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专题 18.14 平行四边形章末九大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
【题型1 四边形中的多解问题】..............................................................................................................................1
【题型2 四边形中的动点问题】..............................................................................................................................3
【题型3 四边形中的最值问题】..............................................................................................................................4
【题型4 四边形中的折叠问题】..............................................................................................................................6
【题型5 矩形与等腰三角形】..................................................................................................................................8
【题型6 菱形中的全等三角形的构造】................................................................................................................10
【题型7 正方形中线段的和差倍分关系】...........................................................................................................12
【题型8 坐标系中的四边形】................................................................................................................................13
【题型9 四边形中存在性问题】............................................................................................................................15
【题型1 四边形中的多解问题】
【例1】（2023春·辽宁鞍山·八年级校联考期中）在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠ADB
的平分线交AB于点E，交AC于点G．过点E作EF⊥BD于点F，∠EDM交AC于点M．下列结论：①
；②四边形 是菱形；③ ；④若 ，则 ．其中正确
AD=(√2+1)AE AEFG BE=2OG ∠EDM=45° GF=CM
的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（2023春·福建福州·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，AB=2√3，∠ABC=60°，
1
点E为对角线BD上一动点（不与点B重合），且BE< BD，连接CE交DA延长线于点F．
2①∠AFE=∠BAE；
②当△AEF为直角三角形时，BE=2；
③当△AEF为等腰三角形时，∠AFC=20°或者∠AFC=40°；
④连接BF，当BE=CE时，FC平分∠AFB．
以上结论正确的是 （填正确的序号）．
【变式1-2】（2023春·山东青岛·八年级山东省青岛实验初级中学校考期末）如图，在矩形ABCD中，O是
对角线的交点，AB=1，∠BOA=60°，过C作CE⊥BD于点E，EC的延长线与∠BAD的平分线相交
于点H，AH与BC交于点F，与BD交于点M．给出下列四个结论：①BF=BO；②AC=CH；③
3
BE=3DE；④S = S ；⑤AH=√6+√2．其中正确的结论有 （填写正确的序号）．
△ACF 2 △BMF
【变式1-3】（2023春·广西南宁·八年级统考期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各
个文明古国都对勾股定理的发现和研究做出过贡献，特别是定理的证明，据说有400余种.如图是希腊著名
数学家欧几里得证明这个定理使用的图形.以Rt△ABC(∠ABC=90°)的三边a,b,c为边分别向外作三个
正方形：正方形ACED、正方形AFHB、正方形BCNM，再作CG⊥FH垂足为G，交AB于P，连接BD，
CF.则结论：①∠DAB=∠CAF，②△DAB≌△CAF，③S = 2S ，④S =
正方形ACED △ADB 矩形AFGP
2S .正确的结论有（ ）
△ACFA．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型2 四边形中的动点问题】
【例2】（2023春·广西钦州·八年级统考期中）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在
边BC的延长线上，且CF=AE，连接DE、DF．
(1)求证DE⊥DF；
(2)连接EF，取EF中点G，连接DG并延长交BC于H，连接BG．
①依题意，补全图形：
②求证BG=DG；
③若∠EGB=45°，用等式表示线段BG、HG与AE之间的数量关系，并证明．
【变式2-1】（2023春·福建福州·八年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC=90°，
CD=6，AC=8． 动点P从点A出发沿AD以2cm/s速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以8cm/s
