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专题 02 平行四边形的性质和判定
目录
A题型建模・专项突破
题型一、利用平行四边形的性质求角度或线段..................................................................................................1
题型二、利用平行四边形的性质求面积..............................................................................................................5
题型三、利用平行四边形的性质求动点问题......................................................................................................8
题型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题）................................................................................13
题型五、证明四边形是平行四边形....................................................................................................................18
题型六、利用平行四边形的判定和性质求解....................................................................................................21
题型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图............................................................................................25
题型八、利用平行四边形的判定和性质证明....................................................................................................29
B综合攻坚・能力跃升
题型一、利用平行四边形的性质求角度或线段
1．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，平行四边形 的一个外角为 ，则 的度数为
．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等，邻角互补．
利用已知可先求出 ，根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角相等来求 的度数．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵平行四边形 的一个外角为 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中，对角线AC，BD交于点O．若 ，
， ，则BC的长为 ．【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质定理，勾股定理，勾股逆定理，熟练掌握相关定理是解题的关键；
利用平行四边形的性质求得 、 的长，再根据勾股逆定理判断形状并求边长即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
在 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ．
在 中，
．
故答案为： ．
3．（25-26九年级上·四川成都·期中）如下图，在 中，按如下步骤作图：①以点D为圆心，适当长
为半径作弧，分别交 、 于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于 的一半长为半径作弧，两
弧交于点G；③作射线 交 的延长线于点M．如果 ， ， ，则 的长为
．
【答案】
【分析】本题考查作角平分线、平行四边形的性质，熟练掌握角平分线的定义、平行四边形的性质是解答
本题的关键．由作图过程可知， 为 的平分线，可得 ．由平行四边形的性质可
得 ， ，则 ，进而可得 ，再根据 可得答
案．
【详解】解：由作图过程可知， 为 的平分线，
．
四边形 为平行四边形，
， ，
，，
，
．
故答案为： ．
4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在 中， ，将 绕点 逆时针
旋转角 得到 ，连接 ．当 为等腰三角形时， 的值为 ．
【答案】1或 或
【分析】分三种情况讨论，①点 在 上，则 是等边三角形，可证明 ，则 是等腰三
角形，根据勾股定理即可得到结论，②点 在 上，可证明 ，则 是等腰三角形，
根据等边三角形的性质即可得到结论；③ 是等腰三角形，且 ，作 于点 ，交
于点 ，则 ，可证明 ，再推导出 ，则 ，所以
，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：①如图 1，当点 在 上时，
由旋转得 ，
，
∴ 是等边三角形，
， ，
，
∵四边形 是平行四边形，
，
，
∴ 是等腰三角形，
，
，
∵ ，，
；
②如图 2，当点 在 上时，
，
，
，
∴ 是等腰三角形，
即当 是等腰三角形， 时， ；
③如图3， 是等腰三角形，且 ，作 于点 ，交 于点 ，
则 ，
，
，
，
，
，
，
，
由旋转得 ，
，
，
过点A作 ，
则 ， ，，
，
；
综上所述， 或 或 ，
故答案为：1或 或 ．
题型二、利用平行四边形的性质求面积
5．如图， 的对角线 相交于点O， 过点O，且点E，H在边 上，点G，F在边
上，则阴影部分的面积与 的面积比值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题主要考查了平行四边形的对称性，将阴影部分的面积进行合理的转化是解题的关键．
根据轴对称的性质可得 和 关于点O中心对称，即可 ，再根据平行四边形的性质
即可解答．
【详解】
解：∵四边形 为平行四边形，
∴ 和 关于点O中心对称，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积与 的面积比值是 ．
故选：C．
6．如图，直线 过平行四边形 对角线的交点O，分别交 于E、F，若平行四边形的面积
是12，则 与 的面积之和为 ．【答案】3
【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到
，进而可证明 得到 ，则
．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
