文档内容
第 23 章 旋转 章节测试练习卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋
转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对
称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故A错误；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B错误；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C错误；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确．
故选：D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【知识点】中心对称图形的识别
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转 ，如果旋转后的图形与另一个
图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、是中心对称图形，则此项符合题意；
D、不是中心对称图形，则此项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形，熟记中心对称图形的定义是解题关键．
3．中国瓷器，积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分．瓷器上的图案设计精美，
极富变化．下面瓷器图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题的关键．如果一个平面图形沿一条
直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转
，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称
中心．分别对每个选项进行判断即可．
【详解】解：A．图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．图形是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C．图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；
D．图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
4．下列标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠
后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别
【分析】逐个判断是否为中心对称图形，轴对称图形，即可
【详解】选项A：不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
选项B：是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
选项C：是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
选项D：是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的判断；注意沿某条线折叠两部分完全重合的图形是轴对称
图形，沿某个点旋转180°与原图形完全重合的是中心对称图形
6．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转40°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是（ ）A．45° B．55° C．60° D．65°
【答案】B
【知识点】根据旋转的性质求解
【分析】根据旋转的性质确定旋转角，再由∠AOD=∠AOB+∠BOD求解即可．
【详解】根据旋转的性质可知：∠BOD=40°，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=55°，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质，根据题意确定旋转角是解题关键．
7．图，在 中， ，将 绕顶点 顺时针旋转到 ，当 首次经过顶点 时，
旋转角 （ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】根据旋转的性质求解、利用平行四边形的性质求解
【分析】根据平行四边形的性质及旋转的性质可知 ，然后可得
，则有 ，进而问题可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ，由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与旋转的性质，熟练掌握平行四边形的性质与旋转的性质是解题
的关键．
8．若点A（3，2）与B（-3，m）关于原点对称，则m的值是（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
【答案】D
【知识点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】∵点A（3，2）与B（-3，m）关于原点对称，
∴m=-2，
故选D．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是
解题的关键．
9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别
【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．
把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称
图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即
可判断．
【详解】A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
10．如图，边长为1的正方形 绕点 逆时针旋转 得到正方形 ，连接 ，则 的长是
（ ）
A． B．1.5 C． D．
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解
【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，连接 ，证明
为等边三角形，求得 便可得出结果．
【详解】连接 ，
由旋转性质得， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵边长为1的正方形 ，
∴ ，
∴ ，
∴
故选：A．第Ⅱ卷
二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）
11．已知P(x，y)在第三象限，且|x|=1，|y|=7，则点P关于原点对称的点的坐标是 ．
【答案】(1，7)．
【知识点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】根据P在第三象限可以确定 ， 的符号，再根据 ， 就可以得到 ， 的值，得出P
点的坐标，进而求出点P关于原点的对称点的坐标．
【详解】∵ ， ，
∴ ， ，
∵P 在第三象限，
∴ ，
∴ ，
∴P ，
∴点P关于原点对称的点的坐标是
故答案为： ．
