文档内容
专题 13 几何图形的旋转综合的六类综合题型
目录
典例详解
类型一、线段绕某点旋转综合问题
类型二、等腰直角三角形绕点旋转综合问题
类型三、等边三角形绕点旋转综合问题
类型四、平行四边形的旋转综合问题
类型五、矩形的旋转综合问题
类型六、正方形的旋转综合问题
压轴专练
类型一、线段绕某点旋转综合问题
知识点：1. 线段旋转的基本性质：旋转前后线段长度不变，对应端点与旋转中心连线的夹角等于旋转
角，线段所在直线的夹角与旋转角相关。2. 三角形及圆的关联知识：旋转形成的等腰三角形（对应点
与中心构成）、定长线段旋转的轨迹为圆（以旋转中心为圆心）。
解题技巧：1. 定位端点对应点：通过作等长线段、构造旋转角，确定线段两端点的对应位置，利用全
等或相似转化关系。2. 动态问题转化：涉及线段旋转的动态变化时，以旋转中心为定点，分析端点轨
迹（圆），结合几何图形性质（如直径所对圆周角为直角）求解极值或位置关系。
例1．在等边三角形中，点D为边 上的一点，连接 ．
(1)如图1，若 ， ，求 的长．
(2)如图2将线段 绕点A顺时针旋转 到 ，连接 交 于点F．求证： ；【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】（1）如图所示，过点D作 于H，求出 ，得到 ，利用勾股
定理得到 ，再证明 ，得到 ，则
；
（2）如图所示，在 上截取 ，连接 交 于T，证明 ，得到
， ，证明 ，由旋转的性质可得 ， ，进而推出
， ，则 ， ，由此证明 ，得到 ，即可证
明 ．
【详解】（1）解：如图所示，过点D作 于H，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图所示，在 上截取 ，连接 交 于T
∵ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
由旋转的性质可得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，含30度
角的直角三角形的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是关键．
【变式1-1】在等腰直角三角形 中， ，过点 作 ， 为直线 上一动点，将射线 绕点 逆时针旋转90°，交直线 于点 ，连接 ．
(1)如图①，当点 在线段 上时，线段 ， ， 之间的数量关系为________；
(2)当点 在 的延长线上时，如图②；当点 在 的延长线上时，如图③，线段 ， ， 之间又
有怎样的数量关系？请写出你的结论，并选择一种情况给予证明．
【答案】(1)
(2)当点 在 的延长线上时， ；当点 在 的延长线上时，
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质
求解
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出 ， ，推得 ，
根据旋转的性质得出 ，根据等角的余角相等得出 ，根据两个角和它们所夹的边
分别对应相等的两个三角形全等可证明 ，根据全等三角形的对应边相等得出 ，故
，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得出 ，即可得出
；
（2）当点 在 的延长线上时，根据等腰直角三角形的性质得出 ， ，推得
，根据旋转的性质得出 ，根据等角的余角相等得出 ，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明 ，根据全等三角形的对应
边相等得出 ，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得出 ，故
，即可得出 ；当点 在 的延长线上时，根据等腰直角三角形
的性质得出 ， ，推得 ，根据旋转的性质得出 ，推
得 ，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明 ，
根据全等三角形的对应边相等得出 ，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得出
，故 ，即可得出 ；
【详解】（1）解：∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∵ ，
故 ，
∵将射线 绕点 逆时针旋转90°，交直线 于点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故 ，
在 中， ，
即 ．故答案为： ．
（2）解：当点 在 的延长线上时， ；
证明：∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∵ ，
故 ，
∴ ，
∵将射线 绕点 逆时针旋转90°，交直线 于点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
故 ，
即 ．
当点 在 的延长线上时， ，
证明：∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∵ ，
故 ，
∵将射线 绕点 逆时针旋转90°，交直线 于点 ，∴ ，
故 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