7．如图，在 中，P是 边上一点．已知 ， ，则 的面积是
cm2．
【答案】12
【分析】由平行四边形的性质得 ，则 ，得 ，即可得
出结论．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
故答案为：12．8．如图，E是 内部一点，连接 、 、 、 ．若图中阴影部分的面积是3，则 和
的面积之和是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的面积公式=底×高是解题的关键．
过E作 ，交 于M，交 于N， 的面积+ 的面积=
，即可得出平行四边形 的面积，再根据 和
的面积之和是平行四边形 的面积减去阴影部分的面积即可得出答案．
【详解】解：过E作 ，交 于M，交 于N，如图所示：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
， ，
∵阴影部分的面积是3，
∴ ，
和 的面积之和是 ．
故答案为：3．
题型三、利用平行四边形的性质求动点问题
9．如图，在四边形 中， ， ， ．动点 从点 出发，以 的速度
向点 运动．同时，动点 从点 出发，以 的速度向点 运动．规定其中一个动点到达终点时，另
一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间 时，四边形 为平行四边形．【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得 ， ，进而根据平行四边形
的判定列出方程解答即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：由题意得， ， ，
∵ ，
∴当 时，四边形 是平行四边形，
即 ，
解得 ，
故答案为： ．
10．如图， 和 关于点O中心对称， ， ， ，点P是 上一
动点，点Q是 上一动点（点P、Q不与端点重合），且 ．连接 ， ，则 的最小
值为 ．
【答案】18
【分析】先根据中心对称性质得到 ，再根据含30度角的直角三角形的性得到
，过D作 ，且 ，连接 ， ，证得四边形 是平行四
边形， ， ，则 ，当B、Q、K共线时取等号，此时
最小，最小值为 的长．证明 为等边三角形得到 即可求解．
【详解】解：∵ 和 关于点O中心对称，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴过D作 ，且 ，连接 ， ，如图，
则四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
∴ ，当B、Q、K共线时取等号，此时 最小，最小值为 的长．
∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，即 的最小值为18，
故答案为：18．
11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图， 的对角线 ， 相交于点 ， ， ，
．点 从点 出发，沿 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动，连接 并延长，交 于点
．设点 的运动时间为 ．
(1)求 的长（用含 的代数式表示）．
(2)当四边形 是平行四边形时，求 的值．
(3)当点 在线段 的垂直平分线上时，直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用平行四边形对角线平分、对边平行的性质，证明 与 全等，得出 ，
再结合 的长度，用 减去 表示出 ；
（2）根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合 的条件，列 的方程求解 ；
（3）由垂直平分线的性质得 ，先通过勾股定理算出 的长度，再结合 的长度，用勾股定理
列方程求 ．【详解】（1）解： 四边形 是平行四边形，
， ，
．
在 和 中：
，
．
由题意得 ，
．
，
．
（2）解： ，
当 时，四边形 是平行四边形，即 ，
解得 ．
故当四边形 是平行四边形时， 的值为 ．
（3）解：如图，过点 作 垂直平分 分别交 ， 于点 ， ．
， ，
，
．
，
，
易得 ．
是 的垂直平分线，
， ．
由勾股定理，得 ，即 ，
（负值已舍去）．
12．如图， 中， ， ，动点M从点D出发，按折线 方向以 的速
度运动，动点N从点D出发，按折线 方向以 的速度运动，两点均运动到点D停止．
(1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？
(2)在相遇前，是否存在过点M和N的直线将 的面积平分？若存在，请求出所需时间：若不存在，
请说明理由．
(3)若点E在线段 上， ，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟
时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？
【答案】(1)动点 同时出发，经过8秒钟两点相遇
(2)当经过4秒钟，过点 和 的直线将 的面积平分
(3)点 运动到第2秒或6秒钟时，点 、 、 、 组成平行四边形
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，难度较大，点的运用会使
学生感觉有一定的困难，但仔细分析后会发现考查的还是一些基本性质的运用．
（1）相遇时， 和 所经过的路程正好是矩形的周长，在速度已知的情况下，只需列方程即可解答．
（2）存在，当 经过 的中心 时，过点 和 的直线将 的面积平分，根据四边形
是平行四边形，得到 ，推出 ，根据全等三角形的性质得到
，同理 ，推出 ，列方程即可得到结论；
（3）因为按照 的速度和所走的路程，在相遇时包括相遇前， —直在 上运动，当点 运动到
边上的时候，点 、 才可能组成平行四边形，其中有两种情况，即当 到 点时以及在 上时，
所以要分情况讨论．
【详解】（1）解：设 秒时两点相遇，
∵在 中， ，
，
∴ 的周长 ，
∴ ，解得 ，
∴动点 同时出发，经过8秒钟两点相遇；
（2）解：存在，当 经过 的中心 时，过点 和 的直线将 的面积平分，如图，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴当经过4秒钟，过点 和 的直线将 的面积平分；
（3）解：由（1）知，点 一直在 上运动，所以当点 运动到 边上的时候，点 、 、 、
才可能组成平行四边形，所以 ，
设经过 秒，四点可组成平行四边形．
分两种情形：
①当 点在 点右侧，
如图2：此时 ，则四边形 是平行四边形，
，
，
，
解得 ，
②当 点在 点与 点之间， ，解得 ，
∴点 运动到第2秒或6秒钟时，点 、 、 、 组成平行四边形．题型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题）
13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中，对角线 ， 交于点O，EF过点O．下
