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2023-2024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷十套（解析版）
2023-2024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷（03）
（满分100分，答题时间90分钟）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.科克曲线 B.笛卡尔心形线 C.阿基米德螺旋线 D.赵爽弦图
【答案】A
【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转
180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一
条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
A.科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，1，
2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重
转），则记录的两个数字都是正数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个数字都是正数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．
画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两个数字都是正数的有4种情况，
∴两个数字都是正数的概率是： = ．
故选：C．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题时注意：概
率=所求情况数与总情况数之比．
3. 关于x的一元二次方程 有两个实数根，则实数m的取值范围为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】D
【解析】由关于x的一元二次方程 有两个实数根，可得 ，求解即可．
关于x的一元二次方程 有两个实数根，
，
解得
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程 的根与
有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实
数根；当 时，方程没有实数根．
4. 关于x的一元二次方程 的两个实数根的平方和为12，则m的值为（ ）
A．m=－2 B．m=3 C．m=3或m=－2 D．m=3或m=2【答案】A
【解析】由题意可得： ，
因为：
所以： ，
解得：m =3，m =－2；
1 2
当m=3时Δ=62－4×1×12＜0，所以m=3应舍去；
当m=－2时Δ=(－4)2－4×1×2＞0，符合题意．
所以m=－2，故选择A．
5. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数
的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x）棵，第三年植树400（1+x）²棵，再根据题意列出
方程即可．
第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x）棵，第三年400（1+x）²棵，根据题意列出方程：
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多理解、练习增长
率相关问题．
6. 如图，四边形 内接于⊙ ， 为⊙ 的直径， ，则 的度数是（ ）A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
【答案】C
【解析】因为 为⊙ 的直径，可得 ， ，根据圆内接四边形的对角互补可得
的度数，即可选出答案．
【详解】∵ 为⊙ 的直径，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵四边形 内接于⊙ ，
∴ ，
∴ ，
故答案选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对圆周角是直角，是解答本题的关键．
7. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以
O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角 形成的扇面，若 ， ，则阴影
部分的面积为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据S =S -S 求解即可．
阴影 扇形AOD 扇形BOC
S =S -S
阴影 扇形AOD 扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
8．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）
2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（ ）
A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
【答案】C
【解析】先利用二次函数的性质得到两抛物线的对称轴，然后利用 A点或B点向右平移得到点（4，0）得
到m的值．
解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k的对称轴为直线x＝
h+m，
∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5；当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1，
即m的值为5或1．故选：C．
9. 如图，二次函数 的图像与 轴相交于 ， 两点，对称轴是直线 ，下列说
法正确的是（ ）
A. B. 当 时， 的值随 值的增大而增大
C. 点 的坐标为 D.
【答案】D
【解析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．
A.根据图像可知抛物线开口向下，即 ，故该选项不符合题意；
B.根据图像开口向下，对称轴为 ，当 ， 随 的增大而减小；当 ， 随 的增大而增大，
故当 时， 随 的增大而增大；当 ， 随 的增大而减小，故该选项不符合题意；
C.根据二次函数 的图像与 轴相交于 ， 两点，对称轴是直线 ，可得对称
轴 ，解得 ，即 ，故该选项不符合题意；
D.根据 可知，当 时， ，故该选项符合题意．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与 轴
交点 得到 是解决问题的关键．
10. 已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；
②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a= ．
其中正确的是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①③④
【答案】D
【解析】【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，可
判断①；根据二次函数的增减性判断②；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的
对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长
度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断④．
【详解】∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，
∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，
的
又∵抛物线 顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ，
∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；
令y=0，则ax2+bx+c=0，
设该方程的两根为x，x，则x+x=- ，xx= ，
1 2 1 2 1 2
∴CD2=( x-x) 2=( x+x) 2-4xx ，
1 2 1 2 1 2
根据顶点坐标公式， ，∴ ，即 ，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD=AB=1-（-3)=4，
∴ =42=16，解得a= ，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系
数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y轴上的情况．
二、填空题（本大题有7小题，每空4分，共28分）
1. （2023浙江嘉兴）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片
除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案
是琮琮的概率是___________．
【答案】
【解析】根据概率公式即可求解．将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是
故答案为： ．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
2. 一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为__________．
【答案】1
【解析】根据一元二次方程根的判别式等于0即可求得 的值．
∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴
即
解得
【点睛】本题考查了一元二次方程 ( 为常数)的根的判别式 ，
理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当 时，方程有两个不相等的实数根；当
时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
3．若一元二次方程 （ ， 为常数）的两根 ， 满足 ， ，则符合条
件的一个方程为_________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】不妨设 ， ，则满足题意的其中一个方程是 ，本题考查一元二次方程根与系
数的关系（已知两根范围，表达原方程，需要有逆推的思维）
4．一个扇形的弧长是8 cm，圆心角是144°，则此扇形的半径是 cm．
【答案】10． π
【分析】根据弧长计算公式列方程求解即可．
【解答】解：设扇形的半径为rcm，由题意得，
＝8 ，
π解得r＝10（cm）．
5.在平面直角坐标系xOy中,如果有点P(-1,2)与点Q(1,-2),那么:①点P与点Q关于x轴对称;②点P与点
Q关于y轴对称;③点P与点Q关于原点对称;④点P与点Q都在y=-2x的图象上.以上四种描述正确的是
.(填序号)
【答案】③④
【解析】如图所示,点P与点Q关于原点对称,③正确.∵对于y=-2x,当x=-1时,y=2;当x=1时,y=-2,∴点P
与点Q都在y=-2x的图象上,④正确.显然①②错误.
6.在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P（4，3），将线段OP绕点O逆时针
旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为________.
