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专题 18.1 平行四边形的性质与判定【十一大题型】
【人教版】
【题型1 利用平行四边形的性质求解】..................................................................................................................2
【题型2 利用平行四边形的性质证明】..................................................................................................................3
【题型3 平行四边形的性质的其他应用】..............................................................................................................4
【题型4 判断能否构成平行四边形】......................................................................................................................6
【题型5 添一个条件成为四边形】..........................................................................................................................7
【题型6 数图形中四边形的个数】..........................................................................................................................8
【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】.........................................................................................9
【题型8 证明四边形是平行四边形】....................................................................................................................10
【题型9 利用平行四边形的判定与性质求解】...................................................................................................12
【题型10 利用平行四边形的判定与性质证明】...................................................................................................13
【题型11 平行四边形的判定与性质的应用】........................................................................................................14
【知识点1 平行四边形的性质】
性质 数学语言 图示
边 平行四边形的对 四边形ABCD是平行四边形，
边相等
角 平行四边形的对
四边形 是平行四边形，
角相等
对角线 平行四边形的对 四边形ABCD是平行四边形，
角线互相平分
【拓展延伸】
（1）证明平行四边形的性质时，一般通过作对角线把四边形转化为三角形来解答.
（2）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了理论依据.
（3）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形.
（4）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形1
面积的 ；相邻两个三角形周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值.
4
【规律方法】
（1）平行四边形的邻角互补；
（2）若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积.
【题型1 利用平行四边形的性质求解】
【例1】（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对
角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，点E、点G分别是OC、AB的中点，连接BE、GE，若
∠ABE=42°，则∠AEG的度数为（ ）
A．42° B．45° C．46° D．48°
【变式1-1】（2024上·甘肃陇南·八年级统考期末）如图所示，点O是□ ABCD的对称中心，AD>AB，
E，F是AB边的三等分点；G，H是BC边的三等分点．若S ，S 分别表示△EOF和△GOH的面积则S 与
1 2 1
S 之间的关系是 ．
2
【变式1-2】（2023下·河南新乡·八年级校考期末）如图，在 ▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
AC⊥BC，AB=10，BC=8，则OD的长为（ ）
A．√73 B．6 C．7 D．√58
【变式1-3】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A(-2,3)，
B(-3,0)，C(3,0)，将平行四边形ABCD绕点O旋转90°后，点D的对应点D'坐标是 ．【题型2 利用平行四边形的性质证明】
【例2】（2023下·安徽宿州·八年级校考期末）如图，平行四边形ABCD中，CG⊥AB于点
G,∠ABF=45∘，点F在CD上，BF交CG于点E，连接AE,AE⊥AD．
(1)若BG=1,BC=√5，求EF的长度；
(2)求证：△BCG≌△EAG；
(3)求证：CD-CE=√2BE．
【变式2-1】（2023下·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，在 ▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点
O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：
(1)△AEO≌△CFO；
(2)BE=DF．
【变式2-2】（2023下·福建泉州·八年级统考期末）如图，在 ▱ABCD中，AD=2AB,F是AD的中点，
作CE⊥AB于点E，连接EF，CF，则下列结论中一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号
都填在横线上）①∠DFC+∠FEC=90°；
②∠DFE=3∠AEF；
③CF=EF；
④S =2S
△BEC △EFC
【变式2-3】（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）在平行四边形ABCD中，E为BC边上
一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连
接EG．
（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；
（2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE．
【题型3 平行四边形的性质的其他应用】
【例3】（2023下·广东广州·八年级执信中学校考期中）如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框
架，量得AB=10cm，AD=8cm，固定AB．逆时针转动AD，在转动过程中，关于平行四边形ABCD的
面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形ABCD的面积有最大值，
最大值是80cm2，则（ ）
A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对
【变式3-1】（2023下·八年级课时练习）如图，A，B两点被大山阻隔，为了改善山区的交通，现拟开凿
一个贯穿A，B的隧道，修建一条高速公路．请你设计出一个方案，利用平移的有关知识测量出A，B之间
的距离和隧道开凿的方向．【变式3-2】（2023下·全国·八年级专题练习）已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分
（至少三种方法）．
【变式3-3】（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是
1，按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．
（1）在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数．
（2）在图乙中画一个平行四边形，使它的周长是无理数．
【知识点2 平行四边形的判定】
判定方法 数学语言 图形
两组对边分别平行的四边
形是平行四边形.（定
义） 四边形ABCD是平行四边形.
两组对边分别相等的四边
边
形是平行四边形.
四边形 是平行四边形.
一组对边平行且相等的四
边形是平行四边形.
四边形ABCD是平行四边形.
两组对角分别相等的四边
角 形是平行四边形. ，
四边形ABCD是平行四边形.
对
对角线互相平分的四边形
角
是平行四边形.