列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、面积转化，掌握利用平行四边形的对
角线性质和全等三角形证明线段与面积关系是解题的关键．
逐一分析四个结论，结合平行四边形性质与全等三角形判定判断正误．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ．
在 中：
∴ ，
∴ ， ．故①②正确．
∵ ， ，
∴ ，
即 ，故④正确．
无法确定 ，故③不正确．
综上所述，正确结论的个数为 ．
故选：C．
14．如图，在 中， 平分 ，交 于点 ，且 ，连接 ，延长 与 交于
点 ，连接 、 ．下列结论中：① ；② 是等边三角形；③ ；④
．其中所有正确结论的序号是（ ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义可得 ，进而可得
，然后结合已知条件可得 ，于是可判断②；根据等边三角形的性质可得
，然后根据 即可证明 ，从而可判断①；由 与
等底（ ）等高（ 与 间的距离相等）可得 ，进而可判断④；若 = ，
则根据等腰三角形的性质和平行线的性质得 ，但题中未限定这一条件，从而可判断③不一定正
确；于是可得答案．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；故②正确；
∴ ，
∵ ，
∴ ；故①正确；
∵ 与 等底（ ）等高（ 与 间的距离相等），
∴ ，故④正确．
∵
∴
若 ，则 ，
∵
∴
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
但题中未限定这一条件，
∴③不一定正确；
故选：B．
15．如图，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，过点 作 ，交 的延长线于
点 ，交 于点 ，若 ， ， ， ，则下列结论中：① 平分
；② ；③ ；④ ．正确结论的个数序号是( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线等知
识，掌握相关知识是解题的关键．①根据平行四边形的性质得 ，则 是线段 的垂直平分线，
进而得 是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可对结论结论①进行判断；②根据
得 是等腰直角三角形，由此可对结论②进行判断；③过点 作 于点 ，先求出
， ， 证明 是等腰直角三角形，可求出
，根据勾股定理求得 ， ，进而得到
，即可得到 ，据此可对结论③进行判断，④分别求出
，进而可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ，
∴ 平分 ，故①正确；②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
③过点 作 于点 ，如图：
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
又∵ ，
由勾股定理得： ，
∵ ，
，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，故③错误；
，，
，
，
，
，
，故④正确．
综上所述：所有正确结论的序号是①②④．
故选：B．
16．如图，在平行四边形 中， ， 于点E， 于点F， 相交于点
H， 的延长线相交于点 ．下列结论：① ；② ；③ ；④
；⑤ ，其中正确结论的是（ ）
A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③⑤
【答案】B
【分析】①由题意可知 是等腰直角三角形，故此可得到 ；②由 ，
证明即可；③先证明 ≌ ，从而得到 ，然后由平行四边形的性质可知
；④根据 ， ，即可得 ；⑤没有条件证明 ，所以 不
一定等于 ．
【详解】解： ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，故①正确，符合题意；
， ，
，
， ，
，四边形 是平行四边形，
， ，
，
，故②正确，符合题意；
在 和 中， ，
≌ ，
， ，
，
，故③正确，符合题意；
四边形 是平行四边形，
，
，
；故④正确，符合题意；
根据已知不能推出 ，故⑤错误，不符合题意；
综上，正确的有①②③④，
故选：B．
题型五、证明四边形是平行四边形
17．如图，在 中， ， 是 上一点， 和 关于点 对称，连接 ，
求证：四边形 是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的判定．
根据中心对称的性质得出 ， ，进而证明 ，即可证明四边形 是平行
四边形．
【详解】证明： 和 关于点O对称，
，
四边形 是平行四边形．
18．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图， ， ， 均为直线 同侧的等边三角形．当 时，求证：四边形 为平行四边形．
【答案】见解析
【分析】根据等边三角形的性质得出边角之间的关系，再利用全等三角形的判定得出 ，进而
得出 ，同理可得 ，即可得出四边形 为平行四边形．
【详解】证明： ， 为等边三角形，
， ， ，
．
在 和 中，
，
．
又 为等边三角形，
，
．
同理可得 ，
四边形 是平行四边形．
19．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，已知 是等边三角形，E 为边 上一点，连接 ．
将 绕点 E 旋转，使点 C 落在 上的点 D 处，点 A 落在 上方的点 F 处，连接 ．求
证：四边形 是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关
键．根据等腰三角形的性质，得到 ， ，根据旋转的性质，得到
，证明 是等边三角形，得到 ，证明 ，即可得出结论．【详解】证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
又∵ 将 绕点 E 旋转得到 ，
∴ ．
∴ ， 是等边三角形．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ 四边形 是平行四边形．
20．如图， 和 都是等边三角形，点D在 边上， 边上有一点F，且 ，连接 、
．
(1)求证： ；
(2)求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质，平行线的
判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质，利用 即可证明 ；
（2）由全等三角形的性质和等边三角形的性质，结合 ，可推出 ， ，
即 为等边三角形，进而得到 ， ，推出 ，最后由对边相等且
平行即可判定四边形 为平行四边形．
【详解】（1）证明： 和 都是等边三角形，
， ， ，
，即 ，
；
（2）证明： ，
， ，
又 ，是等边三角形，
，
，
为等边三角形．
，
是等边三角形，
，
，
，即 ，
， ，
，
四边形 是平行四边形．
题型六、利用平行四边形的判定和性质求解
