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专题18.14 矩形（分层练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023下·山东泰安·八年级校考阶段练习）四边形的两条对角线（ ）时，连接四条边的中点，得
到的新四边形是矩形．
A．垂直 B．相等 C．垂直平分 D．相等平分
2．（2023下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，点E、F分别为矩形 边 、 上的两点，连
接 、 相交于点G，且 ，连接 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D． 平分
3．（2023下·浙江台州·八年级统考期末）如图，点P是矩形 的对角线上一动点，过点P作
的垂线，分别交边 于点E，F，连接 ．则下列结论不成立的是（ ）
A．四边形 的面积是定值 B． 的值不变
C． 的值不变 D．
4．（2022上·湖北武汉·九年级校联考期中）已知大小一样的矩形 和矩形 如图1摆放，
，现在把矩形 绕点A旋转，如图2， 交 于点M，交 于点N，若 ，
则 的值为（ ）．A． B． C． D．
5．（2022·河南商丘·统考三模）如图，矩形ABCD中，点E为AB上一个动点，沿DE折叠 得到
，点A的对应点为点F，连接CF，过点F作 交BC于点G，若 ， ，当
为等腰直角三角形时，AE的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·山东威海·八年级校联考期末）如图，点 为平面直角坐标系第一象限内一点，
轴于点 ， 轴于点 ， 平分 ， 于点 ，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．（2023下·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）如图，矩形 纸片， ，点
P是边 上一点， ，矩形纸片沿 折叠，点A落在G处， 的延长线交 于点H，则 的
长为（ ）A．8 B． C．10 D．
8．（2022上·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，D为边 上
一动点，连接 ．以 为底边，在 的左侧作等腰直角三角形 ，点F是边 上的定点，连接
，当 取最小值时，若 ，则 为（ ）（用含 的式子表示）
A． B． C． D．
9．（2022上·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图．每个小正方形的边长为1，格点线段 与 交
于点 ， 与 交于点 ，连接 ．有下列结论① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ 的面积为0.75．其中正确的结论有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．（2021下·浙江·八年级统考期末）如图有两张等宽的矩形纸片，矩形 不动，将矩形
按如下方式缠绕：如图所示，先将点 与点 重合，再先后沿 、 对折，点 、点 所在的相邻两边
不重叠、无空隙，最后点 刚好与点 重合，则图中两张纸片的长度之比 （ ）A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024上·江苏苏州·八年级期末）如图，在 中， ，作点 关于直线 的对称点
，如果 也等于直角，直线 必然经过一个定点，这个定点应该是 .
12．（2023下·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，A点坐标为 ， 为 轴负半轴上一个动点，以
为直角顶点， 为腰作等腰 按逆时针排列，若点 在第四象限，过 作 轴于点
，则 的值为 ．
13．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级统考期中）已知：如图，点E在矩形 的边 的垂直平分线
上，连接 、 ，若 ， ， ，则 ．14．（2023上·陕西西安·九年级西安市曲江第一中学校考阶段练习）如图，点 在 的左侧运动，且
， ， ， ，点 在 上，且 ，点 在 上运动，当 动到 的
中点时，则 最小值为 ．
15．（2023·浙江·一模）如图，将一副三角板放置在盒子中，已知 的斜边 恰好与盒子的长度
相等， 可以左右移动， ，则线段 的长度的取值范围是 ．
16．（2023上·四川成都·八年级统考期末）如图，在 中， 是中线，作点 关于 对称的点
，连接 、 、 ，若 ， ，则点 到 的距离 ．
17．（2023下·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考开学考试）如图，点D为 的边 上一
点（ ），点D关于 的对称点分别为点E、F，连接 ，点A经过 ，连接 ，
连接 ，延长 到G，使 ，连接 交 于点M，连接 ，当 ， 时，则AD长 ．
18．（2023上·河南郑州·九年级统考期末）如图，矩形 的边 长为4，将 沿对角线
翻折得到 ， 与 交于点E，再以 为折痕，将 进行翻折，得到 ．若两次折叠后，
点 恰好落在 的边上，则 的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2024上·河南郑州·九年级统考期末）如图：直线 ， 的顶点E、H分别
在直线 、 上， 交 于F点， ， 为 的角平分线．