线 四边形ABCD是平行四边形.【题型4 判断能否构成平行四边形】
【例4】（2023下·湖北武汉·八年级校考期中）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，给出五
组条件：
①AB=DC，AD∥BC；
②AB=CD，AB∥CD；
③AB∥CD，AD∥BC；
④OA=OC，OB=OD；
⑤AB=CD，AD=BC．
能判定此四边形是平行四边形的有（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-1】（2023下·福建泉州·八年级统考期末）下列四边形中分别标注了部分数据，根据所标数据，则
不能判断该四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2023上·山东威海·八年级统考期末）在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且
DE∥BC，点F是DE延长线上一点，不能判断四边形BCFD是平行四边形的是（ ）
A．BD∥CF B．DF=BC C．BD=CF D．∠B=∠F
【变式4-3】（2023上·山东济南·八年级统考期末） ▱ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
【题型5 添一个条件成为四边形】
【例5】（2023下·安徽合肥·八年级统考期中）如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线BD所在的直
线上，且BE=DF，AE∥CF，请再添加一个条件（不要在图中再增加其它线段和字母），能证明四边形
ABCD是平行四边形，并证明你的想法.
你所添加的条件： ；
证明：
【变式5-1】（2023下·黑龙江绥化·八年级统考期末）四边形ABCD中，如果AB=DC，当AB DC
时，四边形ABCD是平行四边形．
【变式5-2】（2023下·北京通州·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，
垂足分别为点E，F．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加
的条件是 ．
【变式5-3】（2023下·河南新乡·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，
AB=8cm，DC=10cm，E是DC上一点，且DE=3，P从A点出发以1cm/s的速度向B点运动，同时Q
从D点出发以2cm/s的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为t
（s），当t= 时，以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形．【题型6 数图形中四边形的个数】
【例6】（2023·全国·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行
四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）
A．9个 B．8个 C．6个 D．4个
【变式6-1】（2023下·重庆江津·八年级阶段练习）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA
的中点，以这些点为顶点的平行四边形有 个．
【变式6-2】（2023下·浙江杭州·八年级期末）如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一
直线上，且AC//DG,AD//BE//CF,AF//BG．图中平行四边形有（ ）个
A．4 B．5 C．3 D．6
【变式6-3】（2023下·八年级课时练习）如图，在图（1）中，A 、B 、C 分别是△ABC的边BC、CA、
1 1 1
AB上的点，且A
1
C
1
∥AC，A
1
B
1
∥AB，B
1
C
1
∥BC，在图（2）中，A
2
、B
2
、C
2
分别是△A
1
B
1
C
1
的边B
1
C
1
、
C
1
A
1
、A
1
B
1
上的点，且A
2
C
2
∥A
1
C
1
，A
2
B
2
∥A
1
B
1
，B
2
C
2
∥B
1
C
1
，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有 个．
【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】
【例7】（2023下·山东济南·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(3，2)．
（1）如图1，在y轴上是否存在－点P，使PA＋PB最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理
由．
（2）如图2，点C坐标为(4，1)，点D由原点O沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，求点D运动几
秒时，四边形ABCD是平行四边形；
（3）点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P以
及对应的点Q的坐标．
【变式7-1】（2023·全国·八年级专题练习）以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．无数
【变式7-2】（2023下·浙江杭州·八年级期中）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别
是O(0,0),A(-3,0),B(0,2)，则平行四边形第四个顶点C的坐标 ．
【变式7-3】（2023上·辽宁大连·八年级校考阶段练习）平面直角坐标系中，O为原点，点A(3，0)，点
B(0，4)，把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A'BO'，点A，O旋转后的对应点为A'，O'，记旋转角为
α．(1)如图1，若α=90°，则点O'的坐标为 ，点A'的坐标为 ，A A'的长为 ．
(2)如图2，若α=120°，求点O'的坐标；
(3)在（2）的条件下，在坐标平面内有一点D，使A、B、O'、D四个点构成的四边形是平行四边形，请你
直接写出点D的坐标．
【题型8 证明四边形是平行四边形】
【例8】（2023下·湖南张家界·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线
2
y=kx+8(k≠0)经过点C(2，4)，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线y= x
3
于点D．连接OC、AD．
(1)求直线AB的解析式；
(2)求证：四边形OCDA是平行四边形；
(3)点P为直线AC上一点，连接OP、PD，当S =2S ，求此时点P的坐标．
△POD △COD
【变式8-1】（2023下·河南洛阳·八年级统考期末）如图，已知∠A=∠D,AB=DC,AC,BD相交于O．
(1)求证：△AOB≌△DOC．
(2)作△BDC关于直线BC的对称图形△BEC，求证：四边形ABEC是平行四边形．
【变式8-2】（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在对
角线BD上，小谷想在平行四边形ABCD里面再剪出一个以AE为边的平行四边形，小谷的思路是：在BC的左侧作∠BCF=∠DAE，将其转化为证明三角形全等，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边
形使问题得到解决，请根据小谷的思路完成下面的作图与填空．
(1)用尺规完成以下基本作图：在BC左侧作∠BCF，使∠BCF=∠DAE，CF与对角线BD交于点F，连
接AF，CE．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)根据（1）中作图，求证：四边形AECF为平行四边形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，① ．
