文档内容
专题 18.1 平行四边形的性质与判定之八大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 利用平行四边形的性质求解】........................................................................................................1
【考点二 利用平行四边形的性质证明】........................................................................................................3
【考点三 判断能否构成平行四边形】............................................................................................................6
【考点四 添一个条件成为平行四边形】........................................................................................................9
【考点五 证明四边形是平行四边形】..........................................................................................................11
【考点六 平行四边形中的折叠问题】..........................................................................................................15
【考点七 利用平行四边形的性质无刻度作图】..........................................................................................17
【考点八 利用平行四边形的性质与判定综合】..........................................................................................21
【过关检测】............................................................................................................................................................26
【典型例题】
【考点一 利用平行四边形的性质求解】
例题：（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）在 中，若 ，则 的度
数为 度．
【答案】65
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形邻角互补求解即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【变式训练】1．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）如图，在 中， ，对角线 与 相交于点O，
，则 的周长为 .
【答案】22
【分析】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相
平分．根据平行四边形对角线互相平分求出 的长，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的周长 ．
故答案为：22．
2．（2024下·全国·八年级假期作业）如图，在 中， ， 的平分线AE交DC于点
E，连接BE，若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【解析】略
3．（2024上·吉林长春·八年级校考期末）如图，在 中， 平分 ，交 于点F， 平分
，交 于点E， ， ，则 长为 .
【答案】3
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边；熟练掌握平行四边形的性质，得出 是解题的关键．
根据平行四边形的对边平行且相等可得 ， ， ；根据两直线平行，内错角
相等可得 ；根据从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的
平分线可得 ；推得 ，根据等角对等边可得 ， ，即可
列出等式，求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
同理可证： ，
∵ ，
即 ，
解得： ；
故答案为：3．
【考点二 利用平行四边形的性质证明】
例题：（2023下·广东广州·八年级校考期中）平行四边形 中， 分别平分 和 交
于点 交于点G．
(1)求证： ；
(2)判断 和 的大小关系，并说明理由
【答案】(1)证明见解析
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型；
（1）证明 ，即可推出 即 ；
（2）证明 ，再利用平行四边形的性质 ，即可解决问题；
【详解】（1）证明：如图，∵在平行四边形 中， ，
，
分别平分 和 ，
，
，即 ，
，
；
（2）解：结论：线段 与 是相等关系，即 ，
∵在平行四边形 中， ，
，
又 平分 ，
，
，同理可得， ，
又∵在平行四边形 中， ，
．
【变式训练】
1．（2023下·广东佛山·八年级校联考期末）如图，在平行四边形 中， ，点E为 的中
点，连接 并延长与 的延长线相交于点F．
(1)求证： ；
(2)求证： 是 的平分线．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据四边形 是平行四边形，连接 并延长与 的延长线相交于点F得 ，
则 ，根据点E为 的中点得 ，利用 即可证明；
（2）根据四边形 是平行四边形得 ，可得 ，根据 ，点E为 的
中点，得 ，则 ，等量代换得 ，即可得．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，连接 并延长与 的延长线相交于点F，
∴ ，
∴ ，