（1）用尺规作图：作 的角平分线（不写过程，需保留作图痕迹）；
（2） 的角平分线交直线 于M，连接 ，求证：四边形 为矩形．
20．（8分）（2024上·福建泉州·八年级校考期末）如图，矩形 中， ， ，点E、
点F分别是对角线 上的点，且 ，过点E作 ，交 于点G，平移 ，使B、F的对
应点分别是G、H，连接 ．
（1）当 是以 为腰长的等腰三角形时，求 的长；
（2）连接 ．判断四边形 的形状，并说明理由；21．（10分）（2024上·山东淄博·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，对角
线 ， 交于点 ，点 ， 分别是 ， 延长线上的点，且 ， ，连接 ，点 为
的中点．连接 ，交 于点 ，连接 ．
（1）猜想： 是 的中点吗？并加以证明；
（2）求 的长．
22．（10分）（2024上·甘肃兰州·八年级校考期末）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A
处绕着点 经过最低点 ，最终荡到最高点 处，若 ，点A与点 的高度差 米，水平距
离 米，求点 与点 的高度差 的长．23．（10分）（2024上·江西吉安·八年级统考期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问
题：．
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等
模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型．
（1）请在上图2中选择其中一个模型进行证明 ．
【模型应用】
（2）如图3，正方形 中， ， ，求 的面积．
（3）如图4，四边形 中， ， ， ， ， ，求
的面积．24．（12分）（2021下·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）如图
1，已知四边形 是矩形，点E是 上一点，连接 交 于点G，延长 交 延长线于点F．
（1）若 ， ，求证： ；
（2）如图2．在（1）的条件下，连接 ，求证： ；
（3）如图3，四边形 关于直线 的对称图形为四边形 ，延长 交 于P，若 ，
，四边形 的面积为 ．（直接写出答案，无需证明）参考答案：
1．A
【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，由 为三角形 的中位线，根据中位线定理得到
与 平行，根据两直线平行，同位角相等得到 ，同理根据三角形中位线定理得到
与 平行，再根据两直线平行，同位角相等及等量代换得到 ，得到四边形 是矩形．
解：如图，
，设 相交于点O，
，
又 点 、 分别是 、 边的中点，
是三角形 的中位线，
，
，
又 点 、 分别是 、 各边的中点，
是三角形 的中位线，
，
，
∴
即四边形 是矩形．
故选：A．
【点拨】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．这类题的一般解法是：
借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关
知识，合理组合发现的新结论．
2．D【分析】根据全等三角形的判定和性质分析推理A，B，C，根据面积法和角平分线的判定分析推理
D．
解：在矩形 中， ，但 ，
∴即便 也无法证明Rt 与Rt 全等，
∴无法证明 ，故选项A不符合题意；
无法证明 ，
∴无法证明 ，故选项B不符合题意；
连接 ，
仅有 ， ，无法证明 与 全等，
∴无法证明 ，故选项C不符合题意；
过点D作 ， ，连接 ，
在矩形 中， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 平分 ，故选项D符合题意，
故选：D．
【点拨】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，掌握相关性质定理，准
确添加辅助线是解题关键．
3．C【分析】过点C作 ，交 的延长线于点G，可得四边形 是平行四边形， ，
推出 ，即可判断结论A；由 ，可判断结论B；利用勾股定理即可判断
结论D；根据选择题有唯一选项即可得出答案．
解：过点C作 ，交 的延长线于点G，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 的面积是定值，故A正确；
∵ ，
∴ 的值不变，故B正确；
∵ ，
∴ ，故D正确；
∴ 的值不变不成立，
故选：C．
【点拨】本题考查了矩形的性质，三角形面积，勾股定理，平行四边形的判定和性质等，证明四边形
是平行四边形是解题的关键．
4．D
【分析】设 与 交于点H，由已知可得 、 都是等腰直角三角形，由勾股定理可得
、 的长，从而可求得 的长．
解：设 与 交于点H，如图，
∵四边形 、四边形 都是矩形，∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
同理， 是等腰直角三角形，
∴ ，
由勾股定理可得 ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由题意得到若干个等
腰直角三角形是问题的关键．
5．D
【分析】作 ，由 为等腰直角三角形，设 ，则 ，由此
可得 ，所以E、F、C三点共线，再由 即可求解；
解：如图，作 ，∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，