故 ，
即 ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，
勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
类型二、等腰直角三角形绕点旋转综合问题
知识点：1. 等腰直角三角形性质与旋转性质的结合：两直角边相等、直角为 90°，旋转后对应边、角不
变，形成新的等腰直角三角形或全等三角形。2. 特殊角度与线段关系：旋转角常为 90°或45°，可推导
线段垂直、相等关系，如旋转后对应直角边垂直且相等。
解题技巧：1. 锁定旋转核心：以等腰直角顶点或斜边中点为旋转中心，标记对应顶点，利用“边等、角
等”构造全等（如SAS）。2. 转化线段关系：遇复杂图形，通过旋转将分散的边、角集中到直角三角形
中，利用勾股定理或线段垂直关系求解。
例2．已知 和 是两个全等的等腰直角三角形， ．
(1)如图1， 和 分别与边 交于点 ，过点 作 ，且使 ，连接 ，求证：① ；
② ；
(2)如图2， 与边 交于点 ， 与 的延长线交于点 ，请探究 和 之间的数量关系，
并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2) ，证明见解析
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】（1）①由 是等腰直角三角形和 ，可以得到 ， ，
，得到 ，由 可以证明 ；
②由①知 ，则 ， ，证明 ．再证明
，则 ，在 中， ，根据勾股定理，得
，等量代换后即可得到结论；
（2）将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 ，由旋转性质可得 ，
，证明 ，即可得到 ， ，可得
，由勾股定理可得 ，等量代换后即可得到结论．
【详解】（1）证明：①∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ．
②由①知 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，由勾股定理得 ，
∴ ．
（2）解： ，证明如下：
如图，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，
则 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】此题考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，
添加辅助线构造全等是解题的关键．
【变式2-1】已知： 和 都是等腰直角三角形， ．
(1)如图①E在 上，点D在 上时，线段 与AD的数量关系是______，位置关系是______；
(2)把 绕点C旋转到如图②的位置，连接 ，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)在 绕点C在平面内旋转过程中，若 ， ，当A，E，D三点在同一直线上时，则
AE的长是______．
【答案】(1) ，
(2)成立，理由见解析；
(3) 或
【知识点】化为最简二次根式、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出 ， ，得出 ，再用 ，即
可得出结论；
（2）先由旋转的性质得出 ，进而判断出 ，得出 ，
， 与 交于 ， 与 交于 ，利用全等的性质和对顶角相等进而得出
，即可得出结论；
（3）分两种情况，①当点 在线段 上时，过点 作 于 ，求出 ，再
用勾股定理求出 ，利用线段的加减即可得出结论；
②当点 在线段 上时，过点 作 于 ，求出 ，再由勾股定理求出根据勾股
定理得 ，利用线段的加减即可得出结论．【详解】（1）解： 和 都是等腰直角三角形，
， ，
，
，
点 在 上，点 在 上，且 ，
，
故答案为： ， ；
（2）成立．理由如下：
如图②， 与 交于 ， 与 交于 ，
由题意可知： ，
，
，
在 与 中，
，
，
， ，
又 ， ，
在 中，
，
，
，
所以（1）中的结论仍然成立；
（3）当点 在线段 上时，如图③，过点 作 于 ，是等腰直角三角形，且 ，
，
，
，
在 中， ，
，
；
②当点 在线段 上时，如图④，过点 作 于 ，
是等腰直角三角形，且 ，
，
，
，
在 中， ，
，，
综上， 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作
出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
类型三、等边三角形绕点旋转综合问题
知识点：1. 等边三角形性质与旋转的融合：三边相等、三角均为 60°，旋转后对应边、角不变，易形
成新等边三角形或全等三角形。2. 特殊旋转角的作用：旋转角常为60°或120°，可推导线段相等、
夹角为60°或120°，如旋转后对应边夹角等于旋转角。
解题技巧：1. 聚焦旋转中心：以顶点或中心为旋转中心，标记对应顶点，利用“边等、角 60°”构造
全等（如SAS）或相似。2. 转化分散条件：通过旋转将分散线段集中，利用 60°角构造等边三角形，
或结合30°-60°直角三角形边角关系求解。
例3．（1）如图1，已知点B、A、D在同一条直线上， 和 都是等边三角形，连结 、
