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第18章 平行四边形复习讲义（原卷版）
一、整体感知
概 念 图
概 念 图 定义
矩形
性质与识别方法
定义
定义
性质 菱形
平行四边形
平行四边形 性质与识别方法
识别方法
定义
正方形
面积
性质与识别方法
二、知识梳理
知识点一 平行四边形的定义
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
知识点二 平行四边形的性质
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心，另外还具有下列性质：①平行四边形的
对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分.
知识点三 平行四边形的识别
平行四边形的识别方法有：①一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形；② 2条对角线互相平分
的四边形是平行四边形；③2组对边分别相等的四边形是平行四边形.另外，还可以利用平行四边形的定义
直接来识别.
知识点四 平行四边形的面积
平行四边形的面积等于其一边与该边上的高的积，即 S ＝ah（a表示平行四边形的一边，h表示对应
□
边上的高）.
知识点五 中位线的定义及性质
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半
知识点六 矩形
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.也就是长方形.
2.矩形的性质：①矩形的四个角是直角；②矩形的对角线相等.
3.矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有
三个角是直角的四边形是矩形.
知识点七 直角三角形的斜边中线的性质
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
知识点八 菱形
1.菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
2.菱形的性质：①菱形是轴对称图形，它的对角线就是它的对称轴；②菱形的四条边相等；③菱形的
对角线互相垂直平分，每一条对角线平分菱形的一组对角.
3.菱形的判定定理：①有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱
形；③四条边相等的四边形是菱形；4.菱形的面积等于它的两条对角线乘积的一半.
知识点七 正方形
1.正方形的概念：有一个角是直角并且有一组邻边相等的平行四边形，叫做正方形.
2.正方形的性质：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的全部性质.
3.正方形的判定：先判定是矩形，再判定是菱形；或者先判定是菱形，再判定是矩形.
三、题组训练
类型一 平行四边形的判定与性质
1．（2022•铜仁市模拟）如图所示，在四边形 ABCD中，已知∠1＝∠2，添加下列一个条件，不能判断四
边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
A．∠D＝∠B B．AB∥CD C．AD＝BC D．AB＝DC
2．（2023春•涡阳县期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD延
长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF＝1，则AB的长是（ ）
A．2 B．1 C．3 D．❑√2
3．（2023•肥西县一模）如图，已知 OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则
对角线OB长的最小值为（ ）▱
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2022春•滨湖区期末）如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2❑√2，点P为BC上一动点，AQ∥BC，
CQ∥AP，AQ、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是 ，连接PQ，当PQ取得最小值时，
四边形APCQ的周长为 ❑√2+❑√10．5．（2023春•召陵区期中）如图，F是 ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于
▱
点E，连接AF与DE相交于点P，若 ， ，则阴影部分的面积为（ ）cm2
S =2cm2 S =8cm2
△APD △BQC
A．24 B．17 C．18 D．10
6．（2022春•邗江区月考）如图，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝
2BG，S ＝1，则S ＝ ▱．
BEPG AEPH
▱ ▱
7．（2022•峄城区模拟）如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法中不正确的是（ ）
A．△BDE和△DCF的面积相等 B．四边形AEDF是平行四边形
C．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形 D．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形
8．（2022秋•泰山区期末）如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝
OC．
（1）求证：
①△AOE≌△COF；
②四边形ABCD为平行四边形；
（2）过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求
∠ABE的度数．9．（2023•阎良区一模）如图，在 ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AF，DE分别与线段BC交于点
F，E，AF与DE交于点G． ▱
（1）求证：AF⊥DE，BF＝CE．
（2）若AD＝10，AB＝6，AF＝8，求DE的长度．
类型二 中位线
10．（2023春•惠济区期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段
BC、AB上的动点，点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（ ）
A．2 B．2.3 C．4 D．7
11．（2024春•船营区月考）如图，△ABC周长20，D，E在边BC上，BN和CM分别是∠ABC和∠ACB
的平分线，BN⊥AE，CM⊥AD，若BC＝8，则MN的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．3❑√2
12．（2024春•普宁市期末）如图，等边△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF
1
= BC，连接CD和EF．
2
（1）求证：四边形DCFE是平行四边形；
（2）求∠F的度数．类型三 矩形的判定与性质
13．（2023秋•梅县区期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的
是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD
14．（2023•株洲）如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，
若OD＝2，则AC＝ ．
15．（2024春•天河区月考）如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．若AO＝3，∠DBC＝30°，求矩
形的周长和面积．
16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且
AE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠BAE：∠EAD＝4：5，求∠EAO的度数．类型四 直角三角形斜边中线等于斜边的一半
