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18.2.2菱形的性质与判定
菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
注意：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个
平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.
题型1：菱形的定义
1.在 ABCD中，添加以下哪个条件能判断其为菱形（ ）
A．AB⊥BC B．BC⊥CD C．CD⊥AC D．AC⊥BD
▱
【变式1-1】在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为菱
形，需添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠C B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD
【变式1-2】下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形
B．一条对角线平分一组对角的四边形
C．四条边都相等的四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形
菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是
对称中心.
注意：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.
（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条
对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的
四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.
题型2：菱形的性质求长度
2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，连接AC，BD，若BD＝8，则AC的长为（
）
A． B．8 C． D．16
【变式2-1】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，O为AC、BD的交
点，H为AD上的中点，则OH的长度为（ ）
A．3 B．4 C．2.5 D．5
【变式2-2】如图，菱形ABCD的周长是16，∠BAD＝60°，则AC的长为 ．
【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O（0，0），A（4，0），
∠AOC＝60°，则顶点B的坐标为 ．
题型3：菱形的性质求角度
3.已知菱形ABCD中，∠D＝150°，连接AC，则∠BAC等于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°【变式3-1】如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，且AE＝AD，∠EAD＝2∠BAE，求
∠BAE的度数．
【变式 3-2】如图，在正五边形 ABCDE 的内部作菱形 ABCF，则∠FAE 的度数为
（ ）
A．30° B．32° C．36° D．40°
题型4：菱形的性质与等面积法
4.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（ ）
A． B． C．4 D．8
【变式4-1】如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（ ）
A．24 B．10 C． D．
【变式4-2】已知：如图所示，菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点，已
知BD＝4，求菱形ABCD的周长和面积．题型5：菱形的性质简单综合
5.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，且E为边AB的中点．
（1）求∠A的度数；
（2）如果AB＝4，求对角线AC的长．
【变式5-1】如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE＝BF．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）若∠DEF＝65°，求∠EDB的度数．
菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
注意：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是
在四边形的基础上加上四条边相等.
题型6：菱形的判定（条件选择）
6.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB＝BC＝CD＝DA
C．AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD
【变式6-1】如图所示，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定
ABCD为菱形的是（ ）
▱
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD
▱
C．AC⊥BD D．OA＝
OC，OB＝OD
【变式6-2】已知O为 ABCD对角线的交点，下列条件能使□ABCD成为菱形的是（
▱）
A．AB＝BC B．AC＝BD
C．OA＝OC，OB＝OD D．∠A＝∠B＝∠C＝90°
题型7：菱形的判定（四边相等）
7.如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线．
（1）求证：AB＝AD；
（2）若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．
【变式7-1】如图，在四边形ABCD中，∠C＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且
OA＝OB＝OD．
（1）求证：∠BOD＝∠C；
（2）若BC＝CD，求证：四边形OBCD是菱形．
【变式7-2】已知：如图，P是线段AB上的一点，分别以线段AP，PB为一边在AB的同
侧作等边三角形APE和等边三角形PBF，连接EF，点G，M，N，H分别是四边形
ABFE的边AB，BF，FE，EA的中点，连接HG，GM，MN和NH．求证：四边形
GMNH为菱形．题型8：菱形的判定（平行四边形+邻边相等）
8.如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接
DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．
【变式8-1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作
AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．
【变式 8-2】如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，点 D 是 AC 的中点，BE∥AC，
CE∥BD，BE与CE交于点E．求证：四边形BDCE是菱形．
题型9：菱形的判定（平行四边形+对角线互相垂直）
9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE＝ED＝DB，DG⊥AC于点G，EF⊥BC于点
F，求证：四边形DFGE是菱形．【变式9-1】如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，以AB，BD为邻边作 ABDE，
连接EC，当∠BAC＝90°时，说明四边形ADCE是菱形的理由．
▱
【变式9-2】如图，在三角形纸片ABC中，AD是△ABC的角平分线，把△ABC进行折
叠，使点A与点D重合，折痕与AB相交于E，与AC相交于F，求证：四边形AEDF
是菱形．
题型10：菱形的判定与性质-最值问题
10.如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，点 P 在 BD 上，点 E 为 CD 中点，且
PC+PE＝1，则边AB的最大值等于（ ）
A．1 B． C． D．
【变式10-1】菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，点M、N分别是边AB、BC的
中点，点P是对角线AC上的一个动A点，则PM+PN的最小值是 ．【变式10-2】如图，四边形ABCD是菱形，点E为AB的中点，延长CD至F，使得DF
＝ CD，连接EF分别交AD，AC于点M，N．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，且P为AC上一点（P与点A不重合），连接PB和
PE可得△PBE，求△PBE周长的最小值．
题型11：菱形的判定与性质-多结论问题
11.如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和
等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝
90°，∠BAC＝30°．给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FH＝ BD；
其中正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④
B．C．①③④ D．②③④
【变式11-1】如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，
则下列结论：①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD
＝BE．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3【变式11-2】如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，
则下列结论：
①AD＝BC＝CE；
②BD，AC互相平分；
③四边形ACED是菱形；
④四边形ABED的面积为 AB2．
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
题型12：菱形的判定与性质-动点问题
12.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5 cm，∠C＝30°，点D从点C出发沿
CA方向以每秒2cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒
1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运
动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、
EF．
（1）当t为何值时，DF⊥ED；
（2）当t为何值时，四边形AEFD是菱形？
【变式12-1】如图1，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝6，P点是底边BC上的一个动
点．PD∥AC，PE∥AB．
（1）求四边形ADPE的周长；
（2）点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由；
（3）如果ABC不是等腰三角形（图2）其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，并说明理由．
【变式12-2】如图，已知点P为∠ACB平分线上的一点，∠ACB＝60°，PD⊥CA于D，
PE⊥CB于E．点M是线段CP上的动点（不与两端点 C、P重合），连接 DM，
EM．
（1）求证：DM＝ME；
（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由．