交于点O，且分别交 、 于点F、G．求证： ；
（2）若将图1中的 绕点A旋转，得到图2，使得点B、A、D不在同一条直线上， 和 都
是等边三角形， 的度数变化吗？若不变，请求出 的度数；若变化，请说明理由；
（3）如图3，在 中， ， ， ，以 为边向外作等边 ，直接写出
的长．
【答案】（1）见解析；（2） 的度数不变， ；（3）
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质
求解
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到 ， ， ，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到 ， ， ，求得 ，根
据全等三角形的性质得到 ，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（3）以 为边在 的外部作等边三角形 ，得到 ， ，由（2）知，
，根据全等三角形的性质得到 ，过E作 交 的延长线于F，根据直角三
角形的性质得到 ， ，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ；
（2）解： 的度数不变，
∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：以 为边在 的外部作等边三角形 ，∴ ， ，
由（2）知， ，
∴ ，
过E作 交 的延长线于F，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，含30度角直角三角形，全等三角形的判定和性质，
勾股定理等知识．明确题意，添加合适的辅助线，构造等边三角形和全等三角形是解题关键．
【变式3-1】（1）问题发现
如图1， 和 都是等边三角形，点B，C，D在同一直线上，连接 ，直线 与 相交
于点F．填空：
①线段 与 之间的数量关系为_________；
② 的度数为_________．
（2）拓展探究
当 绕点C逆时针旋转到图2的位置时，（1）中的两个结论是否还成立？请根据图2的情形给出证明．
（3）问题解决
已知 ， ，若 绕点C逆时针旋一周，当点E位于线段 的垂直平分线上时，请直接写出 的面积．
【答案】（1）① ，②60°；（2）成立，见解析；（3） 的面积为 或 ．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质、根据旋转的性
质求解
【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时
证明三角形全等是关键．
（1）利用等边三角形的性质证明 ，结合三角形的外角就可以得出结论；
（2）同（1）中方法证明 ，得出 ， ，再根据三角形的内角和得出
；
（3）分两种情况讨论，画出图形，利用线段垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式，即可得出结论．
【详解】（1）解： 是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
， ，，
且 ，
；
（2）（1）中结论仍成立，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
即 ，
，
， ，
，
且 ，
；
（3）分两种情况讨论，
①如图，由（2）知 ，
∴ ，
∵点E位于线段 的垂直平分线上，
∴ ， ，
∴ ，∴ 在同直线上，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的面积为 ；
②如图，由（2）知 ，
∵点E位于线段 的垂直平分线上，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴点D也在线段 的垂直平分线上，
∴ ，
∴ 的面积为 ；
综上， 的面积为 或 ．
类型四、平行四边形的旋转综合问题
知识点：1. 平行四边形性质与旋转的结合：对边平行且相等、对角线互相平分，旋转后对应边保持平
行（或夹角等于旋转角），对应角相等，易形成全等图形。2. 旋转产生的特殊关系：以对角线交点为
中心旋转180°可与原图形重合，旋转其他角度时，对应顶点连线被旋转中心平分，易推导线段平行或
相等关系。
解题技巧：1. 抓住对称中心：优先考虑以对角线交点为旋转中心，利用“中心对称”性质标记对应顶
点，转化线段等量关系。2. 构造辅助线：遇复杂图形，通过旋转一组对边或顶点，将非特殊角转化为已知角，结合平行线性质（如内错角相等）推导边、角关系。
例4．如图，将平行四边形 绕着点C按顺时针方向旋转得到平行四边形 ，使点B落在 边上
的点E处，连接 ．
(1)求证： 平分 ．
(2)如图2，当B，E，F三点在同一直线时，且 ， ，求平行四边形 的面积．
(3)如图3，连接 交 于点H，求证：点H为 的中点．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)详见解析
【分析】（1）由旋转可知 ，得到 ，然后有平行四边形的性质得到 ，
进而求解即可；
（2）过C作 ，求出 ， ， ，然后求出 ，得
到 ，勾股定理求出 ，然后求出 ，进而求解即可；
