文档内容
专题 24 菱形的性质与判定
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：菱形的性质与判定............................................................................................................................2
模块二：题型分类....................................................................................................................................................2
题型一：菱形的性质求角度..........................................................2
题型二：菱形的性质求线段长........................................................4
题型三：菱形的性质求周长..........................................................6
题型四：菱形的性质求面积..........................................................7
题型五：菱形的性质求坐标..........................................................9
题型六：菱形的性质证明...........................................................11
题型七：添加一个条件证明四边形是菱形.............................................13
题型八：菱形的证明...............................................................14
题型九：菱形的性质与判定求角度...................................................17
题型十：菱形的性质与判定求线段长.................................................19
题型十一：菱形的性质与判定求面积.................................................22
题型十二：菱形的性质与判定解决多结论问题.........................................24
题型十三：菱形的新定义问题.......................................................26
题型十四：菱形的规律探究问题.....................................................32
题型十五：菱形的动点问题.........................................................35
题型十六：菱形与一次函数综合.....................................................39
题型十七：菱形与反比例函数综合...................................................40
题型十八：菱形与一次函数、反比例函数综合.........................................43
题型十九：菱形与二次函数综合.....................................................46专题 24 菱形的性质与判定
模块一：基础知识
考点一： 菱形的性质与判定
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质：
（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四条边都相等；
（3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
（4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴
是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心.
3.菱形的判定：
（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
（2）一组邻边相等的平行四边形是菱形. A
（3）四条边相等的四边形是菱形.
4.解题思路
判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂
直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分．
5.菱形的面积公式：S=ah=对角线乘积的一半（其中a为边长，h为高）.
6.菱形的周长公式：周长l=4a（其中a为边长）.
模块二：题型分类
题型一：菱形的性质求角度
1.如图，菱形ABCD中，∠1=15°，则∠D=（ ）
A．115° B．150° C．125° D．130°
2.若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A．4: 1 B．5: 1 C．6: 1 D．7: 1
3.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离，若AE间的
距离调节到60cm，菱形的边长AB=20cm，则∠DAB的度数是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°1
4.如图，在菱形ABCD中，∠A=30°，取大于 AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两
2
点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD，则∠EBD的度数为
．
5.如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度数是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
6.如图，菱形ABCD中，以点A为圆心，以AB长为半径画弧，分别交BC,CD于点E，F． 若
∠EAF=60°，则∠D的度数为 ．
7.如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=124°，则∠OED= 度．
8.如图，菱形ABCD中，∠CBD=75，分别以A、B为圆心，大于AB的一半长为半径画弧，两弧在AB
的两侧分别交于点P、Q，作直线PQ交AB于点E，交AD于点F，连接BF，求∠DBF的度数．9.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
(1)求证：BE＝DF．
(2)当∠BAD＝110°时，求∠EAF的度数．
题型二：菱形的性质求线段长
1.如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（ ）
A． B．1 C． D．
2.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC＝6，BD＝8，
则OE＝（ ）
A．2 B． C．3 D．4
3.如图在菱形ABCD中，AD=12，对角线AC和BD交于点O，点E，F分别是OD和OC的中点，AE与
BF交于点G，则EF的长为 ．4.已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为4√3，则另一条对角线的长为 ．