速度沿射线CB运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（t>0）
(1)CB的长为 ．(2)用含t的代数式表示线段BQ的长．
(3)连结PQ．是否存在t的值，使得PQ与AB互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)若点P关于直线AQ对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出t的值．【变式2-2】（2023春·江苏泰州·
八年级统考期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，点M、N分别是边BC、CD上的两
个动点，∠MAN=60°，连接MN．
(1)△AMN是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．
(2)在M、N运动的过程中，△CMN的面积存在最大值吗？如存在，请求出该最大值；如不存在，请说明
理由．
【变式2-3】（2023春·广西南宁·八年级校考期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=2√2，E
是AB的中点，F是AD边上的一个动点(点F不与点A，D重合)．将△AEF沿EF所在直线翻折，点A的对
应点为A'，连接A'D，A'C．当△A'DC是等腰三角形时，AF的长为 ．
【题型3 四边形中的最值问题】
【例3】（2023春·江苏南通·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=60°．E是对
角线BD上的一个动点（不与点B，D重合），连接AE，以AE为边作菱形AEFG，其中，点G位于直线
AB的上方，且∠EAG=60°，点P是AD的中点，连接PG，则线段PG的最小值是 ．【变式3-1】（2023春·湖北恩施·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为5，点E，F，G，H
分别在正方形的四条边上，且GH∥EF，GH=EF，则四边形EFGH的周长的最小值是 ．
【变式3-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，
OB=2√3，∠AOB=30°．
(1)如图1，点P为射线OB上的动点，连接PA，若△PAB是等腰三角形，求PA的长度；
(2)如图2，是否在x轴上存在点E，在直线BC上存在点F，以O，B，E，F为顶点的四边形是菱形？若存
在，求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，点M是BC边上的动点，过点M作OB的垂线交直线OA于点N，求OM+MN+NB的最小值．
【变式3-3】（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=m，E、F分别
在边BC、CD上，并且△AEF为等边三角形，则m的取值范围为 ，若点G是边AB上的一点，且
GA=2，则随着m的变化，GE的最小值为 ．【题型4 四边形中的折叠问题】
【例4】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）通过对下面几何图形的？作探究，解决下列问题．
【操作发现】
如图1，探究小组将矩形纸片ABCD沿对角线BD所在的直线折叠，点C落在点E处，DE与AB边交于点F，
再将纸片沿直线DM折叠，使AD边落在直线DE上，点A与点N重合．
（1）∠MDB=_______度．
（2）若AB=6，AD=3，求线段DF的长．
【迁移应用】
（3）如图2，在正方形纸片ABCD中，点E为CD边上一点，探究小组将△ADE沿直线AE折叠得到
△AFE，再将纸片沿过A的直线折叠，使AB与AF重合，折痕为AH，探究小组继续将正方形纸片沿直线
EH折叠，点C的对应点恰好落在折痕AH上的点M处，EM与AF相交于点N，若BH=1，求△AEN的面
积．
【变式4-1】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，
AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C'的位置，BC'交AD于点G．(1)求证：BG=DG；
(2)求C'G的长；
(3)如图2，再折叠一次，使点D与A重合，折痕EN交AD于M，求EM的长．
【变式4-2】（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）问题原型
(1)如图1，在菱形ABCD中，∠B=60°，AE⊥BC于E，F为CD中点，连结AF，EF．试猜想△AEF
的形状，并说明理由．
(2)如图2，在 ▱ABCD中，AE⊥BC于E，F为CD中点，连结AF，EF．试猜想△AEF的形状，并说明
理由．
(3)如图3，在▱ABCD中，F为CD上一点，连结BF，将∠C沿BF折叠，点C的对应点为C'．连结DC'
并延长交AB于G，若AG=C'F，求证：F为CD中点．
(4)如图4，直角坐标系中有 ▱ABCD，点A与原点重合，点B在x轴正半轴上，CD与y轴交于点E．将其
沿过A的直线折叠，点B对应点B'恰好落在y轴上，且折痕交BC于M，B'M交CD于点N．若▱ABCD
的面积为48，AB=8，AD=3√5，求点M的坐标和阴影部分面积（直接写出结果）．
【变式4-3】（2023春·江西宜春·八年级统考期末）课本再现：
（1）如图1，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE=CF．要修建两条路BE和AF，这
两条路等长吗？它们有什么位置关系？BE和AF的数量关系是：___________；BE和AF的位置关系是
___________；（无需证明）
知识应用：（2）如图2，ABCD是一个正方形草地，现要在内部修建两条路MN、EF，且MN⊥EF，
①请问这两条路MN、EF还相等吗？为什么？
②如图3，将边长为12的正方形纸片沿EF折叠，点D落在BC边上的点N处，若折痕EF的长为13，求此
时DE的长；
拓展延伸：
（3）如图4，将边长为12的正方形纸片沿EF折叠，点D落在BC边上的点N处，DN与EF交于点P，取
AD的中点M，连接PM、PC，则PM+PC的最小值为___________，此时EF的长度是___________．
【题型5 矩形与等腰三角形】
【例5】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）【问题背景】
某“数学学习兴趣小组”在学习了“等腰三角形的性质”和“平行四边形的性质和判定”后，在习题中发
