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18.2.2菱形的性质与判定
菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
注意：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个
平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.
题型1：菱形的定义
1.在 ABCD中，添加以下哪个条件能判断其为菱形（ ）
A．AB⊥BC B．BC⊥CD C．CD⊥AC D．AC⊥BD
▱
【分析】由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；
B、∵BC⊥CD，
∴∠BCD＝90°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；故选项B不符合题意；
C、CD⊥AC，不能判定ABCD是菱形；故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；
故选：D．
【变式1-1】在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为菱
形，需添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠C B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由AC⊥BD，即可得出结论．
【解答】解：要使四边形ABCD为菱形，需添加的条件是AC⊥BD，理由如下：
∵四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故选：C．
【变式1-2】下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形
B．一条对角线平分一组对角的四边形
C．四条边都相等的四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形
【分析】根据菱形的判定和平行四边形的性质对各选项分析判断，即可求解．
【解答】解：A、∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，
∴选项B符合题意；
C、∵四边相等的四边形是菱形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是
对称中心.
注意：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成
完全全等的两部分.
（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条
对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的
四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.
题型2：菱形的性质求长度
2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，连接AC，BD，若BD＝8，则AC的长为（
）A． B．8 C． D．16
【分析】如图，设AC，BD交于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AC＝2AO，OD
＝ BD＝4，∠DAO＝ DAB＝30°，求得AD＝2OD＝8，根据勾股定理即可得到
结论．
【解答】解：如图，设AC，BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝ BD＝4，∠DAO＝ DAB＝30°，
∴AD＝2OD＝8，
∴AO＝ ＝ ＝4 ，
∴AC＝2AO＝8 ，
故选：C．
【变式2-1】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，O为AC、BD的交
点，H为AD上的中点，则OH的长度为（ ）
A．3 B．4 C．2.5 D．5
【分析】由菱形的性质可得AO＝OC＝3，OB＝OD＝4，AO⊥BO，由三角形中位线
定理可得OH＝ AB，由勾股定理可求AB的长，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OC＝3，OB＝OD＝4，AO⊥BO，
又∵点H是AD中点，
∴OH＝ AB，
在Rt△AOB中，AB＝ ＝5，
则OH＝ AB＝2.5，
故选：C．
【变式2-2】如图，菱形ABCD的周长是16，∠BAD＝60°，则AC的长为 4 ．
【分析】根据菱形ABCD的周长是16，∠BAD＝60°，可知△ADO是直角三角形且
∠DAO＝30°，DO＝ ＝2，再根据勾股定理可求出AO，再根据菱形性质可求出
AC．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且周长是16，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝4，AB⊥CD，
又∵∠BAD＝60°，
∴△ADO是直角三角形且∠DAO＝30°，
∴DO＝ ＝2，
∴AO＝ ＝ ＝2 ，
∴AC＝2A0＝4 ，
故答案为：4 ．
【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O（0，0），A（4，0），
∠AOC＝60°，则顶点B的坐标为 （ 6 ， ） ．【分析】过点B作BD⊥OA于D，由菱形的性质和直角三角形的性质可求 AD，BD，
即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥OA于D，
∵四边形OABC是菱形，点O（0，0），A（4，0），
∴OA＝AB＝4，AB∥OC，
∴∠BAD＝∠AOC＝60°，
∵BD⊥OA，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝ AB＝2，BD＝ AD＝2 ，
∴DO＝6，
∴点D坐标为（6， ），
故答案为：（6， ）．
题型3：菱形的性质求角度
3.已知菱形ABCD中，∠D＝150°，连接AC，则∠BAC等于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】由菱形的性质可得∠DAB＝30°，∠BAC＝∠DAC，即可求解．