21．如图，在四边形 中， ，点 在 上， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行
四边形的性质与判定是解题的关键；
（1）根据已知得出 ，进而根据 ，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可得
证；
（2）根据题意得出 ，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得 ，即
可求解．
【详解】（1）证明： ，
；
又 ，
四边形 是平行四边形；
（2） 四边形 是平行四边形， ，；
，
；
，
， ；
，
．
22．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，
连接AE，ED，过点C作 交ED的延长线于点F，连接AF．
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．
(2)若 ， 的面积为8，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，正确理解上述知识点是解题的
关键．
（1）由两直线平行，内错角相等可得到 ，由中点的性质得到 ，接着通过 判
定 ，由全等三角形的性质得到 ，最后通过对角线互相平分的四边形为平行四边形
可证四边形 是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质可得 ，根据 ，结合等高的三角形的面积比等于底之比
得到 ，由此可求出 的面积．
【详解】（1）证明： ，
．
是 的中点，
．
在 和 中，
，，
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
．
， 的 边上的高与 的 边上的高相等，
，
，
．
23．如图，在四边形 中， ， ，对角线 ， 相交于点 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长和 的长．
【答案】(1)见解析
(2) ；
【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，勾股定理：
（1）根据 ，可得 ，再由 ，可得 ，从
而得到 ，即可求证；
（2）根据勾股定理可得 ，从而得到 ，然后根据勾股定理可得 ，即可求解．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
四边形 是平形四边形；
（2）解：∵四边形 是平形四边形，
∴ ， ，，
，
，
，
，
，
．
24．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在四边形 中， ，对角线 ， 相交于点
，且 ．
(1)求证：
．
四边形 为平行四边形．
(2)过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，连结 若 ， ，求
的度数．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)
【分析】（1）根据 ，可得 ，利用 可证 ；
（2）根据 ，可得 ，又因为 ，则可得四边形 为平行四边形；
（3）可证 是 的垂直平分线，则 ，根据等腰三角形三线合一可知 ，再由
平行线的性质可求 ．
【详解】（1）证明： ，
．
在 和 中，
同理可证 ，．
又 ，
四边形 为平行四边形；
（2）解： ，
，
，
，
，
．
，
，
．
题型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图
25．如图，在 中，点 为 的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）：
(1)在图1中， ，作出 中 边上的高 ；
(2)在图2中，过点 作 的平行线 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查基本作图，考查了平行四边形的性质，掌握等腰三角形底边上的高垂直平分底边和三角
形三条中线交于一点、平行四边形对角线相互平分是解答本题的关键．
（1）作出 中 边上的高 ；即找到 的中点即可，连接 ，交 于点 ，由平行四边形性
质可知 ， ，连接 并延长交 于 ，容易证明 ，从而可得
，即 是 中点，
（2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，连接 并延长交 延长线于 ，可得平行四边形
，由此即可解题．
【详解】（1）解：如图， 为所求，（2）解：如图， 为所求，
26．如图，在平行四边形 中，点E是 边上一点．请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留
画图痕迹）．
(1)在图（1）中， ，作一个三角形，使其面积为 的两倍；
(2)在图（2）中，E为 的中点，在 作一点F，使线段 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形
的判定与性质是解题的关键．
（1）连接 ， 即为所求，平行四边形 得到 ，则 等高，而
，故 ；
（2）连接 交于点 ，连接 并延长交 即为点 ，根据平行四边形 得到 ，
，继而可证明 ，则 ，那么可证明四边形 为平行四边形，则
．
【详解】（1）解：在图1中， 即为所求；
（2）解：如图，点 即为所求：
27．如图，在 中，点E是边 的中点， 是对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）
(1)如图1，在边 上找一点O，使 平分 的面积；
(2)如图2，分别在 边上找点P，M，N，作
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图−复杂作图，平行四边形的判定与性质．
结合平行四边形的性质，连接BD交 于点O，则点O即为所求；
结合平行四边形的判定与性质，连接 交 于点O，连接 并延长，交 于点M，在 上任取
一点P，连接 并延长，交 于点N，连接 即可．
【详解】（1）如图1，连接 交 于点O，
则点O即为所求．
（2）如图2，连接 交 于点O，连接 并延长，交 于点M，在 上任取一点P，连接 并延
长，交 于点N，连接 ，
则 即为所求．
28．数学课上，老师提出一个问题：在平行四边形 的边 上取一点P，使得 是以 为底边
的为等腰三角形．小明同学按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 ，
于点M，N；②以点A为圆心， 长为半径作弧，交 于点E：③以点E为圆心，以 长为半径作弧，
在 内部交前弧于点F；④连接 并延长，交 于点P．(1)通过作图可以得到 的依据是______；
(2)小聪同学表示他可以借助无刻度直尺和圆规用另外一种方法作出点P，请在图2中完成作图，要求保留
作图痕迹；
(3)如图3，小聪同学继续用无刻度直尺和圆规作了射线 ，发现 恰好经过点P，此时小聪同学发现
， ， 都是等腰三角形，求 的度数．
【答案】(1)
(2)见解析
(3) 或