，即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴E、F、C三点共线，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ；
故选：D．
【点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是
解题的关键．
6．D
【分析】延长 交 轴于点 ，证四边形 是矩形，得 ，再证 ，
， ，从而代入即可得解．
解：延长 交 轴于点 ，如图，∵ 轴， 轴， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ．
∵ 平分 ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了直角三角形的两锐角互余、角平分线的定义、等角对等边、勾股定理以及矩
形的判定及性质，熟练掌握矩形的判定及性质以及等角对等边是解题的关键．
7．D
【分析】如图，连接 ，过 作 于 ，则四边形 为矩形，由折叠的性质可知，
，设 ， ，则 ， ，在 中，由勾股定理得 ，即 ，则 ①，在 ，
中，根据勾股定理可得 ，即 ，整理得
②，① ②得， ，则 ， ，求 的值，进而可得 的值．
解：如图，连接 ，过 作 于 ，则四边形 为矩形，
由折叠的性质可知， ，
设 ， ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，即 ，
∴ ①，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，整理得 ②，
① ②得， ，整理得 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
8．D
【分析】如图，取 的中点H，连接 ，交 于 ，作直线 ，交 于 ，设 ，取
的中点 ，连接 ， ，证明 ，则 在直线 上运动，且 ，当 ， ， 三
点共线时， ，此时最短，从而可得结论．
解：如图，取 的中点H，连接 ，交 于 ，作直线 ，交 于 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∵等腰直角三角形 ， ，
∴ ，
设 ，
取 的中点 ，连接 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在直线 上运动，且 ，
∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ， ，
当 ， ， 三点共线时，
，此时最短，
∵ ，∴ ，
∴ ，
故选D．
【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定
与性质，三角形的内角和定理的应用，证明 在直线 上运动是解本题的关键．
9．B
【分析】先证明 ，再逐个选项推理即可．
解：如图，
由图可得， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ 中，
∴ ，∴ ，故③错误；
∵ ， ，
∴ ，故④错误；
连接 ，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，故⑤正确；
∵矩形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的面积为0.75，故⑥正确；
综上所述，正确的有①②⑤⑥；
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质，掌握这些性质是解决问题的关键．
10．D
【分析】通过证明 ，结合折叠的性质，确定 是等边三角形，然后再证明
，得到 ，在 中，因为 ，根据 角所对的直角边等于
斜边的一半，可得 ，设 ，则 ，则 ，再求 即可．
解：如图，由题意可知， ，
，
，
，
，
， ，
由折叠过程可知， ， ，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中，
，
，
设 ，
则 ，
，
，
故选：D．
【点拨】本题考查的是矩形与折叠问题，三角形全等的判定和性质，含 角的直角三角形等知识点，
理解题中的折叠过程，找到对应边的关系，能确定 是等边三角形是解题的关键．11． 中点
【分析】此题考查了对称，连接 和 ，利用 ， ，则利用三角形斜边上的中
线等于斜边的一半即可，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
解：如图，连接 和 ，
根据对称性可知， ，
∵ ， ，
∴当点 为 的中点时， ，
故答案为： 中点．
12．
【分析】如图：作 于 ，先证 可得 ，再说明 ，然后
证明四边形 是矩形得到 ，最后根据 即可解答．
解：如图：作 于 ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
，，
，
的坐标是 ，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、
构造全等三角形和矩形是解答本题的关键．
13．4
解：根据题意，先作出辅助线，然后根据勾股定理可以求得 和 的长，然后即可得到 的长．
【解答】解：作 于点F，作 ，
∵点E在矩形 的边 的垂直平分线上， ， ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4．【点拨】本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思
想解答．
14．5
