文档内容
专题18.11 平行四边形中的几何变换、定值、最值、动点、存在性问题
【十大题型】
【人教版】
【题型1 平行四边形中的平移问题】......................................................................................................................1
【题型2 平行四边形中的轴对称问题】..................................................................................................................2
【题型3 平行四边形中的旋转问题】......................................................................................................................3
【题型4 平行四边形中的定值问题】......................................................................................................................5
【题型5 平行四边形中的最小值问题】..................................................................................................................7
【题型6 平行四边形中的最大值问题】..................................................................................................................8
【题型7 平行四边形中的动点问题】......................................................................................................................9
【题型8 平面直角坐标系中的平行四边形存在性问题】...................................................................................10
【题型9 平行四边形中的新定义问题】................................................................................................................12
【题型10 平行四边形中的综合实践与探究】.......................................................................................................13
【题型1 平行四边形中的平移问题】
【例1】（24-25八年级·贵州黔西·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x
轴的正半轴上，且点A(2,2)，C(4,0)，直线y=2x+1以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过( )秒
该直线可将平行四边形OABC的面积平分．
7
A．3 B． C．5 D．6
2
【变式1-1】（24-25八年级·重庆忠县·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，将Rt△ABC沿
BC向右平移得到△≝¿，若四边形ACFD的面积等于8，则平移的距离等于（ ）A．2 B．3 C．2❑√3 D．4
【变式1-2】（24-25八年级·福建龙岩·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l:y=2x和第一象限
内的▱ABCD（BC∥x轴，S
▱ABCD
=5）．直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移（平移距离设为
m），对应生成的直线被 ▱ABCD的两边所截得的线段长设为n．若n与m的函数图象如图2所示，则a
的值是（ ）
❑√5 3
A．1 B． C．❑√2 D．
2 2
【变式1-3】（24-25八年级·浙江金华·期末）如图，在△ABC中，已知AB=8，点D、E分别在边
AC、AB上，现将△ADE沿直线DE折叠，使点A恰好落在点F处，若将线段BC向左平移刚好可以与线
段EF重合，连接CF，若2BC+CF=15，则BC−2CF的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【题型2 平行四边形中的轴对称问题】
【例2】（24-25八年级·浙江绍兴·期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=120°，∠BCA=75°
，DF=6，E为AC上一点，将△ADE沿着DE翻折，点A恰好落在边CD上的F点处，连接BF，则BF长
度为（ ）A．3❑√6 B．2❑√6 C．3❑√3 D．3❑√6+2
【变式2-1】（24-25八年级·上海·期末）如图，若平行四边形ABCD与平行四边形EBCF关于BC所在直线
对称，且∠ABE＝90°，则∠F＝ °.
【变式2-2】（24-25八年级·江西抚州·期中）在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折
BE
至AB所在直线，对应点分别为C′，D′，若AC′:AB:BC=1:3:7，过F作AB的垂线交于E，则 =
BF
．
【变式2-3】（24-25八年级·福建泉州·期末）如图，在 ▱ABCD中，E是AD边上一点，将△ABE沿BE翻
折得到△A′BE，延长EA′交BC的延长线于点F，连接CE．若BE=CF，∠F=20°，则∠BCE=
度．
【题型3 平行四边形中的旋转问题】
【例3】（24-25八年级·河北保定·期末）如图所示，将 ▱ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得到
▱AB′C′D′（点B′与点B、点C′与点C、点D′与点D分别对应）．若点B′恰好落在BC上，则∠C=．
【变式3-1】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，在▱OABC中，A(1,2)，CO=4，将▱OABC绕O
点逆时针方向旋转90°到 ▱OA′B′C′的位置，则点B′的坐标是 ．
【变式3-2】（24-25八年级·上海青浦·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，BC=15，面积为
120，点P是边AD上一点，连接PB，将线段PB绕着点P旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在直线
AD上，那么线段AQ的长为
【变式3-3】（24-25八年级·浙江温州·期中）如图，为验证平行四边形的中心对称性，小明将两张全等的
平行四边形纸片重叠在一起，AB=3，BC=6． 将其中一张纸片绕它的中心旋转，当点A和点C的对应
点A′和C′分别落在边AD和BC上时，BC′=1，则A′C′的长是 ，两张纸片重合部分（阴影部分）的
面积是 ．【题型4 平行四边形中的定值问题】
【例4】（2024·湖南株洲·八年级期末）如图，直线MA平行于NB，定点A在直线MA上，动点B在直线
BN上，P是平面上一点，且P在两直线中间（不包括边界），始终有∠PAM=∠PBN，则在整个运动过
PA
程中，下列各值①∠APB；②PA+PB；③ ；④S 中，一定为定值的是 ．（填序号）
PB △PAB