现了这样一个问题：如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC上的点，点P是底
边BC上的点，且∠PDB=∠PEC=90°，过点B作BF⊥AC于点F，请写出线段PD、PE、BF之间满
足的数量关系式．
同学们经过交流讨论，得到了如下两种解决思路：
解决思路1：如图2，过点P作PG⊥BF于点G；
解决思路2：如图3，过点B作BH⊥PE，交EP的延长线于点H；
(1)上述两种解决思路都可以证明一组三角形全等，判定一个四边形为平行四边形，从而可证得线段
PD、PE、BF之间满足的数量关系式为______________．
【类比探究】(2)如图4，在等腰△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC上的点，点P是底边BC上的点，且
∠PDB=∠PEC=α，过点B作BF∥PE交AC于点F，请写出线段PD、PE、BF之间满足的数量关系
式，并说明理由．
【拓展应用】
(3)如图5，在△ACP与△BDP中，∠A=∠B=75°，∠APC=∠BPD=60°，点A、B、P在同一条直线
上，若AB=6，PC=2，则PD=______________．
【变式5-1】（2023春·江苏无锡·八年级无锡市东林中学校考期末）已知在矩形ABCD中，AD=9，
AB=12，O为矩形的中心，在等腰Rt△AEF中，∠EAF=90°，AE=AF=6．则EF边上的高为
；将△AEF绕点A按顺时针方向旋转一周，连接CE，取CE中点M，连接FM，则FM的最大值为
．
【变式5-2】（2023春·北京东城·八年级期末）画一个四边形，使得该四边形的面积等于已知图形面积的一
半．
（1）如图1，已知等腰△ABC，D，E分别是AB，AC的中点，画四边形DBCE；
（2）如图2，已知四边形ABCD，AC⊥BD．四边的中点分别为E，F，G，H，画四边形EFGH；
（3）如图3，已知平行四边形ABCD，点E，G分别在AD，BC上，且EG∥AB．点F，H分别在
AB，CD上，画四边形EFGH．
以上三种画法中，所有正确画法的序号是（ ）A．（1）（3） B．（2） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）
【变式5-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期末）如图①，在平面直角坐标系中，一次函
3
数y=- x+3分别与x轴和y轴交于点A、点B，四边形OACB为矩形．
4
(1)如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C'重合．
①求点F的坐标；
②请直接写出直线FC'的解析式：______；
(2)如图③，动点P(x,y)在一次函数y=2x-3(1.5<x<4)的图象上运动，点D在线段AC上，是否存在直
角顶点为P的等腰直角△BDP，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型6 菱形中的全等三角形的构造】
【例6】（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，点M、
N分别是边BC、CD上的两个动点，∠MAN=60°，连接MN．(1)△AMN是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．
(2)在M、N运动的过程中，△CMN的面积存在最大值吗？如存在，请求出该最大值；如不存在，请说明
理由．
【变式6-1】（2023春·四川眉山·八年级统考期末）如图，菱形OABC的一边OC在x轴的正半轴上，O是
坐标原点，B点坐标为(8，4)，点D是对角线OB上一点，连结DA，DC，AE⊥OC，垂足为E．
(1)求证：DA=DC；
(2)求菱形OABC的面积；
(3)连接DE，当S =2时，求点D的坐标．
△DAE
【变式6-2】（2023春·重庆丰都·八年级统考期末）已知在菱形ABCD中，∠ABC=60°，连接对角线AC．
(1)如图1，E为AD边上一点，F为DC边延长线上一点，且AE=CF，连接AF，BE交于点G．
①求证：BE=AF；
√3
②过点C作CH⊥BE，垂足为H，求证：CH= BG；
2(2)如图2，已知AB=4，将△ACD沿射线AC平移，得到△A'C'D'，连接BA'，BD'，请直接写出
BA'+BD'的最小值．
【变式6-3】（2023春·四川自贡·八年级成都实外校考期中）如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边
AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，连接NM，NP．
（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP= 度；
（2）求证：NM=NP；
（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．
【题型7 正方形中线段的和差倍分关系】
【例7】（2023春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，动点M在CD上，过点M作
MN⊥CD，过点C作CN⊥AC，点E是AN的中点，连接BE交AC于点F．
(1)求证：BE⊥AC；
(2)请探究线段BE、AD、CN长度之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)设AB=2，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的图形面积为
________（直接写出答案）．
【变式7-1】（2023春·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形ABCD（四边都相等，四个角都是直角）的
顶点A作一条直线MN．(1)当MN不与正方形任何一边相交时，过点B作BE⊥MN于点E，过点D作DF⊥MN于点F，如图
（1），请写出EF，BE，DF之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)若改变直线MN的位置，使MN与CD边相交如图（2），其它条件不变，EF，BE，DF的关系会发生
变化，请直接写出EF，BE，DF的数量关系，不必证明；
(3)若继续改变直线MN的位置，使MN与BC边相交如图（3），其它条件不变，EF，BE，DF的关系又
会发生变化，请直接写出EF，BE，DF的数量关系，不必证明．
