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18.1.2 平行四边形的判定
一、单选题
1．如图，已知 AD//BC ，下列条件不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是（
）
A．AB//DC B．AD=BC
C．AB=DC D．∠B+∠C=180°
【答案】C
【解析】【解答】解：A、 ∵AD//BC ， AB//CD ，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形；故此选项不合题意；
B、 ∵AD//BC ， AD=BC ，
∴ 变形 ABCD 是平行四边形；故此选项不合题意；
C、 ∵AD//BC ， AB=DC ，
∴ 四边形 ABCD 可能是等腰梯形，不一定是平行四边形；故此选项符合题意；
D、 ∵∠B+∠C=180° ，
∴AB//CD ，
∵AD//BC ，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形；故此选项不合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行推理判断，即可得出结论.
2．下列说法不正确的是（ ）
A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对边平行且相等
D．平行四边形的对角互补，邻角相等
【答案】D
【解析】【解答】A选项：平行四边形的判定定理：有两组对边分别平行的四边形是平
行四边形，故本选项正确；
B选项：平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，故本选项正确；
C选项：平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，故本选项正确；
D选项：平行四边形的对角相等，邻角互补，故本选项错误；故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的判定定理可知有两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
根据平行四边形的性质可知平行四边形的对角线互相平分，平行四边形的对边平行且相
等，平行四边形的对角相等，邻角互补.
3．如图，对四边形 ABCD 增加条件，使之成为平行四边形，下面添加不正确的是（
）
A．AB=CD,AB//CD B．AB//CD,AD=BC
C．AB=CD,AD=BC D．AC 与 BD 相互平分
【答案】B
【解析】【解答】解：ACD、根据平行四边形的判定定理，得出四边形 ABCD是平行
四边形，故ACD不符合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是梯形，故B符
合题意.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的判定定理，逐项进行判断，即可求解.
4．如图， AC//HD//GE ， AG//BF//CE ，则图中一共有平行四边形
（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】C
【解析】【解答】∵ AC//HD//GE ， AG//BF//CE ，
∴四边形AHOB、四边形HGFO、四边形BODC、四边形OFED、四边形AGFB、四边
形BFEC、四边形AHDC、四边形HGED、四边形AGEC都是平行四边形，
故答案为：C．【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可．
5．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE＝ BC＝3，
2
故答案为：B.
【分析】由已知可得DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线等于第三边的一
半，可求出DE的长。
6．下列命题中，正确的是（ ）
A．在三角形中，到三角形三边距离相等的点是三条边垂直平分线的交点
B．平行四边形是轴对称图形
C．三角形的中位线将三角形分成面积相等的两个部分
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【解析】【解答】解：A、在三角形中，到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的
交点 ，故A不符合题意；
B、 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、 三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分 ，故C不符合题意；
D、 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、根据角平分线的性质可得，到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的
交点 ，故A不符合题意；
B、根据轴对称图形和中心对称图形的定义可得平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、根据三角形的中线定义可得三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分 ，故
C不符合题意；
D、根据平行四边形的判定方法可得 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四
边形，故D符合题意.
7．一个零件的形状如图所示， AB//DE,AD//BC,∠CBD=60°,∠BDE=40° ，
则 ∠A 的度数是（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】B
【解析】【解答】解：延长DE与BC交于点F，如图：
∵ AB//DE,AD//BC ，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴∠A=∠F，
在△BDF中， ∠CBD=60°,∠BDE=40° ，
∴ ∠F=180°-60°-40°=80° ，
∴∠A=80°；
故答案为：B.
【分析】延长DE与BC交于点F，则四边形ABFD是平行四边形，则∠A=∠F，利用
三角形内角和定理，即可求出答案.
8．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店
配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ）A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【解析】【解答】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两
边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小.
故答案为：C.
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问
题.