∵点E为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，点E为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的平分线．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解题的关键是理解
题意，掌握这些知识点．
2．（2023上·北京海淀·九年级统考期中）如图， 的对角线 交于点 过点 且分别与
交于点 ．(1)求证： ；
(2)记四边形 的面积为 ，平行四边形 的面积为 ，用等式表示 和 的关系．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 ，进而得到
，由此可利用 证明 ；
（2）根据全等三角形的性质得到 ，进而可证明 ．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，对角线 交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形对边平行，对角
线互相平分是解题的关键．
【考点三 判断能否构成平行四边形】例题：（2023下·北京海淀·八年级北京市十一学校校考阶段练习）如图，在四边形 中，对角线
与 相交于点 ，下列条件中不能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由 ， ，不能判定四边形 是平行四边形，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·江西赣州·八年级校联考期末）如图，在 中，点 ， 分别在 ， 上．下列条
件中，不能得出四边形 一定为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可．
【详解】A、∵四边形 为平行四边形，
∴ ，即 ．
又 ，∴四边形 为平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）
该选项不符合题意．
B、无法证明四边形 为平行四边形，该选项符合题意．
C、∵四边形 为平行四边形，
∴ ，即 ．
又 ，
∴四边形 为平行四边形．（两组对边分别平行的四边形为平行四边形）
该选项不符合题意．
D、∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ．
又 ， ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴四边形 为平行四边形．（两组对角分别相等的四边形为平行四边形）
该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，牢记平行四边形的判定方法是解题的关键．
2．（2023下·安徽合肥·八年级校考期末）如图， ， ， 、 是线段 上的两点，则
以下条件不能判断四边形 是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D． ，
【答案】C
【分析】连接 、 、 交 于点 ，根据平行四边形的对角线互相平分可得 ， ，
再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到 即可，然后根据各选项的条件分析
判断结合平行四边形的判定即可得解．
【详解】解：连接 ， ，， ，
四边形 是平行四边形，
连接 交 于 ，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，故A不符合题意；
，
，
，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，故B不符合题意；
，故无法判定四边形 是平行四边形，故C符合题意；
， ，
，
以下的证明与B相同，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质
与判定是解题的关键．
【考点四 添一个条件成为平行四边形】
例题：（2023下·福建福州·八年级校考期中）如图，E，F是 对角线BD上的两点，请你添加一个
适当的条件： ，使四边形AECF是平行四边形．【答案】 或 或 ．
【分析】用反推法，假如四边形是平行四边形，会推出什么结果，这结果就是要添加的条件．
【详解】解：使四边形 是平行四边形．就要使 ， ，就要使 ，而在
平行四边形中已有 ， ，再加一个 或 可用 证 ，
或 用 证 ．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，本题是开放题，答案不唯一，可以针对各种特殊的平行四
边形的判定方法，给出条件，本题主要是通过给出证明 的条件来得到 ， ，
根据四边形中一组对边平行且相等就可证明为是平行四边形．
【变式训练】
1．（2023下·山东青岛·八年级统考期末）如图所示，在 中，A、C分别为边 、 上的点，请
在目前图形中添加一个条件 ，使四边形 是平行四边形．
【答案】
【分析】在 中可得 ,即 ，添加 ，满足一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形．
【详解】解：添加条件 ，
四边形 是平行四边形，
，
即 ，
，
四边形 是平行四边形．
故答案为： ．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题关键．
2．（2023下·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在四边形 中， ， ，
，点 在 边上以每秒 的速度从点 向点 运动，点 在 边上，以每秒 的速度从点
向点 运动，当 秒时，直线 在四边形 内部能截出一个平行四边形．
【答案】2或3
【分析】根据平行四边形的判定可知，分两种情况：① 和② ，据此建立方程，解方程即
可得．
【详解】解：设当运动 秒时，直线 在四边形 内部能截出一个平行四边形，
则 ，
， ，
， ，
由题意，分以下两种情况：
①当 时，四边形 是平行四边形，
则 ，
解得 ；
②当 时，四边形 是平行四边形，
则 ，
解得 ；
综上，当2秒或3秒时，直线 在四边形 内部能截出一个平行四边形，
故答案为：2或3．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．
【考点五 证明四边形是平行四边形】
例题：（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）已知：如图， 的对角线 ， 相交于点 ，