【分析】过点E作 于点G，连接 ， ，根据题意得到 ，得到
当点A，F，G三点共线时， 的值最小，即 的长度，然后证明出四边形 是矩形，然后利
用勾股定理求解即可．
解：如图所示，过点E作 于点G，连接 ， ，
∵ ，点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴当点A，F，G三点共线时， 的值最小，即 的长度
∵ ， ，
∴
又∵
∴四边形 是矩形
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴在 中，
∴ 最小值为5．
故答案为：5．
【点拨】此题考查了直角三角形的性质矩形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，两点之间线段
最短等知识，解题的关键是证明出当点A，F，G三点共线时， 的值最小，即 的长度．
15．【分析】依题意可知，当点B与点E重合时，线段 的长度最小；当点A与点F重合时，线段
的长度最大，分别求出两个最值即可得解．
解：将矩形盒子作如下标记∶
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
在 中， ， ， ，
设 ，则 ，
∵ ，即
解得：
∴ ，
∴
依题意得：当点B与点E重合时， 的长度最小，作图如下：
∵ ， ，
∴
∴ ，∴
即
当点A与点F重合时，线段 的长度最大，作图如下：
同理可得：
∴
即
综上所示：线段 的长度的取值范围是：
【点拨】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股
定理等知识，正确找出 取最值得情况是解题的关键．
16．
【分析】连接 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，根据轴对称的性质可得 垂直平分 ，
以此可得 ，进而得到 为 的中位线，则 ，根据直角三角形斜边上的中线性
质得 ，根据勾股定理先求出 ，再求出 、 ，进而得到 的长，再根据等面积法得
，最后代入计算即可求解．
解：连接 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，如图，点 关于 对称的为点 ，
， ，
，
为 的中线，
，
为 的中位线，
，
，
，
在 中， ， ，
由勾股定理得 ，
，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
，即点 到 的距离为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查轴对称的性质、三角形中位线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、
勾股定理，根据题意正确作出辅助线，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
17．
【分析】如图所示，连接 ，先根据对称性得到 ，进而证明
，则 ，同理得到 ，进而证明
，则 ，证明 得到 ，则由直角三角形斜边上的中
线的性质得到 ，再证明 ，进而推出 ，由此可得 ．
解：如图所示，连接 ，
∵点D关于 的对称点分别为点E、F，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
由对称性可知 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了轴对称的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线的性质与判断，全
等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，证明 是解题的关键．
18． 或
【分析】根据题意分两种情况讨论：①当点 恰好落在 上时，由翻折以及矩形的性质利用 可
证明 ，然后根据等腰三角形的性质求出 的长，再依据勾股定理求解即可；②当点 恰
好落在 上时，同理利用 可证明 ，根据全等三角形的性质可得出 的长，再根据线
段的和差关系即可得出答案．
解：∵四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ 沿对角线 翻折得到 ，
∴ ， ，
∵以 为折痕，将 进行翻折，得到 ，
∴ ， ，
①当点 恰好落在 上时，如图，在 和 中，
∴
∴ ，即 为等腰三角形，
∵
∴点 为 中点，
∴ ，
在 中，有 ，
即 ，解得
②当点 恰好落在 上时，如图，
∵
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵ 沿 进行翻折，得到 ，
∴
在 中，
，在 和 中，
∴ ≌ （ ）
∴
∴ ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了空间想象能力以及分类讨论的思想，熟练掌握翻折的性质，运用全等三角形的判
定与性质、勾股定理是解答此题的关键．
19．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可；
（2）根据角平分线的定义以及平行线的性质可得 ， ，则 ，
，进而推得 ，即可得四边形 为矩形．
（1）解：射线 即为所求，
（2） 为 的平分线，
，
为 的平分线，
，
，
， ，
， ，
， ，
，，
，
，
四边形 为矩形．
【点拨】本题考查基本作图—作角平分线、矩形的判定、平行线的性质，对角线的定义，等角对等边，
熟练掌握矩形的判定、平行线的性质、角平分线的作图方法是解答本题的关键．