9．如图，在 ▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，
∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接
BE，下列结论错误的是（ ）
A．BO=OH B．DF=CE C．DH=CG D．
AB=AE
【答案】D
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AH∥BG，AD=BC，
∴∠H=∠HBG，
∵∠HBG=∠HBA，
∴∠H=∠HBA，
∴AH=AB，同理可证BG=AB，
∴AH=BG，∵AD=BC，
∴DH=CG，故C不符合题意，
∵AH=AB，∠OAH=∠OAB，
∴OH=OB，故A不符合题意，
∵DF∥AB，
∴∠DFH=∠ABH，
∵∠H=∠ABH，
∴∠H=∠DFH，
∴DF=DH，同理可证EC=CG，∵DH=CG，
∴DF=CE，故B不符合题意，
无法证明AE=AB，
故答案为：D．
【分析】在平行四边形ABCD中结合AG，BH的作法可证得AH=AB，BG=AB，故可
得AH=AB，即DH=CG，又AH∥BG故可证得四边形ABGH为平行四边形，即可知
OB=OH；由DF∥AB与AB=AH即∠H=∠ABH，可得∠H=∠DFH，即DF=DH，同理可
证EC=CG，故可得DF=CE；排除法可知选D.
二、填空题
10．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一
个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）．
【答案】AD=BC（答案不唯一）
【解析】【解答】解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以添加条
件AD=BC，
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以添加条件AB∥DC，
本题只需添加一个即可，
故答案为：AD=BC（答案不唯一）．
【分析】根据平行四边形的判定方法添加一个条件即可．
11．如图，点 A 的坐标为 (1,3) ，点 B 在 x 轴上，把 ΔOAB 沿 x 轴向右平移
到 ΔECD ，若四边形 ABDC 的面积为9，则点 C 的坐标为 ．
【答案】(4，3)
【解析】【解答】过点A作AH⊥x轴于点H，
∵A（1,3），
∴AH=3，
由平移得AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC=BD，
∵ BD⋅AH=9 ，∴BD=3，
∴AC=3，
∴C(4，3)
故答案为：(4，3).
【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC
是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到 BD⋅AH=9 ，求出
BD即可得到答案.
12．如图，在平行四边形 ABCD 中， AC 、 BD 相交于点 O ，点 E 是 AB 的
中点.若 OE=3cm ，则 AD 的长是 cm .
【答案】6
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ 点O是BD的中点
∵点E是AB的中点
∴AD=2EO=6cm
故答案为：6.
【分析】根据平行四边形的性质可得点O是BD的中点 ,据三角形中位线定理可得
AD=2EO=6cm .
13．如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的
一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是
.
【答案】4
【解析】【解答】解：在平行四边想PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O∴O为DC的中点
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H
∵AD∥BC
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDC=∠DCQ+∠QCH
∵PD∥CQ
∴∠PDC=∠DCQ
∴∠ADP=∠QCH
又∵PD=CQ
∴直角三角形ADP≌直角三角形HCQ
∴AD=HC
∵AD=1，BC=3
∴BH=4
∴当PQ⊥AB时，PQ的值最小，即为4.
【分析】根据题意，结合平行四边形的性质以及中点的性质证明得到△ADP≌△HCQ，
根据全等三角形的性质即可得到答案。
三、解答题
14．如图，四边形 ABCD 和四边形 CDEF 均为平行四边形，连接 AE，BF.求证：
AE=BF.
【答案】证明：∵四边形 ABCD，CDEF 均为平行四边形，
∴AB ∥ CD，AB=CD，CD ∥ EF，CD=EF，
∴AB ∥ EF，AB=EF，
∴四边形 ABFE 为平行四边形，
∴AE=BF.
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥EF，AB=EF，进而可判定四边形
ABFE为平行四边形，利用平行四边形的性质即可证明结论.
15．如图，在 ▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，求证：AF＝CE．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
∵点E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AE＝CF．
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AF＝CE．
【解析】【分析】根据“平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质”证得四边形
AECF为平行四边形，然后由“平行四边形的对边相等”的性质证得结论．
16．如图，在 Rt△ ABC中， ∠ACB=90° ，M是斜边AB的中点，AM=AN，
∠N+∠CAN=180° .求证：MN=AC.
【答案】解：∵CM是直角三角形的斜边上的中线，
∴CM＝AM，
∴∠MAC＝∠ACM，
∵AM＝AN，
∴∠AMN＝∠ANM，
∵MN//AC，
∴∠MAC＝∠AMN，
∴∠MAC＝∠ACM=∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠MAN，
∴AN//CM
∴四边形ACMN是平行四边形，
∴MN＝AC.