（3）如图，过B作 ，过G作 ，连接 ， ， ，求出 ，然后得到
，证明出四边形 是平行四边形，即可求解．
【详解】（1）由旋转可知
∴
∵在 中∴
∴
∴ 平分 ；
（2）如图，过C作
∵ 由 旋转得到
∴ ， ，
∵ B，E，F三点在同一直线，
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∵
∴ ；
（3）如图，过B作 ，过G作 ，连接 ， ， ．∵ ， ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴
∴四边形 是平行四边形
∴点H为 的中点．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，等边对等角性质，解题的关键是
掌握以上知识点．
【变式4-1】如图1， 绕点 旋转得到平行四边形 ，当点 落在边 上时，连接 ．
(1)求证： 平分 ；
(2)连接 交 于点 ．
①如图2，若平行四边形 为长方形，则 和 之间的等量关系为，并说明理由；
②如图3，若 ，请直接写出 的面积 ．
【答案】(1)见解析(2)① ，理由见解析；②
【分析】（1）根据旋转可得 ，则 ，根据平行四边形的性质可得 得出
，等量代换得出 ，即 平分 ；
（2）①过点 作 于点 ，根据角平分线的性质可得 ，进而证明 ，
根据全等三角形的性质，即可得证；
②在 上截取 ，连接 ，过点 作 于点 ，根据旋转的性质结合已知条件可得
是等边三角形，则 ，证明 ， 得出四边形 是
平行四边形，则 ，进而勾股定理求得 ，根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 绕点 旋转得到平行四边形 ，
∴
∴
又∵四边形 是平行四边形，
∴
∴
∴ ，即 平分 ；
（2）解：① ，
如图所示，过点 作 于点 ，
∵ 平分 ， ，
∴
∵四边形 ， 是长方形，
∴
∴
在 中，∴
∴ ；
②如图所示，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
在 上截取 ，连接 ，过点 作 于点 ，
∵旋转，则 ，
∴ 是等边三角形，则 ，
∴ ，即旋转角为
∴
又 平分 ；
∴ ，
∴ ，
在 中，
∴
∴ ，
∴
又∵
∴
又∵旋转，则∴ ，
在 中，
∴
∴
∴
∴四边形 是平行四边形，
∴
在 中，
，
∴ ，则
∴
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，
勾股定理，熟练掌握旋转的性质，平行四边形的性质是解题的关键．
类型五、矩形的旋转综合问题
知识点：1. 矩形性质与旋转的叠加：对边相等、四角为直角、对角线相等且互相平分，旋转后对应边保
持垂直或平行（取决于旋转角），对角线对应线段相等，易形成全等矩形。2. 旋转产生的垂直关系：以
对角线交点为中心旋转时，对应顶点连线被平分；旋转 90°时，邻边对应线段垂直，可推导线段垂直且
相等关系。
解题技巧：1. 聚焦对角线特性：利用矩形对角线相等且互相平分的特点，以交点为旋转中心时，通过对
应顶点连线的中点性质转化等量关系。2. 转化角度关系：遇旋转角非90°时，结合矩形直角特征，构造
直角三角形，利用勾股定理或三角函数求解线段长度。
例5．将矩形 绕点B顺时针旋转得到矩形 ，点 的对应点分别为 ．(1)如图1，当点 落在 上时，求证：四边形 为平行四边形；
(2)如图2，当 过点C时，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性
质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形
解决问题．
（1）首先证明 ，可得 ， ，从而得出 ，由平行线的
判定可得 ，再根据平行四边形的判定即可解决问题．
（2）如图，作 于 ， 于 ．利用勾股定理求出 ， 即可解决问题．
【详解】（1）证明： 矩形 是由矩形 旋转所得，
， ， ，
，
， ，
，，
．
，
∴四边形 为平行四边形；
（2）解：如图，作 于 ， 于 ．
四边形 是矩形，
由旋转的性质得 ，
在 中， ， ． ，
，
，
，
， ，
，
在 中， ．
【变式5-1】如图1，在矩形 中， ，将矩形 绕点 顺时针旋转，得到矩形
，点 的对应点 落在 边上，过点 作 于点 ，连接 ．(1)求证：① ；② ；③四边形 是平行四边形；
(2)如图2，连接 交 于点 ．
①求 的长；
②过点 作 交 于点 ，求证：四边形 是正方形．
【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析
(2)① ；②见解析
【分析】（1）①根据矩形的性质， 可得 ， ，根据旋转的性质
可得 ，根据全等三角形的判定即可求解；
②由三角形全等可得 ，根据 即可求解；
③根据三角形全等可得 ，由 ，可得 ，根据平行四边形的判定
方法即可求解；
（2）①在 中根据勾股定理可得 的值，根据平行四边形的性质可得 ，在
中可得 的值，由此即可求解；
②根据旋转的性质可得四边形 是矩形，根据 ，可得四边形 是矩形，根据线段的关系
可得 ，结合正方形的判定即可求证．
【详解】（1）证明：① 如图1.1，四边形 是矩形，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
② 由 , 可知 ，
∵ ，