5.如下1图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程
x2−2(m+1)x+8m=0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH= ．
6.如上2图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，点E在线段OD上，连接CE，若BE=CD=2DE，
AC=2√7，则CE的长为 ．
7.如下1图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长
为（ ）
12 18 24
A． B． C．4 D．
5 5 5
8.如上2图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若
OA=6，S =48，则OH的长为（ ）
菱 形ABCD
A．4 B．8 C．√13 D．6
9.如下1图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连
接OF，若AE=BE，OE=3，OA=4，则线段OF的长为 ．
10.如上2图，在菱形ABCD中，对角线AC=2，BD=1，AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过点O作OF⊥CE交CE于点F，则OF的长度为 ．11.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形
的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为 ．
题型三：菱形的性质求周长
1.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
A．5 B．20 C．24 D．32
2.若菱形一条对角线长为8，其边长是方程x2−10x+24=0的一个根，则菱形的周长为
3.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，CE∥BD，DE∥AC，若AB=6，AD=8，则四边形
OCED的周长是( )
A．10 B．20 C．28 D．30
4.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为(0,3)，
∠D=60°，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．8√3
5.若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为
（ ）
A．16 B．24 C．16或24 D．486.如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点E，F是BC的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长是
．
7.如图，菱形ABCD中，点E，F，G分别为AB，AD，CD的中点，EF=4，FG=3，则菱形ABCD的
周长为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
8.如图，在菱形ABCD中，M、N分别为AB、AC的中点，若MN=3，则菱形ABCD的周长为
．
9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E，F分别为边AB，AD上的中点，连接EF．
(1)求证：AC⊥EF；
1
(2)若EF=6，tan∠AEF= ，求菱形ABCD的周长．
3
题型四：菱形的性质求面积
1.一个菱形的周长是20，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是（ ）A．12 B．96 C．48 D．242.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥DC，CE∥DA．
(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)连接DE，若AC=2√3，BC＝2，求菱形ADCE的面积．
3.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=6，
OH=4，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．72 B．48 C．24 D．9
4.已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD=16，则该菱形的面积等于
．
5.如图，菱形ABCD中，∠CBA=60°，其中一条对角线AC=6cm，则该菱形的面积是 cm2．
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为 ．
7.如图，在 ABD中，∠ADB＝90°，∠A＝30°，AB＝10，点E是边AB的中点．分别以点B，D为圆心，以
BE的长为半△径画弧，两弧交于点C，连接CB，CD，则四边形BCDE的面积为 ．题型五：菱形的性质求坐标
1.如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（1.5，0），（﹣1，0），点D在y轴上，则点C的坐标
是 ．
2.如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD=4，∠A=60°，
将菱形ABCD绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴正半轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（ ）
A．(0，2√3) B．(2，−4) C．(2√3，0) D．(0，−2√3)
3.如图，四边形ABCD是菱形，点D在x轴上，顶点A，B的坐标分别是(0，2)，(4，4)，则点C的坐
标是（ ）
A．(4，2) B．(6,2) C．(6,4) D．(8,2)
1
4.如图，菱形OABC的边OA在x轴上，点B坐标为（9，3），分别以点B、C为圆心，以大于 BC的长为
2
半径画弧，两弧交于点D、E，作直线DE，交x轴于点F，则点F的坐标是（ ）A．（7.5，0） B．（6.5，0） C．（7，0） D．（8，0）k
5.如图，在直角坐标系中，点P为菱形OACB的对角线AB、OC的交点，其中点B、P在双曲线y＝ （x＞
x
0）上．若点P的坐标为（1，2），则点A的坐标为（ ）
10 7 13 14 18
A．（﹣1， ） B．（﹣2， ） C．（﹣ ， ） D．（﹣3， ）
3 2 9 9 5
6.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，
（1）求证：∠DHO=∠DCO．
（2）若OC=4，BD=6，求菱形ABCD的周长和面积．
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A(−3,3)，C(1,−1)，对角线BD交AC于点
M，交x轴于点N，若BN=2ND，则点B的坐标是（ ）
(3 7)
A． , B．(√2,2√2) C．（4，2） D．（2，4）
2 2
8.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知顶点A(8,0)，点D是OA的中点，点P是对角线OB上的一个动点，∠AOC=60°，当PA+PD最短时，点P的坐标为（ ）
( 4√3) ( 4√3)
A．(6,2√3) B． 6, C．(4,2) D． 4,
3 3
9.如图，四边形ABCD为菱形，点A(−3,0)，点D(0,4)，点B在x轴的正半轴上，则点C的坐标为
（ ）．
A．(5,4) B．(4,5) C．(4,3) D．(3,4)