， ，垂足分别为 ， ．求证：四边形 是平行四边形．【答案】见解析
【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，首先根据平行四边形的性质
得到 ， ，然后证明出 ，得到 ，然后证明出
，即可证明四边形 是平行四边形．熟悉相关性质是解题的关键．
【详解】∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴四边形 是平行四边形．
【变式训练】
1．（2023下·天津·八年级校考期中）如图，在平行四边形 中，点 分别是 的中点，点
在对角线 上，且 ．
(1)求证： ；
(2)求证：四边形 是平行四边形．【答案】(1)证明过程见详解
(2)证明过程见详解
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ，根据中点的性质可得 ，根据全等三
角形的判定方法“边角边”即可求证；
（2）由（1）可知 ，可得 ， ，运用平角的计算可得
，根据平行四边形的判定即可求证．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 分别是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ．
（2）证明：由（1）可知， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用是
解题的关键．
2．（2023下·江西宜春·八年级校考阶段练习）如图所示，将 的 边延长至点 ，使 ，
连接 ， 是 边的中点，连接 ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出 ， ，进而利用已知得出 ， ，
进而得出答案；
（2）首先过点 作 于点 ，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出 的长，进而得出答
案．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
， 是 边的中点，
， ，
四边形 是平行四边形
（2）解：过点 作 于点 ，
由（1）得：四边形 是平行四边形，
，
四边形 是平行四边形， ，
， ， ，
，，
在 中， ，
，
又 是 边的中点，
，
，
在 中， ，
．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等、直角三角形的性质，熟练应用平行四边
形的判定方法是解题关键．
【考点六 平行四边形中的折叠问题】
例题：（2023上·江苏南通·九年级校考期末）如图，在平行四边形 中， ，将平行四边形折
叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在 所在的直线上），折痕为 ，则 等于
．
【答案】 /40度
【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质．根据平行四边形和折叠的性质，得到 ，
进而求出 的度数，利用三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵平行四边形 ，
∴ ，
∴ ，
∵折叠，∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2023下·河南郑州·八年级统考期末）如图，将 沿对角线 折叠，使点A落在E处．若
， ，则 的度数为 ．
【答案】 /110度
【分析】根据平行四边形的性质和外角定义证明 ，得 ，由翻
折可得 ，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】解：设 ， 交于点F，如图，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
由翻折可知： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
由翻折可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，平行线的性质，三角形外角定义，三角形内角和定理，
解决本题的关键是掌握翻折的性质．
2．（2023下·山西临汾·八年级统考期末）如图，在平行四边形 中，E为边 上一点，将 沿
折叠至 处， 与 交于点F，若 ， ，则 的大小为 ．
【答案】 /30度
【分析】由平行四边形的性质得 ，由折叠的性质得： ，
，由三角形外角性质求出 ，由三角形内角和求出 ，即可求得
的大小．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
，
由折叠的性质得： ， ，
， ， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌
握平行四边形的性质和折叠的性质是解题关键．
【考点七 利用平行四边形的性质无刻度作图】
例题：（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，平行四边形 中，只用无刻度的直尺按下
列要求画图．（不写画法）(1)在图1中，点E是 的中点，作边 上的中点F；
(2)在图2中， 的平分线交 于点F，在边 上的找点P，使得连接 后， 平分 ．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查利用平行四边形性质作图，
（1）利用平行四边形对角线相互平分的性质，即可确定 ，且点E为中点，即可求得点F也为中
点；
（2）利用平行四边形对角线相互平分的性质，可判定四边形 为平行四边形，结合 平分 ，
则 即为所求．
【详解】（1）解：连接 和 交于点O，连接 ，延长 交 于点F，如图，
（2）连接 和 交于点O，连接 ，延长 交 于点P，如图，
【变式训练】
1．（2023下·江西吉安·八年级统考期末）例在 中，点E为AB上一点，请仅用无刻度直尺按要求
作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线）
(1)如图1，E为 边上一点， ，画出∠D的角平分线；(2)如图2，E为 边上一点， ，画出∠B的角平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接 ，由 得 ，结合平行线的性质可得 ，进而可