【变式7-2】（2023春·吉林四平·八年级统考期末）感知：如图（1）所示，四边形ABCD是正方形，点G
是线段BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，求证：AF-BF=EF．
探究一：如图（2）所示，若点G在CB的延长线上，上述其余条件不变，则AF，BF，EF存在怎样的等
量关系？猜想并证明这一结论．
探究二：若点G在BC的延长线上，上述其余条件不变，则AF，BF，EF又存在怎样的等量关系？直接写
出结论．
【变式7-3】（2023春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）已知：在△ABC中，AD为中线，以
AB、AC为边向△ABC的形外作正方形ABEF、正方形ACGH．(1)如图①，当∠BAC=90°时，求证：FH=2AD．
(2)如图②③，当∠BAC≠90°时，FH与AD有怎样的关系？在图②和图③中可任选一个图，证明你的结
论．
【题型8 坐标系中的四边形】
【例8】（2023春·河南漯河·八年级统考期中）如图1，在ΔCEF中，CE=CF，∠ECF=90°，点A是
∠ECF的平分线上一点，AG⊥CE于G，交FE的延长线于B，AD⊥AE交CF的延长线于D，连接BC．
（1）直接写出∠ABF的大小；
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（3）建立如图2所示的坐标系，若BG=2，BC=√29，直线AD绕点D顺时针旋转45°得到直线l，求直线
l的表达式．
【变式8-1】（2023春·辽宁沈阳·八年级东北育才学校校考期中）如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已
知∠ABC＝60°，OA＝1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，
点B的落点依次为B，B，B，…，则B 的坐标为 ．
1 2 3 2019【变式8-2】（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）如图，在坐标系中，正方形OABC的边长为2，点P
是x轴上一动点．若BP与∠ABC的两边所组成的角的度数之比为1:3，则点P的坐标为 ．
【变式8-3】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AC=BC=1，∠C=90°，E、F是
AB上的动点，且∠ECF=45°，分别过E、F作BC、AC的垂线，垂足分别为H、G，两垂线交于点M．
（1）当点E与点B重合时，请直接写出MH与AC的数量关系 ；
（2）探索AF、EF、BE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）以C为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，请画出坐标系并利用（2）中的结论
1
证明MH·MG= ．
2
【题型9 四边形中存在性问题】
【例9】（2023春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，B点
坐标(-4,12)，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90∘得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交
OE于点H．(1)求直线BD的解析式；
(2)求△BOH的面积；
(3)点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写
出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式9-1】（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点C，A
分别在x轴，y轴上，O为坐标原点，B点的坐标为(8,6)，过A点的直线l与x轴交于点K(-3,0)，P是线
段BC上一动点，设PC=m．
(1)D是第一象限直线l上一点，作PE⊥y轴于E，DF⊥y轴于F，若∠PAD=90°，AD=AP．
①求证：△APE≌△DAF；
②求直线l的表达式及D点的坐标；
(2)将直线l向下平移12个单位得到直线l'，在直线AB上方的直线l'上，是否存在这样的点D，使得
∠APD=90°，且AP=DP，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式9-2】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图1所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四
边形ABCO是菱形，点A的坐标为(-3，4)，点C在x轴正半轴上，直线AC交y轴于点M，连接BM，AB
边交y轴于点H．(1)求MH的长；
(2)如图2所示，动点P从点A出发，沿折线A→B→C方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，设
△PMB的面积为S(S≠0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
(3)在（2）的情况下，当点P在线段AB上运动时，是否存在以BM为腰的等腰三角形？如存在，直接写出t
的值；如不存在，说明理由．
【变式9-3】（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）（2023下·广东中山·八年级统考期末）定义“点P对图
形Q的可视度”：在平面直角坐标系中，对于点P和图形Q，若图形Q上所有的点都在∠P的内部或∠P的
边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，点O对线段AB的可视度为∠AOB的度数．
(1)如图2，已知点A(-3,1)，B(2,1)，C(0,2)，D(1,3)．连接DA，DB，则∠ADB的度数为点D对
△ABC的可视度．求证：∠ADB=90°；
√3
(2)如图3，已知四边形ABCD为正方形，其中点A(-1,1)，B(-1,-1)．直线y= x+b与x轴交于点E，
3
与y轴交于点F，其中点F对正方形ABCD的可视度为60°．求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形?若存
在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