10.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为(4,0)，点B、C 在第一象限,
∠AOC=60°，求点C的坐标．
题型六：菱形的性质证明
1.如图，在菱形ABCD中，分别过点B作BM⊥AD于点M，BN⊥CD于点N，BM，BN分别交AC于
E、F两点．
求证：AE=CF．
2.如图，在菱形ABCD中，E,F是对角线AC上的两点，且AE=CF．(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)证明四边形BEDF是菱形．3.在如图菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E,F是AP上的两点，连接DE，BF，使得
∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF．
（1）求证：△ABF≌△DAE；（2）求证：DE=BF＋EF．
4.如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E是线段AC延长线上的一点，在线段CA的延长线上截取
AF=CE，连接DF，BF，DE，BE．试判断四边形FBED的形状，并说明理由．
5.【操作探究】
已知：在菱形ABCD中，点M在直线BD上，过M作AC的平行线交直线AD于点E，交直线AB于点F．
(1)【举例感知】如图1，当点M在线段BD上时，求证：AC=ME+MF；
(2)【类比探究】
①当点M在DB延长线上时，直接写出AC、ME、MF三条线段之间的数量关系．
②当点M在BD延长线上时，直接写出AC、ME、MF三条线段之间的数量关系．
6.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．7.已知菱形ABCD中，E是边AB的中点，F是边AD上一点．
(1)如图1，连接CE，CF．CE⊥AB，CF⊥AD．
①求证：CE=CF；
②若AE=2，求CE的长；
(2)如图2，连接CE，EF．若AE=3，EF=2AF=4，求CE的长．
题型七：添加一个条件证明四边形是菱形
1.如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加
一个条件，这个条件可以是（ ）．
A．AD=BD B．OD=CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB．
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E,F分别是AB,AC边的中点，若要使得四边形AEDF是
菱形，则需添加的一个条件是 （不添加辅助线，写出一个答案即可）．
3.如图，ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．若OB＝OD，则 ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则 ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则 ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则 ABCD是菱形
▱ ▱
▱ ▱
4.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形
ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．AB=AD C．AC=BD D．∠ABD=∠CBD5.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在BC,AD上，AF=EC．只需添加一个条件即可证明四边形
AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
6.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是
．（只需写出一个条件即可）
7.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列选项中不能判定平行四边形ABCD是菱
形的条件是（ ）
A．∠ABD＝∠CBD B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AC＝BD
8.如图，在矩形ABCD中，点M、N分别在BC、AD上，AM=MC．若添加一个条件： ，则四边
形AMCN是菱形．
题型八：菱形的证明
1.已知：如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，BE平分∠ABC．请从以下三个条件：
①AE=BF；②AB=EF；③AB∥EF中，选择一个合适的条件，使四边形ABFE为菱形．
(1)你添加的条件是_______（填序号）；
(2)添加了条件后，请证明四边形ABFE为菱形．2.如图，四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG=30°，AE =2，求EG的长．
3.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作
FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB=6,AD=10，求四边形CEFG的面积．
4.如图，AB∥CD，连接BC，请用尺规作图法，分别在AB，CD上求作E，F，连接CE，BF，使得四
边形CEBF是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
5.已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC 的平分线交AD于点E，点F是BE的中点，连接AF并
延长交BC于点G，连接EG，CF．
(1)求证：四边形AEGB是菱形；
(2)若tan∠ABC=√3，CD=8，AD=10，求CF的长．6.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，且BE⊥DC．
(1)求证：四边形DBCE为菱形；
(2)若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的
最小值．
7.小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边
形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
小洁：
∴AC垂直平分BD．
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
8.如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且E、F分别在边
BC、AD上，AE=AF．
(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若∠ABC=60°，△ABE的面积等于4√3，求平行线AB与DC间的距离．9.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°．
(1)求证： ABF≌ CDE；
(2)连接AE，CF，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形
△ △
AECF的形状，并证明你的结论．
条件①：∠ABD=30°；
条件2：AB=BC．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
题型九：菱形的性质与判定求角度
1.如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点，已知∠A=134°，则∠BEC的大小
为( )
A．23° B．28° C．62° D．67°
