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专题 18.13 平行四边形章末八大题型总结（培优篇）
【人教版】
【题型1 添加条件使成为四边形】..........................................................................................................................1
【题型2 根据四边形的性质求解】..........................................................................................................................2
【题型3 四边形的证明】..........................................................................................................................................3
【题型4 根据四边形的判定与性质求线段长】.....................................................................................................5
【题型5 根据四边形的判定与性质求角度】.........................................................................................................6
【题型6 根据四边形的判定与性质求面积】.........................................................................................................7
【题型7 三角形的中位线】......................................................................................................................................9
【题型8 中点四边形】............................................................................................................................................10
【题型1 添加条件使成为四边形】
【例1】（2023春·云南·八年级统考期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点
O，在条件：①AB=AD；②AC=BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD中，选择一个条件，使得四边
形ABCD是菱形，可选择的条件是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【变式1-1】（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，那么添加
下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是（ ）A．AB=AD且AC⊥BD B．AC⊥BD且AC和BD互相平分
C．∠BAD=∠ABC且AC=BD D．AC=BD且AB=AD
【变式1-2】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，O是BC的中点，连结
DO并延长，交AB延长线于点E，连结BD，EC．
(1)求证：四边形BECD是平行四边形．
(2)若∠A＝50°：
①当∠ADE＝ °时，四边形BECD是矩形；
②当∠ADE＝ °时，四边形BECD是菱形．
【变式1-3】（2023春·天津·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB,CD的
中点．连接BD，过点A作AG∥BD交CB的延长线于点G．
(1)求证：DE∥BF；
(2)若∠G=90°，则四边形DAGB是_____，四边形DEBF是______；
(3)当AD与BD满足______时，四边形DEBF是正方形．
【题型2 根据四边形的性质求解】
【例2】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，在 ▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，
CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，BC=9，则EF长为 .【变式2-1】（2023春·河南安阳·八年级校考期中）中国结象征着中华民族的历史文化与精神．小乐家有一
中国结挂饰，他想求两对边的距离，于是利用所学知识抽象出如图所示的菱形ABCD，测得
BD=4cm,∠DAB=60°，直线EF过点O且与AB垂直，分别交AB,DC于E,F，则EF的长为（ ）
A．2√3cm B．5√2cm C．4cm D．4√3cm
【变式2-2】（2023春·云南曲靖·八年级校考期中）将n个边长都为1的正方形按如图所示的方法摆放，点
A ，A ，…，A 分别是正方形对角线的交点，则2023个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为
1 2 n
．
【变式2-3】（2023春·河北邢台·八年级校考期中）小明用4根长度为6cm的相同木条制作了能够活动的菱
形学具，他先活动学具成为如图1所示的菱形，此时∠B=60°，接着活动学具成为如图2所示的正方形，
则图1中BD比图2中的BD（ ）
A．长 B．长
(6√3-6√2)cm (6√2-3√3)cm
C．长√3cm D．短√3cm【题型3 四边形的证明】
【例3】（2023春·云南昭通·八年级统考期中）如图，在短形OACB中，OA=8，OB=6，P为BC边上的
动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD，AD．
(1)若∠BOP=45°，求证：四边形OBPD为正方形；
(2)当P在运动过程中，CD的最小值为______；
(3)当OD⊥AD时，求BP的长．
【变式3-1】（2023春·江苏南京·八年级校联考期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的
中点，G，H分别是BD，AC的中点，顺次连接各点得到四边形EGFH．
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
(2)若AB=CD，求证： ▱EGFH是菱形．
【变式3-2】（2023春·海南儋州·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD，DE
平分∠ADC，且BE=CF，AF=DE．
(1)求证：△ABF ≌ △DCF；
(2)求证：四边形ABCD是矩形；
(3)若AB=3，BC=5，求EF的长．【变式3-3】（2023春·福建福州·八年级统考期末）如图1，矩形ABCD中，E为BC中点，连接AE，
BF⊥AE于点G，交CD于F，DH⊥AE于点H，GI∥CD，交DH于点I．
(1)求证：GI=DF；
(2)若DF=FG，求证：A、I、F三点共线；
(3)如图2，连接HC交BF于点P，连接PI，求证：四边形GPIH是矩形．
【题型4 根据四边形的判定与性质求线段长】
【例4】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，E为BC上一点，且
BE=1，作EF⊥AE交边CD于F，将△CEF沿EF折叠后点C恰好落在AD边上的G处，则AD长＝
．
【变式4-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，将边长为4的正方形纸片ABCD沿EF对折再展
平，沿折痕剪开，得到矩形ABEF和矩形CEFD，再将矩形ABEF绕点E顺时针方向旋转．使点A与点D
重合，点F的对应点为F'，则图②中阴影部分的周长为 ．
【变式4-2】（2023春·辽宁铁岭·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，点E，F，G，H分别在矩形的各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为 ．