得 平分 ，即 即为所求；
（2）连接 交于点O，连接 并延长交 点F，连接 ， 为所求．
【详解】（1）解：如图： 即为所求．
（2）解：如图： 即为所求．
【点睛】本题考查作图一复杂作图、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边
形的性质是解答本题的关键．
2．（2023上·湖北黄石·九年级统考期中）如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格
点．四边形 的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画
图结果用实线）．
(1)判断四边形 的形状；
(2)在图1中，在 上画点E，使 ；(3)在图2中的 上画点G，使 ．
【答案】(1)平行四边形
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边
形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形 的形状即可；
（2）如图1，点 向右4个格点，向下3个格点为 ，连接 ，则 是等腰直角三角形，则
， 与 的交点 即为所求；
（3）如图2， 向右1个格点为 ，则 ，连接 ，则 是等腰三角形， 向上2个格点
为 ，则 为 的中点，连接 ，则 ，延长 交 于 ，由 可知，
，则 ，点 即为所求．
【详解】（1）解：由题意知， ， ， ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：如图1，点 即为所求；
（3）解：如图2，点 即为所求；
【考点八 利用平行四边形的性质与判定综合】例题：（2023下·广东深圳·八年级校考期末）已知：如图，E、F是 对角线 上的两点．
(1)若 ，求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，垂足分别为E、F， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 交 于O，根据 ，得 ， ，继可证得 ，即可由
平行四边形的判定定理得出结论．
（2）先由 ， ，得出 ， ，再证 ，得
，从而证得四边形 是平行四边形，即可根据平行四边形的性质得 ．
【详解】（1）证明：连接 交 于O，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形
∴ ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质与判
定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·吉林长春·八年级校考期中）如图， 中，E、F分别是 、 上的点，且 ，
连接 交 于O．
(1)连接 、 ，判断四边形 的形状并说明理由．
(2)若 ， ， 的面积为2，求 的面积．
(3)若 ， ， ，延长 交 的延长线于G，当 时，则 的长为______．
【答案】(1)四边形 是平行四边形，理由见解析；
(2) ；
(3)4；
【分析】（1）分别证明 ， ，即可；
（2）利用平行四边形的性质，由 的面积为2，得到 ，再利用三角形同底等高的性质，得到
的面积，再求出 ，则可知 的面积为 ；
（3）由 是等腰直角三角形，得出 ，因为 ，得出 ，所以 与
都是等腰直角三角形，从而依次求得 、 、 的长，则 可求；【详解】（1）解：四边形 是平行四边形；
证明：由题意，在 中， ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， 是等腰直角三角形，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质与判定，以及同底等高类的三角形
面积，熟练掌握平行四边形的性质，证明等腰直角三角形是解决问题的关键．
2．（2023下·全国·八年级假期作业）在四边形 中， ， ．
(1)如图①，求证：四边形 是平行四边形；
(2)如图②， 平分 ，交 于点 ．若 ， ，求 的面积；
(3)如图③， 平分 ，交 于点 ，作 交射线 于点 ，交 于点 ．若 ，
请探究线段 ， ， 之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3) 或
【详解】解：（1）证明： ， ．
， ，
， 四边形 是平行四边形．
（2）在 中， ， ．
平分 ， ， ，
．
如图①，作 交 的延长线于点 ， ．
图①， ， ，
，
．
（3）如图②、图③，作 交射线 于点 ．
当点 在线段 上时，如图②．
图②
， ， ， ．
四边形 是平行四边形，
， ，
．
在 和 中，
， ．
由（2）易知 ．
，
， ．
又 ， ，
即 ；
当点 在 的延长线上时，如图③．
图③同理可得 ， ，
，即 ．
综上所述，线段 ， ， 之间的数量关系为 或
【过关检测】
一、单选题
1．（2024上·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期末）在 中，如果 .那么
等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质，则 ， 是对角，则
；再根据 ，即可求出 ．
【详解】∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
2．（2024上·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图所示， 的对角线交于点 ，下列
结论错误的是（ ）A． 是中心对称图形 B． 且
C． D． 与 的面积相等
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、三角形的面积，由平行四边形的性质得出
，得出 的面积 的面积，平行四边形是中心对称图形，即可得出结论，熟练掌握平
行四边形的性质，并能进行推理论证是解题的关键．
【详解】∵ 是中心对称图形，故 正确；
∵四边形 是平行四边形，
∴ 且 ，故 正确；
在 和 中， ， ， ，
∴ 和 不全等，故 错误；
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ 和 的底边 ，高相同，
∴ 与 的面积相等，故 正确，
故选： ．
3．（2023上·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）平行四边形 中， ，