20．（1） 的长为2或5；（2）矩形，详见分析
【分析】（1）利用勾股定理求得 的长，再分 和 情况讨论即可求解；
（2）证明 ，推出 ， ，再证明四边形 是平行四边形，据此
即可得到四边形 是矩形．
（1）解：矩形 中， ， ，
∴ ，
①当 时， ；
②当 时， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述，CE的长为2或5；
（2）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ；
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，∵平移 得 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
【点拨】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等
知识点．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21．（1）H是 的中点，证明详见分析；（2）
【分析】（1）如图，取 中点 ，连接 ，根据矩形性质，可证得 是 的中位线，再
由中位线性质，可得 ， ， 由平行线性质可得， ， ，
已知 的值，可求出 与 长度相等，根据全等三角形判定 ，证得 ，可得
，即可证得结论；
（2）如图，连接 ，由矩形性质可得 ，由已知条件，求出 的值，即可利用勾股定
理求出 的值，由 是 中点， 是 中点，根据中位线定义得 是 的中位线，根据中位线
性质，可得 ，即可求出 的值．
（1）解： 是 的中点，
证明：如图，取 中点 ，连接 ，
四边形 是矩形，对角线 ， 相交于点 ，
是 中点， ， ，是 中点，
是 的中位线，
， ，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
是 的中点．
（2）解：如图，连接 ，
四边形 是矩形，
．
，
，
， 是 中点，
，
，，
在 中， ， ， ，
是 中点， 是 中点，
是 的中位线，
．
【点拨】本题考查了矩形的性质，中位线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定
理解三角形，掌握相关性质，合理添加辅助线，证得 及构造直角三角形求出 的值是解
题关键．
22．4.5米
【分析】作 于F， 于G，根据 可证 ，根据全等三角形的性质可
得 米，在 中，根据勾股定理可求 ，即得 ，再根据勾股定理和线段的和差关系可求
点C与点B的高度差 ．
本题主要考查了全等三角形，勾股定理，矩形等．熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理解直
角三角形，矩形的判定与性质，添加辅助线构造两个全等的三角形，是解决问题的关键．
解：过点A作 于F，过点C作 于G，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 和四边形 都是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，在 中， ，
即 ，
解得 ．
则 ．
故点 与点 的高度差 的长为4.5米．
23．（1）详见分析；（2） ；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解答关键是在题目应用全等模型进行证明．
（1）应用 证明三角形全等即可；
（2）过C作 延长线的垂线 ，垂足为F，证明 ，得到 ，求 的
面积即可；
（3）分别过C和E作 延长线的垂线 、 ，垂足分别为G、H，证明 ，得到
边 上的高为1，求 的面积即可；
解：证：（1）例如选第一个图形可证（同理可证第二个）
∵ ，
∴
又∵ ， ，
∴
（2）过C作 延长线的垂线 ，垂足为F，则由（1）易得
，
∴ ，
即 边 上的高为4，
∴ ．
（3）分别过C和E作 延长线的垂线 、 ，垂足分别为为G、H，
则由（1）易得 ，
又∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 边 上的高为1，
∴ ．
24．（1）见分析；（2）见分析；（3）
【分析】（1）证明 ，即可解答；
（2）过点 作 交 于 ，证明 ，得到 ，再证明
，得到 ，即可解答；
（3）由勾股定理可得 的值，可得 ，证明 ，再证明 为等边三角形，可
得 ，最后根据梯形面积公式即可解答．解：（1）证明：∵四边形 为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）证明：过点 作 交 于 ，如图2所示：
则 ，
，
，
，
在 和 中，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：∵四边形 是矩形，
，
在 中，由勾股定理得： ，，
，
，
∵四边形 与四边形 关于直线 对称，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
∴梯形 的面积为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题为四边形综合题，考查了矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边
三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握上述性质，作出正
确的辅助线是解题的关键．