【解答】解：∵菱形ABCD中，∠D＝150°，
∴∠DAB＝30°，∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝15°，
故选：B．
【变式3-1】如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，且AE＝AD，∠EAD＝2∠BAE，求
∠BAE的度数．【分析】根据菱形的四条边都相等可得AB＝AD，从而求出AB＝AE，设∠BAE＝x，
然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE，再根据菱形的邻角互补列出方程求解
即可．
【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝AD，
∵AE＝AD，
∴AB＝AE，
设∠BAE＝x，
则∠EAD＝2x，∠ABE＝ （180°﹣x），
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABE＝180°，
∴x+2x+ （180°﹣x）＝180°，
解得x＝36°，
即∠BAE＝36°．
【变式 3-2】如图，在正五边形 ABCDE 的内部作菱形 ABCF，则∠FAE 的度数为
（ ）
A．30° B．32° C．36° D．40°
【分析】由正五边形ABCDE，可求得∠BAE和∠ABC的度数，由菱形ABCF可得，
∠ABC和∠BAF互补，继而求得∠BAF的度数，从而求出∠FAE的度数．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠ABC＝108°，
∵四边形ABCF是菱形，
∴AF∥BC，
∴∠ABC+∠BAF＝180°，
∴∠BAF＝180°﹣108°＝72°，
∴∠FAE＝∠BAE﹣∠BAF＝108°﹣72°＝36°．故选：C．
题型4：菱形的性质与等面积法
4.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（ ）
A． B． C．4 D．8
【分析】由四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，可求得此菱形的面积与 AB的
长，继而求得答案．
【解答】解：设AC与BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，
∴AC⊥BD，OA＝ AC＝4，OB＝ BD＝3，
∴AB＝ ＝5，S菱形ABCD ＝ AC•BD＝24，
∵DH⊥AB，
∴DH＝ ＝ ．
故选：A．
【变式4-1】如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（ ）
A．24 B．10 C． D．
【分析】由菱形面积＝对角线积的一半可求面积，由勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．
【解答】解：如图，对角线AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴BC＝ ＝ ＝5，
∵菱形ABCD的面积＝ ×6×8＝24，
∴AH＝ ，
故选：C．
【变式4-2】已知：如图所示，菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点，已
知BD＝4，求菱形ABCD的周长和面积．
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质结合菱形的性质得出△ABD是等边三角形，
直接利用菱形的性质结合勾股定理得出AC的长，利用菱形面积求法得出答案．
【解答】解：∵DE⊥AB于E，且E为AB的中点，
∴AD＝BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BA，
∴AB＝AD＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°；
∵BD＝4，
∴DO＝2，AD＝4，
∴AO＝ ＝2 ，
∴AC＝4 ；∴AB＝ ＝ ＝4，
∴菱形ABCD的周长为4×4＝16；
菱形ABCD的面积为： BD•AC＝ ×4×4 ＝8 ．
题型5：菱形的性质简单综合
5.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，且E为边AB的中点．
（1）求∠A的度数；
（2）如果AB＝4，求对角线AC的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得DB＝AD，即可证△ADB是等边三角
形，可得∠A＝60°
（2）由题意可得∠DAC＝30°，AC⊥BD，可得DO＝2，AO＝2 ，即可求AC的
长．
【解答】解：连接AC，BD
（1）∵四边形ABCD是菱形
∴AD＝AB
∵E是AB中点，DE⊥AB
∴AD＝DB
∴AD＝DB＝AB
∴△ADB是等边三角形
∴∠A＝60°
（2）∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，∠DAC＝ ∠DAB＝30°，AO＝CO，DO＝BO
∵AD＝BA＝4
∴DO＝2，AO＝ DO＝2∴AC＝4
【变式5-1】如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE＝BF．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）若∠DEF＝65°，求∠EDB的度数．
【分析】（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“SAS”即可证明
△ADE≌△CDF；
（2）根据△ADE≌△CDF，得到DE＝DF，再求出∠EDB＝∠FDB＝25°；
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝CB，AD＝DC，
∵BE＝BF，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）∵△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∵∠DEF＝65°，
∴∠EDB＝∠FDB＝25°．
菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.注意：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是
在四边形的基础上加上四条边相等.