【变式4-3】（2023春·广东东莞·八年级校联考期中）如图，在 ▱ABCD中，∠BAC=90°，AB=AC，
过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O．则下列
结论：①四边形ABEC是正方形；②DE=√2BC，③S =S ，正确的是（ ）
△CFD △BEF
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【题型5 根据四边形的判定与性质求角度】
【例5】（2023春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）如图， ▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过
点D作DE∥AC且DE=OC，连接CE，OE，OE=CD．
(1)求证： ▱ABCD是菱形；
(2)若AB=4，∠ABC=60°，求AE的长．
【变式5-1】（2023春·浙江杭州·八年级期中）如图，在一正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接
EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC．
（2）延长BE交AD于点F，若FD=FE．求∠AFE的度数．
【变式5-2】（2023春·广东广州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中
点，CF∥BE，CF交DE的延长线于点F，连接BF交CE于点O．
(1)求证：CF=BE；
(2)若BE=2DE，∠ACB=70°，求∠BFC的度数．
【变式5-3】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，
交直线DC的延长线于点F．
（1）如图①，求证：CE=CF；
（2）如图②，若∠ABC=90°，G是EF的中点，猜想BG和DG的关系，并证明；
（3）如图③，若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，连接DB、DG，求∠BDG的度数．
【题型6 根据四边形的判定与性质求面积】
【例6】（2023春·广东佛山·八年级统考期中）如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，且AB=24，
BC=10，将AC绕点C顺时针旋转90°至CE．连接AE，且F、G分别为AE、EC的中点，则四边形OFGC
的面积是（ ）A．100 B．144 C．169 D．225
【变式6-1】（2023春·河北邯郸·八年级统考期中）已知点E是 ▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长
交DC的延长线于点F，连接AC，BF，AF=BC．
(1)求证：四边形ABFC为矩形；
(2)若△AFD是等边三角形，且边长为6，求四边形ABFC的面积．
【变式6-2】（2023春·河南洛阳·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，
AB=BC=2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE，EF．
(1)求证：四边形CDEF为菱形；
5
(2)连接DF交AC于点G，若DF=3，CD= ，求四边形CDEF的面积．
2
【变式6-3】（2023春·辽宁丹东·八年级校联考期末）如图，在Rt△ABC中，AC=BC，点P是BC上一点，
BD⊥AP交AP延长线于点D，连接CD．若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，S -S =32
△ACP △PBD
），则CD= ．【题型7 三角形的中位线】
【例7】（2023春·陕西西安·八年级校考期末）如图，某花木场有一块如四边形ABCD形状的空地，其中
AD//BC,∠B=∠BCD，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线AC=10m，现想利用篱笆围成
四边形EFGH场地，则需篱笆的总长度是（ ）
A．40m B．30m C．20m D．10m
【变式7-1】（2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点
O，E为AD中点，OE=4，则菱形ABCD的周长为 ．
【变式7-2】（2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）（2023下·四川广元·八年级统考期末）如图，菱
1
形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE= AC．连接CE，OE，OE交
2
CD于点F．(1)求证：四边形OCED是矩形；
(2)若AD=10，求OF的长．
【变式7-3】（2023春·黑龙江鸡西·八年级统考期中）如图，DE是△ABC的中位线，点F是DE的中点，
CF的延长线交AB于点G，若△CFE的面积为2，则△ABC的面积为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
【题型8 中点四边形】
【例8】（2023春·天津滨海新·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且
AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A B C D ，再顺次连接四边形A B C D 各
1 1 1 1 1 1 1 1
边中点，得到四边形A B C D ，…，如此进行下去，得到四边形A B C D .下列结论正确的有（ ）
2 2 2 2 n n n n
①四边形A B C D 是矩形；
2 2 2 2
②四边形A B C D 是菱形；
4 4 4 4
a+b
③四边形A B C D 的周长是 ；
5 5 5 5 4
ab
④四边形A B C D 的面积是 ．
n n n n 2n+1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式8-1】（2023春·湖南长沙·八年级统考期末）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边
AB、BC、CD、DA的中点．则正确的是（ ）
A．若AC=BD，则四边形EFGH为矩形
B．若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形
C．若EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分
D．若EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等
【变式8-2】（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC
和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E，F，G，H分别是AC，AB，
BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．
(1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；
(2)点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论
还成立吗？说明理由；
(3)如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并
说明理由．
【变式8-3】（2023春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考期末）问题背景：
△ABC和△CDE均为等边三角形，且边长分别为a，b，点D，E分别在边AC，BC上，点F，G，H，I分
别为AB，BE，ED，AD的中点，连接FG，GH，HI，IF
猜想证明：(1)如图①，判断四边形FGHI是什么特殊四边形，并说明理由．
(2)当a＝6，b＝2时，求四边形FGHI的周长．
拓展延伸：
(3)如图②，当四边形FGHI是正方形时，连接AE，BD相交于点N，点N，H恰好在FC上．求证：△ABN和
△DEN均为等腰直角三角形．