若一边上的高为4，则该平行四边形的面积为（ ）
A．20 B．16 C．15 D．12
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，平行四边形的性质，求出 ，进而可得出答案．
【详解】解：如图所示：平行四边形 中， ，一边上的高为4，∵ ，即 ，
∴ ，
∴平行四边形的面积为 ，
故选：D．
4．（2023·河南周口·校联考模拟预测）如图，已知 ，添加下列条件，不能判定四边形 是平
行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可．掌握平行四边形
的判定方法，是解题的关键．
【详解】解：A、 ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、 ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、 ，
，不能判定四边形 是平行四边形，故选项C符合题意；
D、 ，
，又∵ ，
四边形 是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
5．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在 中， 的角平分线
交于边 上一点 ，且 ，线段 的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的的定义，勾股定理．由平行四边形的性质可得
， ， ， ，由角平分线的性质和平行线的性质可得 ，
，由勾股定理可求解．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ， ，
，
、 的角平分线交于边 上一点 ，
， ，
，
，
∵ ，
， ，
， ，
，
，
故选：D．二、填空题
6．（2023下·浙江·八年级专题练习）如图，将平行四边形 的一边 延长至点E，若 ，则
的度数是 ．
【答案】 /80度
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．利用平行四
边形的对角相等可得 ，再利用平角的定义可得答案．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
7．（2024上·江苏南通·八年级统考期末）在平面直角坐标系 中， 的顶点A，C的坐标分别是
， ，则顶点B的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质及坐标的平移是解答本
题的关键．由平行四边形的性质可知 轴， ，即点C向右平移3个单位得到点B，由此
得点B的横坐标为4，再根据点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，即得答案．
【详解】 ， ，
的边 在x轴上，
轴， ，
点B的横坐标为 ，
点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，
顶点B的坐标为 ．故答案为： ．
8．（2024上·吉林·八年级校考期末）如图，平行四边形 的对角线 与 相交于点O，且
，若E是 边的中点， ， ，则 的长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，证明 为 的中位线
是解题的关键．先利用勾股定理求出 ，再证明 为 的中位线，则 ．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵点E为 边的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
故答案为：6．
9．（2023·江苏盐城·统考模拟预测）如图，在平行四边形 中，点E在边 上，连接 并延长至点
F，使 ，连接 并延长至点G，使 ，连接 若 ， ，则
的度数为【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关
键．由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
，
， ，
是 是中位线，
，
故答案为：
10．（2024下·八年级课时练习）如图，在等边 中， ，射线 ，点 从点 出发沿
射线 以 的速度运动，点 从点 出发沿射线 以 的速度运动，如果点 同时出发，
设运动时间为 ，当 时，以 为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】 或
【分析】此题考查了平行四边形的判定，一元一次方程的应用，分别从点 在 的左侧与点 在 的右侧
两种情况去分析，根据当 时，以 为顶点四边形是平行四边形，得出方程，解方程即
可求求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
【详解】解： 当点 在 的左侧时，根据题意得： ， ，
则 ，
∵ ，
∴当 时，四边形 是平行四边形，
即 ，解得 ；
当点 在 的右侧时，根据题意得： ， ，
则 ，
∵ ，
∴当 时，四边形 是平行四边形，
即 ，
解得 ；
综上可得，当 或 时，以 为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为： 或 ．
三、解答题
11．（2024上·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期末）如图，在 中， 平分 ，
交 于点 ， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理及逆定理；
（1）由平行四边形的性质及角平分线的性质可得 ，从而得 ，由勾股定理的逆定理即可
证明；
（2）在 中由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ；
∴ ；
∵ 平分 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ 是直角三角形，且 ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ．
12．（2024上·江西南昌·九年级校考阶段练习）已知四边形 是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按
要求作图．