题型6：菱形的判定（条件选择）
6.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB＝BC＝CD＝DA
C．AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD
【分析】直接利用菱形的判定定理求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的
应用．
【解答】解：A、∵AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形，故本选项不符合题意；
B、∵AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD为菱形，故本选项不符合题意；
C、AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项
符合题意；
D、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式6-1】如图所示，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定
ABCD为菱形的是（ ）
▱
▱
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．OA＝OC，OB＝OD
【分析】根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；
故选：C．
【变式6-2】已知O为 ABCD对角线的交点，下列条件能使□ABCD成为菱形的是（
）
▱
A．AB＝BC B．AC＝BDC．OA＝OC，OB＝OD D．∠A＝∠B＝∠C＝90°
【分析】根据菱形的判定方法以及平行四边形的判定方法逐个进行证明，再进行判断
即可．
【解答】解：A、 ABCD中，当AB＝BC；可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定
ABCD是菱形；故本选项正确；
▱
B、 ABCD中，当AD＝CB时，平行四边形ABCD是矩形；故本选项错误；
▱
C、当OA＝OC，OB＝OD时，四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
▱
D、∠A＝∠B＝∠C＝90°，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；
故本选项错误．
▱ ▱
故选：A．
题型7：菱形的判定（四边相等）
7.如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线．
（1）求证：AB＝AD；
（2）若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．
【分析】（1）根据角平分线的性质和等腰三角形的性质得出∠FAD＝∠B，进而得到
AD∥BC，再利用∠D＝∠ACD，证明AC＝AD，再由AB＝AC可得AB＝AD；
（2）首先证明△ABC和△ADC是等边三角形，进而得到AD＝CB＝AB＝CD，可判
定四边形ABCD是菱形．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AD平分∠FAC，
∴∠FAD＝ ∠FAC，
∵∠B+∠ACB＝∠FAC，
∴∠FAD＝∠B，∴AD∥CB，
∴∠D＝∠DCE，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴∠D＝∠ACD，
∴AC＝AD，
∵AB＝AC，
∴AB＝AD；
（2）解：∵∠B＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60°，
∵AD∥CB，
∴∠DAC＝∠ACB＝60°，
∵AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴AD＝DC＝AC，
∴AD＝CB＝AB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
【变式7-1】如图，在四边形ABCD中，∠C＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且
OA＝OB＝OD．
（1）求证：∠BOD＝∠C；
（2）若BC＝CD，求证：四边形OBCD是菱形．【分析】（1）延长AO到E，利用等边对等角和角之间关系解答即可；
（2）连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．
【解答】证明：（1）延长AO到E，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO，
又∠BOE＝∠ABO+∠BAO，
∴∠BOE＝2∠BAO，
同理∠DOE＝2∠DAO，
∴∠BOE+∠DOE＝2∠BAO+2∠DAO＝2（∠BAO+∠DAO），
即∠BOD＝2∠BAD，
又∠C＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠C；
（2）连接OC，
∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，
∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC（SSS），
∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，
∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，
∴∠BOC＝ ∠BOD，∠BCO＝ ∠BCD，
又∠BOD＝∠BCD，
∴∠BOC＝∠BCO，
∴BO＝BC，
又OB＝OD，BC＝CD，
∴OB＝BC＝CD＝DO，
∴四边形OBCD是菱形．
法二，连接OC，
∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC（SSS），
∴∠B＝∠D，∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，
∴∠BOD＝∠BCD，
∴四边形BCDO是平行四边形，
∵BC＝CD，
∴平行四边形BCDO是菱形．
【变式7-2】已知：如图，P是线段AB上的一点，分别以线段AP，PB为一边在AB的同
侧作等边三角形APE和等边三角形PBF，连接EF，点G，M，N，H分别是四边形
ABFE的边AB，BF，FE，EA的中点，连接HG，GM，MN和NH．求证：四边形
GMNH为菱形．
【分析】欲证明四边形GMNH为菱形，只要证明HN＝HG＝GM＝MN，由题意HN＝
GM＝ ，HG＝MN＝ ，所以只要证明AF＝EB，利用△APF≌△EPB即可证
明．