∴② ．
在△AED与△CFB中，
∵¿，
∴△AED≌△CFB(ASA)．
∴AE=CF，③ ．
∴180°-∠AED=180°-∠CFB，即∠AEF=∠CFE，
∴④ ．
∴四边形AECF为平行四边形．
【变式8-3】（2023下·辽宁沈阳·八年级统考期末）已知：△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△EBF，点A
对应点E，点C对应点F，以AC为边作等边△ACD（A，C，D按顺时针排列），连接AE，DF，设
∠CAB=a．
(1)如图1所示，若点D，点A在BC两侧，当a=150°时，
①请直接写出∠DAE的度数；
②用适当的方式表述：线段EF与AD之间的关系；EF所在直线与AB之间的关系；(2)如图2所示，若点D在△ABC内部，请判断四边形AEFD是否为平行四边形，并证明你的结论．
【题型9 利用平行四边形的判定与性质求解】
【例9】（2023下·山东济南·八年级统考期中）如图，△ABC的面积为5，将△ABC绕点B逆时针旋转60°
得到△EBF，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DFC，连接EA，DA，当∠BAC=120°时，四边形
ADFE的面积为 ．
【变式9-1】（2023下·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期中）如图①，P为△ABC所在平面内任
意一点(不在直线AC上)，∠ABC=90°，AC=2BC=4，D为AC边中点，操作：以PA、PB为邻边作
▱
PAMB，连接PD并延长到点E，使PD=DE，连接CE、ME．
(1)探究：判断ME与BC的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)应用：如图②，当点P，M，E在同一条直线上，且M为PD中点时，平行四边形PAMB的面积为
_________．
【变式9-2】（2023下·吉林长春·八年级校考期中）如图， ▱ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且
BE=DF，连接EF交BD于O．
(1)连接BF、DE，判断四边形DEBF的形状并说明理由．(2)若AE=6，BE=2，△BOF的面积为2，求 ▱ABCD的面积．
(3)若BD⊥AD，∠A=45°，EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，则AB的长为
______．
【变式9-3】（2023下·浙江杭州·八年级校考期中）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，
∠A=30°，动点P从点B出发，沿BA方向以每秒4个单位的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，
以每秒1个单位的速度沿CB方向运动，当点P到达A点时，点Q也停止运动，以BP，BQ为邻边作平行四
边形BPDQ，PD，QD分别交AC于点E，F，设点P运动的时间为t秒．
(1)BQ= ______ (含t的代数式表示)；
(2)如图2，连接AD，PF，PQ，当AD∥PQ时，求△PQF的面积；
(3)如图3，连接PF，PQ，D点关于直线PF的对称点为D'点，若D'落在△PQB的内部(不包括边界)时，
则t的取值范围为______.
【题型10 利用平行四边形的判定与性质证明】
【例10】（2023下·广东湛江·八年级校考期中）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平
分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
(1)求证：BE=CD；
(2)若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形；
(3)若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
【变式10-1】（2023上·福建南平·八年级统考期中）如图，△ABE和△CDF是平行四边形ABCD外的两个三角形，且△ABE≌△CDF．
求证：四边形AECF是平行四边形 ．
【变式10-2】（2023上·山东烟台·八年级统考期末）△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD
为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．
(1)当点D是BC边的中点时，如图①，求证：EF＝CD．
(2)如图②，当点D是BC边上的任意一点时（除B、C外），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，
请给出证明；若不成立，请说明理由．
【变式10-3】（2023上·北京海淀·八年级清华附中校考开学考试）如图，在△ABC中，
∠ACB=90°,CA=CB，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°
得到线段CP'，连接PP',AP'
(1)用等式表示AP'与BP的数量关系，并证明；
(2)当∠APB=135°时，
①直接写出∠P' AP的度数为_______；
②若M为AB的中点，连接PM，依题意补全图形，用等式表示PM与PP'的数量关系，并证明．【题型11 平行四边形的判定与性质的应用】
【例11】（2023上·浙江·八年级统考期中）如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，
使从A到B的路径AMNB最短的是图中的（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）（ ）
A． B．
C． D．
【变式11-1】（2023下·江苏南京·八年级统考期末）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉
子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对
角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是
（ ）
A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④
【变式11-2】（2023下·安徽马鞍山·八年级统考期末）[问题情境]在学习四边形的时候，我们曾经学过一
些特殊四边形的性质，如菱形的对角线互相垂直．其实日常生活中，还有很多四边形．
如图，堤坝横截面、水渠的横截面都是一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，我们把这种四边形叫
做“梯形”，当不平行的一组对边相等时，这种梯形又叫做等腰梯形．[分析研究]如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AD＝BC．
请用学过的知识，探究等腰梯形ABCD的相关性质，写出其中一条即可，并说明理由．
[我的探究]
性质： ；
证明：．
【变式11-3】（2023下·江苏·八年级阶段练习）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，
当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支
杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中
四边形ABCD始终是平行四边形．
(1)若遮阳蓬完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有______米
（影子完全落在地面）
(2)长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是______．