【分析】（1）根据作图过程和三角形全等的判定方法可得答案；
（2）作线段 的垂直平分线交 于点P，即可得到 ；
（3）分①当 时，②当 时，③当 时三种情况，利用等腰三角形的性质，结合平
行线的性质和三角形的内角和定理分别求解即可．
【详解】（1）解：由作图过程可得 ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：如图，点P， 即为所求作：
（3）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
根据作图痕迹， 平分 ，设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ 是等腰三角形，
∴分三种情况：
①当 时，则 ，由 ， ，
解得 ，
∴ ；
②当 时， ，
由 得 ，
解得 ，
∴ ；
③当 时， ，则 ，
由 得 ，则 ，不符合题意，
综上， 的度数为 或 ．
题型八、利用平行四边形的判定和性质证明
29．已知：如图，四边形 为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上， ．
(1)求证： ；
(2)连接 、 ，求证：四边形 为平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据四边形 为平行四边形，得到 ，继而得到 ，结合
得到 ，证明 即可．
（2）根据 ，得到 ，继而得到 即可证明四边形 为平
行四边形．本题考查了三角形全等的判定，平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】（1）∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形．
．
30．如图， ，E、F分别是边 上一点，且 ，直线 分别交 延长线、
延长线于O、H、G．
(1)求证： ．
(2)分别连接 ，试判断 与 的关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2) ， ，理由见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质．
（1）根据平行四边形的性质得到 ，利用 即可证明；
（2）由（1）知 ，得到 ，根据 ，即可得到四边形 是平行四边形，
即可得出结论．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
；
（2）证明：如图，连接 ，，
，
，
四边形 是平行四边形，
， ．
31．如图， 中， ，点 是 边上一点，且 ，点 是 延长线上一点，且
，点 在 上，且 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 ，求四边形 的周长；
(3)过点 作 交 于点 ，判断 和 的大小关系并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形 的周长为
(3) ，理由见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌
握平行四边形的判定与性质．
（1）根据平行四边形的对角线互相平分即可求解；
（2）根据平行四边形的对边分别相等，结合 ， ，即可求解；
（3）根据直角三角形的两个锐角互余和等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明： ， ，
四边形 是平行四边形；
（2） 四边形 是平行四边形，
， ，， ，
，
平行四边形 的周长为： ；
（3） ，
，
即 ，
中， ，
，
，
，
．
32．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在 中， ， 分别是边 ， 上的中线，
与 相交于点 ，点 ， 分别是 ， 的中点．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)求证： ；
(3)试猜想 与 的数量关系并给予证明．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3) ，证明见解析．
【分析】本题主要考查三角形中位线定理、平行四边形的判定及三角形面积的计算，属于几何综合题．
（1）利用三角形中位线定理，分别证明 和 都平行且等于 的一半，从而得到 与 平行且
相等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证；
（2）利用平行四边形对角线互相平分的性质得到 ，结合 是 中点的条件，即可推导出
；
（3）将四边形 的面积拆成两个三角形的面积和，再利用已知的线段比例，结合等高三角形面积比
等于底边长之比的性质，算出其中一个小三角形面积占对应大三角形面积的三分之一，并用同样的方法推
出另一部分三角形的面积占比，最后结合两个相关三角形面积之和 的面积，把两部分面积合并得证．
【详解】（1）解：∵ ， 分别是边 ， 上的中线，
∴ 是 的中点， 是 的中点，∴ 是 的中位线，
∴ ，且 ；
又∵点 ， 分别是 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，且 ；
∴ ，且 ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ；
又∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ；
（3）解：猜想 ，证明如下：
由（1） ， ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ 与 同高，
∴ ，
同理可得： ．
又 ， ，
∴ ．
一、单选题
1．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，将平行四边形 的边 延长，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形两组对角分别相等可得 ，
再根据邻补角互补可得 的度数．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
∵ ，
，
，
故选：A．
2．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，平行四边形 的周长为 ， 的周长为 ，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，对角线互相平分．
由平行四边形 的周长为 ，可得 ，再由 的周长为 ，可得
，则 ，根据平行四边形对角线互相平分可得 ，即可求解．
【详解】解：∵平行四边形 的周长为 ，
∴ ，
∵ 的周长为 ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
故选：B．3．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，点 ， 在 的对角线 上， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的性质，等边对等角，根据等边对等角，以及三角形的外角的性质，求出