【解答】证明：∵△APE和△PBF都是等边三角形，
∴AP＝PE，PF＝PB，∠APE＝∠FPB＝60°，
∴∠APF＝∠EPB，
在△APF和△EPB中，
，
∴△APF≌△EPB，
∴AF＝EB，∵EH＝HA，EN＝NF，
∴HN＝ ，同理GM＝ ，HG＝MN＝ ，
∴HN＝HG＝GM＝MN，
∴四边形MNHG是菱形．
题型8：菱形的判定（平行四边形+邻边相等）
8.如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接
DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．
【分析】根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；
【解答】证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DE∥CF，DE＝ BC，DF∥CE，DF＝ AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵AC＝BC，
∴DE＝DF，
∴四边形DFCE是菱形；
【变式8-1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作
AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．
【分析】根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组
对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形．【解答】证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝ BC，
∴四边形ADCF是菱形．
【变式 8-2】如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，点 D 是 AC 的中点，BE∥AC，
CE∥BD，BE与CE交于点E．求证：四边形BDCE是菱形．
【分析】根据CE∥BD，BE∥AC，求得四边形BDCE是平行四边形，根据直角三角
形的性质得到BD＝AD＝DC＝ AC，由菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵CE∥BD，BE∥AC，
∴四边形BDCE是平行四边形，∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，
∴BD＝AD＝DC＝ AC，
∴四边形DBEC是菱形．
题型9：菱形的判定（平行四边形+对角线互相垂直）
9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE＝ED＝DB，DG⊥AC于点G，EF⊥BC于点
F，求证：四边形DFGE是菱形．
【分析】由已知条件得出DG∥BC，EF∥AC，DG⊥EF，由平行线分线段成比例定理
得出OG＝OD，OE＝OF，证出四边形DFGE是平行四边形，再由对角线互相垂直，
即可得出结论．
【解答】证明：如图所示：
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DG⊥AC，EF⊥BC，
∴DG∥BC，EF∥AC，DG⊥EF，
∵AE＝ED＝DB，
∴OG＝OD，OE＝OF，
∴四边形DFGE是平行四边形，
又∵DG⊥EF，
∴四边形DFGE是菱形．
【变式9-1】如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，以AB，BD为邻边作 ABDE，
连接EC，当∠BAC＝90°时，说明四边形ADCE是菱形的理由．
▱【分析】由题意可得AE＝BD，AE∥CD，AB∥DE，BD＝CD，即可证四边形ABDE
是平行四边形，且AC⊥DE，即可得四边形ADCE是菱形．
【解答】解：理由如下：
∵四边形ABDE是平行四边形
∴AE＝BD，AE∥BD，AB∥DE
∵AD是边BC上的中线
∴BD＝CD
∴CD＝AE，且AE∥CD
∴四边形AECD是平行四边形
∵AB∥DE，∠BAC＝90°
∴∠COD＝∠BAC＝90°
即AC⊥DE且四边形AECD是平行四边形
∴四边形AECD是菱形
【变式9-2】如图，在三角形纸片ABC中，AD是△ABC的角平分线，把△ABC进行折
叠，使点A与点D重合，折痕与AB相交于E，与AC相交于F，求证：四边形AEDF
是菱形．
【分析】由∠BAD＝∠CAD，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°证△AEO≌△AFO，推
出EO＝FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE＝∠AOF＝90°
在△AEO和△AFO中，，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO＝FO，
又∵A点与D点重合，
∴AO＝DO，
∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形
∵点A与点D关于直线EF对称，
∵EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形．
题型10：菱形的判定与性质-最值问题
10.如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，点 P 在 BD 上，点 E 为 CD 中点，且
PC+PE＝1，则边AB的最大值等于（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】首先连接AP，AE，AC由已知条件可以得出PE+PC＝PE+PA＝1≥AE（当P
是AE与DB的交点时取等号），再利用等边三角形的性质得出 AE＝ AD＝
AB，进而求出AB长的最大值．
【解答】解：连接AP，AE，AC
根据四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，AP＝CP，∴PE+PC＝PE+PA＝1≥AE，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADE＝60°，AD＝CD，
∴△ADC是等边三角形，
∵DE＝CE，
∴∠AED＝90°，∠DAE＝30°，
设DE＝x，则AD＝2x，
由勾股定理得：AE＝ ＝ x
∴AE＝ AD＝ AB≤1，
所以AB≤ ，
即AB长的最大值是 ，
故选：B．
【变式10-1】菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，点M、N分别是边AB、BC的
中点，点P是对角线AC上的一个动A点，则PM+PN的最小值是 ．
