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18.1.2平行四边形的判定
不等式的基本性质
平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
注意：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个
平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依
据.
题型1：平行四边形的判定（边的关系）
1.下列条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边平行，一组对角相等
C．一组邻边相等，一组对角相等
D．一组对边平行，一组对角互补
【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等，可能是等腰梯形，不一定是平行四
边形，故选项A不符合题意；
B、一组对边平行，一组对角相等，可得到两组对边分别平行，为平行四边形，故选项
B符合题意；
C、由一组邻边相等，一组对角相等，不能判定一个四边形是平行四边形，故选项 C不
符合题意；
D、一组对边平行，一组对角互补，可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故选项 D
不符合题意；故选：B．
【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形
ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AB＝DC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
【分析】由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AB∥DC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AB∥DC，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意；
D、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【变式1-2】如图，已知平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，连DE并延长DE交
AB延长线于点F，求证：四边形DBFC是平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，由“AAS”可证△DEC≌△FEB，可得BF
＝CD，由平行四边形的判定可证四边形DBFC是平行四边形．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，
∴∠DCB＝∠CBF，∠CDF＝∠DFB，
∵点E为BC边的中点，
∴BE＝CE，且∠DCB＝∠CBF，∠CDF＝∠DFB，
∴△DEC≌△FEB（AAS）
∴BF＝CD，且AB∥CD
∴四边形DBFC是平行四边形
题型2：平行四边形的判定（角的关系）2.下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．3：2：3：2
【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D
是对角，对角的份数应相等．只有选项D符合．
【解答】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以
只有D符合条件．
故选：D．
【变式2-1】求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
【分析】根据已知和四边形的内角和定理求出∠A+∠B＝180°，推出AD∥BC，同理求
出AB∥CD，根据平行四边形的判定推出即可．
【解答】已知：四边形ABCD，∠A＝∠C，∠B＝∠D，
求证：四边形ABCD是平行四边形，
证明：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴2∠A+2∠B＝360°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
同理AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【变式2-2】如图，在四边形ABCD中，AH、CG、BE、FD分别是∠A、∠C、∠B、∠D
的角平分线，且BE∥FD，AH∥CG，证明四边形ABCD为平行四边形．
【分析】由BE∥FD，AH∥CG，在四边形ABCD中，AH、CG、BE、FD分别是∠A、
∠C、∠B、∠D的角平分线，易得∠ABC+∠BCD＝∠BAD+∠ADC＝180°，则可证得
AB∥CD，同理可得AD∥BC，则可证得四边形ABCD为平行四边形．
【解答】证明：∵BE∥FD，AH∥CG，
∴∠2＝∠3，∠5＝∠6，
∵∠1+∠2＝∠3+∠4，∴∠4+∠6＝∠1+∠3，
∵在四边形ABCD中，AH、CG、BE、FD分别是∠A、∠C、∠B、∠D的角平分线，
∴∠1＝ ∠ABC，∠3＝ ∠BCD，∠4＝ ∠BAD，∠6＝ ∠ADC，
∴∠ABC+∠BCD＝∠BAD+∠ADC＝180°，
∴AB∥CD，
同理：AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
题型3：平行四边形的判定（对角线关系）
3.如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列能判定四边形ABCD是平
行四边形的是（ ）
A．AO＝OC，AC＝BD B．BO＝OD，AC＝BD
C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝OC，BO＝OD
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理即可确定答案为D．
【解答】解：∵AC，BD是四边形ABCD的对角线，
AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
【变式3-1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，且AD＝DC，则下列说法：
①四边形ABCD是平行四边形；
②AB＝BC；
③AC⊥BD
④AC平分∠BAD；
⑤若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积为24．
其中正确的有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再证平行四边形ABCD是菱形，即可得出结
