为： ， ∵ ， ∴与前 次相比，甲 次模拟测试成绩的方差变小． 故答案为：变小． 181．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）明德中学开展“每天锻炼1小时”的春季强身健体计划，为了解 活动落实情况，从甲、乙两班各随机抽取15名同学，由被抽取同学填写的问卷获得以下信息． 信息1：从甲班抽取的15名同学一周的锻炼时长（h）统计如下． 时长（h） 1 2 3 4 5 6 7 人数 0 3 3 3 4 1 1 信息2：从乙班抽取的15名同学一周锻炼时长（h）的数据如下． 1，5，2，3，4，3，2，4，3，4，4，6，5，7，7 信息3：从甲、乙两班抽取学生一周锻炼时长（h）的平均数、中位数、众数和方差统计如下． 班 平均数 中位数 众数 方差 级 甲 4 m 5 2.13 乙 p 4 n 2.93 根据以上信息，回答以下问题： (1)表格中的 ______， ______， ______； (2)从哪个班抽取的学生一周锻炼时长的数据更稳定？为什么？ (3)如果该校共有学生2400人，按抽取的学生一周的锻炼时长推算，该校一周锻炼时长不低于4h的学生共有多少人？ 【答案】(1)4，4，4； (2)从甲班抽取的15名同学一周锻炼时长的数据更稳定．理由见解析； (3)该校一周锻炼时长不低于4h的学生共有1440人． 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、根据方差判断稳定性、求中位数、求众数 【分析】（1）根据众数、中位数以及平均数的定义即可解答； （2）根据方差的定义求解即可； （3）样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：甲班一周锻炼时长，从小到大排列第8位均为4，即中位数为4，即 ； 乙班一周锻炼时长的平均数为： 乙班一周锻炼时长最多的为 ，故众数为4，即 ； 故答案为：4；4；4； （2）解：从甲班抽取的15名同学一周锻炼时长的数据更稳定．理由如下： ， ， ， 从甲班抽取的学生一周锻炼时长的数据更稳定． （3）解：该校一周锻炼时长不低于 的学生共有： 人． 答：该校一周锻炼时长不低于 的学生共有1440人． 【点睛】本题考查频数分布表，中位数、众数、平均数以及用样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数 的意义是正确解答的关键． 182．（23-24八年级下·全国·期末）某校为了招聘一名优秀教师，对入选的两名候选人进行教学技能与专 业知识两种考核，现将甲、乙两人的考试成绩统计如下（单位：分）： 候选 教学技能考核成绩 专业知识考核成绩 人 甲 86 92 乙 93 83 校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要，因此分别赋予它们6和4的权，并规定平均成绩高者 将被录取，试说明甲、乙两人谁将被录取？ 【答案】乙将被录取，见解析 【知识点】求加权平均数、运用加权平均数做决策 【分析】此题考查了加权平均数的计算公式，解题的关键是：计算平均数时按6和4的权进行计算．根据 题意先算出甲、乙两位应试者的加权平均数，再进行比较，即可得出答案． 【详解】解∶甲的平均成绩为∶ (分)，乙的平均成绩为∶ (分)， ∵ ， ∴乙将被录取． 183．（23-24八年级下·四川广安·期末）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的 最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，规定运行的最长时间用x（分）表 示，当 时为合格，当 时为中等，当 时为优等．记录下它们运行的最长时间，并对 数据进行统计分析． 10架A款智能玩具飞机一次充满电后运行的最长时间是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82． 10架B款智能玩具飞机一次充满电后运行的最长时间属于中等的数据是：70，71，72，72，73． B款智能玩具飞机运行的最长时间扇形统计图 A、B两款智能玩具飞机运行的最长时间统计表： 统计 平均 中位 众 方 量 数 数 数 差 A a 71 b 30.4 B 70 c 67 26.6 请结合以上信息回答下列问题： (1)上述图表中， ______， ______， ______， ______． (2)根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1)70，72，70.5，50 (2)A款智能玩具飞机运行性能更好，见解析 【知识点】求中位数、运用中位数做决策、求众数、运用众数做决策 【分析】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，平均数．熟练掌握扇形统计图，中位数，众数的定义是 解题的关键． （1）根据平均数，中位数和众数的定义可求出a、b、c的值，用B款中等数与总数的百分比即可求出m 的值； （2）根据A款的众数和中位数比B款的大即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意知， ， 72出现次数最多，故 ，， ∴ ； 款合格数量为 （个），中等数量为5个， 中位数为第5，6位数的平均数， ． 故答案为：70，72，70.5，50； （2）解：A款智能玩具飞机运行性能更好． 理由：A，B两款智能玩具飞机运行的最长时间的平均数相同，但A款运行的最长时间的中位数、众数均高 于B款， 款智能玩具飞机运行性能更好． 184．（23-24八年级下·全国·期末）在祖国植物的百花园中，云南素有“植物王国”之称，云南枸杞的主 要产区为禄劝县和景东县，某枸杞种植改良试验基地对新培育的甲、乙两个枸杞品种各试种一亩，从两块 试验地中各随机抽取 棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析 下面给出了部分信息：甲品种： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；乙品种：如图所示： 甲、乙品种产量统计表： 平均 中位 众 品种 方差 数 数 数 甲品 种 乙品 种 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ______， ______； (2)若乙品种种植 棵，估计其产量不低于 千克的棵数； (3)请结合以上统计量中的某一个方面简要说明哪个品种更好． 【答案】(1) ，(2)估计其产量不低于 千克的棵数有 棵 (3)乙品种更好，产量稳定 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数、运用方差做决策 【分析】本题考查中位数，众数，样本估计总体，根据统计数据作决策．熟练掌握定义，计算公式是解题 的关键． （1）根据中位数、众数的定义，计算即可． （2）利用样本估计总体思想求解即可． （3）根据方差决策即可解答． 【详解】（1）解：把甲品种的产量从小到大排列： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中位数是 ， 乙品种的产量 千克的最多有 棵，所以众数为 ， 故答案为： ， （2）解：根据题意，得 （棵）； 答：估计其产量不低于 千克的棵数有 棵． （3）解：因为甲品种的方差为 ，乙品种的方差为 ， 乙的方差更小些， 所以乙品种更好，产量稳定．