【分析】要求PM+PN的最小值，PM，PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化
PN，PM的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：如图：
作ME⊥AC交AD于E，连接EN，
则EN就是PM+PN的最小值，
∵M、N分别是AB、BC的中点，
∴BN＝BM＝AM，
∵ME⊥AC交AD于E，
∴AE＝AM，∴AE＝BN，AE∥BN，
∴四边形ABNE是平行四边形，
∴EN AB，
而由已知可得AB＝ ＝5，
∴PM+PN的最小值为5，
故答案为5．
【变式10-2】如图，四边形ABCD是菱形，点E为AB的中点，延长CD至F，使得DF
＝ CD，连接EF分别交AD，AC于点M，N．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，且P为AC上一点（P与点A不重合），连接PB和
PE可得△PBE，求△PBE周长的最小值．
【分析】（1）只要证明AM＝AE，根据菱形的性质∠CAN＝∠CAE，由此即可证
明．
（2）如图连接BM交AC于P，连接PE，此时△PEB周长最小．作MK⊥BA交BA的
延长线于K，在RT△AMK，RT△KMB中利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，AB∥FC
∵AE＝EB，DF＝ CD，
∴AE＝DF，
∵AE∥DF，
∴∠EAM＝∠FDM，
在△AEM和△DFM中，
，∴△EAM≌△FDM，
∴AM＝DM＝AE，
∵∠MAN＝∠EAN，
∴AN⊥ME即AC⊥EF．
（2）如图连接BM交AC于P，连接PE，此时△PEB周长最小．作MK⊥BA交BA的
延长线于K．
∵四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，
∴AD∥BC，AD＝AB＝4，
∴∠KAM＝∠ABC＝60°
在RT△AMK中，∵∠MKA＝90°，AM＝2，∠KMA＝30°，
∴AK＝1，KM＝ ，
在RT△KMB中，∵∠K＝90°，KM＝ ，KB＝5，
∴BM＝ ＝2 ，
∴△PEB周长的最小值＝PE+PB+EB＝PM+PB+EB＝BM+EB＝2 +2．
题型11：菱形的判定与性质-多结论问题
11.如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和
等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝
90°，∠BAC＝30°．给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FH＝ BD；
其中正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF＝∠BAC，得出EF⊥AC，由等边
三角形的性质得出∠BDF＝30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE＝DF，再由FE＝
AB，得出四边形ADFE为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出 AD＝4AG，从而得到答案．
【解答】解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AE＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠FAE＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB＝2AF，
∴BC＝AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE＝AB，
∴∠AEF＝∠BAC＝30°，
∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴HF∥BC，
∵F是AB的中点，
∴HF＝ BC，
∵BC＝ AB，AB＝BD，
∴HF＝ BD，故④说法正确；
∵AD＝BD，BF＝AF，
∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，
∵∠FAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，
∴∠DFB＝∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝30°，
∴∠BDF＝∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE＝DF，
∵FE＝AB，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵AE≠EF，
∴四边形ADFE不是菱形；故②说法不正确；
∴AG＝ AF，
∴AG＝ AB，
∵AD＝AB，
则AD＝4AG，故③说法正确，
故选：C．
【变式11-1】如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，
则下列结论：①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD
＝BE．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】先求出∠ACD＝60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正
确的；根据①的结论，可判断四边形 ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确
的；根据①的结论，可判断④错误．
【解答】解：△ABC、△DCE是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°，AC＝CD，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD＝AC＝BC，故①正确；
由①可得AD＝BC，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BD、AC互相平分，故②正确；由①可得AD＝AC＝CE＝DE，
故四边形ACED是菱形，即③正确．
∵BD⊥AC，AC∥DE，
∴BD⊥DE，
∴BE＞BD，故④错误．
综上可得①②③正确，共3个．
故选：D．
【变式11-2】如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，
则下列结论：
①AD＝BC＝CE；
②BD，AC互相平分；
③四边形ACED是菱形；
④四边形ABED的面积为 AB2．