论．
【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确；
∵AD＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，AC平分∠BAD，故②③④正确，
∵AC＝6，BD＝8，
∴菱形ABCD的面积＝ AC×BD＝ ×6×8＝24，故⑤正确；
正确的个数有5个，
故选：D．
【变式3-2】如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是OB，OD的中
点，求证：四边形AFCE是平行四边形．
【分析】由条件AB∥CD，AD∥BC可证到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边
形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，要证四边形AFCE是平行四边形，只需证OE＝OF
即可．
【解答】证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE＝ OB，OF＝ OD，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
题型4：平行四边形的判定与坐标
4.在平面直角坐标系中，以A（0，2），B（﹣1，0），C（0．﹣2），D为顶点构造平行四边形，下列各点中，不能作为顶点D的坐标是（ ）
A．（﹣1，4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣2，0） D．（1，0）
【分析】根据平行四边形的判定，可以解决问题．
【解答】解：若以AB为对角线，则BD∥AC，BD＝AC＝4，
∴D（﹣1，4）
若以BC为对角线，则BD∥AC，BD＝AC＝4，
∴D（﹣1，﹣4）
若以AC为对角线，B，D关于y轴对称，
∴D（1，0）
故选：C．
【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（﹣1，3），C（﹣2，﹣1），找
一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是
（ ）
A．（2，4） B．（﹣4，2） C．（0，﹣4） D．（﹣3，2）
【分析】画出图形即可解决问题，满足条件的点D有三个．
【解答】解：如图所示：
观察图象可知，满足条件的点D有三个，坐标分别为（2，4）或（﹣4，2）或（0，﹣
4），
∴点D的坐标不可能是（﹣3，2），
故选：D．
【变式4-2】在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M是x轴上的点，点N是y轴上的点，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
那么符合条件的点M有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据“一组对边相等且平行的四边形是平行四边形”即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
当AB平行且等于N M 时，四边形ABM N 是平行四边形；
1 1 1 1
当AB平行且等于N M 时，四边形ABN M 是平行四边形；
2 2 2 2
当AB为对角线时，四边形AN BM 是平行四边形．
3 3
故符合题意的有3个点．
故选：C．
【变式4-3】已知平面直角坐标系内三点A（2，1），B（3，﹣1），C（﹣2，2），在平
面内求一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，写出点D的坐标．
【分析】画出图形即可解决问题，注意有三种情形．
【解答】解：如图由图象可知，以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，点D
坐标为（﹣1，0）或（﹣3，4）或（7，﹣2）．题型5：二次证明平行四边形
5.如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝EC＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）试判断：四边形AECD的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）根据平行线得出∠B＝∠DEF，求出BC＝EF，根据ASA推出两三角形全
等即可；
（2）根据全等得出AC＝DF，推出AC∥DF，得出平行四边形ACFD，推出AD∥CF，
MAD＝CF，推出AD＝CE，AD∥CE，根据平行四边形的判定推出即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝EC＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF．
（2）四边形AECD的形状是平行四边形，
证明：∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，
∵∠ACB＝∠F，∴AC∥DF，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AD∥CF，AD＝CF，
∵EC＝CF，
∴AD∥EC，AD＝CE，
∴四边形AECD是平行四边形．
【变式5-1】已知：如图，在 ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线
BD相交于点E，F．证明：四边形AECF是平行四边形．
▱
【分析】由在 ABCD中，可证得AB＝CD，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，又由∠BAD
和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F，可证得∠BAE＝∠DCF，
▱
继而可证得△ABE≌△CDF（ASA），则可证得AE＝CF，AE∥CF，判定四边形AECF
是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F，
∴∠BAE＝ ∠BAD，∠DCF＝ ∠BCD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【变式5-2】如图，在 ABCD中，E，F为BD上的点，BF＝DE，那么四边形AECF是什
么图形？试用两种方法证明．
▱【分析】可证明△ABE≌△DCF，△ADF≌△CBE，可得到AE＝FC，AF＝EC；也可以
连接AC交BD于点O，可证明OE＝OF，OA＝OC；都可证明四边形AECF为平行四边
形．
【解答】解：四边AECF为平行四边形．