(1)如图①，点 为 上任意一点，在 上找出另一点 ，使 ；
(2)如图②，点 为 上任意一点，在 上找出一点 ，使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图，平行四边形的性质；
（1）连接 交 于点 ，作直线 交 于点 ，点 即为所求作．
（2）连接 交 于点 ，作在 交 于点 ，作直线 交 于点 ，连接 交 于点 ，点
即为所求作．
【详解】（1）如图，点 即为所求作．（2）如图，点 即为所求作．
13．（2023上·山东济南·八年级统考期末）如图，已知 ， 、 相交于点O，延长 到点E，
使 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形：
(2)连接 ，交 于点F，连接 ，判断 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ，理由见解析．
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质；
（1）根据平行四边形的性质得到 ，再根据等量代换得到 ，即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到 ， ，然后根据三角形的中位线的性质解题即可．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
又
，
四边形 是平行四边形；（2） ．
四边形 是平行四边形，
，
又 中， ，
是 的中位线，
，
．
14．（2023上·山东济南·八年级统考期末）已知：如图，在四边形 中， ， 平分
交 于点E， ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 ，求证： ；
(3)在（2）的条件下，连接 、 ，若 ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3) ．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 ，等量代换得到 ，求得 ，
得到 ，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等边三角形的判定定理得到 是等边三角形，求得 ，根据平行四边形的性质得到
，求得 ；
（3）根据等边三角形的性质得到 ，根据平行四边形的性质得到 ，根据
全等三角形的性质得到 ，进而得到结论．
【详解】（1）证明： ，
, ∵
∴又 ，,
∴ ；
∴ ，
,
∴ ，
∴四边形 为平行四边形；
∴（2）证明： ， ，
为等边三角形，
∴ ，
∴ 中， ，
∵ ，
∴（3）解： 为等边三角形，
∵ ，
∴ 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴又 ， ，
，
∴
，
∴
∵
∴ ．
∴【点睛】本题是四边形的综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行四边
形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
15．（2024上·吉林·八年级校考期末）如图，点E为平行四边形 的边 上的一点，连接 并延长，
使 ，连接 并延长，使 ，连接 ， 为 的中点，连接 ， ．(1)若 ， ，求 的度数；
(2)求证：四边形 为平行四边形；
(3)连接 ，交 于点O，若 ， ，直接写出 的长度．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行
四边形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得 ， ， ，再证 是 的中位线，得
， ，证出 ， ，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（3）连接 ， ， ，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可．
【详解】（1）解： 四边形 为平行四边形，
， ，
，
，
；
（2）证明： 四边形 为平行四边形，
， ， ，
， ，
是 的中位线，
， ，
为 的中点，
，
， ，
， ，
四边形 为平行四边形；
（3）如图，连接 ， ， ，， ，
， ，
，
，
四边形 为平行四边形，
， ，
，
，
，
．
16．（2023下·浙江湖州·八年级统考期中）问题：如图，在平行四边形 中， ，
的平分线 分别与直线 交于点E、F，请直接写出 的长．
（1）探究：把“问题”中的条件“ ”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时， 的长为 ．
②当点E与点C重合时， 的长为 ．
（2）把“问题”中的条件“ ”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离
相等时，求 的值．【答案】问题：；探究：（1）①12；②6；（2）2或 或
【分析】问题：由平行线的性质和角平分线的定义可得 ， ，可求解；
探究：（1）①证 ，得 ，同理 ，即可求解；
②由题意得 ，再由 ，即可求解；
（2）分三种情况，由（l）的结果结合点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，分别求解即可．
【详解】解：问题：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ；
探究：（1）①如图1所示：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，同理： ，
∵点E与点F重合，
∴ ；
故答案为：12；
②如图2所示：∵点E与点C重合，
∴ ，
∵ ，
∴点F与点D重合，
∴ ；
故答案为：6；
（2）分三种情况
①如图3所示：
同（1）得： ，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴ ，
∴ ；
②如图4所示：
同（1）得： ，
∵ ，
∴ ；
③如图5所示：同（1）得： ，
∵ ，
∴ ；
综上所述， 的值为2或 或 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行
四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