【点睛】主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点和对称点的规律，解决本题的关键
是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于 轴对称的
点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．如图，将 绕点O按逆时针方向旋转 后得到 ，若 ，则 的度数是
．【答案】 /35度
【知识点】根据旋转的性质求解
【分析】根据旋转的性质可知，旋转角等于 ，从而可以得到 的度数，由 可以得到
的度数．
【详解】解：∵ 绕点O按逆时针方向旋转 后得到 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键明确旋转角是什么，对应边旋转前后的夹角是旋转角．
13．直角三角形绕直角边旋转一周得到的图形是 ，一个棱锥有 个面，这是 棱锥．
【答案】 圆锥体 六
【知识点】旋转综合题(几何变换)
【分析】根据直角三角形绕直角边旋转得到的几何体是圆锥体解答；
求出棱锥的侧面数即为棱锥数．
【详解】解：直角三角形绕直角边旋转一周得到的图形是圆锥体，
一个棱锥有7个面，这是六棱锥．
故答案为圆锥体，六．
【点睛】考查了点，线，面，体，认识例题图形，是基础题．
14．已知点 ，O是坐标原点，将线段 绕点O逆时针旋转 ，点A旋转后的对应点是 ，则点
的坐标是 ．
【答案】【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、求绕原点旋转90度
的点的坐标
【分析】本题考查了坐标与图形变化−旋转，把点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，如图，作作
轴于点B，则 ，把绕原点按逆时针方向旋转 得到 ，根据旋转的性质得到
即可解答．
【详解】解：过点A作 轴于点B，点 作 轴于点 ，
则 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ，故答案为： ．
15．如图，将边长为 的正方形 绕点 按顺时针方向旋转 后得到正方形 交 于点
，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求面积、根据旋转的性质求
解
【分析】由题意可知 ，从而可求出 ．连接 ，构造全等三角形，即
，从而得出 ．根据含 度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求
出 的长，从而可求出 ，最后利用 计算面积即可．
【详解】如图，连接 ，
由题意可知 ，
∴ ，
∵在 与 中， ，∴ ，
∴ ， ．
∵在 中， ， ， ，
∴
解得： （舍去负值），
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，
以及勾股定理．正确添加辅助线，构造全等三角形是解题关键．
16．已知 ，以 为一边作正方形 ，使P、D两点落在直线 的两侧．当
时， 的长是 ．
【答案】
【知识点】化为最简二次根式、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解
【分析】本题主要考查图形旋转的性质、正方形的性质、解直角三角形，以点 为旋转中心，将 顺
时针旋转 ，点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 ，且点 与点 重合，可知 ，
，采用勾股定理解直角三角形即可求得答案．【详解】解：如图所示，以点 为旋转中心，将 顺时针旋转 ，点 的对应点为点 ，点 的对
应点为点 ，且点 与点 重合，连接 ．
根据图形旋转的性质可知 ， ， ．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
17．如图，在 中， ， ，点 在 边上， ， ，
，则 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三
角形、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查半角模型，旋转的性质，勾股定理，三角形全等判定和性质等知识，熟练掌握三角形全
等的判定是解题的关键；将 逆时针旋转 后得到 ， ，证明 ，进
而证明 为直角三角形，用勾股定理即可求解；
【详解】解：将 逆时针旋转 后得到根据旋转的性质可知 ，
， ，
， ， ，
，
，
，
为直角三角形，
，
，
， ，
.
故答案为： .
18．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，
0）．
点C的坐标为 ；
②若正方形ABCD和正方形ABC B 关于点B成中心对称；正方形ABC B 和正方形ABC B 关于点B 成
1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1
中心对称；…，依此规律，则点C 的坐标为 ．
7【答案】 （3，2） （7， ）
【知识点】成中心对称、正方形性质理解、全等三角形综合问题、点坐标规律探索
【分析】①过点C作x轴的垂线，垂足为E，易证 AOB≌△BEC，根据全等三角形的性质得到BE和CE的
长度，然后就可以求出点C的坐标； △
②根据中心对称的性质容易得到A 和C 的坐标，于是可以发现规律： 和 的横坐标相差4，纵坐标
1 1
相差 ， 和 的横坐标相差 ，纵坐标相差 ，根据此规律可以求出 的坐标．
【详解】①如图，过点C作x轴的垂线，垂足为E，
∵四边形ABCD是正方形，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，0），
∴AB=BC，∠ABC=90°， ， ，
∴∠ABO+∠CBE=90°，∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠CBE=∠OAB，
∴在 AOB和 BEC中，
△ △
，
∴ AOB≌ BEC（AAS），
∴△ △ ， ， ，
∴点C的坐标为（3，2）；
②由题意知正方形ABCD和正方形ABC B 关于点B成中心对称，
1 1 1
∴根据中心对称的性得到A（4，-1）和C （1，-2），
1 1于是根据图像知： 和 的横坐标相差4，纵坐标相差 ， 和 的横坐标相差 ，纵坐标相差
，
∴ 的横坐标为 ，纵坐标为 ，故 的坐标为（5，-4），
同理得 的坐标为（3，-8）， （7，-11）， （5，-14）， （9，-16）， （7，-20），
故答案为①（3，2），②（7， ）．
【点睛】本题考查了中心对称、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平面直角坐标系中点的规律的
探索，考要求学生对过去所学的知识要熟练掌握，灵活运用，还要求学生步骤书写要规范工整．
三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分）
19．如图所示，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转至 处，使点B落在延长线
上的D点处，求 的度数．
【答案】
【知识点】根据旋转的性质求解、等边对等角
【分析】根据旋转的性质可得 ，则 ，最后根据
即可求解．
【详解】解：∵ 绕点A逆时针旋转至 处， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应角相等，对应边相等．
20．如图，将图中的平行四边形ABCD先绕D按顺时针方向旋转 后，再平移，使点D平移至E点，作
出旋转及平移后的图形 保留作图痕迹
【答案】作图见解析.