证法一：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，
∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，
同理可得AF＝CE，
∴四边形AECF为平行四边形；
证法二：
如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
又∵BF＝DF，
∴BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形．
题型6：平行四边形的判定与动点问题
6.如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A，C的坐标分别为（10，0），（2，
▱4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动，速度为2cm/s
（1）当点P运动多少秒时，四边形PCDA是平行四边形？并求此时点P的坐标；
（2）当△ODP是等腰三角形时，求点P的坐标．
【分析】由四边形OABC是平行四边形，得到OA＝BC，OA∥BC，于是得到OA＝10，
OE＝AF＝2，得到OD＝AD＝ OA＝5，
（1）根据四边形PCDA是平行四边形，得到PC＝AD，即10﹣2t＝5，解方程即可得到
结论；
（2）如图2，分三种情况①当PD＝OD＝5时，过P作PE⊥OA于E，则PE＝4，得到
DE＝3，求出P （8，4），点P与点C重合时，PD＝OD＝5，②当PD＝OP时，过P
1
作PF⊥OA于F，则PF＝4，OF＝ ，得到P （ ，4）；③当PO＝OD＝5时，过P
3
作PG⊥OA于G，则PG＝4，得到P （3.4）．
2
【解答】解：如图1，过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA＝BC，OA∥BC，
∵A，C的坐标分别为（10，0），（2，4），
∴OA＝10，OE＝AF＝2，
∴BC＝10，
∵点D是OA的中点，
∴OD＝AD＝ OA＝5，
（1）设点P运动t秒时，四边形PCDA是平行四边形，
由题意得：PC＝10﹣2t，
∵四边形PCDA是平行四边形，
∴PC＝AD，即10﹣2t＝5，
∴t＝ ，
∴当点P运动 秒时，四边形PCDA是平行四边形；
∴P（7，4）；（2）如图2，①当PD＝OD＝5时，过P作PE⊥OA于E，
则PE＝4，
∴DE＝3，
∴P （8，4），
1
当点P与点C重合时，PD＝OD＝5；
②当PD＝OP时，过P作PF⊥OA于F，
则PF＝4，OF＝ ，
∴P （ ，4）；
3
③当PO＝OD＝5时，过P作PG⊥OA于G，
则PG＝4，
∴OG＝3，
∴P （3.4），
2
综上所述：当△ODP是等腰三角形时，点P的坐标为（8，4），（ ，4），（3.4），
（2，4）．
【变式6-1】如图，在 ABCD中，AB＝6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运
动，点Q从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动，当一个点运动到端点时，另一个点
▱
也停止运动，经过多长时间后，四边形APQD是平行四边形？【分析】利用平行四边形的性质得出AB∥DC，AB＝DC＝6cm，进而利用平行四边形的
判定方法得出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC＝6cm，
当DQ＝AP时，
QD AP，则四边形APQD是平行四边形，
故设x秒时，QD＝AP，则x＝6﹣2x，
解得：x＝2．
即2秒时，四边形APQD是平行四边形．
【变式6-2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，BF∥AC，动点P从点C出
发以2cm/s的速度沿CA向终点A移动，过P作PE∥BC交BF于点E，设动点P的运动
时间为t秒．
（1）请用含t的代数式表示AP的长；
（2）当t为何值时，四边形BPAE为平行四边形，并说明理由；
（3）求出四边形BPAE的面积．
【分析】（1）利用已知结合AP＝AC﹣PC，进而得出答案；
（2）利用平行四边形的性质得出AP＝BE，进而求出即可；
（3）利用梯形的面积求法得出四边形BPAE的面积＝ （AP+BE）×BG进而求出即可．
【解答】解：（1）由题意可得：CP＝2t，AC＝13cm，则AP＝13﹣2t；
（2）当BE＝AP时，四边形BPAE是平行四边形，
∵PE∥BC，BF∥AC，
∴四边形EBCP是平行四边形，
∴EB＝PC，
即 2t＝13﹣2t，解得：t＝ ，
故t＝ 秒时，四边形BPAE为平行四边形；
（3）过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BP⊥AC于点G，
∵AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，
∴AD＝12cm，则AD×BC＝AC×BG，即12×10＝13×BG，
解得：BG＝ ，
∵BE＝2t，AP＝13﹣2t，
∴AP+BE＝13，
∴四边形BPAE的面积＝ （AP+BE）×BG＝ × ＝60（cm2）．
题型7：平行四边形的判定简单综合
7.如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
▱
（2）连接BD交EF于点O，当BE⊥EF时，BE＝8，BF＝10，求BD的长．
【分析】（1）连接BD交AC于O．只要证明OE＝OF，OB＝OD即可．
（2）在 Rt△BEF 中，EF＝ ＝ ＝6，推出 OE＝OF＝3，在
Rt△BEO中，OB＝ ＝ ＝ ，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，∴OE＝OF，∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵BE⊥AC，
∴∠BEF＝90°，
在Rt△BEF中，EF＝ ＝ ＝6，
∴OE＝OF＝3，
在Rt△BEO中，OB＝ ＝ ＝ ，
∴BD＝2OB＝2 ．
【变式7-1】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，DE⊥AC于E点，
BF⊥AC于F．
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（2）若AB＝20，AD＝13，AC＝21，求△DOE的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据勾股定理和三角形面积公式解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F，
∴∠DEA＝∠BFC＝90°，
在△DEA与△BFC中，