∴ ；
③ ∵ ，
∴ ，
由 ， 可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 四边形 是平行四边形；
（2）解：① 如图1.2， ， ，
在 中， ，
∵ 四边形 是平行四边形，
，
在 中, ，
；②证明：根据旋转，四边形 是矩形，
∴ ， 即 ，
∵ ，
∴ 四边形 是矩形，
∵ ，
∴ ，
∴ 四边形 是正方形．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三
角形斜边中线等于斜边一边，正方形的判定等知识的综合，掌握矩形的判定和性质，全等三角形的判定和
性质，正方形的判定是解题的关键．
类型六、正方形的旋转综合问题
知识点：1. 正方形性质与旋转的结合：四边相等、四角为直角、对角线垂直且相等，旋转后对应边垂直
或平行（夹角等于旋转角），对角线对应线段垂直且相等，易形成全等正方形或等腰直角三角形。2. 特
殊旋转角的作用：旋转90°时，邻边对应线段垂直且相等；旋转180°时，与原图形中心对称，可推导线
段垂直、中点等关系。
解题技巧：1. 锁定旋转中心：以顶点、中心或对角线交点为中心，利用“边等、角90°”标记对应顶点，
构造全等（如SAS）。2. 转化垂直关系：通过旋转将分散线段集中，结合正方形直角和对角线垂直特
性，利用勾股定理或等腰直角三角形性质求解。
例6．如图1，将边长为 和3的两个正方形放置在直线l上，连结 ，经观察分析，发现
，从而可进一步证出 ．
(1)如图2，将正方形 绕O点逆时针旋转一定的角度，求证： ， ；
(2)如图3，将正方形 绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，直接写出 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
（1）根据正方形的性质可得 ， ， ，然后求出 ，再
利用“边角边”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等、对应角相等即可得证
（2）与（1）同理求出 ，连接 交 于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得 ，
，再求出 ，然后利用勾股定理列式计算即可求出 ．
【详解】（1）证明：如图， 交 于点G，交 于点H，
四边形 和四边形 均为正方形，
， ， ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
， ，
在 和 中， ， ，
，
；
（2）解：同（1）可证 ，
，
如图，连接 交 于G，则 ， ，∵正方形 的边长为 ，
∴ ，
∴ 。
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
【变式6-1】【课本再现】
如图1，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方形的边
长相等，四边形 为两个正方形的重叠部分，正方形 可绕点 转动．
【问题发现】
（1）①线段 之间的数量关系是_______________；
②在①的基础上，连接 ，则线段 之间的数量关系是____________．
【拓展应用】
（2）如图2，若矩形 的一个顶点 是矩形 对角线 的中点， 与边 相交于点 ，延
长 交 于点 ， 与边 相交于点 ，连接 ．矩形 可绕点 转动，猜想
之间的数量关系，并进行证明．
【类比迁移】（3）如图3，在 中， ，点 在边 的中点处，它的两条边
和 分别与直线 相交于点 ． 可绕点 转动，当 时，请直接写出 的面
积．
【答案】（1）① ② （2） ，证明见解析（3） 或
【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，三角形全等的判
定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
（1）①根据题型先证明 ，进而即可得出线段 之间的数量关系；
②根据 ，得出 ，进而根据勾股定理得出 ，根据线段之间的数量关
系，即可得出结论；
（2）猜想： ，连接 ，延长 交 于 ，证明 ，再利用勾股
定理证明即可；
（3）设 ，分两种情况讨论：①当点 在线段 上时，②当点 在 延长线上时，结合勾股定理，
即可求解．
【详解】解：（1）①证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ；
②解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解： ；理由如下：
连接 ，如图2：
∵ 为矩形中心，
∴ ，
延长 交 于 ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
又∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ；
（3）设 ，
①当 在线段 上时，如图3，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
又由（2）易知 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，即 ，
；
②当点 在 延长线上时，