的度数，平行线的性质，得到 ，再利用角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选D．
4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图， 的对角线 ， 交于点 ，过点 作 交
边 于点 ，垂足为 ， 的周长为 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形对角线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键；
根据平行四边形的性质和垂直平分线的性质，将 的周长转化为平行四边形相邻两边的和，进而求出
平行四边形的周长．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ．
又 ，
．
的周长为 ，
，
的周长为 ．故选：D．
5．（25-26八年级下·全国·周测）如图， 经过 对角线的交点 ，交 于点 ，交 于点 ．
有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若 ， ，则 ；③ ．
其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，面积转化知识点，
掌握平行四边形对角线互相平分和全等三角形面积相等的性质是解题的关键．
逐个分析三个结论：①通过列举全等三角形的对数判断是否为4对；②利用平行四边形对角线互相平分和
三角形三边关系求出 的范围；③通过全等三角形的面积相等，将四边形 的面积转化为 的
面积．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形
∴对角线 互相平分，即
∵
∴
在 和 中，
∴
同理可证
此外，还有 ， ， ，
∴图中共有6对全等三角形，结论①错误；
∵四边形 是平行四边形
∴
在 中，根据三角形三边关系：
∵∴ ，结论②正确
∵
∴
∵
∴
∴
∴ ，结论③正确
综上所述，正确的结论是②和③．
故选：C．
二、填空题
6．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形 中， 相交于点O，点E，F在对角
线 上，有下列条件：① ；② ；③ ；④ ．其中一定能判定四边
形 是平行四边形的是 ．
【答案】①④
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌
握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论．
【详解】解：①∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴四边形 是平行四边形；
②∵ ，不能判定 ，
∴不能判定四边形 是平行四边形；
③添加 不能判定四边形 是平行四边形；
④∵ ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
故答案为：①④．
7．（25-26八年级下·全国·课后作业）图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四
边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，
， ， ，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为 ．
【答案】24
【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键利用勾股逆定理证明三角
形 为直角三角形．
根据平行四边形对角线互相平分可知， ， ，又 ，根据勾股定理逆定理可知三
角形 为直角三角形，面积为 ，又平行四边形中对角线把它分成面积相等的 部分，由此可求出
平行四边形的面积．
【详解】解： 与 互相平分，
∴四边形 是平行四边形，
．
， ， ，
，
为直角三角形， ，
，
∴
∴四边形 的面积为 ．故答案为： ．
8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中，对角线 ， 交于点 ，过点 作
于点 ， 为 上一点，连接 ， ， ．若 ， ， ，则
的面积为 ．
【答案】56
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟
练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
先通过 证明 ，即可得到 ，进而得到 ，通过勾股定理求出线段
的长度，然后通过线段的和差关系求出线段 的长度，进而可求出 的面积，即可求出平行四边
形 的面积．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
， ．
在 与 中，
，
，即 ．
，
，
．
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
9．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形 中， ，动点P从点A开始沿边 向点D以 的速度运动，动点Q从点C开始沿边 以 的速度向点B运
动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为 ，连接 ，
当 时，四边形 是平行四边形．
【答案】6
【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，得到当 时，四边形 是
平行四边形，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由题意， ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时，四边形 是平行四边形，
∴ ，解得 ；
故答案为：6．
10．（22-23八年级下·江苏南通·月考）平面直角坐标系中， ， ， ， 为平面内一点
若 、 、 、 四点恰好构成一个平行四边形，则平面内符合条件的点 的坐标为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思
考问题．
分三种情形画出图形即可解决问题．
【详解】解：如图，
当 ， 时， 点的坐标为 ；
当 ， 时， 点的坐标为 ；
当 ， 时， 点的坐标为 ；
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．三、解答题
11．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，平行四边形 中， 是对角线，过A，C两点分别作
， ，E、F是垂足．
(1)求证： ；
(2)连接 ， 与 互相平分吗？为什么？
【答案】(1)见解析
(2) 与 互相平分，理由见解析