2.由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，
∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）
1 1 √3 √3
A． B． C． D．
3 2 3 2
3.如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆
心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；③分别连接BC、CD、
AC，若∠MAN=60°，则∠ACB的大小为 ．4.如图，在△ABC中，AB=AC，分别以C、B为圆心，取AB的长为半径作弧，两弧交于点D．连接
BD、AD．若∠ABD=130°，则∠CAD=_______．
5.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数是_______．
6.如图，四边形ABCD为菱形，若CE为边AB的垂直平分线，用∠ADB的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
7.如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于O，∠ABC=70°，E是线段AO上一点，则∠BEC的度数
可能是（ ）
A．100° B．70° C．50° D．20°
8.如图，雨伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC．当伞收紧时，点
D 与点 M 重合，且点 A，E（F），D 在同一条直线上．已知伞骨的部分长度如下（单位：cm）：
DE=DF=AE=AF=40．(1)求AM的长．
(2)当伞撑开时，量得∠BAC=110°，求AD的长．（结果精确到1cm）
参考数据：sin55°≈0.8192,cos55°≈0.5736,tan55°≈1.4281．9.如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠C=30°，D是BC上的动点，以D为圆心，DC的长为半径作
圆交AC于点E，F，G分别是AB，AE上的点，将△AFG沿FG折叠，点A与点E恰好重合．
(1)如图1，若CD=8√3−12，证明⊙D与直线AB相切；
(2)如图2，若⊙D经过点B，连接ED．
①B´E的长是 ；
②判断四边形BFED的形状，并证明．
题型十：菱形的性质与判定求线段长
1.在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2.如图，在矩形ABCD中，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于E，交AD于F，连接AE、CF．若
AB=√3，∠DCF=30°，则EF的长为（ ）
A．2 B．√5 C．3 D．2√2
3.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，P为BC边上的任意一点，连接PA，以
PA、PC为邻边作▱PAQC，连接PQ，当AP=PC时，PQ的长为 ．4.如图，小李将一张边长分别为4和10的矩形纸片对折、再对折，然后沿图中的虚线AC剪下，将纸展开，
就得到一个四边形．若∠ACB=60°，则这个四边形的周长为 ．
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠CAB交CB于点E，CD⊥AB于点D，交AE于点
G，过点G作GF∥BC交AB于F，连接EF．
(1)求证：CG=CE；
(2)若AC=3cm，BC=4cm，求线段DG的长度．
6.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE
分别交OD，AD于点F，G，连接DE．
(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；
(2)当CD=4时，求EG的长．
7.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AD=6，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段AC上，
1
且AE=2，点F为线段BD上的一个动点，则EF+ BF的最小值为 ．
28.如图，把矩形ABCD沿AC折叠，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG∥CD交AC于
点G，交CF于点H，连接DG．
(1)试判断四边形ECDG的形状，并加以证明；
(2)连接ED交AC于点O，求证：DC2=OC⋅AC；
14
(3)在（2）的条件下，若DG=6，AG= ，求CG的值．
5
9.如图1，将Rt△ABC(∠A=90°)纸片按照下列图示方式折叠：①将△ABD沿BD折叠，使得点A落
在BC边上的点M处，折痕为BD；②将△BEF沿EF折叠，使得点B与点D重合，折痕为EF；③将
△≝¿沿DF折叠，点E落在点E'处，展开后如图2，BD、PF、DF、DP为图1折叠过程中产生的折痕．
(1)求证：DP∥BC；
(2)若DE'落在DM的右侧，求∠C的范围；
(3)是否存在∠C使得DE与∠MDC的角平分线重合，如存在，请求∠C的大小；若不存在，请说明
理由．题型十一：菱形的性质与判定求面积
1.如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF
（1）求证：▱ ABCD是菱形；
（2）若AB=5▱，AC=6，求 ABCD的面积．
▱
2.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE//AC，AE//BD．
（1）求证：四边形AOBE是菱形；
（2）若∠AOB=60°，AC=4，求菱形AOBE的面积．
3.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
(1)求证：四边形ADBF是菱形；
(2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长．
4.折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（ ）
5 7
A． √5 B．2√5 C． √5D．4√5
3 35.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，且DE=DF．
(1)求证：四边形BECF是菱形；
(2)若AD=BC=6，AE=BE，求菱形BECF的面积．
6.如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，
点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F．
（1）若∠BAD=60°，求证：四边形CEHF是菱形；
（2）若CE=4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．
7.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若BE＝√3，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．8.如图所示，在平行四边形ABCD中，邻边AD,CD上的高相等，即BE=BF．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若DB=10,AB=13，求平行四边形ABCD的面积．
9.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点．
(1)求证∠AEF=∠AFE；
(2)若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为______．