同理可证 ，
∴ ，
又在 中，
，
∴ ，解得 ，即 ，
；
故 的面积为 或 ．
一、解答题
1．如图，将矩形 绕点A顺时针旋转 ，得到矩形 ，点F恰好落在 的延长线
上．
(1)证明： ；
(2)证明： 的延长线经过点B．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图：连接 ，由旋转的性质可得 ，然后根据矩形的性质和等腰三角形即
可证明结论；
（2）如图：延长 交 于点 ，由旋转的性质可得 、 ，矩形的性质可得 、
．再证 可得 ，最后根据三角形的内角和定理和等量代换即可解答．
【详解】（1）解：如图：连接 ，
由旋转性质得 ，
又∵在矩形 中， ，
∴ ；（2）解：延长 交 于点 ，
由旋转性质得， ， ，
在矩形 中， ， ，
由（1）得 ，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴点 与B重合．
∴ 的延长线经过点B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识
点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
2．【问题情境】如图①，点E为正方形 内一点， ，将 绕点B按顺时针方向旋
转 ，得到 （点A的对应点为点C），延长 交 于点F．
【猜想证明】
(1)试判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)如图②，若 ，请猜想线段 与 的数量关系并加以证明．
【答案】(1)四边形 是正方形，详见解析
(2) ，详见解析【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，
（1）先证明四边形 是矩形，即可证明结论；
（2）过点D作 于H，结合正方形性质证明 ，得出 ，根据
即可证明结论．
【详解】（1）解：四边形 是正方形，理由如下：
∵将 绕点B按顺时针方向旋转 ，
∴ ， ．
又∵ ，
∴四边形 是矩形．
又∵ ，
∴四边形 是正方形．
（2） ；理由如下：
如图，过点D作 于H，
∵ ， ，
∵ ， ．
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ （ ），
∴ ．
∵将 绕点B按顺时针方向旋转 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，∴ ，
∴ ，
∴ ．
3．在等腰 中， ，且 ．
（1）如图1，若 也是等腰直角三角形，且 ， 的顶点 在 的斜边 上，连
．
①线段 与 的关系为________，并证明你的结论．
②求证： ；
（2）如图2， 为 上一点， ，则 的长为________．
【答案】（1）① ， ，证明见解析；②证明见解析：（2）
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，
熟练掌握上述知识、证明三角形全等是解题的关键．
（1）①根据等腰直角三角形性质和 证明 得到 ，再导角可证明
，据此可得结论；②利用①的结论、等腰直角三角形的性质和勾股定理即可证得结论；
（2）如图，将 绕点C顺时针旋转到 的位置，连接 ，根据旋转的性质和等腰直角三角形的
性质以及勾股定理可求出 ，进而可得 ，即可求解．
【详解】解：（1）① ， ，证明如下：
∵ 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
，
，
在 和 ，，
，
∵在 中， ，
．
，
∴ ，
∴ ， ；
②由（1）①可知 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∵ ， ，
∴在 中，由勾股定理得 ，即 ，
；
（2）如图，将 绕点C顺时针旋转到 的位置，连接 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得
在 中，由勾股定理可得 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ．4．如图1，在正方形 中， ，将线段 绕点C逆时针旋转至 ，连接 ．
(1)当 时，求 的长度；
(2)如图2，过点D作 交 于点F，连接 ．
①求证： ．
②当点F是 中点时，求 与 的面积比．
【答案】(1) ；
(2)①见解析；② ．
【分析】此题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的性
质和旋转的性质是解题的关键．
（1）作 于F，证明 ，求得 ，即可得 的长度；
（2）①设 ，求出 ， ，得到
，求出 ，则 ，即可证明结论；②连接 ，作
于G，设 ，则 ，进一步求出 ， ，即可得
到答案．
【详解】（1）解：如图1，作 于F，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵线段 绕点C逆时针旋转至 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）①证明：设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②解：如图2，连接 ，作 于G，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由①知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，F是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，∴ 与 的面积比为： ．