【答案】（﹣3，4）
【解析】如图，把线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置看作是把Rt△OPA绕点O逆时针旋转90°到
RtOP′A′，再根据旋转的性质得到OA′、P′A′的长，然后根据第二象限点的坐标特征确定P′点的坐
标．
如图，OA=3，PA=4，
∵线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，
∴OA旋转到x轴负半轴OA′的位置，∠P′A′0=∠PAO=90°，P′A′=PA=4，
∴P′点的坐标为（﹣3，4）．
7. 如图，已知点A(3,0)，B(1,0)，两点C(−3,9)，D(2,4)在抛物线y=x2上，向左或向右平移抛物线
后，C，D的对应点分别为C'，D'.当四边形ABC'D'的周长最小时，抛物线的解析式为______ ．25
【答案】y=(x− ) 2
13
【解析】过C、D作x轴平行线，作B关于直线y=4的对称点B'，过B'作B'E//CD，且B'E=CD，连
接AE交直线y=9于C'，过C'作C'D'//CD，交直线y=4于D'，如图：
作图可知：四边形B'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，
∴B'E//CD，C'D'//CD，且B'E=DP，C'D'=CD，
∴C'D'//B'E且C'D'=B'E，
∴四边形B'EC'D'是平行四边形，
∴B'D'=EC'，
∵B关于直线y=4的对称点B'，
∴BD'=B'D'，
∴EC'=BD'，
∴AE=AC'+EC'=AC'+BD'，即此时AC'+BD'转化到一条直线上，AC'+BD'最小，最小值为AE
的长度，
而AB、CD为定值，
∴此时四边形ABC'D'的周长最小，∵B(3,0)关于直线y=4的对称点B'，
∴B'(3,8)，
∵四边形B'ECD是平行四边形，C(−3,9)，D(2,4)，
∴E(−2,13)，
{ 0=k+b
设直线AE解析式为y=kx+b，则 ，
13=−2k+b
13
{k=−
3
解得 ，
13
b=
3
13 13
∴直线AE解析式为y=− x+ ，
3 3
13 13
令y=9得9=− x+ ，
3 3
14
∴x=− ，
13
14
∴C'(− ,9)，
13
14 25
∴CC'=− −(−3)= ，
13 13
25
即将抛物线y=x2向右移 个单位后，四边形ABC'D'的周长最小，
13
25
∴此时抛物线为y=(x− ) 2
13
三、解答题（本大题有5小题，共42分）
1.（6分）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．
【答案】见解析。
【解析】根据一元二次方程的公式法即可求出答案．
由题意可知：a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴△＝1﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13，
−b±√△ 1±√13
∴x= = ，
2a 6
1+√13 1−√13
∴x = ，x = ．
1 2
6 6
2.（6分）如图，在平面直角坐标系中，三角形②、③是由三角形①依次旋转后所得的图形．（1）在图中标出旋转中心P的位置，并写出它的坐标；
（2）在图上画出再次旋转后的三角形④．
【答案】见解析。
【解析】（1）旋转中心点P位置如图所示，点P的坐标为（0，1）；
（2）旋转后的三角形④如图所示．
3. （8分）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程
设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包
粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结
果绘制成如下不完整的统计图表．
等级 时长：（单位：分钟） 人数 所占百分比
4
20根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为_________，表中 的值为_________；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为 的学生人数；
（3）本次调查中，等级为 的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，
请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）50， （2）200 （3）
【解析】【分析】（1）利用概率计算公式先求出总人数，再求出等级为A的学生人数；
（2）利用概率计算公式先求出等级为B的学生所占的百分比，再求出等级为B的学生人数；
（3）记两名男生为a，b，记两名女生为c，d，通过列出表格列出所有可能的结果，用恰有一男一女的结
果数除以总的结果数，即可得到恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【详解】(1)解：∵D组人数为8人，所占百分比为16%，
∴总人数为 人，
∴ ．
（2）解：等级为B的学生所占的百分比为 ，
∴等级为B的学生人数为 人．
（3）解：记两名男生为a，b，记两名女生为c，d，列出表格如下：
∴一共有12种情况，其中恰有一男一女的有8种，∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，概率计算公式的熟练应用是解答本题的关键．
4. （10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点
E，过点C作 ，且CF=CD，连接BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=45°，AD=4，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）连接BD，得 ；利用AB=AC得到 ，由 得
到 ，故 ；利用SAS证明 ，得到 ，
最后 同旁内角互补，即可得
（2）连接OE，与BD相交于M点，根据∠BAC=45°，得 是等腰直角三角形，由AD=4，得AB，
OB，OE长度； 和 是共一底角的等腰三角形，故 ， ，
， 是等腰直角三角形，即可算出阴影部分面积
【详解】（1）连接BD
∵AB是 的直径∴
∴
∵
∴
∵
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴
又∵
∴
∴BF是 的切线
（2）连接OE，与BD相交于M点
∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形
∴ ， ，
∴
∴
∴
∵ ，
∴
∴∴
∴ 为等腰直角三角形
∴
∴
【点睛】本题考查圆，全等三角形，等腰直角三角形，等腰三角形；熟练运用各种几何知识是本题关键
5. （12分）如图，抛物线 （b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点， ，
，点P为线段 上的动点，过P作 // 交 于点Q．
（1）求该抛物线 的解析式；
（2）求 面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】（1）
（2）2；P（-1，0）
【解析】【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；
（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由 列出函数式求解即可．
解：(1)∵点A（1，0），AB=4，
∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为 ；
(2)解：由（1）得抛物线的解析式为 ，
顶点式为： ，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P ，
由 解得： ，
∵P在线段AB上，
∴ ，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则∴当n=-2时，即P（-1，0）时， 最大，最大值为2．
【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图
象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键