题型十二：菱形的性质与判定解决多结论问题
1
1.如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧交
2
于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD； ④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2.如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD=DE，连
1
结BE，分别交AC，AD于点F，G，连结OG， ①OG= AB②S =S ③由点A、B、D、
2 四边形ODGF △ABF
E构成的四边形是菱形；④S =2S 中正确的结论是（ ）
△ACD △ABGA．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④3.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，
下列结论中正确的有( )
1
①∠ADG=∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2= AE•EG；④若AB=4，AD=5，则CE=1．
2
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②
4.如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BE⊥AC，∠BAC的平分线AD交BE于点G，BO⊥AD于点O，
1
交AC于点F，连接GF，DF．下列结论：①tan∠BAD= ；②四边形BDFG是菱形；③
2
CE=(√2+1)≥¿；④S =S ．上述结论中正确的序号是（ ）
四边形GDFE △AEG
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
5.如图，正△ABC的边长为2，沿△ABC的边AC翻折得△ADC，连接BD交AC于点O，点M为BC
上一动点，连接AM，射线AM绕点A逆时针旋转60°交BC于点N，连接MN、OM．以下四个结论：
1
①△AMN是等边三角形：②MN的最小值是√3；③当MN最小时S = S ；④当OM⊥BC
△CMN 8 菱形ABCD
时，OA2=DN⋅AB．正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④6.如下1图，四边形ABCD为菱形，BF∥AC，DF交AC的延长线于点E，交BF于点F，且
CE:AC=1:2．则下列结论：①△ABE≌△ADE；②∠CBE=∠CDF；③DE=FE；④
S :S =1:10．其中正确结论是（ ）
△BCE 四边形ABFD
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
7.如上2图，直线CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点
E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：
①四边形ACBE是菱形； ②∠ACD=∠BAE； ③AF：FC=1：2；
其中正确的结论有_______．（填写所有正确结论的序号）
8.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，点M，N分别在AD，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，
使得点C落在AD上的一点E处，现给出以下结论：
①连接CM，四边形ENCM一定是菱形； ② F，M，C三点一定在同一直线上；
③当点E与A重合时，A，B，C，D，F五点在同一个圆上； ④点E到边MN，BN的距离可能相
等．
其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号）
题型十三：菱形的新定义问题
1.定义：如图，若菱形AECF与正方形ABCD两个顶点A，C重合，另外两个顶点E，F在正方形ABCD的内
部，则称菱形AECF为正方形ABCD的内含菱形．
若正方形的周长为16，其内含菱形边长是整数，则内含菱形的周长为_______ ；
若正方形的面积为18，其内含菱形的面积为6，则内含菱形的边长为_______．2.阅读短文，解决问题
定义：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，
则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”．例如：如图1，四边形AEFD为菱形，∠BAC与∠DAE重合，
点F在BC上，则称菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”．
如图2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AF平分∠BAC，交BC于点F，过点F作FD∥AC，EF∥AB．
(1)求证：四边形AEFD为△ABC的“亲密菱形”；
(2)若AC＝12，FC＝2√6，求四边形AEFD的周长；
(3)如图3，M、N分别是DF、AC的中点，连接MN．若MN＝3，求AD2＋CF2的值．
3.定义：若四边形中某个顶点与其它三个顶点距离相等，则这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这
个四边形的等距点．
(1)判断：一个内角为60°的菱形________等距四边形．（填“是”或“不是”）
(2)如图2，在5×5的网格图中有A、B两点，请在答题卷给出的两个网格图上各找出C、D两个格点，
使得以A、B、C、D为顶点的四边形以A为等距点的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”（互
不全等），并写出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长．端点均为非等距点的对角线长为
________．
(3)如图，在海上A，B两处执行任务的两艘巡逻艇，根据接到指令A，B两艇同时出发，A艇直接回到
驻地O，B艇到C岛执行某项任务后回到驻地O（在C岛执行任务的时间忽略不计），已知A，B，C三点
3
到O点的距离相等，AO∥BC，BC=100km，tanA= ，若A艇速度为65km/h，试问B艇的速度是
2
多少时，才可以和A艇同时回到驻地？4.定义：若一个四边形的对角线互相垂直，且较长对角线的长度是较短对角线长度的2倍，则称这个四边
形为“倍垂四边形”．
（1）如图①，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=√5,AC=2，试判断菱形ABCD是
否为“倍垂四边形”，并说明理由；
（2）如图②，在△ABC中，AB=3√2,BC=7,AC=5，作AO⊥BC于点O，问在射线AO上是否存
在着一点D，使得四边形ABDC是“倍垂四边形”．若存在，请求出此时线段OD的长；若不存在，请说
明理由；
（3）如图③，在Rt△ABC中，AB=4,AC=5，且∠ABC=90°，分别以Rt△ABC的斜边AC和直
角边AB为边向外作Rt△ACD和Rt△ABE，且∠CAD=∠BAE=90°，连接DE，当四边形BCDE
是“倍垂四边形”时，求DE的长．k
5.设A（a，n）为双曲线y= （k>0，x>0）上一点，过点A作AB⊥x轴于B点，AB的垂直平分线交y轴于
x
点C，交双曲线于点P．定义：P为A点的中垂点；特别的，当△ABP为等腰直角三角形时，又称P为A点
的完美中垂点．
（1）若k=8，且A点存在完美中垂点， 则A的坐标是________
（2）四边形ACBP一定为_______．（填字母）A． 平行四边形 B． 菱形 C． 矩形 D．正方
形
（3）若△AOP的面积为6时，则k= ．
（4）设P为A的中垂点，Q又为P的中垂点，且△APQ是等腰三角形，试求k关于a的函数表达式．