【变式4-1】（2024八年级·黑龙江·专题练习）【“两定两动”型（同侧）】如图，MN的长度为定值，在
直线l上分别取点E，F，使EF=MN，连接AE，BF，当AE+EF+BF最小时，求点E，F的位置．
【变式4-2】（24-25八年级·福建泉州·阶段练习）如图所示四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=4，
∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．(1)四边形ABCD______平行四边形（是或不是）
(2)证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；
(3)当点E、F在BC、CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果
变化，求出最大（或最小）值．
【变式4-3】（24-25八年级·浙江温州·期中）根据所给素材，完成相应任务．
玩转三角板
活 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角
动 板，如图1所示，其中∠F，∠A为直角，∠E=30°，
背 ∠B=45°，要求两直角顶点重合（A与F重合于点O）进行
景 探究活动．
素 小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线
材1 上．
素 小聪同学的探究结果如图3所示，DE∥BC，连结BD，CE
材2 ，发现四边形BCED是平行四边形．
素 李老师提出问题，在上述操作过程中，△DOB与△COE的面
材3 积比是否为定值？解决问题
任
（1）根据图2，计算线段CD的长度．
务1
（2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据：___________．
任
务2
（3）计算▱BCED的面积．
任
（4）请你解答李老师的问题，并说明理由．
务3
【题型5 平行四边形中的最小值问题】
【例5】（24-25八年级·全国·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC=12，P为AB边上一
动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．4❑√3 D．6❑√3
【变式5-1】（24-25八年级·山东滨州·期末）如图，在△ABC中，AB=BC=15，AC=18，D是BC边上
任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作 ▱ADCE，连接DE，则DE长的最小值为（ ）
A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8
【变式5-2】（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，
AC=2BD=10，则AB+CD的最小值为（ ）A．5❑√3 B．10 C．15 D．5❑√5
【变式5-3】（24-25八年级·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD
的坐标分别为A(−1,0)、B(0,2)、C(3,2)、D(2,0)，点P是AD边上的一个动点，若点A关于BP的对称
点为A′，则A′C的最小值为 ．
【题型6 平行四边形中的最大值问题】
【例6】（24-25八年级·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的坐标分别为
A(−1,0)，B(0,2)、C(4,2)、D(3,0)，若P是x轴上的一动点，若点A关于BP的对称点为A′，则A′C的
最小值为 ，A′C的最大值为 ．
【变式6-1】（2024·山东济南·二模）在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=8,E为菱形内部一点，且BE=6
，连接DE，点F为DE中点，连接CF，点G是CF中点，连接BG，则BG的最大值为 ．
【变式6-2】（24-25八年级·陕西安康·期中）如图，在 ▱ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，折
叠△AEF使得点A落在CD上，若∠ABC=120°，AD=4❑√3，AB=8，则BE长度的最大值为
．【变式6-3】（24-25八年级·广东中山·期末）如图， 在 ▱ABCD中， 点 E 是BC的中点，
AB=AE=BE=2❑√3，点 F 是AD上的动点，连接点E 与BF的中点 G． 则EG的最大值是 ．
【题型7 平行四边形中的动点问题】
【例7】（24-25八年级·河南郑州·开学考试）如图1，点F从四条边都相等的 ▱ABCD的顶点A出发，沿
A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的
关系图象，则a的值为（ ）
5
A．❑√5 B．2 C． D．2❑√5
2
【变式7-1】（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，
BC=6cm,AD=9cm，P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速
度由C向B运动， 秒时直线QP将四边形截出一个平行四边形．
【变式7-2】（24-25八年级·河南漯河·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=20，
E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动，点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点Q停止运动时，点P也随之停止运动．当运动时间为多少秒
时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【变式7-3】（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=6cm，BE是
∠ABC的平分线，点M从点E出发，沿ED方向以1cm/s每秒的速度向点D运动，点N从点C出发，沿
CB方向运动，以2cm/s每秒的速度向点B运动，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间
为t秒．
(1)求AE的长；
(2)是否存在以M，E，B，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理
由．
【题型8 平面直角坐标系中的平行四边形存在性问题】
【例8】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴正
半轴上，点 在 轴正半轴上，线段 ， 的长分别是 ， ，且满足 ，点 是线段
C y OA OC m n (m−6) 2+❑√n−8=0 D
OC上的一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在矩形对角线AC上的点E处．
(1)求线段AC的长；
(2)求△ACD的面积；(3)点M在直线DE上，在y轴上是否存在点N，使以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形？若存
在，请写出满足条件的点N的个数，并直接写出两个点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-1】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=❑√3x+2❑√3与x
1
❑√3
轴，y轴分别交于点A，D，直线l 与直线y=− x平行，交x轴于点B(7,0)，交l 于点C．
2 2 1
(1)求直线l 的解析式及点C的坐标；