，∴△DEA≌△BFC（AAS），
∴DE＝BF，
∵∠DEA＝∠BFC＝90°，
∴∠DEO＝∠BFO＝90°，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC＝20，AO＝OC＝10.5，
∵DE⊥AC，
在Rt△ADE中，AD2﹣AE2＝DE2，
在Rt△DEC中，DC2﹣EC2＝DE2，
即132﹣AE2＝202﹣（21﹣AE）2，
解得：AE＝5，
∴OE＝OA﹣AE＝10.5﹣5＝5.5，DE＝12，
∴△DOE的面积＝ ．
【变式7-2】如图，四边形ABCD中，EF过对角线交点，且OB+BE＝OD+DF，若OE＝
OF，证明四边形ABCD为平行四边形．
【分析】延长OB至G，使BG＝BE；延长OD至H，使DH＝DF；由等腰三角形的性质
得出∠1＝∠G，∠H＝∠2，证出OG＝OH，由SAS证明△GOE≌△HOF，得出∠G＝
∠H，证出∠3＝∠4，证出AB∥CD，由AAS证明△BOE≌△DOF，得出BE＝DF，同
理：AE＝CF，得出AB＝CD，即可得出结论．
【解答】证明：延长OB至G，使BG＝BE；延长OD至H，使DH＝DF；如图所示：
则∠1＝∠G，∠H＝∠2，
∴∠3＝2∠G，∠4＝2∠H，
∵OG＝OB+BG，OH＝OD+DH，OB+BE＝OD+DF，
∴OG＝OH，
在△GOE和△HOF中， ，
∴△GOE≌△HOF（SAS），∴∠G＝∠H，
∴∠3＝∠4，
∴AB∥CD，
∴∠5＝∠6，
在△BOE和△DOF中， ，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴BE＝DF，
同理：AE＝CF，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【变式7-3】如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的
一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．
【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可
得出四边形DEFB是平行四边形；
（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，
得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．
【解答】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，∴BC＝2BF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边
形，
∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12cm，
∴CD＝ AC＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝ ＝ ＝10（cm），
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．
三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
注意：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的 4个小三角形.因而每个小三角形的
周长为原三角形周长的 ，每个小三角形的面积为原三角形面积的 .
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
题型8：三角形的中位线（一条）
8.如图，在△ABC中，AC＝10，DE是△ABC的中位线，则DE的长度是（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ AC＝ ×10＝5，
故选：D．
【变式8-1】如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝7，BC
＝10，则EF的长为 1. 5 ．【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，结合图形计
算，得到答案．
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝5，
在Rt△AFB中，D是AB的中点，
∴DF＝ AB＝3.5，
∴EF＝DE﹣DF＝1.5，
故答案为：1.5
【变式8-2】如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点
N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝ ，则△ABC
的周长为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【分析】利用ASA定理证明△BNA≌△BNE，根据全等三角形的性质得到BE＝BA，AN
＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的
周长公式计算，得到答案．
【解答】解：在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BE＝BA，AN＝NE，同理，CD＝CA，AM＝MD，
∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝ ，
∴DE＝2MN＝3，
∵BE+CD﹣BC＝DE，
∴AB+AC＝BC+DE＝10，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+7＝17，
故选：A．
【变式8-3】如图，在 ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于
点F．
▱
（1）求证：DE是△BCF的中位线．
（2）试连接BD，AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）由平行四边形的性质即可证明DE是△BCF的中位线；
（2）因为平行四边形的对边平行且相等，所以AB∥CD，AB＝CD；又因为点E是AD
的中点，易得△ABE≌△DFE，所以AB＝DF，所以四边形ABDF为平行四边形．
【解答】解：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DE∥BC，
∴点E是AD的中点，
∴DF＝CD，
∴DE是△BCF的中位线；
（2）四边形ABDF为平行四边形，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠BFD，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEB＝∠DEF，