【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定与性质，掌握平行四边形的判定和性质是
解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，④两组对角分别相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互
相平分的四边形是平行四边形．
（1）根据平行四边形的性质证明 ， ，结合 ， ，即可得出结论；
（2）连接 ，由 ，得到 ，由 ，推出 ，得到
四边形 是平行四边形，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ,
∴ .
（2）解： 与 互相平分．理由：
连接 ，
∵ ,
∴ ,
∵ ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ 与 互相平分．
12．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，点 ， ， ， 在同一条直线上， ， ，
．
(1)求证： ．
(2)连接 ， ，判断四边形 的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形 是平行四边形，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定知识点，掌握全等三角形的判定方法和
平行四边形的判定定理是解题的关键．
（1）先由 推出 ，再用 证明 ，从而得到 ，
（2）由 推出 ，结合 ，证明四边形 是平行四边形．
【详解】（1）证明： ，
，
即 ．
在 与 中，
，
．
（2）解：四边形 是平行四边形．理由：
，
．
又 ，
四边形 是平行四边形．
13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中， 是边 的中点．设 的面积为4，
请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．(1)在图①中，画一个面积为2的平行四边形．
(2)在图②中，画一个面积为1的平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】利用平行四边形性质以及中点性质，来构造符合题意的平行四边形.
【详解】（1）解：如图①， 即为所求．
（2）解：如图②， 即为所求．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形性质构造满足面积要
求的平行四边形.
14．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形 中， ， ，若点 为 的
中点，连接 ， 交于点 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 是等边三角形，且 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，线段中点的性质，解题的关键是
掌握以上性质．（1）根据线段的中点以及等量代换得出 ，然后根据平行四边形的判定定理进行证明即可；
（2）根据等边三角形和平行四边形的性质得出相等的边，即可求解．
【详解】（1）解：∵点 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：由（1）得，四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
15．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在 中， 为 边上一点，连接
为 中点，过点C作 ，交 的延长线于点F，连接 交 于点G．
(1)判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)若 ， ， ．求 的长．
【答案】(1)平行四边形，理由见解析
(2)2
【分析】（1）通过平行线的性质证得 ，可得 ，结合题意得 即可求证四边
形 是平行四边形；
（2）设 ，根据题意可得 ，通过勾股定理求出 ，即可求解 ．
【详解】（1）解：四边形 是平行四边形，理由如下：
为 中点，
，
，
， ，在 和 中，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形．
（2）解： 四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
在 中， ，
设 ，则 ，
，
解得 （负值舍去），
，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理， 的直角三
角形性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
16．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，四边形 是平行四边形，E为 延长线上一点，
，连接 交 于点F，连接 、 、 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)已知 ，求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1) 的度数为
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和平行线的
性质等知识点．
（1）根据平行四边形的性质得出 ， ，根据平行线的性质得出 ，求出 ，根据 得出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出 ，求出 ，根据全等三角形的性质得出
，再根据平行四边形的判定得出结论即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图， 为 的对角线 ， 的交点， ， 是
上的一动点， 是 上的一动点（点 ， 不与端点重合）．若 ， ，
，连接 ， ．
(1)求线段 的长．
(2)若 的面积为 ， 的面积为 ， 的值是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；
若变化，请说明随着 的增大， 的值是如何发生变化的．
【答案】(1)
(2) 的值不变，
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 ，于是得到结论；
（2）如图所示，连接 ，由四边形 是平行四边形，得到 ，求得 ，于是得到，即可得到结论．
【详解】（1）解： 四边形 是平行四边形，
．
，
．
（2）解： 的值不变．
如图，连接 ．
四边形 是平行四边形， ，
．
，
，
．
， ，
， ，
，
．
在 中， ，
．
【点睛】本题是平行四边形综合性题目，考查了平行四边形的性质、含 角的直角三角形的性质、勾股
定理、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，解决本题的关键是灵活运用知识点.
