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18.1.2平行四边形的判定
不等式的基本性质
平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
注意：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个
平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依
据.
题型1：平行四边形的判定（边的关系）
1.下列条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边平行，一组对角相等
C．一组邻边相等，一组对角相等
D．一组对边平行，一组对角互补
【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形
ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AB＝DC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【变式1-2】如图，已知平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，连DE并延长DE交
AB延长线于点F，求证：四边形DBFC是平行四边形．
题型2：平行四边形的判定（角的关系）
2.下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．3：2：3：2
【变式2-1】求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
【变式2-2】如图，在四边形ABCD中，AH、CG、BE、FD分别是∠A、∠C、∠B、∠D
的角平分线，且BE∥FD，AH∥CG，证明四边形ABCD为平行四边形．
题型3：平行四边形的判定（对角线关系）
3.如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列能判定四边形ABCD是平
行四边形的是（ ）
A．AO＝OC，AC＝BD B．BO＝
OD，AC＝BD
C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝
OC，BO＝OD
【变式3-1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，且AD＝DC，则下列说法：
①四边形ABCD是平行四边形；
②AB＝BC；
③AC⊥BD
④AC平分∠BAD；⑤若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积为24．
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式3-2】如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是OB，OD的中
点，求证：四边形AFCE是平行四边形．
题型4：平行四边形的判定与坐标
4.在平面直角坐标系中，以A（0，2），B（﹣1，0），C（0．﹣2），D为顶点构造平
行四边形，下列各点中，不能作为顶点D的坐标是（ ）
A．（﹣1，4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣2，0） D．（1，0）
【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（﹣1，3），C（﹣2，﹣1），找
一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是
（ ）
A．（2，4） B．（﹣4，2）
B．C．（0，﹣4） D．（﹣3，2）
【变式4-2】在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M是x
轴上的点，点N是y轴上的点，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
那么符合条件的点M有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-3】已知平面直角坐标系内三点A（2，1），B（3，﹣1），C（﹣2，2），在平
面内求一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，写出点D的坐标．题型5：二次证明平行四边形
5.如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝EC＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）试判断：四边形AECD的形状，并证明你的结论．
【变式5-1】已知：如图，在 ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线
BD相交于点E，F．证明：四边形AECF是平行四边形．
▱
【变式5-2】如图，在 ABCD中，E，F为BD上的点，BF＝DE，那么四边形AECF是什
么图形？试用两种方法证明．
▱
题型6：平行四边形的判定与动点问题
6.如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A，C的坐标分别为（10，0），（2，
4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动，速度为2cm/s
▱
（1）当点P运动多少秒时，四边形PCDA是平行四边形？并求此时点P的坐标；
（2）当△ODP是等腰三角形时，求点P的坐标．【变式6-1】如图，在 ABCD中，AB＝6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运
动，点Q从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动，当一个点运动到端点时，另一个点
▱
也停止运动，经过多长时间后，四边形APQD是平行四边形？
【变式6-2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，BF∥AC，动点P从点C出
发以2cm/s的速度沿CA向终点A移动，过P作PE∥BC交BF于点E，设动点P的运动
时间为t秒．
（1）请用含t的代数式表示AP的长；
（2）当t为何值时，四边形BPAE为平行四边形，并说明理由；
（3）求出四边形BPAE的面积．题型7：平行四边形的判定简单综合
7.如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
▱
（2）连接BD交EF于点O，当BE⊥EF时，BE＝8，BF＝10，求BD的长．
【变式7-1】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，DE⊥AC于E点，
BF⊥AC于F．
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（2）若AB＝20，AD＝13，AC＝21，求△DOE的面积．
【变式7-2】如图，四边形ABCD中，EF过对角线交点，且OB+BE＝OD+DF，若OE＝
OF，证明四边形ABCD为平行四边形．
【变式7-3】如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的
一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
注意：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的 4个小三角形.因而每个小三角形的
周长为原三角形周长的 ，每个小三角形的面积为原三角形面积的 .
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
题型8：三角形的中位线（一条）
8.如图，在△ABC中，AC＝10，DE是△ABC的中位线，则DE的长度是（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【变式8-1】如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且
∠AFB＝90°，若AB＝7，BC＝10，则EF的长为 ．
【变式8-2】如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点
N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝ ，则△ABC
的周长为（ ）
A．17 B．18
C．19 D．20【变式8-3】如图，在 ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于
点F．
▱
（1）求证：DE是△BCF的中位线．
（2）试连接BD，AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．
题型9：三角形的中位线（多条）
9.如图，△ABC中，三条中位线围成的△DEF的周长是15cm，则△ABC的周长是
cm．
【变式9-1】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N、P分别
是AD、BC、BD的中点，若∠MPN＝130°，则∠NMP的度数为
．
【变式 9-2】如图，在四边形 ABCD 中，AD＝BC，∠DAB＝
50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，
若BC＝6，则△PMN的周长是 ．【变式 9-3】如图，△ABC 的周长为 a，以它的各边的中点为顶点作△A B C ，再以
1 1 1
△AB C 各边的中点为顶点作△A B C ，…如此下去，则
1 1 2 2 2
△A B 的周长为（ ）
n n n
∁
A． a B． a C． a D．
a
题型10：构造三角形中位线解题
10.如图，已知AB＝AC，BD＝CD，DB⊥AB，DC⊥AC，且E、F、G、H分别为AB、
AC、CD、BD的中点，求证：EH＝FG．
【变式10-1】如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，
求证：AF＝ CF．
【变式10-2】如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝BD，M、
N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F．你能说出OE与OF的大小
关系并加以证明吗？【变式10-3】已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC＝BD，
E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H．求证：OG＝OH．