2
1
(2)若点P是线段BC上动点，当S = S 时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且
△PAB 3 △ABC
MN=2，连接DM，PN，当四边形DMNP周长最小时，求点M的坐标；
(3)在（2）的条件下，将OD绕O点顺时针旋转60°得到OG，点E是y轴上的一个动点，点F是直线l 上
1
的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F
的坐标；若不存在，请说明理由
【变式8-2】（24-25八年级·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x、y轴分别交
5
于点A(4,0)、B(0,3)，过点B作BC∥x轴交直线y=− x+5于点C．
4
(1)求直线AB的函数解析式；
(2)求点C到直线AB的距离及点C的坐标；
(3)试探究在平面内是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直
接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．【变式8-3】（24-25八年级·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，A(0,4),B(−3,0)，点C在x轴
正半轴上，且四边形ABCD是平行四边形，BC=5．
(1)求出点D的坐标；
(2)一次函数y=kx−k+2的图象分别与线段AD,BC交于E,F两点，求证：DE=BF；
(3)点M是直线AC上一动点，在x轴上是否存在点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是平行四边
形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型9 平行四边形中的新定义问题】
【例9】（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，由16个点构成的4×4的正方形点阵中，横纵方向相邻的
两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中四个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形．图中以A
，B为顶点，面积为2个平方单位的阵点平行四边形的个数为（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
【变式9-1】（24-25八年级·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，若点M关于直线x=m的对
称点M′在▱ABCD的内部（不包含边界），则称点M是▱ABCD关于直线x=m的“伴随点”．如图，
已知A(−2,0),B(3,0),C(4,4)三点，连接BC，以AB,BC为边作▱ABCD．若在直线y=x+n上存在点
N，使得点N是 ▱ABCD关于直线x=2的“伴随点”，则n的取值范围是 ．【变式9-2】（24-25八年级·江苏泰州·期末）定义：作 ▱ABCD的一组邻角的角平分线，设交点为P，P
与这组邻角的公共边组成的三角形为 ▱ABCD的“伴侣三角形”， PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB
＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段C△D上（包括端点C、D），则m的取值
范围 ．
【变式9-3】（24-25八年级·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P,Q和图形W，
给出如下定义：若射线OQ与图形W的一个交点为M，射线PQ与图形W的一个交点为N，且满足四边形
OPMN为平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的“平心点”．如图1中，点Q是点P关于图中线段ST
( 3 )
的“平心点”．已知点：A(2,2),B(6,2),C(2,0)，若点D(1,1),E(2,3),F − ,1 中，是点C关于直线
2
AB“平心点”的有 ；若点C关于线段AB的“平心点”J的横坐标为a时，则a的取值范围 ．
【题型10 平行四边形中的综合实践与探究】
【例10】（24-25八年级·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，在等边△ABC中，D、E两点分别在边BC
、AC上，连接BE,AD, BD=CE，以AD为边向右作等边△ADF，连接EF,CF．
【初步发现】（1）求证：△CEF为等边三角形；
【深入探究】（2）求证：四边形BDFE为平行四边形；【拓展延伸】（3）若AE=2,EF=4，求四边形BDFE的面积．
【变式10-1】（24-25八年级·广西玉林·期末）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为
背景，探究动点运动的几何问题．如图，在△ABC中，点M, N分别为AB, AC上的动点（不含端点），
且AN=BM．
【初步尝试】（1）如图①，当△ABC为等边三角形时，甲同学发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到
MD，连接BD，则MN=DB．你认为甲同学的想法正确吗？请说明理由；
【类比探究】（2）乙同学尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在△ABC中，AB=AC，
∠BAC=90°，AE⊥MN于点E，交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA, DB
，试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）陈老师提出新的探究方向：如图③，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，连接
BN, CM，请直接写出BN+CM的最小值．
【变式10-2】（24-25八年级·河南商丘·期中）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在
△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点（不含端点），且AN=BM．
【初步尝试】（1）如图1，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到
MD，连接BD，则MN=DB，请思考并证明．
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在△ABC中，AB=AC，
∠BAC=90°，AE⊥MN于点E，交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB
．试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由．【变式10-3】（24-25八年级·陕西汉中·期末）问题探究
(1)如图1，在 ▱ABCD中，已知AB=2，∠ABC=60°，∠ABC的平分线交AD于点G，求BG的长；
问题解决
(2)某科技公司现有一块形如四边形的研发基地，如图2，已知米，米，，的平分线交于点G．为了响应国
家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：点P是射线上一动点，连接，将修建成新能
源研发区，为安全起见，要沿一周修建隔离带（宽度忽略不计），为了节省费用，要求隔离带的长度尽可
能的短，问隔离带的长度是否存在最小值？若存在，请求出隔离带长度（的周长）的最小值；若不存在，
请说明理由．