∴△ABE≌△DFE，
∴AB＝DF，
∵AB∥DF，∴四边形ABDF为平行四边形
题型9：三角形的中位线（多条）
9.如图，△ABC中，三条中位线围成的△DEF的周长是15cm，则△ABC的周长是 3 0
cm．
【分析】根据三角形的周长公式、三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵△DEF的周长是15，
∴DE+DF+EF＝15，
∵DE、DF、EF分别是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，AC＝2DF，AB＝2EF，
∴△ABC的周长＝BC+AC+AB＝2（DE+DF+EF）＝30（cm），
故答案为：30．
【变式9-1】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中
点，若∠MPN＝130°，则∠NMP的度数为 25 ° ．
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性
质和三角形内角和定理即可求出∠PMN的度数．
【解答】解：在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM＝ AB，PN＝ DC，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB＝CD，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，∵∠MPN＝130°，
∴∠PMN＝ ＝25°．
故答案为：25°．
【变式9-2】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N
分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝6，则△PMN的周长是 9 ．
【分析】根据三角形中位线定理得到PM∥BC，PM＝ BC＝3，PN∥AD，PN＝ AD＝
3，根据等边三角形的判定和性质定理解答即可．
【解答】解：∵P、M分别是AB、AC的中点，
∴PM∥BC，PM＝ BC＝3，
∴∠APM＝∠CBA＝70°，
同理可得：PN∥AD，PN＝ AD＝3，
∴∠BPN＝∠DAB＝50°，
∴PM＝PN＝3，∠MPN＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∴△PMN为等边三角形，
∴△PMN的周长为9，
故答案为：9．
【变式 9-3】如图，△ABC 的周长为 a，以它的各边的中点为顶点作△A B C ，再以
1 1 1
△AB C 各边的中点为顶点作△A B C ，…如此下去，则△A B 的周长为（ ）
1 1 2 2 2 n n n
∁
A． a B． a C． a D． a
【分析】根据三角形中位线定理得到△A B C 的周长＝ a，△A B C 的周长＝ a＝
1 1 1 2 2 2a，总结规律，根据规律解答即可．
【解答】解：∵点A 、B 、C 分别为BC、AC、AB的中点，
1 1 1
∴B C ＝ BC，A C ＝ AC，A B ＝ AB，
1 1 1 1 1 1
∴△A B C 的周长＝ a，
1 1 1
同理，△A B C 的周长＝ a＝ a，
2 2 2
……
则△A B 的周长＝ a，
n n n
故选：A
∁
题型10：构造三角形中位线解题
10.如图，已知AB＝AC，BD＝CD，DB⊥AB，DC⊥AC，且E、F、G、H分别为AB、
AC、CD、BD的中点，求证：EH＝FG．
【分析】连接AD，根据三角形中位线定理证明即可．
【解答】证明：连接AD，
∵E、H分别为AB、BD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH＝ AD，
同理可得：FG＝ AD，
∴EH＝FG．【变式10-1】如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，
求证：AF＝ CF．
【分析】过D作DG∥AC，可证明△AEF≌△DEG，可得AF＝DG，由三角形中位线定
理可得DG＝ CF，可证得结论．
【解答】证明：如图，过D作DG∥AC，则∠EAF＝∠EDG，
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC中点，
∴G为BF中点，
∴DG＝ CF，
∵E为AD中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEG中，
，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴DG＝AF，
∴AF＝ CF．
【变式10-2】如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝BD，M、
N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F．你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？
【分析】此题要构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明．
【解答】解：相等．理由如下：
取AD的中点G，连接MG，NG，
∵G、N分别为AD、CD的中点，
∴GN是△ACD的中位线，
∴GN＝ AC，
同理可得，GM＝ BD，
∵AC＝BD，
∴GN＝GM＝ AC＝ BD．
∴∠GMN＝∠GNM，
又∵MG∥OE，NG∥OF，
∴∠OEF＝∠GMN＝∠GNM＝∠OFE，
∴OE＝OF．
【变式10-3】已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC＝BD，
E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H．求证：OG＝OH．
【分析】取BC边的中点M，连接EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得
△EMF是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF＝∠MFE，然后根据平行线
的性质证得∠OGH＝∠OHG，根据等角对等边即可证得．【解答】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，
∵M、F分别是BC、CD的中点，
∴MF∥BD，MF＝ BD，
同理：ME∥AC，ME＝ AC，
∵AC＝BD
∴ME＝MF
∴∠MEF＝∠MFE，
∵MF∥BD，
∴∠MFE＝∠OGH，
同理，∠MEF＝∠OHG，
∴∠OGH＝∠OHG
∴OG＝OH．