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据平移的定义可知AB＝CD，AB∥CD推出四边形ABCD是平行四边形，
同理可知四边形ACED是平行四边形由此即可解决问题．
【解答】解：∵△DCE是由△ABC平移得到，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝CE，BD与AC互相平分，故①②正确，
∵AD∥CE，AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC＝CE，
∴四边形ACED是菱形，故③正确，
∵四边形ABED的面积＝3•S△ABC ＝3× （AB）2＝ （AB）2，故④正确，
∴①②③④正确，
故选：A．题型12：菱形的判定与性质-动点问题
12.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5 cm，∠C＝30°，点D从点C出发沿
CA方向以每秒2cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒
1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运
动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、
EF．
（1）当t为何值时，DF⊥ED；
（2）当t为何值时，四边形AEFD是菱形？
【分析】（1）当DE∥BC时，可以证明四边形BEDF是矩形，由 ＝ 列出方程
即可解决．
（2）当AE＝AD时，可以证明四边形AEFD是菱形，列出方程即可．
【解答】解：（1）当DE∥BC时，∵DF∥AB，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴∠EDF＝90°即DE⊥DF．
在RT△ABC中，∠B＝90°，BC＝5 ，∠C＝30°，
∴AB＝5，AC＝10，
∵DE∥BC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴t＝ ．（2）∵在RT△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，
∴DF＝ DC＝ •2t＝t，
∵AE＝t，
∴AE＝DF，∵AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AE＝AD时，四边形AEFD是菱形，
∴t＝10﹣2t，
∴t＝ ，
∴t＝ 时，四边形AEFD是菱形．
【变式12-1】如图1，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝6，P点是底边BC上的一个动
点．PD∥AC，PE∥AB．
（1）求四边形ADPE的周长；
（2）点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由；
（3）如果ABC不是等腰三角形（图2）其他条件不变，点P运动到什么位置时，四
边形ADPE是菱形，并说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠B＝∠DPB，∠C＝
∠EPC，进而可得 DB＝DP，PE＝EC，从而可得四边形 ADPE 的周长＝
AD+DP+PE+AE＝AB+AC；
（2）当P运动到BC中点时，四边形ADPE是菱形；首先证明四边形ADPE是平行四
边形，再证明DP＝PE即可得到四边形ADPE是菱形；
（3）P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE是菱形，首先证明四边形ADPE是平
行四边形，再根据平行线的性质可得∠1＝∠3，从而可证出∠2＝∠3，进而可得AE＝EP，然后可得四边形ADPE是菱形．
【解答】解：（1）∵PD∥AC，PE∥AB，
∴∠DPB＝∠C，∠EPC＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DPB，∠C＝∠EPC，
∴DB＝DP，PE＝EC，
∴四边形ADPE的周长是：AD+DP+PE+AE＝AB+AC＝12；
（2）当P运动到BC中点时，四边形ADPE是菱形；
∵PD∥AC，PE∥AB，
∴四边形ADPE是平行四边形，
∴PD＝AE，PE＝AD，
∵PD∥AC，PE∥AB，
∴∠DPB＝∠C，∠EPC＝∠B，
∵P是BC中点，
∴PB＝PC，
在△DBP和△EPC中，
，
∴△DBP≌△EPC（ASA），
∴DP＝EC，
∵EC＝PE，
∴DP＝EP，
∴四边形ADPE是菱形；
（3）P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE是菱形，
∵PD∥AC，PE∥AB，
∴四边形ADPE是平行四边形，
∵AP平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥EP，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AE＝EP，∴四边形ADPE是菱形．
【变式12-2】如图，已知点P为∠ACB平分线上的一点，∠ACB＝60°，PD⊥CA于D，
PE⊥CB于E．点M是线段CP上的动点（不与两端点 C、P重合），连接 DM，
EM．
（1）求证：DM＝ME；
（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由．
【分析】（1）先利用角平分线定义得到∠ACP＝∠BCP＝30°，再根据角平分线的性
质得PD＝PE，则利用“HL”可证明Rt△DCP≌Rt△ECP得到CD＝CE，然后证明
△DCM≌△ECM得到DM＝ME；
（2）利用∠DCP＝30°得到PC＝2PD，∠CPD＝60°，则当DM＝DP时，PD＝PE＝
MD＝ME，则四边形DMEP为菱形，由于此时△PDM为等边三角形，所以 PD＝
PM，从而得到CM＝PM，即当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱
形．
【解答】（1）证明：∵点P为∠ACB平分线上的一点，
∴∠ACP＝∠BCP＝30°，
∵PD⊥CA于D，PE⊥CB于E，
∴PD＝PE，
在Rt△DCP和Rt△ECP中
，
∴Rt△DCP≌Rt△ECP，
∴CD＝CE，
在△DCM和△ECM中，
∴△DCM≌△ECM，
∴DM＝ME；
（2）解：当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．
理由如下：∵∠DCP＝30°，
∴PC＝2PD，∠CPD＝60°，
∵PD＝PE，MD＝ME，
∴当DM＝DP时，PD＝PE＝MD＝ME，则四边形DMEP为菱形，
此时△PDM为等边三角形，
∴PD＝PM，
∴CM＝PM，
∴当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．