6.【定义】在平面直角坐标系xOy中，如果点A，C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线
y=x上，那么称该菱形为点A，C的“阳光菱形”，如图是点A，C的“阳光菱形”的一个示意图．
【运用】已知点M的坐标为(2，2)，点P的坐标为(4，4)．
(1)下列各组点，能与点M，P形成“阳光菱形”的是______．（直接填写序号）
①E(−4，10)，F(10,−4) ；②G(1，6)，H(6，1) ；③I(0，5)，J(5，0)．
(2)如果四边形MNPQ是点M，P的“阳光菱形”，点N在MP下方，且面积为16．
①求点N、点Q的坐标；
②如果直线y=kx−3k与折线MN−NP有唯一公共点，直接写出满足条件的k的取值范围．7.筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
(1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝形的定义的四边形：______；
(2)如图1，在正方形ABCD中，E是对角线BD延长线上一点，连接AE，CE．求证：四边形ABCE是
筝形：
(3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买了一只风筝，通过测量它的主体（如图2）得AB=AD，
BC=DC，发现它是一个筝形，还得到AB=18cm，BC=40cm，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面
积．
8.【定义新知】
定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
(1)如图1，在5×4的方格中，点A、B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使得AB是
邻余线，点E、F在格点上；
【问题研究】
(2)如图2，已知四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，AB=20，AD=8，BC=4，
∠ADC=135°，求CD的长；
【问题解决】
(3)如图3是某公园的一部分，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，点E在OC上，
△BOC是一个人工湖，OQ是湖上的一座桥，现公园规划人员要在桥上修建一个湖心亭M，若EM的延
长线与OB的交点为F，按规划要求M是EF的中点．已知BC=200米，AC=240米，CQ=60米，
OE=2EC，且四边形BCEF始终是以BC为邻余线的邻余四边形．规划人员经过思考后，在图纸上找出
AB的中点N，连接EN，与OB、OQ的交点分别是点F和点M的位置．请问，按照规划人员的方法修
建的湖心亭M是否符合规划的要求？请说明理由．9.若四边形对角线互相垂直，那么我们定义这种四边形为“对垂”四边形．
特征辨析
(1)下列4个图中，四边形ABCD不是“对垂”四边形的是（ ）
归纳探究
(2)如图1，ED⊥AF于O，动点P，Q都从O点出发，点P沿OE运动到B，点Q沿OF运动到C．
①当∠BAC=30°，OB=OC，OD=1，OA=4时，则AB2+CD2=___________，AD2+CB2=
___________，据此结合（1）中相关图形试猜想“对垂”四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD
之间的数量关系：___________（用等式表示）；
②在“对垂”四边形ABCD中，当①中的条件都不存在时，①中所猜想的数量关系还成立吗？若成立，
请予以证明；若不成立，请说明理由．
拓展应用
(3)如图2，四边形AEDB和四边形AGFC均为正方形，点B恰好在FC的延长线上，且已知AC=√2，
AB=√3，求GE的长．题型十四：菱形的规律探究问题
1.如图，一次函数y=2x+2的图象为直线l，菱形AOBA ，A O B A ，A O B A ，…按图中所示的
1 1 1 1 2 2 2 2 3
方式放置，顶点A，A ，A ，A ，…均在直线l上，顶点O，O ，O ，…均在x轴上，则点B 的坐标是
1 2 3 1 2 n
．
2.如图，ΔABC是边长为1的等边三角形，分别取AC，BC边的中点D，E，连接DE，作EF∥AC得到
四边形EDAF，它的周长记作C ；分别取EF，BE的中点D，E 连接DE，作E F ∥EF，得到四边形
1 1 1 1 1 1 1
EDFF，它的周长记作C ，照此规律作下去，则C 等于 ．
1 1 1 2 2025
3.如图，菱形OABC的顶点O(0,0)，A(−2,0)，∠B=60°，若菱形OABC绕点O顺时针旋转90°后得
到菱形OA B C ，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到菱形OA B C ，那么点C 的坐标
1 1 1 2024 2024 2024 2024
是( )
A．(√3,1) B．(1,−√3) C．(−√3,−1) D．(−1,√3)4.如图，正方形ABCD的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为(2,0)，以AB为边构造菱形ABEF，将菱形
ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点F的
对应点F 的坐标为（ ）
2023
A．(−2,2√2) B．(2√2,−2) C．(−2√2,2) D．(−2,−2√2)
√3 3
5.如图，直线l 的解析式是y＝ x，直线l 的解析式是y＝√3x，点A 在l 上，A 的横坐标为 ，作
1 3 2 1 1 1 2
A B ⊥l 交l 于点B ，点B 在l 上，以B A 、B B 为邻边在直线l 、l 间作菱形A B B C ，延长B C 交l 于点
1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1
A ，点B 在l 上，以B A 、B B 为邻边在l 、l 间作菱形A B B C ，………按照此规律继续作下去，则线段
2 3 2 2 2 2 3 1 2 2 2 3 2
A B 长为（ ）
2025 2025
3 3 √3
A．22024 B．（ ） 2024 C．（ ） 2025 D．（ ） 2025
2 2 2
6.如图，已知矩形ABCD的边长分别为6，4，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，
得到四边形A B C D ；第二次，顺次连接四边形A B C D 各边的中点，得到四边形A B C D ；…
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形A B C D 的面积是（ ）
n n n n3 3 3 3
A． B． C． D．
2n−4 2n−3 2n−2 22n−37.如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=1，延长CD至A ，使DA =CD，以A C为一边，在BC的
1 1 1
延长线上作菱形A CC D ，连接A A ，得到△ADA ；再延长C D 至A ，使D A =C D ，以
1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1
A C 为一边，在CC 的延长线上作菱形A C C D ，连接A A ，得到△A D A …按此规律，得到
2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2
△A D A ，记△ADA 的面积为S ，△A D A 的面积为S ⋅⋅⋅，△A D A 的面积为
2021 2021 2022 1 1 1 1 2 2 2021 2021 2022
S ，则S = ．
2022 2022