5．如图1，已知在 和 中， ，点 分别在边 上， 绕点A逆时针旋
转一定角度．
(1)①如图2，若 ， ， ，连接 ，求证： ；
②在①的条件下，已知 ， ，当点 在直线 上时，求 的面积；
(2)若 ， ， ，点 不与点 重合， 是 的中点，点 在线段 上，
连接 ， 是 所在平面内一点，连接 、 ， 和 关于直线 成轴对称图形，连接
，求 的最小值．
【答案】(1)①见解析；②2；
(2)
【分析】（1）①延长 交 于点N，交 于点F，证明 ，推出 ，
从而得出结论；②过点A作 于点K，根据等腰直角三角形性质以及勾股定理求出 的长，
进一步求出结果即可；
（2）先判定出 为等边三角形，得到 只能在 的左侧，连接 ，过点 作 的延长
线于点M，利用勾股定理求出 ， 的长度，根据 与 关于 成轴对称图形，推出
，从而得到当点H落在 上时 值最小，求出结果即可．
【详解】（1）①证明：如图，延长 交 于点N，交 于点F，在 与 中，
，
，
在 和 中， ，
；
解：②如图，过点A作 于点K，
为等腰直角三角形，
，
在 中， ， ，
，
，
；
（2） ，为等边三角形，
点不与C点重合，
只能在 的左侧，如图，连接 ，过点 作 的延长线于点M，
为等边三角形， ，
，
是 中点，
，
在 中，
，
在 中，
，
与 关于 成轴对称图形，
，
如下图，当点H落在 上时，【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂线
定理，轴对称图形的性质，熟练掌握相关性质定理，准确作出辅助线为解题关键．
6．如图1，在菱形 中， ， ，连接 ， 交于点 ．
(1)求菱形 的面积；
(2)如图2，将菱形 绕着点 逆时针旋转 ，得到菱形 ，点 ， ， ， 的对
应点分别为 ， ， ， ．
①当点 落在 上时，判断 与 的位置关系，并说明理由；
②连接 ，当 平行于菱形ABCD一边时，求出 的值；
(3)在（2）的条件下，连接 ，当 垂直于菱形 的一边时，直接写出 的长．
【答案】(1)
(2)①垂直，见解析；② 或
(3) 或
【分析】（1）由菱形的性质可得： ， ， ， ，
，进而得到： ，推出 ， ，即可求解；（2）①可得出 ，从而得出 ，从而 ，进一步得
出结论；
②当 时，可得出 ，从而得出 ， ，当 时，
，从而 ；
（3）当 时，点 在 的上方时，设 延长线交 于 ，则 ，可得出
， ， ，根据勾股定理得出 的值，从而得出 的值，当点
在 下方时，同样得出结果；当 时，根据勾股定理得出结果．
【详解】（1）解： 四边形 是菱形， ，
， ， ， ， ，
，
， ，
，
；
（2）① ，理由如下：
如图1，由（1）知， ，
菱形 绕着点 逆时针旋转 ，得到菱形 ，
，
，
，
四边形 和四边形 是菱形，
， ，
；②如图2，
当 时，
，
由旋转性质得， ，
，
， ，
当 时 图中 )，
同理可得， ，
，
综上所述： 或 ；
（3）如图2，当 时，设 延长线交 于 ，
则 ，
， ，
，
，
，
当 时，
则 ，
当 时， ，
综上所述： 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，含 角的直角三
角形的性质，解决问题的关键是分类讨论．
7．（1）【问题初探】
苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1，正方形
的边长为2， 的顶点 在正方形 两条对角线的交点处， ，将 绕点
旋转， 的两边分别与正方形 的边 和 交于点 和点 （点 与点 ， 不重合），
问：在旋转过程中，四边形 的面积会发生变化吗？证明你的结论．爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路：
浩浩：如图 ，充分利用正方形对角线垂直，相等且互相平分等性质证明了 ，则
，那么 ，这样，就实现了四边形 的面积
向 面积的转化．
小航：如图 ，也是考虑到正方形对角线的特征，过点 分别作 于点 ， 于点 ，证明
，从而将四边形 的面积转化成了小正方形 的面积．
通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，
线段 与 的和也是一个定值，为 ．
（2）【类比探究】
①如图 ，矩形 中， ， ，点 是 边的中点， ，点 在 上，点 在
上，则四边形 的面积为 ， ；
②如图 ，若将（ ）中的“正方形 ”改为“ ，边长为 的菱形 ”，其他条件不
变，当 时，四边形 的面积是 ．
③如图 ，在②的条件下，当点 在对角线 上运动到 且 旋转至 时， 的长度为
______．
（3）【拓展延伸】
如图5， （ 为钝角）， ， 是钝角， 平分 ， ， ，
， ，点 是 上一点，那么 的长为______．【答案】（1）1，2；（2）①4，4；② ；③4或2；（3）
【分析】（1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论；