18．（25-26八年级下·全国·课后作业）【教材呈现】我们在教材中已经学习过对角线互相平分的四边形是
平行四边形．我们可以用演绎推理证明这一结论．
已知：如图①，四边形 的两条对角线 与 相交于点 ，并且 ， ．求证：四
边形 是平行四边形．
（1）请写出证明过程．
【知识应用】（2）如图②，在 中， 是 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 ，连接
， ．求证：四边形 是平行四边形．
【拓展提升】（3）在（2）的条件下，若 的面积为26，求 的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）利用对角线互相平分的条件，证明三角形全等，得到两组对边平行，从而判定平行四边形；
（2）利用平行四边形性质和中点条件，证明三角形全等，得到对角线互相平分，从而判定平行四边形；
（3）利用平行四边形面积关系，结合等底等高的三角形面积相等，求出 的面积．
【详解】解：（1）证明：在 和 中，
，
，
．
同理可得 ，
四边形 是平行四边形．
（2）证明： 四边形 是平行四边形，
，
．
是 的中点，
．
在 和 中，
，
，
与 互相平分，
四边形 是平行四边形．
（3）由（2）知，四边形 是平行四边形，
．
四边形 是平行四边形，，
，
和 等底同高，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，掌握平行
四边形的判定定理和全等三角形的性质是解题的关键．
19．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图平行四边形 ，对角线 ， 交于点 ， 的平
分线交 延长线于点 ，交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，连接 ;
①若 ，求平行四边形 的面积；
②设 ，试求 与 满足的关系．
【答案】(1)见解析
(2) ；
【分析】（1）由平行四边形的性质、角平分线及等边三角形的判定即可证明；
（2）①由 ，得 为等边三角形．由 得点C是 的中点，即 ；
再由勾股定理求得 ，即可求得平行四边形的面积；
②证 为等边三角形，再证明 ，则有 ，从而得
，由此即可求得m与k的关系．
【详解】（1）证明：∵平行四边形 ，
∴ ．
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ．
∴ ．
∴ ．
（2）解：①∵ ，
∴ 为等边三角形．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
由勾股定理得： ，即 ，
∴ ．
∴平行四边形 的面积为 ．
②∵ 为等边三角形， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵
，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些知识是关键．
20．（25-26八年级·上海·假期作业）综合与实践
问题情境：
在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片
中，E为 边上任意一点，将 沿 折叠，点D的对应点为 ．
分析探究：
（1）如图1，当 ，当点 恰好落在 边上时，三角形 的形状为 ____ ．
问题解决：
（2）如图2，当E，F为 边的三等分点时，连接 并延长，交 边于点G．试判断线段 与
的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当 ， 时，连接 并延长，交 边于点H．若 的面积为
24， ，请直接写出线段 的长．
【答案】（1）等边三角形；（2） ；（3） ．
【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得 ， ，可得四边形 是
菱形，可知 ，根据 即可得 是等边三角形；
（2）利用折叠的性质可得 ， ，结合三等分点可知 ，进而可得
，利用三角形外角性质可得 ，进而可知 ，可得四边形 是平行
四边形，再结合平行四边形的性质即可得 与 的数量关系；
（3）由折叠可知： ， ，易知 为等腰直角三角形，延长 交 于
，可知 ，由平行四边形的性质可得， ， ，进
而可知 由 的面积为24， ，得 ，求得 ，可得 ，
再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，则
由折叠可知： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形，∴ ，
∴ 是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2） ，理由如下：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
又∵E，F为 边的三等分点，
∴ ，
由折叠可知： ， ，
则 ，
∴ ，
由三角形外角可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，则 ，
∴ ；
（3）由折叠可知： ， ，
∴ ，则 为等腰直角三角形，
∴ ，
延长 交 于 ，则
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，即 ，
∴
∵ 的面积为24， ，即： ，
∴ ，
则 ，∴ ．