8.如图，在菱形ABCD中，边长为1，∠A＝60，˚ 顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A B C D ；顺
1 1 1 1
次连结四边形A B C D 各边中点，可得四边形A B C D ；顺次连结四边形A B C D 各边中点，可得四边形
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2
A B C D ；按此规律继续下去，…，则四边形A B C D 的面积是 ．
3 3 3 3 2019 2019 2019 2019
9.如图，作出边长为1的菱形ABCD，∠DAB＝60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC D ，使
1 1
∠D AC＝60°，连接AC ，再以AC 为边作第三个菱形ACC D ，使∠D AC ＝60°；…按此规律所作的第2019
1 1 1 2 2 2 1
个菱形的边长为 ．题型十五：菱形的动点问题
1.如图菱形ABCD的边长为4cm，，∠A=60°，动点P，Q同时从点A出发，都以1cm/s的速度分别沿
A→B→C和A→D→C的路经向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y
（单位：cm2），则y与x(0≤x≤8)之间的函数关系可用图象表示为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在菱形OABC中，∠BCO=60°，点C(−3,0)，点D在对角线BO上，且OD=2BD，点E是射
线AO上一动点，连接DE,F为x轴上一点（F在DE左侧)，且∠EDF=60°，连接EF，当△≝¿的周长
最小时，点E的坐标为（ ）
(1 √3)
A．(1,√3) B．(−1,−√3) C． , D．(0,0)
2 2
3.如图，已知AB=8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形
PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP=60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线
段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为_______．
4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OD、OC上的两个动点，且1
EF=4，P是EF的中点，连接OP、PC、PD，若AC=12,BD=16，则PC+ PD的最小值为
4
．5.菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB=60°，点E坐标为
(0,−√3)，点P是对角线OC上一个动点．则EP+BP的最短距离是 ．
6.如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠A=60°，点E为BC的中点，动点P以2cm/s的速度沿A→B→E运
动，动点Q以1cm/s的速度沿B→D运动．点P，Q分别从A，B两点同时出发，当其中一点到达终点时，
另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为xs，△BPQ的面积为ycm2，则y与x之间的关系用图象大
致可表示为（ ）
A． B． C． D．
7.如图，菱形ABCD，∠ADC=120°，边长为4，点E在AB上，且BE=1，F为对角线AC上一动点，
则BF+EF的最小值为（ ）
A．√11 B．√13 C．√14 D．4
8.如图，在边长为6的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC=60°，点M、N分别是边BC、CD上
的动点，且MB=NC．连接AM、AN、MN，MN交AC于点P．则点P到直线CD的距离的最大值为
．1
9.如图，AB是平面内一条线段，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F
2
两点，连接EF交线段AB于点G，点D是射线GE（不与G点重合）上一个动点，过点D，点B分别作
EF，AB的垂线交于点C，连接CG．
(1)求证：四边形AGCD是平行四边形；
(2)四边形AGCD能否为菱形？若能，请添加一个条件；若不能，请说明理由．
10.已知AE∥BF，AB=6，点C为射线BF上一动点（不与点B重合），△BAC关于AC的轴对称图形
为△DAC．
(1)如图1，当点D在射线AE上时，求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如图2，当点D在射线AE，BF之间时，若点G为射线BF上一点，点C为BG的中点，连接BD交AC
于点M，BG=10，AC=5．
①求证：△BDG为直角三角形；
②求DG的长．11.用四根一样长的木棍搭成菱形ABCD，P是线段DC上的动点（点P不与点D和点 C重合），在射线
BP上取一点M，连接DM，CM，使∠CDM=∠CBP．
操作探究一
(1)如图1，调整菱形ABCD，使∠A=90°，当点M在菱形ABCD外时，在射线BP上取一点N，使
MC
BN=DM，连接CN，则∠BMC= ， =
MN
操作探究二
(2)如图2，调整菱形ABCD，使∠A=120°，当点M在菱形ABCD外时，在射线BP上取一点N，使
BN=DM，连接CN，探索MC与MN的数量关系，并说明理由；
拓展迁移
(3)在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=6．若点P在直线CD上，点M在射线BP上，且当
∠CDM=∠PBC=45°时，请直接写出MD的长．
12.如图，BD是菱形ABCD的对角线，AB=BD=2cm．动点P从点A出发，沿折线AB−BC以1cm/s的
速度向终点C运动，当点P出发后，且不与点B重合时，过点P作PQ∥BD交折线AD−DC于点Q．以
PQ为边作正三角形PQE，且点E与BD始终在PQ的同侧．设正三角形PQE与△ABD重叠部分图形的
面积为S(cm2)，点P运动的时间为t(s)．
(1)当点E落在BD上时，求t的值；
(2)当点P在AB边上时，求S与t之间的函数关系式；
(3)当点E落在∠BDC的平分线上时，直接写出t的值．13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度
沿边AB向终点B匀速运动．以PA为一边作∠APQ=120°，另一边PQ与折线AC−CB相交于点Q，以
PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P的运动时间为x(s)，菱形PQMN与△ABC重叠部分
图形的面积为y(cm2)．
(1)当点Q在边AC上时，PQ的长为 cm．（用含x的代数式表示）
(2)当点M落在边BC上时，求x的值．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
题型十六：菱形与一次函数综合
1.如图，菱形ABCD的顶点A(1,0)、B(7,0)在x轴上，∠DAB=60°，点E在边BC上且横坐标为8，点
5
F为边CD上一动点，y轴上有一点P(0,− √3)．当点P到EF所在直线的距离取得最大值时，点F的坐
3
标为 ．
4
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=− x+4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为
3
边作菱形ABCD，BC∥x轴，则菱形ABCD的周长是 ．1 1
3.如图，在平面直角坐标系中，直线l :y=− x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l :y= x交
1 2 2 2
于点A．
(1)分别求出点A、B、C的坐标；
(2)若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