【解析】【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出CM＝AM，再根据
平行线的性质及等腰三角形的性质得出∠MAC＝∠ACM=∠AMN＝∠ANM，得出
∠AMC＝∠MAN，从而得出AN//CM，根据平行四边形的判定定理得出四边形ACMN是平行四边形，即可得出MN＝AC.
四、综合题
17．如图，已知，在 △ABC 中，点D是边AC的中点，点E是边BC的延长线上一点，
过点A作BE的平行线与线段ED的延长线相交于点F，连结AE．
（1）求证：AF＝CE．
（2）连结CF，交边AB于点G，如果CF⊥AB，求证： ∠ABC+∠AEB=90° ．
【答案】（1）证明： ∵ 点D是边AC的中点，
∴AD=CD ，
∵AF//BE ，
∴∠F=∠CED,∠DAF=∠DCE ，
{
∠F=∠CED
在 △ADF 和 △CDE 中， ∠DAF=∠DCE ，
AD=CD
∴△ADF≅△CDE(AAS) ，
∴AF=CE ；
（2）解：由（1）知， AF=CE ，
∵AF//BE ，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴CF//AE ，
∵CF⊥AB ，
∴AE⊥AB ，
∴∠BAE=90° ，
∴∠ABC+∠AEB=90° ．
【解析】【分析】（1）根据中点的性质以及平行的性质，证明得到△ADF≌△CDE，根
据全等三角形的性质得到AF=CE即可；
（2）由（1）的结论，根据平行线的性质证明四边形AECF为平行四边形，继而由平
行四边形的性质求出答案即可。
18．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连
接BE、ED、DF、FB．（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；
（2）若BE＝4，EF＝2，求BD的长．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，
∵ BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°， BE∥DF，
在∆ABE和∆CDF中，
{∠AEB=∠CFD
∠BAE=∠DCF，
AB=CD
∴∆ABE≌∆CDF（AAS）
∴BE=DF，
∴ 四边形BEDF为平行四边形；
（2）解：如图，连接BD，交AC于点O，
∵四边形BEDF为平行四边形，
1
∴BD=2OB，OE= EF=1，
2
∵∠BEF=90°，
∴OB=√BE2+OE2=√42+12=√17，
∴BD=2√17.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质及平行线的性质证出BE∥DF，
∆ABE≌∆CDF，从而证出BE=DF，再根据平行四边形的判定定理，即可证出四边形
BEDF为平行四边形；
1
（2）根据平行四边形的性质得出BD=2OB，OE= EF=1，再根据勾股定理求出OB的
2
长，即可求出BD的长.
19．如图，在平行四边形ABCD中， AF 平分 ∠BAD 交BC于点F，CE平分∠BCD 交于点E
（1）若 AD=12,AB=6 ，求CF的长；
（2）连接BE与AF相交于点G，连接DF，与CE相交于点H，求证：GH和EF互
相平分.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,BC=AD=12
∴∠DAF=∠AFB
∵∠BAF=∠DAF
∴∠AFB=∠BAF
∴BF=AB=6
CF=BC-BF=6
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ∠BAD=∠BCD
∵AF,CE 平分 ∠BAD,∠BCD
∴∠BAF=∠DAF=∠FCE=∠DCE
∵∠DAF=∠AFB
∴∠FCE=∠AFB
∴AF//CE
在四边形ABCD中，AE//CF,
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE=CF
∵AD=BC
∴DE=BF
∵AD//BC
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE//DF,
∵AF//EC,
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EF,GH互相平分.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD//BC,BC=AD=12，由平行
线的性质结合角平分线的定义可得∠AFB=∠BAF，则由等角对等边可得BF=AB=6，
结合AD的长即可；
（2）根据角平分线定义，结合平行四边形性质先求出AF∥CE，再运用两组对边分别
平行的四边形是四边形分别证明四边形AFCE和四边形EGFH是平行四边形，则其对
边互相平行，可证四边形EGFH是平行四边形，则EF,GH互相平分.