【知识点】画旋转图形、平移(作图)
【详解】试题分析：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过
作相等的直角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的四边形．先找到
图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平
移后四边形．
试题解析：解：如图所示，四边形A′B′C′D是旋转后的四边形，四边形A″B″C″E是平移后的四边形．
点睛：本题考查了旋转变换作图以及平移变换作图，解题时注意：决定图形旋转后位置的因素有旋转角度、
旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同．确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离
解：如图所示，四边形A′B′C′D是旋转后的四边形，四边形A″B″C″E是平移后的四边形．
21．如图所示，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， （每个方
格的边长均为1个单位长度）．(1)请画出 ，使 与 关于原点对称；
(2)分别写出 ， ， 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】求关于原点对称的点的坐标、画已知图形关于某点对称的图形
【分析】本题主要考查了中心对称作图，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
（1）首先确定A、B、C三点关于原点O成中心对称的对称点，再顺次连接即可；
（2）根据关于原点对称点的坐标特点即可解答．
【详解】（1）解：如图： 即为所求．
（2）解：∵ ， ， ，
∴根据关于原点对称点的性质可得： ．
22．某研究性学习小组在学习第三章第4节《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形 中， ， ，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补
四边形”的面积呢？
探究一：
（1）如图2，已知“等补四边形” ，若 ，将“等补四边形” 绕点 顺时针旋转 ，
可以形成一个直角梯形（如图3）．若 ， ，则“等补四边形”的面积为______
探究二：
（2）如图4，已知“等补四边形” ，若 ，将“等补四边形”绕点 顺时针旋转 ，再
将得到的四边形按上述方式旋转 ，可以形成一个等边三角形（如图5）．若 ， ，求
“等补四边形” 的面积．
探究三：
（3）由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道 ， 的长度，就可以求它的面积．
那么如图6，已知“等补四边形” ，连接 ，若 ， ， ，试求出“等补四
边形” 的面积（用含 ， 的代数式表示）．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、四边形其他综合问题、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查“等补四边形”，旋转、等边三角形，勾股定理的知识等，解题的关键是掌握“等补四
边形”的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用，即可．
（1）根据旋转的性质，则四边形的面积等于直角梯形面积的一半，结合题意，求出直角梯形的面积，即
可；
（2）根据旋转的性质，四边形的面积等于等边三角形的面积的 ，根据等边三角形的性质，则， ，根据直角三角形的中 所对的直角边等于斜边的一半， ，根据勾股定理
求出三角形的高，即可求出等边三角形的面积，即可；
（3）作 于点 ，根据等补四边形 中， ，推出， ；
当点 ， ， 在同一直线上，则 ，
求出 ，根据 ，则 ，
求出 ，根据“等补四边形” 的面积等于 的面积，即可．
【详解】（1）等补四边形”的面积为 ，
故答案为： ．
（2）如图，过点 作 交于点 ，
根据题意可得： ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴“等补四边形” 的面积为： ．
（3）如图，将 绕点 顺时针旋转得到 ，
作 于点 ，
∴ ， ， ， ，
在等补四边形 中， ，∴ ，
∴点 ， ， 在同一直线上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴“等补四边形” 的面积等于 的面积： ．
23．如图1，在△ABC中，点DE分别在AB、AC上，DE∥BC，BD=CE，
（1）求证：∠B=∠C，AD=AE；
（2）若∠BAC=90°，把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，
连接MN，PM，PN．
①判断△PMN的形状，并说明理由；
②把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN的最大面积为
【答案】(1)见解析 （2）①△PMN是等腰直角三角形 ②
【知识点】旋转综合题(几何变换)、等腰三角形的判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理得出比例式即可得出AB=AC，即可得出结论；
（2）①利用三角形中位线定理和BD=CE，判断出PM=PN，即：△PMN是等腰三角形，再判断出∠MPN=90°，得出△PMN是等腰直角三角形；
②先判断出PM最大时，△PMN面积最大，即：点D在AB的延长线上，进而求出BD=AB+AD=14，即可得
出PM的最大值即可．
【详解】（1）∵DE∥BC，∴ ，∵BD=CE，∴AB=AC，∴∠B=∠C，
AB﹣BD=AC﹣CD，∴AD=AE，即：∠B=∠C，AD=AE
（2）①△PMN是等腰直角三角形，理由：∵点P，M分别是CD，DE的中点，∴PM= CE，PM∥CE，
∵点N，M分别是BC，DE的中点，∴PN= BD，PN∥BD，∵BD=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角
形，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，∵PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠AC
B+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形
②由①知， PMN是等腰直角三角形，PM=PN= BD，∴PM最大时， PMN面积最大，∴点D在AB的
△ △