(3)在(2)的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形
是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标．
4.已知一次函数y=﹣√3x+√3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．直线l过点A且垂直于x轴．两动点
D、E分别从A B两点间时出发向O点运动（运动到O点停止）．运动速度分别是每秒1个单位长度和√3
个单位长度．点G、E关于直线l对称，GE交AB于点F．设D、E的运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形是菱形？判断此时△AFG与AGB是否相似，并说明理由；
（2）当△ADF是直角三角形时，求△BEF与△BFG的面积之比．
题型十七：菱形与反比例函数综合
k
1.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，反比例函数y= (k≠0,x>0)的图象经过点C，交
x
2
AB于点D，若sinB= ，S =6，则k值为 ．
3 △OCD2.如下1图，在平面直角坐标系中，O点为坐标原点，菱形OABC的边OA落在x轴上，点C的坐标为
k
(3,4)，反比例函数y= (k>0,x>0)经过OB、AC的交点E，则k的值是 ．
x
3.如上2图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点O为坐标原点，边CO在x轴正半轴上，
√3
∠AOC=60°，反比例函数y= (x>0)的图象经过点A，且交菱形对角线BO于点D，DE⊥x轴于点
x
E，则CE长为（ ）
A．1 B．3 C．2−√3 D．√3−1
k
4.如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A,C在反比例函数y= (k<0)的图象上，对角线AC与
x
BD相交于坐标原点，若点D(1,1),AB=2√5，则k的值为（ ）A．−4 B．4 C．−9 D．9
4 k
5.如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC= ，反比例函数y= 的
3 x
图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为30，则k的值等于 ．
6.如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC，S =√3，
△ABC
k
且CA∥y轴，点C在反比例函数y= (k≠0,x>0)的图像上．
x
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)若点N是反比例函数图像上一点，当四边形ABCN是菱形时，求出点N坐标．
7.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6,8)，连接OA，过点A作x轴的垂线，垂足为B，∠AOB
的平分线与线段AB交于点P．
k
(1)若反比例函数y= (x>0)的图像经过点P，求反比例函数的解析式．
x
(2)如图，过点A作x轴的平行线，交射线OP于点Q，过点Q作OA的平行线，交x轴于点R．求证：四
边形OAQR是菱形．k
8.如图，菱形OBAC顶点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，点B在y轴上，点C为(4,3)．
x
(1)求k的值；
(2)点P为反比例函数图象上一个动点，过点P作PN⊥x轴于点N，交OA于点M，若PM=MN，求点P
的坐标．9.如图，菱形OABC的边OC在y轴，点B在第一象限，且∠B=60°，将这个菱形向右平移2个单位得
k
到菱形O' A'B'C'（点A'和A对应）．若反比例函数y= (k≠0)的图象恰好经过点A'，B，则k的值
x
为 ．
10.如图1，菱形ABCD的边AB在平面直角坐标系中的x轴上，A(−1,0)，菱形对角线交于点M(0,2)，过
k
点C的反比例函数y= (x>0)与菱形的边BC交于点E．
x
k
(1)求点C的坐标和反比例函数y= (x>0)的表达式；
x
(2)如图2，连接OC，OE求出△COE的面积；
k
(3)点P为y= (x>0)图像上的一动点，过点P做PH⊥x轴于点H，若点P使得△AOM和△BPH相似，
x
请直接写出点P的横坐标．
题型十八：菱形与一次函数、反比例函数综合
1
1.如图，一次函数y=− x−2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点
3
k
C，延长PC交反比例函数y= (x<0)的图象于点D，且OD∥AB
x
(1)求k的值；
(2)连OP，AD，求证：四边形APOD是菱形．2.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为(4,0)，(4,m)，
k
直线CD:y=ax+b(a≠0)与反比例函数y= (k≠0)的图象交于C，P(−8,−2)两点．则m的值为
x
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
m
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y= (m>0)的图像相交于
x
A(3,4)，B(−4,n)两点，与x轴相交于点C．
(1)求m和n的值；
(2)若点P(e,f)在该反比例函数的图像上，且它到y轴的距离小于3，则f的取值范围是_______；（直
接写出答案）
(3)以AC为边在右侧作菱形ACDE．使点D在x轴正半轴上，点E在第一象限，双曲线交DE于点F，
连接AF,CF，则△ACF的面积为 ．（直接写出答案）
k
4.如图，已知反比例函数y = 与一次函数y =x+2图象在第一象限内相交于A(3,n)与x轴相交于点B．
1 x 2
(1)求n和k的值．(2)根据图象，当y ≥ y 时，求x的取值范围．
1 2
(3)如图，以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标．3 k
5.如图，已知一次函数y = x−3的图象与反比例函数y = 第一象限内的图象相交于点A(4,n)，与x
1 2 2 x
轴相交于点B．
(1)求n和k的值；
(2)如图，以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连
接AE、BE，求S ．
△ABE
k
6.如图，一次函数y=mx+1的图象与反比例函数y= 的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点
x
D(1,-2)，连接OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；
1
(3)设点P是直线AB上一动点，且S OAP= S OACD，求点P的坐标．
2 菱形
△题型十九：菱形与二次函数综合
1.如图1，在菱形ABCD中，AC、BD交于点E，BD=16厘米，点F在CE上，EF=3厘米．点P、Q分
别从A、E两点同时出发，点P以k厘米/秒的速度沿AE向点E匀速运动，用时8秒到达点E；点Q以m
厘米/秒的速度沿EB向点E匀速运动，设运动的时间为x秒(0≤x≤8)，△EFQ的面积为y 平方厘米，
1
△PEQ的面积为y 平方厘米．
2
(1)图2中的线段OH是y 与x的函数图象，则y 与x的函数关系式为________，m的值为________；
1 1
(2)图2中的抛物线是y 与x的函数图象，其顶点坐标是(4,12)，求点P的速度及对角线AC的长；
2
(3)在图2中，点G是x轴正半轴上一点（00）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
与y轴交于点C，横坐标分别为m，n（m