17．（2024秋•甘井子区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是斜边AB的中点，
DE⊥AC，垂足为E，BC＝4，则DE的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
18．已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点．
（1）求证：MN⊥BD；
（2）在边AD上能否找到一点P，使得PB＝PD？请说明理由．
19．（2022春•防城港期末）如图，已知平行四边形ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，
EC，若ED＝AD．
（1）求证：CD＝BE；
（2）求证：四边形BECD是矩形；
（3）连接AC，若AD=❑√7，CD＝2，求AC的长．20．（2024春•红塔区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC上一点，∠DAE的角平分线AF交
CD于点G，交BC的延长线于点F，连接EG，△AGE的面积为S．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若EG⊥AF，试探究线段AE，EC，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若∠AEG＝∠AGD，AB＝12，AD＝9，求S的值．
21．（2022•绍兴）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运
动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连结MN．
（1）如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．
（2）当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．类型五 菱形的性质和判定
22．（2022春•渑池县期中）如图，菱形ABCD的周长为24，对角线AC与BD交于点O，BD＝6，则AC
＝6❑√3．
23．（2022秋•萍乡期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若OA＝
2，则四边形CODE的周长为（ ）
1
A．10 B．8 C．6 D．
2
24．（2023春•永春县期末）如图所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，
AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（ ）
A．2.4 B．4 C．4.8 D．5
25．（2022秋•竞秀区期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD交于点O，E，F分别在
OB，OD上，AC＝4，BD＝6．
（1）当BE＝DF＝1时，判断四边形AECF的形状并证明；
（2）当四边形AECF为菱形时，求平行四边形ABCD的周长．26．（2022秋•雨花区月考）在学习了尺规作图后，小雅同学尝试了以下作图：在平行四边形 ABCD中，
1
点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于 BF的长为半径画弧，两
2
弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．请根据作图完成以下问题：
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）设AE与BF相交于点O，四边形ABEF的周长为12，BF＝3，求四边形ABEF的面积．
27．（2022秋•三明期末）已知，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8．将纸片沿对角线BD翻折，点
C落在点E处，BE交AD于点F．
（1）如图1，连结AE．
①求证：△ABF≌△EDF；
②求证：AE∥BD；
（2）如图2，将△BDE沿BD翻折回去，则点F正好落在BC边G处，连结FG，求FG的长．类型五 正方形的性质和判定
28．（2023•余杭区模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G，
若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是（ ）
3❑√2 12
A．2 B．❑√5 C． D．
2 5
29．（2022秋•振兴区期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个
动点，过点 E 作 EF⊥AB 于点 F，EG⊥BC 于点 G，连接 DE，FG，下列结论：① DE＝FG；
②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为2．其中正确结论的序号为（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
30．（2024•北京二模）四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M，N，P，Q分别为边AB，BC，
CD，DA的中点．有下列四个推断：
①对于任意四边形ABCD，四边形MNPQ都是平行四边形；②若四边形ABCD是平行四边形，则MP
与NQ交于点O；③若四边形ABCD是矩形，则四边形MNPQ也是矩形；④若四边形MNPQ是正方形，
则四边形ABCD也一定是正方形．所有正确推断的序号是 ．
31．（2023•九龙坡区开学）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1．将正方形沿GF
折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为 ．32．（2024•北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），
对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是 ．
33．（2022春•封丘县期末）如图1，在Rt△EAF中，∠A＝90°，∠AEF，∠AFE的外角平分线交于点C，
过点C分别作直线AB，AD的垂线，B，D为垂足．
【问题发现】（1）∠ECF＝ °（直接写出结果，不写解答过程）．
【问题探究】（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若AF＝DF＝4，求BE的长．
12
【问题拓展】（3）如图2，在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝4，HR＝1，则HQ的长度是 （直
5
接写出结果，不写解答过程）．
34．（2023春•福田区期末）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3❑√2，求正方形DEFG的边长．35．（2023•黄冈一模）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝ （0°＜
＜90°）．连接DE，过B作BF⊥DE于F，连接AF，CF． θ
θ（1）若 ＝60°，求∠BED的度数；
（2）当θ变化时，∠BED的大小会发生变化吗？请说明理由；
（3）试用θ等式表示线段DE与CF之间的数量关系，并证明．
36．（2022秋•浑南区期中）已知正方形ABCD，E是射线AB上一动点，连接EC，点F在直线CD上，且
EF＝EC，将EF绕点E顺时针旋转90°得到EG，过点C作EG的平行线，交射线AD于点H，连接
HG．
（1）如图1，当点E在AB中点时，D，F重合，请判断四边形HCEG的形状并证明你的结论；
（2）如图2，当点E在AB延长线上时，补全图形并回答下列问题：
①四边形HCEG的形状是否发生改变，请说明理由；
②连接HE，交DC于点M，若MC＝5，EF=❑√53，请直接写出ME的长．