（2）①过 作 于点 ，证四边形 是正方形，则 ，再证 ，
得 ， ，即可解决问题；
②过 作 交 于点 ，证 是等边三角形和 是等边三角形，得 ，
，再证 ，得 ，则 ，然后证 ，即可
解决问题；
③连接 交 于点 ，分两种情况， 、点 在 上时， 、点 在 上时，由等边三角形的判定
与性质和全等三角形的判定与性质分别解答即可；
（3）过 作 于点 ， 于点 ，设 ，则 ，在 和 中，
由勾股定理得出方程，求出 ，然后证 ，得 ，同理 ，
得 ，即可解决问题．
【详解】解：（1）浩浩： 四边形 是正方形，边长为2，
， ， ， ， ， ，
，
，
，
，
， ，
， ；小航： ， ，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
四边形 是正方形，边长为2，
， ，
，
，
是 的中位线，
，
同理： ，
，
，四边形 是正方形，
， ，
，
；
故答案为：1，2；
（2）①如图2，过点 作 于点 ，
则 ，
四边形 是矩形，
，四边形 是矩形，
， ， ，
，点 是 边的中点，
，
，
四边形 是正方形，
，
，
，
， ，
，
， ，
， ，
故答案为：4，4；
②当 时，四边形 的面积还是一个定值，理由如下：
如图3，过点 作 交 于点 ，
四边形 是菱形，边长为8， ，
， ， ， ， ，
，
是等边三角形，
， ，
，，
，
， ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
即当 时，四边形 的面积为 ；
③连接 交 于点 ，分两种情况
、点 在 上时，如图4，
四边形 是菱形，
， ，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，，
过点 作 交 于点 ，
同②得： 都是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
；
、点 在 上时，如图 ，过点 作 交 于点 ，
同理得： ， 都是等边三角形， ，
， ；
综上所述， 的长为4或2，
故答案为：4或2；
（3）如图5，过点 作 于点 ， 于点 ，
则 ，
设 ，则 ，
在 和 中，由勾股定理得： ，即 ，
解得： ，
，
为钝角）， ，
，
，
，
，
平分 ， ， ，
，
，
，
，
又 ， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、全等三
角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合
性强，熟练掌握正方形的性质、矩形的性质以及菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
8．在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：【实践探究】：
（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接 、 ，则 _____ ；
【解决问题】：
（2）将矩形 绕点A顺时针转动，边 与边 交于点M，连接 ， ， ．
①如图2，当 时，求证： 平分 ；写出证明过程
②如图3，当点F落在 上时，连接 交 于点O，则 ______；
【迁移应用】：
（3）如图4，正方形 的边长为 ，E是 边上一点（不与点B、C重合），连接 ，将线段
绕点E顺时针旋转 至 ，作射线 交 的延长线于点G，则 ______；
（4）如图5，在菱形 中， ，E是 边上一点（不与点C、D重合），连接 ，将线段
绕点E顺时针旋转 至 ，作射线 交 的延长线于点G，若 ，则 _____．
【答案】（1）45；（2）①见解析；②4；（3） ；（4）
【分析】（1）证明 是等腰直角三角形，得出 ，则可得出答案；
（2）①由矩形的性质及平行线的性质证明 ，则可得出结论；
②过点B作 于点E，求出 ，证明 ，得出 ， ，证
明 ，得出 ；
（3）过点F作 交 于点H，证明 ，得出 ， ，证明
是等腰直角三角形，则可得出答案；
（4）过点F作 ，与 的延长线交于点H，证明 ，得出， ， ，证出 是直角三角形，由直角三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）解：∵长方形纸片 和 是两个完全相同的长方形，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：45；
（2）①证明： ，
，
四边形 是矩形，
，
；
，
平分 ；
②解：过点B作 于点E，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
故答案为：4；
（3）解：如图4，过点F作 交 于点H，
四边形 是正方形，
， ，
，
由旋转的性质得： ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
故答案为： ；
（4）解：过点F作 ，与 的延长线交于点H，如图5，
四边形 是菱形，
， ，
由旋转得 ， ，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，
等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识．