延长线上，∴BD=AB+AD=14，∴PM=7，∴S PMN = PM2= ×72= ．
最大
△
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，等腰直角
三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，综合性较强．
24．在长方形 中， ， ，点P在线段 上运动，将线段 绕点B顺时针旋转 至
，连接 ， ．
(1)如图1，当E点落在 边上时，求 的长度；
(2)如图2，在运动过程中，当线段 最短时，求 的度数；
(3)连接 ，当 为等腰三角形时，直按写出 的长度．【答案】(1)
(2)
(3) 或
【知识点】根据旋转的性质求解、矩形性质理解、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）根据四边形 是长方形， ， 得 ， ，根据将线
段 绕点B顺时针旋转 至 得 ， ，则 ，设 ，则 ，在
中，关根据勾股定理得 计算得 ，则 ， ，即可得；
（2）以 为边在直线 的右侧作等边三角形 ，连接 交 于点G，则 ，根据
， 得 是等边三角形，即可得 ，根据角之间的关系得
，利用 证明 ，则 ， ，当点
E在经过点F且与 垂直的直线 上运动，当 时，线段 最短，根据 得
，根据 得 ，则 ，即 ， ，
，根据 ， ， 得
，则 ， ，则
，即可得 ；
（3）分情况讨论，当点P与点A重合，作 于点H，则 ，根据
， 得 ，利用 证明 ，则
， 时等腰三角形，根据 得 ，根据勾股定理得 ，则
，即可得 ，当 是等腰三角形，且 ，即可得 ．
【详解】（1）解：∵四边形 是长方形， ， ，
∴ ， ，
∵将线段 绕点B顺时针旋转 至 ，
∴ ， ，∴ ，
∴设 ，则 ，
在 中，关根据勾股定理得， ，
，
，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图所示，以 为边在直线 的右侧作等边三角形 ，连接 交 于点G，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ， ，
∴点E在经过点F且与 垂直的直线 上运动，当 时，线段 最短，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ；
（3） 的长度为 或 ，理由如下：
解：如图所示，点P与点A重合，作 于点H，
则 ，∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图所示， 是等腰三角形，且 ，
∴ ，
综上， 的长度为 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾
股定理，垂线段最短，掌握这些知识点，添加辅助线是解题的关键，此题难度较大．25．（1）如图1， 中， ，直线 过点 ，点 在直线 同侧， ，
，垂足分别为 ， 吗？请说明理由；
（2）如图2， ，且 ， ，且 ，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的
数据计算图中实线所围成的图形的面积 = ；
（3）如图3，等边 中， ，点 在 上，且 ，动点 从点 沿射线 以
速度运动，连结 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ．请分别求出下列情况点 的
运动时间．
① (直接写出答案)；
②点 恰好落在射线 上（画出图形，并写出解题过程）．
【答案】（1） ≌ ,理由见解析；(2) ；(3) ① ；② 画出图形，见解析； ．
【知识点】旋转综合题(几何变换)、全等三角形综合问题
【分析】（1） ，根据 证明即可；
（2）利用（1）中结论解决问题即可；
（3）①根据 ，构建方程解决问题即可；
②证明 ，可得 ，由此构建方程即可解决问题．
【详解】解：（1）结论： ，
理由：如图1中，
， ，
，
，
，
，
在△AEC和△CDB中，，
；
（2）如图2中，
由（1）可知： ，△ ，
， ， ，
．
故答案为50；
（3）①如图3中，当 时， ，
；
②如图4中，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
解得： ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
26．阅读素材，完成任务．
测试机器人行走路径图1是某校科技兴趣小组设计的一个可以帮助餐厅上菜的机器人，
该机器人能根据指令要求进行旋转和行走．如图为机器人所走的路
素 径．机器人从起点出发，连续执行如下指令：机器人先向前直行
材
（表示第 次行走的路程），再逆时针旋转 ，直到
一
第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为 ，所走路径形
成的封闭图形的面积为S．
如图2，当每次直行路程均为1（即 ）， 时，机器人的
素 运动路径为 ，机器人共走的路程
材
二 ，由图2图3易得所走路径形成的封闭图形的面积为
．
素
材 如图4，若 ，机器人执行六次指令后回到起点处停止．
三
解决问题
任
固定变量 探索变量 探索内容
务
任 直行路程
务 旋转角度 与路程
一
任
若 ，求 与 的
务 旋转角度 直行路程
值．
二
若 ，请直接写出 与
任 之间的数量关系，并求出当S最大时 的值．
路径形成的封闭图形面
务 旋转角度 ，路程
积S．
三
【答案】（1）12；8；5；（2） ， ；（3） ；
【知识点】面积问题(二次函数综合)、根据旋转的性质求解、多边形外角和的实际应用、等边三角形的性
质
【分析】任务一：根据每次逆时针旋转 ，旋转 次，可回到起点，即可进行解答；
任务二：构造如图所示三角形，则 为等边三角形，根据等边三角形三边相等，即可依次推出各边长度；
任务三：构造如图所示三角形，根据题意可得 ， ， ，进而得出
，根据等边三角形的面积公式，即可求出S的表达式，即可求解．
【详解】任务一：解：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故答案为：12，8，5．
任务二：构造如图所示的三角形，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
任务三：如图，构造等边∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图：等边三角形边长为a，高为h，
，
∴等边三角形面积 ，
∴ ，
∴ ，
∴当S最大时， ．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角，二次函数的应用，等边三角形的性质，解题的关键是掌握多边形
的外角和为，根据题意构造等边三角形，根据等边三角形的性质求解.
